Chương Tensor trong quyển sách khả vi đa tạp được dịch từ quyển sách Differentiable manifolds của nhà toán học Henrik Schlichtkrull dùng cho học viên cao học Toán trong môn Hình học vi phân nâng cao.Trong chương này một vài cấu trúc cơ bản của một không gian vectơ thực V được giới thiệu: Không gian đối ngẫu V , không gian tensor Tk(V) và không gian tensor luân phiên Ak(V). Sự trình bày được dựa vào cơ sở thuần túy đại số tuyến tính, và nó độc lập với tất cả những chương trước đây. Cầu nối đến hình học sẽ được xây dựng theo chương sau đó, ở đó chúng tôi sẽ áp dụng lý thuyết của chương hiện tại để nghiên cứu về các đa tạp. không gian tuyến tính V sau đó sẽ là không gian tiếp xúc TpM tại một điểm được cho.
Chương TENSORS Trong chương vài cấu trúc khơng gian vectơ thực V giới thiệu: Khơng gian đối ngẫu V * , khơng gian tensor Tk(V) khơng gian tensor ln phiên Ak(V) Sự trình bày dựa vào sở túy đại số tuyến tính, độc lập với tất chương trước Cầu nối đến hình học xây dựng theo chương sau đó, chúng tơi áp dụng lý thuyết chương để nghiên cứu đa tạp khơng gian tuyến tính V sau khơng gian tiếp xúc TpM điểm cho Cho V vectơ R Đối với mục đích chúng tơi có khơng gian hữu hạn chiều cần thiết, chúng tơi giả sử dimV < ∞ thuận tiện 7.1 Khơng gian đối ngẫu Chúng tơi nhắc lại khơng gian đối ngẫu khơng gian vectơ xác định sau Định nghĩa 7.1 Khơng gian đối ngẫu V* khơng gian ánh xạ tuyến tính ξ :V → R Một ánh xạ tuyến tính ξ ∈ V * Thường gọi dạng tuyến tính Được trang bị với phép tốn đại số tự nhiên phép tốn cộng phép nhân vơ hướng ánh xạ V* trở thành khơng gian vectơ riêng Định lí V*, V hữu hạn chiều, định lí sau Định lí 7.1.1 Giả sử dimV = n ∈ N , cho e1, , en sở (i) Đối với i = 1, , n Phần tử ξi ∈ V * ξi (a1e1 + L + anen ) = , xác định a1 ,L, an ∈ ¡ (ii) Các phần tử ξ1 ,L , ξ n hình thành sở V* (được gọi sở đối ngẫu) Chứng minh (i) Chứng minh dễ dàng Đối với (ii) , ý hai dạng tính tốn khơng gian vectơ nhau,nếu chúng chấp nhận phần tử sở Cũng ý suy từ định nghĩa ξi ξi (e j ) = δ ij Cho ξ ∈ V * n Khi ξ = ∑ ξ (ei )ξi hai bên thích hợp e j Điều cho thấy i =1 vectơ ξ1 ,L , ξ n hệ sinh V * vectơ độc lập tuyến tính, ∑ biξi = i Hệ 7.1 b j = ∑ biξi (e j ) = với j i dim V= n dim V* =n Nếu dạng tuyến tính thỏa mãn ξ (v) = với v ∈ V th ξ = Kết tương tự với phần tử v ∈ V cần chứng minh: Bổ đề 7.1.1 Cho v ∈ V Nếu v ≠ ξ (v) ≠ số ξ ∈ V * Chứng minh Để tương tự chúng tơi giả sử dimV < ∞ (mặc dù kết trường hợp tổng qt) Giả sử v ≠ Khi tồn sở e1, , en V với e1=v Phần tử ξ1 sở đối ngẫu thỏa mãn ξ1 (v) = Khơng gian đối ngẫu cần thiết cho ví dụ nghiên cứu khơng gian V Điều thấy từ định lý sau đây, thấy phần tử V * dung để phát xem vectơ cho trước thuộc khơng gian cho Bổ đề 7.1.2 Cho U ⊂ V khơng gian tuyến tính, cho v ∈ V Nếu v ∉ U ξ (v) ≠ số ξ ∈ V * Với ξ U = Chứng minh: Chứng minh tương tự phần trước tương ứng với trường hợp đặc biệt U = { 0} Như trước chúng tơi giả sử dimV < ∞ Cho e1, , em sở U, cho em+1= v, mở rộng sở e1, , en V Phần tử ξ m+1 Của sở đối ngẫu thỏa mãn ξ m+1 U = ξ m+1 (v) = Thuật ngữ đối ngẫu gợi ý vài loại đối xứng V V * Định lý sau chứng tỏ đối xứng trường hợp hữu hạn chiều Chúng tơi định nghĩa V**=(V*)* đối ngẫu khơng gian đối ngẫu Định lí 7.1.2 (Định lý tính đối ngẫu) Ánh xạ Φ :V → V ** xác định Φ (v)(ξ ) = ξ (v) với v ∈ V , ξ ∈ V * ánh xạ tuyến tính đơn ánh.Nếu dimV < ∞ ánh xạ phép đẳng cấu Chú ý Φ xác định mà khơng cần tham chiếu đến sở đặc biệt V Chứng minh: Dễ dàng nhận thấy Φ ánh xạ vào V**, ánh xạ Φ tuyến tính Nếu Φ ( v ) = ξ ( v ) = với ξ , v=0 bổ đề 7.1.1 Do Φ đơn ánh Nếu dimV < ∞ Khi dimV**=dimV*=dimV, Φ tồn ánh 7.2 Đối ngẫu ánh xạ tuyến tính Cho V, W khơng gian vector , cho T : V → W ánh xạ tuyến tính Theo định nghĩa, ánh xạ đối ngẫu T * : W* → V * biến đổi dạng tuyến tính η ∈ W* ánh xạ hợp T , có nghĩa T * ( η ) = η o T Dễ thấy T * tuyến tính Bổ đề 7.2.1 Giả sử V W chiều hữu hạn, cho ánh xạ T : V → W tuyến tính Nếu T biểu diễn ma trận (aij ) số sở cho trước, T* biểu diễn ma trận chuyển đổi (aji ) vài sở đối ngẫu cho trước Chứng minh Cho e1, · · · , en f1, · · · , fm xác định sở đưa V W Thực tế T biểu diễn aij biểu thị đẳng aij fi thức Te j = ∑ i Cho ξ1, · · · , ξn η1, · · · , ηm xác định sở đối ngẫu V* W* Khi aij = ηi (Te j ) Chúng tơi nhận từ (7.1) với ξ = T *ηk □ Bổ đề 7.2.2 (i) Ánh xạ T tồn ánh T* đơn ánh (ii) Ánh xạ T* tồn ánh T đơn ánh Chứng minh Giả sử tương tự V W chiều hữu hạn Biết từ đại số tuyến tính ánh xạ biểu diễn ma trận tồn ánh hạng ma trận số hàng, đơn ánh số hạng với số cột Bổ đề suy từ trên, hạng (aij ) với hạng ma trận chuyển đổi □ 7.3 Tensors Bây Chúng tơi đến xác định tensors Cho k ∈ N Lấy tập khơng gian vector V1, · · · , Vk xác định khơng gian vector V1 ⊗ ⊗ Vk , gọi tích tensor khơng gian vector Các phần tử khơng gian vector gọi tensors Tuy nhiên, chúng tơi khơng cần làm việc khái qt này, chúng tơi liên hệ với trường hợp mà khơng gian vector V1, · · · , Vk tất khơng gian Thực tế, khơng gian tensor TkV chúng tơi xác định điều tương ứng với V * ⊗ ⊗ V * ký hiệu khái qt Định nghĩa 7.3.1 Cho Vk = V × · · · × V tích Cartesian k lần V Một ánh xạ ϕ từ V k đến khơng gian vector U gọi đa tuyến tính ϕ tuyến tính biến riêng biệt (tức với biến số khác cố định) Định nghĩa 7.3.2 Một (hiệp biến) k – tensor V ánh xạ đa tuyến tính T : V k → ¡ Tập k − tensor V ký hiệu Tk(V) Đặc biệt, − tensor dạng tuyến tính T ( V ) = V * Để thuận tiện thêm quy ước T ( V ) = ¡ Tập Tk(V ) gọi khơng gian tensor, Tk(V ) gọi khơng gian vector tổng tích vơ hướng ánh xạ đa tuyến tính lại đa tuyến tính Bổ đề 7.3 Cho η1, · · · , ηk ∈ V * Ánh xạ (v1, · · · , vk) η1(v1) · · · ηk(vk) (7.2) k − tensor Chứng minh Điều rõ ràng □ Ánh xạ (7.2) ký hiệu η1 ⊗ ⊗ η K Tổng qt hơn, S ∈ T k ( V ) T ∈ T l ( V ) tensor, chúng tơi định nghĩa tích tensor S ⊗ T ∈ T k +l ( V ) S ⊗ T ( v1 , , vk , vk +1, , vk +l ) = S ( v1, , vk ) T ( vk +1, , vk +l ) Dễ thấy S ⊗ T k + l-tensor, phép tốn đại số ⊗ tensor kết hợp thỏa mãn định lý phân phối thích hợp tích Tính kết hợp biểu thị thơng qua ( R ⊗ S ) ⊗ T = R ⊗ ( S ⊗ T ) nội dung quy luật phân phối S ⊗ T phụ thuộc tuyến tính S T Bởi tính kết hợp khơng dấu ngoặc cần tích tensor ba nhiều tensor Điều giải thích ký hiệu η1 ⊗ ⊗ η K Chú ý với k = tensor S ∈ T k ( V ) số Trong trường hợp (và tương tự l = 0) tích tensor S ⊗ T xác định phép nhân T với số Định lý 7.3 Giả sử dim V = n với e1, · · · , en sở Cho ξ1, · · · , ξn ∈ V * ký hiệu sở đối ngẫu Các phần tử ξi1 ⊗ ⊗ ξik , I = (i1, · · · , ik) dãy tùy ý k số {1, · · · , n}, hình thành sở Tk(V ) Chứng minh Cho TI = ξi1 ⊗ ⊗ ξik Chú ý J = (j1, · · · , jk) k dãy khác k ngun chúng tơi xác định theo eJ phần tử ( e j1 , , e jk ) ∈ V , TI ( eJ ) = δ IJ có nghĩa là, TI ( eJ ) = J = I TI ( eJ ) = trường hợp lại Suy TI độc lập tuyến tính, tổ hợp tuyến tính T = ∑ T ( eI )TI khơng, a = T (e ) = Suy từ tính đa tuyến tính J J I k-tensor xác định giá trị phần tử Vk T ( eI )TI dạng eJ Cho k-tensor T chúng tơi có k-tensor T = ∑ I T ( eI )TI phù hợp với T eJ, T = ∑ I chúng tơi kết luận TI hệ sinh củaT k (V ) □ Hệ 7.3 Nếu dimV= n dim Tk(V)=nk Điều suy từ Định lý 7.3 phần tử Tk(V) tổng tích tensor dạngη1 ⊗ ⊗ ηk , mà η1, ,ηk ∈ V * Vì ngun nhân thơng thường để kí hiệu T k (V ) = V * ⊗ ⊗ V * Nhận xét (đặc biệt nhà vật lý) Các hệ số vector v ∈ V có liên quan với sở v1, , thường đánh số thứ tự số thay số dưới, mà v = ∑ vi Hơn nữa, phần tử khơng gian đối ngẫu đánh số số trên, ξ 1, , ξ n , hệ số vector ξ ∈ V * liên quan với sở đánh số số ξ = ∑ biξ i Do ξ (v) = ∑ aibi Những quy tắc thích nghi với cách gọi quy ước Einstein tổng hầu hết số xuất Các hệ số tensor hiệp biến đánh số chí số dưới, thể phương pháp sở Định lý 7.3 trở thành T = ∑ ai1 , ,ik ξ i1 ⊗ ⊗ ξ ik Có cấu trúc tương tư gọi tensor phản biến có số trên, ngồi tensor hỗn tạp chứa hai loại số, chúng tơi khơng cần chúng Trong tài liệu vật lý, tensor T thường định nghĩa với dãy hệ số j1 , , jl a i , ,i k liên quan đến sở đặc biệt Dãy đòi hỏi tn theo quy tắc phép biến đổi chuyển đổi sở khác 7.4 Các tensor ln phiên Cho V khơng gian vector thực Trong mục trước khơng gian tensor Tk(V) xác định, với tích tensor (S , T ) → S ⊗ T , T k (V ) × T l (V ) → T k +l (V ) Có xây dựng quan trọng khơng gian vector mà giống lũy thừa tensor V, mà có cấu trúc mịn Những cấu trúc gọi lũy thừa ngồi V đóng vai trò quan trọng hình học vi phân lý thuyết dạng vi phân xây dựng chúng Chúng quan trọng topo đại số nhiều lĩnh vực khác Một ánh xạ đa tuyến tính ϕ : V k = V × × V → U k >1, cho ln phiên với v1, , vk ∈ V giá trị ϕ ( v1 , , vk ) đổi dấu lần hai vector vector v1, , vk đổi chổ, có nghĩa ϕ ( v1 , , vi , , v j , , vk ) = −ϕ ( v1, , v j , , vi , , vk ) (7.3) Vì hốn vị số 1,…,k phân tích thành chuyển vị, suy ( ) ϕ vσ ( 1) , , vσ ( k ) = sgn σϕ ( v1, , vk ) (7.4) Với hốn vị σ ∈ Sk số 1, ,k Ví dụ 7.4.1 Cho V = R Tích vector ( v1, v2 ) → v1 × v2 ∈V ln phiên từ V × V đến V Cho V = R n Định thức cấp n × n đa tuyến tính ln phiên cột nó, định thức xem ánh xạ ln phiên (R ) n n →R Bổ đề 7.4.1 Cho ϕ : V k → U đa tuyến tính Các điều kiện sau tương đương (a) Ánh xạ ϕ ln phiên (b) ϕ ( v1 , , vk ) = mà hai số vector v1, , vk trùng (c) ϕ ( v1 , , vk ) = vector v1, , vk phụ thuộc tuyến tính Chứng minh (a) ⇒ (b) Nếu vi = v j hốn vị vi v j khơng thay đổi giá trị ϕ ( v1 , , vk ) , (7.3) kéo theo ϕ ( v1 , , vk ) = (b) ⇒ (a) Hãy xem xét ví dụ hốn vị v1 v2 Bởi tính chất tuyến tính = ϕ ( v1 + v2 , v1 + v2 , ) = ϕ ( v1 , v1 , ) + ϕ ( v1 , v2 , ) + ϕ ( v2 , v1 , ) + ϕ ( v2 , v2 , ) = ϕ ( v1 , v2 , ) + ϕ ( v2 , v1 , ) Suy ϕ ( v2 , v1 , ) = −ϕ ( v1, v2 , ) (b) ⇒ (c) Nếu vector v1, , vk phụ thuộc tuyến tính vector viết tổ hợp tuyến tính vector lại Từ suy ϕ ( v1 , , vk ) tổ hợp tuyến tính số hạng theo vài vi xuất hai lần (c) ⇒ (b) Rõ ràng Đặc biệt, Nếu k > dimV, tập hợp k vector phụ thuộc tuyến tính ϕ = có ánh xạ ln phiên V k → U Định nghĩa 7.4 Một k- dạng ln phiên k-tensor ln phiên k V k → R Khơng gian k-dạng ln phiên kí hiệu A (V ) khơng gian tuyến tính T k (V ) Chúng tơi định nghĩa A1 (V ) = V * A0 (V ) = R Ví dụ 7.4.2 Cho η , ς ∈ V * 2-tensor η ⊗ ς − ς ⊗ η ln phiên Bổ đề sau thể phương pháp tiêu chuẩn để xây dựng dạng ln phiên Bổ đề 7.4.2 Cho k >1 Đối với T ∈ T k (V ) phần tử Alt (T ) ∈ T k (V ) xác định Alt (T ) ( v1 , , vk ) = ∑ sgn σT vσ (1), ,σ (k ) k! ( ) (7.5) Là ln phiên Hơn nữa, T ln phiên Alt (T ) = T Chứng minh Choτ ∈ Sk chuyển vị tương ứng với phép hốn vị hai vector v1, , vk Chúng ta có ( ) ( ) Alt ( T ) vτ ( 1) , , vτ ( k ) = ∑ sgn σ T vτ °σ ( 1) , , vτ °σ ( k ) k ! σ ∈Sk Bởi σ a τ °σ song ánh Sk σ cho τ °σ Dùng sgn ( τ °σ ) = − sgn ( σ ) , nhận đẳng thức mong muốn với Alt ( T ) ( v1 , , vk ) Nếu T ln phiên, số hạng (7.5) với T ( v1 , , vk ) Bởi S k = k ! chúng tơi kết luận Alt ( T ) = T Định nghĩa Bổ đề 7.4.2 k>1 phần phụ quy ước sau Alt ( T ) = T , T ∈ A0 ( V ) = ¡ T ∈ A1 ( V ) = V * Chú ý η1, ,ηk ∈ V * v1, , vk ∈ V nhận ( Alt ηi1 ⊗ ⊗ ηik ) ( v1, , vk ) = k1! ∑ sgn σηi ( vσ ( 1) ) ηi ( vσ ( k ) ) σ ∈S k k Và ( Alt ηi1 ⊗ ⊗ ηik ) ( v1, , vk ) = k1! det ( ηi ( v j ) ) ij Cho e1, , en sở V ξ1 , , ξ n sở đối ngẫu V * Chúng tơi thấy định lý 7.3 phần tử ξi1 ⊗ ⊗ ξik dạng sở T k ( V ) Chúng tơi thể sở đồng dạng Ak ( V ) Chúng tơi thấy Ak ( V ) = k>n Định lý 7.4 Giả sử k ≤ n Đối với tập I ⊂ {1, , n} với k phần tử, cho ≤ i1 < < ik ≤ n phần tử nó, cho ( ) ξ I = Alt ξi1 ⊗ ⊗ ξik ∈ Ak ( V ) (7.7) Các phần tử ξ I hình thành sở Ak ( V ) Đặc biệt, dim Ak ( V ) = n! k !( n − k ) ! Chứng minh Suy từ phát biểu cuối Bổ đề 7.4.2 Alt : T k ( V ) → Ak ( V ) song ánh Áp dụng Alt cho phần tử ξi1 ⊗ ⊗ ξik T k ( V ) , chúng tơi có tập sinh ( ) Ak ( V ) = Suy từ (7.6) Alt ξi1 ⊗ ⊗ ξik = có lặp lại i1 , , ik Hơn nữa, chúng tơi xếp lại thứ tự số i1 , , ik , phần tử ( Alt ξi1 ⊗ ⊗ ξik ) khơng bị thay đổi, ngoại trừ thay đổi có dấu Do Ak ( V ) sinh phần tử ξ I (7.7) aI ξ I với hệ số a ∈ ¡ Cho Xét tổ hợp tuyến tính T = ∑ I I J = ( j1 , , jk ) ≤ j1 < < jk ≤ n , suy từ (7.6) ( ξ I e j1 , , e jk Suy T ( e j1 , , e jk ) = ) 1 = k! 0 I = J trường hợp khác aJ J = ( j1, , jk ) Do đó, T=0 chúng tơi kết k! luận a J = với tất hệ số Như phần tử ξ I độc lập Chú ý trường hợp đặc biệt k=n định lý trước Suy An ( V ) – chiều nối ánh xạ ( v1, , ) a ( ( )) det ξi v j ij sở (đối ngẫu) tuỳ ý V * (như việc chứng minh tính định thức ánh xạ n – đa tuyến tính ln phiên) 7.5 Tích ngồi Tương tự với tích tensor ( S , T ) a S ⊗ T , từ T k ( V ) × T l ( V ) đến T k +l ( V ) , có hình thành tích Ak ( V ) × Al ( V ) → Ak +l ( V ) Từ tích tensor tensor ln phiên khơng ln phiên, tích khơng đủ điều kiện để có S ⊗ T Định nghĩa 7.5 Cho S ∈ Ak ( V ) T ∈ Al ( V ) Tích ngồi S ∧ T ∈ Ak +l ( V ) xác định S ∧ T = Alt ( S ⊗ T ) Chú ý trường hợp k=0, Ak ( V ) = R , tích ngồi phép nhân vơ hướng Ví dụ 7.5.1 Cho η1,η2 ∈ A1 ( V ) = V * Khi theo định nghĩa η1 ∧ η2 = ( η1 ⊗ η2 − η2 ⊗ η1 ) Do tốn tử Alt tuyến tính, tích ngồi phụ thuộc tuyến tính thừa số S T Trở ngại chứng minh quy tắc kết hợp ∧ Để làm điều cần bổ đề sau Bổ đề 7.5.1 Cho S ∈ T k ( V ) T ∈ T l ( V ) Khi Alt ( Alt ( S ) ⊗ T ) = Alt ( S ⊗ Alt ( T ) ) = Alt ( S ⊗ T ) Chứng minh Chúng tơi chứng minh Alt ( Alt ( S ) ⊗ T ) = Alt ( S ⊗ T ) Chứng minh biểu thức lại tương tự Cho G = Sk +l cho H ⊂ G ký hiệu nhóm hốn vị để lại phần tử cuối k + 1, , k + l cố định Do H phép đẳng cấu tự nhiên đến Sk Bây Alt ( Alt ( S ) ⊗ T ) ( v1 , , vk +l ) ( ( )) T(v ( ) = ∑ sgn σ Alt ( S ) vσ ( 1) , , vσ ( k ) ( k + l ) !σ ∈Sk +l = 1 sgn σ ∑ sgn τ S vσ ( τ ( 1) ) , , vσ ( τ ( k ) ) T vσ ( k +1) , , vσ ( k +l ) ∑ k !τ ∈S ( k + l ) !σ ∈Sk +l k = ∑ ∑ sgn ( σ °τ ) S vσ ( τ ( 1) ) , , vσ ( τ ( k ) ) T vσ ( τ ( k +1) ) , , vσ ( τ ( k +l ) ) ( k + l ) !k !σ ∈G τ ∈H σ k +1) , , vσ ( k +l ) ) ( ( ) ( ( ) ÷÷ ) Do σ → σ oτ ánh xạ song ánh G chúng tơi thay σ cho σ oτ chúng tơi nhận biểu thức mong muốn, từ tồn k! phần tử H Bổ đề 7.5.2 Cho R ∈ Ak (V ), S ∈ Al (V ) T ∈ Am (V ) Khi ( R ∧ S ) ∧ T = R ∧ ( S ∧ T ) = Alt ( R ⊗ S ⊗ T ) Chứng minh suy từ bổ đề trước ( R ∧ S ) ∧ T = Alt ( Alt ( R ⊗ S ⊗ T ) = Alt ( R ⊗ S ⊗ T ) R ∧ ( S ∧ T ) = Alt ( R ⊗ Alt ( S ⊗ T ) = Alt ( R ⊗ S ⊗ T ) Bởi tích ngồi kết hợp, chúng tơi viết tích T1 ∧ ∧ Tr tensor Ti ∈ Aki (V ) mà khơng cần xác định dấu ngoặc đặc biệt Thực tế, suy từ phép quy nạp liệt kê từ Bổ đề 7.5.2 T1 ∧ ∧ Tr = Alt (T1 ⊗ ⊗ Tr ) có dấu ngoặc đơn chèn vào tích ngồi Đặc biệt, suy từ (7.6) η1 ∧ ∧ ηk (ν , ,ν k ) = det[ηi (ν j ))ij ] k! (7.8) với ν 1, ,ν k ∈η1, ,η k ∈ V * , vector V * xem dạng-1 Các phần tử sở ξ I định lý 7.4 viết kiểu ξ I = ξi1 ∧ ∧ ξik I = (i1, , ik ) dãy tăng từ 1,…,n Đây ký hiệu chúng tơi cho ξ I từ Tích ngồi khơng giao hốn Thay vào đó, tích ngồi thỏa mãn hệ thức sau phép hốn vị thừa số Bổ đề 7.5.3 Cho η , ζ ∈ V * , ζ ∧ η = −η ∧ ζ (7.9) Tổng qt hơn, S ∈ Ak (V ) T ∈ Al (V ) T ∧ S = (−1)kl S ∧ T (7.10) Chứng minh Định nghĩa (7.9) suy từ thực tế η ∧ ζ = (η ⊗ ζ − ζ ⊗ η ) Từ Ak (V ) sinh phần tử S = η1 ∧ ∧ η k , Al (V ) sinh phần tử T = ζ ∧ ∧ ζ 1, ηi , ζ j ∈ V *, đủ để chứng minh (7.10) dạng Để viết lại T ∧ S S ∧ T chúng tơi phải cho phần tử k phần tử ηi qua l phần tử ζ j Do đó, tổng số lần đổi dấu kl lần 7.6 Đại số ngồi Cho A(V ) = A0 (V ) ⊕ A1 (V ) ⊕ ⊕ An (V ) tổng trực tiếp khơng gian dạng ln phiên V Chú ý phần tử mở rộng A(V)là tổng hình thức dạng – k với giá trị khác k thành phần, thành phần cá thể đa tuyến tính, ánh xạ ln phiên Chúng tơi mở rộng tích ngồi ∧ để A(V) tuyến tính, hình thức chúng tơi nhận đại số, gọi đại số ngồi V Phần tử ∈ A0 (V ) phần tử đơn vị đại số Đại số mở rộng có sở tuyến tính bao gồm phần tử ξ I , I tập tùy ý {1,…, n} Chiều đại số dim A(V ) = 2n