ĐA TẠP KHẢ VI CHƯƠNG TENSORS

Chương Tensor trong quyển sách khả vi đa tạp được dịch từ quyển sách Differentiable manifolds của nhà toán học Henrik Schlichtkrull dùng cho học viên cao học Toán trong môn Hình học vi phân nâng cao.Trong chương này một vài cấu trúc cơ bản của một không gian vectơ thực V được giới thiệu: Không gian đối ngẫu V , không gian tensor Tk(V) và không gian tensor luân phiên Ak(V). Sự trình bày được dựa vào cơ sở thuần túy đại số tuyến tính, và nó độc lập với tất cả những chương trước đây. Cầu nối đến hình học sẽ được xây dựng theo chương sau đó, ở đó chúng tôi sẽ áp dụng lý thuyết của chương hiện tại để nghiên cứu về các đa tạp. không gian tuyến tính V sau đó sẽ là không gian tiếp xúc TpM tại một điểm được cho.

Chương 7 TENSORS

Trong chương này một vài cấu trúc cơ bản của một không gian vectơ thực V được giới thiệu: Không gian đối ngẫu V* , không gian tensor Tk(V) và không gian tensor luân phiên Ak(V) Sự trình bày được dựa vào cơ sở thuần túy đại số tuyến tính, và nó độc lập với tất cả những chương trước đây Cầu nối đến hình học sẽ được xây dựng theo chương sau đó, ở đó chúng tôi sẽ áp dụng lý thuyết của chương hiện tại để nghiên cứu về các đa tạp không gian tuyến tính V sau đó

sẽ là không gian tiếp xúc TpM tại một điểm được cho

Cho V là một vectơ trên R Đối với mục đích của chúng tôi chỉ có không gian hữu hạn chiều là cần thiết, vì thế chúng tôi sẽ giả sử dimV < ∞bất cứ khi nào thuận tiện

7.1 Không gian đối ngẫu

Chúng tôi nhắc lại về không gian đối ngẫu của một không gian vectơ được xác định như sau

Định nghĩa 7.1 Không gian đối ngẫu V* là không gian của các ánh xạ

tuyến tính ξ:V → R Một ánh xạ tuyến tính ξ∈V* Thường được gọi là một dạng tuyến tính Được trang bị với các phép toán đại số tự nhiên của phép toán cộng và phép nhân vô hướng của các ánh xạ V* trở thành một không gian vectơ của riêng nó

Định lí cơ bản về V*, đối với V hữu hạn chiều, là định lí sau

Định lí 7.1.1 Giả sử dimV = ∈n N, và cho e1, , en là một cơ sở

(i) Đối với mỗi i = 1, , n Phần tử ξi∈V* được xác định bởi

i a e a e n n a i a a n

(ii) Các phần tử ξ1 , , L ξn hình thành một cơ sở V* (được gọi là cơ sở đối ngẫu)

Chứng minh (i) Chứng minh dễ dàng.

Đối với (ii) , đầu tiên chú ý rằng hai dạng tính toán trên một không gian vectơ là như nhau,nếu chúng chấp nhận trên mỗi phần tử của một cơ sở Cũng chú ý rằng suy ra từ định nghĩa củaξi rằng ξi( )e j =δij Cho ξ∈V*

Khi đó

1

( )

n

i i i

e

=

=∑ bởi vì hai bên thích hợp trên mỗi ej Điều này cho thấy rằng các vectơ ξ1 , , L ξn là một hệ sinh của V* các vectơ này cũng độc lập tuyến tính,

vì nếu i i 0

i

bξ =

∑ khi đó j i i( ) 0j

i

b =∑bξ e = với mọi j

Hệ quả 7.1 dim V= n thì dim V* =n.

Nếu một dạng tuyến tính thỏa mãn ξ( ) 0v = với mọi v V∈ thì khi đó th ξ = 0 Kết quả tương tự với các phần tử v V∈ cần chứng minh:

Bổ đề 7.1.1 Cho v V∈ Nếu v≠ 0 thì ξ( ) 0v ≠ đối với một số ξ∈V*

Chứng minh Để tương tự chúng tôi giả sử rằng dimV < ∞ (mặc dù kết quả vẫn đúng trong trường hợp tổng quát) Giả sử v≠ 0 Khi đó tồn tại một cơ sở e1, ,

en của V với e1=v Phần tử ξ1 của cơ sở đối ngẫu thỏa mãn ξ1( ) 1v = .

Không gian đối ngẫu cần thiết cho ví dụ trong nghiên cứu các không gian con của V Điều này có thể thấy từ định lý sau đây, thấy là các phần tử V* có thể dung để phát hiện xem một vectơ cho trước thuộc về một không gian được cho

Bổ đề 7.1.2 Cho U ⊂V là một không gian con tuyến tính, và cho v V∈ Nếu v U∉ khi đó ξ( ) 0v ≠ đối với một số ξ∈V* Với ξ U= 0.

Chứng minh: Chứng minh tương tự phần trước tương ứng với trường hợp

đặc biệt U ={ }0 Như trước đây chúng tôi giả sử dimV < ∞ Cho e1, , em là cơ

sở của U, cho em+1= v, và mở rộng cơ sở e1, , en đối với V Phần tửξm+1Của

cơ sở đối ngẫu thỏa mãn ξm+1 U= 0 và ξm+1( ) 1.v =

Thuật ngữ đối ngẫu gợi ý một vài loại đối xứng giữa V và V* Định lý sau đây chứng tỏ rằng một đối xứng của trường hợp hữu hạn chiều Chúng tôi định nghĩa

V**=(V*)* như một đối ngẫu của không gian đối ngẫu

Định lí 7.1.2 (Định lý về tính đối ngẫu) Ánh xạ Φ:V →V** được xác định bởi Φ ( )( )v ξ =ξ(v) với v V∈ ,ξ∈V* là một ánh xạ tuyến tính và đơn ánh.Nếu dimV < ∞ thì ánh xạ này là một phép đẳng cấu

Chú ý rằng Φđược xác định mà không cần tham chiếu đến cơ sở đặc biệt của V

Chứng minh: Dễ dàng nhận thấy Φ ánh xạ vào V**, và ánh xạ Φ tuyến tính Nếu Φ( )v = 0 khi đó ξ( )v = 0 với mọi ξ, do đó v=0 bởi bổ đề 7.1.1 Do vậy Φ là đơn ánh Nếu dimV < ∞ Khi đó dimV**=dimV*=dimV, và do đó Φ cũng là toàn ánh

7.2 Đối ngẫu của ánh xạ tuyến tính

Cho V, W là các không gian vector trên , và cho T : V → W là ánh xạ tuyến tính Theo định nghĩa, ánh xạ đối ngẫu T* : W * →V* biến đổi một dạng tuyến tính η∈ W * ánh xạ hợp T , có nghĩa là T*( )η =ηoT Dễ thấy rằng T* tuyến tính

Bổ đề 7.2.1 Giả sử V và W chiều hữu hạn, và cho ánh xạ T : V → W tuyến

tính Nếu T được biểu diễn bởi ma trận (aij ) đối với một số cơ sở cho trước, khi

đó T* được biểu diễn bởi ma trận chuyển đổi (aji ) đối với một vài cơ sở đối ngẫu cho trước

Chứng minh Cho e1, · · · , en và f1, · · · , fm xác định các cơ sở được đưa ra đối với V và W Thực tế rằng T được biểu diễn bởi aij được biểu thị trong đẳng thức j ij i

i

Te =∑a f

Cho ξ1, · · · , ξn và η1, · · · , ηm xác định cơ sở đối ngẫu đối với V* và W* Khi đó

ij i( j)

a =η Te

Chúng tôi ngay lập tức nhận được từ (7.1) với ξ =T*ηklà

□

Bổ đề 7.2.2 (i) Ánh xạ T là toàn ánh nếu và chỉ nếu T* đơn ánh

(ii) Ánh xạ T* toàn ánh nếu và chỉ nếu T đơn ánh

Chứng minh Giả sử tương tự rằng V và W chiều hữu hạn Biết rằng từ đại

số tuyến tính là một ánh xạ biểu diễn bởi một ma trận là toàn ánh nếu và chỉ nếu hạng của ma trận bằng số hàng, và đơn ánh nếu và chỉ nếu số hạng bằng với số

cột Bổ đề suy ra từ trên, do đó hạng của (a ij ) bằng với hạng của ma trận

chuyển đổi của nó □

7.3 Tensors

Bây giờ Chúng tôi đi đến xác định tensors Cho k N∈ Lấy một tập các không gian vector V1, · · · , Vk duy nhất có thể được xác định một không gian vectorV1 ⊗ ⊗ V k, được gọi là tích tensor của các không gian vector này Các

phần tử của không gian vector này được gọi là các tensors Tuy nhiên, chúng tôi không cần làm việc trong sự khái quát này, và chúng tôi sẽ liên hệ với trường hợp mà ở đó các không gian vector V1, · · · , Vk tất cả bằng cùng một không gian Thực tế, không gian tensor TkV chúng tôi xác định điều dưới đây tương ứng với V* ⊗ ⊗ V*trong ký hiệu khái quát hơn

Định nghĩa 7.3.1 Cho Vk = V × · · · × V là tích Cartesian của k lần của V

Một ánh xạ ϕ từ V k đến một không gian vector U được gọi là đa tuyến tính nếu ϕ là tuyến tính trong mỗi biến riêng biệt (tức là với các biến số khác cố định)

Định nghĩa 7.3.2 Một (hiệp biến) k – tensor trên V là một ánh xạ đa tuyến

tính T : V k →¡ Tập của các k − tensor trên V được ký hiệu bởi Tk(V)

Đặc biệt, một 1 − tensor là một dạng tuyến tính T V1( ) =V* Để thuận tiện thêm quy ước rằng T V0( ) = ¡ Tập Tk(V ) được gọi là không gian tensor, Tk(V ) được gọi là một không gian vector bởi vì các tổng và các tích vô hướng của các ánh

xạ đa tuyến tính lại là đa tuyến tính

Bổ đề 7.3 Cho η1, · · · , ηk ∈V* Ánh xạ

(v1, · · · , vk)  η1(v1) · · · ηk(vk) (7.2)

là một k − tensor.

Chứng minh Điều này là rõ ràng □

Ánh xạ (7.2) được ký hiệu η1 ⊗ ⊗ ηKTổng quát hơn, nếu S T V∈ k( ) và

( )

l

T T V∈ là các tensor, chúng tôi định nghĩa tích tensor S⊗ ∈T T k l+ ( )V bởi

( 1 , , ,k k 1 , , k l) ( 1 , , k) ( k 1 , , k l)

Dễ thấy rằng S⊗T là một k + l-tensor, và rằng phép toán đại số ⊗ giữa các tensor là kết hợp và thỏa mãn các định lý phân phối thích hợp của một tích Tính kết hợp được biểu thị thông qua (R⊗ ⊗ = ⊗S) T R (S⊗T) và nội dung của quy

luật phân phối ở đây là S⊗T phụ thuộc tuyến tính trên S và T Bởi tính kết hợp không dấu ngoặc là cần trong tích tensor của ba hoặc nhiều hơn các tensor Điều này giải thích các ký hiệu η1 ⊗ ⊗ ηK.

Chú ý rằng với k = 0 tensor S T V∈ k( ) là một số Trong trường hợp này (và tương tự khi l = 0) tích tensor S⊗T được xác định bởi phép nhân của T với một

số đó

Định lý 7.3 Giả sử rằng dim V = n với e1, · · · , en là một cơ sở Cho

ξ1, · · · , ξn ∈V* ký hiệu cơ sở đối ngẫu Các phần tử ξi1 ⊗ ⊗ ξi k , ở đó

I = (i1, · · · , ik) là dãy tùy ý của k số trong {1, · · · , n}, hình thành một cơ sở đối với Tk(V )

Chứng minh Cho T I =ξi1⊗ ⊗ ξi k Chú ý rằng nếu J = (j1, · · · , jk) là một

dãy khác của k nguyên và chúng tôi xác định theo eJ phần tử ( 1 , , )

k

k

e e ∈V , khi đó T e I( )J =δIJ có nghĩa là, T e I( )J = 1 nếu J = I và T e I ( )J = 0 trong trường hợp còn lại Suy ra rằng TI độc lập tuyến tính, vì nếu một tổ hợp tuyến tính

( )I I

I

T =∑T e T là không, khi đó aJ = T (eJ ) = 0 Suy ra từ tính đa tuyến tính rằng

một k-tensor là xác định duy nhất bởi giá trị của nó trên mọi phần tử trong Vk

của dạng eJ Cho k-tensor T bất kỳ chúng tôi có k-tensor ( )I I

I

T =∑T e T

phù hợp với T trên mọi eJ, do đó ( )I I

I

T =∑T e T

và chúng tôi kết luận rằng T I hệ sinh củaTk(V ). □

Hệ quả 7.3 Nếu dimV= n thì dim T k (V)=n k

Điều này suy ra từ Định lý 7.3 rằng mọi phần tử của T k (V) là một tổng các tích

tensor của dạngη1 ⊗ ⊗ ηk, mà ở đó *

1 , , k V

η η ∈ Vì nguyên nhân này nó thông thường để kí hiệu T V k( ) =V* ⊗ ⊗ V*

Nhận xét (đặc biệt đối với các nhà vật lý) Các hệ số của một vector v V∈ có liên quan với một cơ sở v1 , ,v n thường được đánh số thứ tự chỉ số trên thay vì chỉ số dưới, vì vậy mà v=∑a v i i Hơn nữa, các phần tử của không gian đối ngẫu được đánh số bằng chỉ số trên, ξ1 , ,ξn, và các hệ số của một vector ξ∈V* liên quan với cơ sở này do đó là được đánh số bằng chỉ số dưới vì thế ξ =∑b iξi Do

đó ξ( )v =∑a b i i

Những quy tắc này thích nghi với cách gọi là quy ước Einstein đó là tổng hầu hết chỉ số xuất hiện cả trên và dưới

Các hệ số của một tensor hiệp biến được đánh số bằng chí số dưới, vì thế sự thể hiện bằng phương pháp của cơ sở trong Định lý 7.3 trở thành

1

1 , , k k

i i

i i

Có một cấu trúc tương tư gọi là các tensor phản biến có những chỉ số trên, và ngoài ra các tensor hỗn tạp chứa cả hai loại chỉ số, nhưng chúng tôi không cần chúng ở đây Trong các tài liệu vật lý, một tensor T thường được định nghĩa với một dãy các hệ số 1

1

, , , ,k l

j j

i i

a liên quan đến một cơ sở đặc biệt Dãy do đó đòi hỏi tuân theo quy tắc phép biến đổi đối với sự chuyển đổi giữa các cơ sở khác nhau

7.4 Các tensor luân phiên

Cho V là một không gian vector thực Trong mục trước các không gian tensor

T k (V) được xác định, cùng với tích tensor

( , )S T → ⊗S T, T V k( )×T V l( )→T k l+ ( ).V

Có một sự xây dựng quan trọng của các không gian vector mà giống lũy thừa tensor của V, nhưng mà có một cấu trúc mịn hơn Những cấu trúc này được gọi

là các lũy thừa ngoài của V đóng vai trò quan trọng trong hình học vi phân bởi

vì lý thuyết của các dạng vi phân được xây dựng trên chúng Chúng cũng quan trọng trong topo đại số và nhiều lĩnh vực khác nữa

Một ánh xạ đa tuyến tính

ϕ:V k = × × →V V U

ở đó k >1, được cho là luân phiên nếu với mọi v1 , ,v k∈V giá trị ϕ(v1 , ,v k) đổi dấu mỗi lần khi hai vector trong các vector v1 , ,v k đổi chổ, có nghĩa là

(v1 , , , , , ,v i v j v k) (v1 , , , , , ,v j v i v k)

Vì mỗi sự hoán vị của các số 1,…,k có thể được phân tích thành sự chuyển vị, suy ra rằng

(vσ 1 , ,vσ k ) sgn (v1 , ,v k)

Với mọi hoán vị σ∈S k của các số 1, ,k.

Ví dụ 7.4.1.

1 Cho V =R3 Tích vector (v v1 , 2) → × ∈v v1 2 V là luân phiên từ V V× đến

V

2 Cho V =R n Định thức cấp n n× là đa tuyến tính và luân phiên trong các cột của nó, do đó định thức này được xem như một ánh xạ luân phiên

Bổ đề 7.4.1 Cho ϕ:V k →U là đa tuyến tính Các điều kiện sau là tương đương

(a) Ánh xạ ϕ là luân phiên.

(b) ϕ(v1 , ,v k) = 0 mỗi khi mà hai trong số các vector v1, ,v k trùng nhau (c) ϕ(v1 , ,v k) = 0 mỗi khi các vector v1 , ,v k phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh (a) ⇒ (b) Nếu v i =v jsự hoán vị của v i và v jkhông thay đổi giá trị của ϕ(v1 , ,v k), vì thế (7.3) kéo theo ϕ(v1 , ,v k) = 0

(b) ⇒(a) Hãy xem xét ví dụ hoán vị của v1 và v2 Bởi tính chất tuyến tính

, , , , , , , ,

, , , ,

ϕ

Suy ra rằng ϕ(v v2 , , 1 ) = −ϕ(v v1 , , 2 ).

(b) ⇒(c) Nếu các vector v1, ,v k phụ thuộc tuyến tính thì một trong các vector này có thể được viết như một tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại Từ đó suy

ra rằng ϕ(v1 , ,v k) là một tổ hợp tuyến tính của các số hạng theo mỗi một vài v i

xuất hiện hai lần

(c) ⇒(b) Rõ ràng

Đặc biệt, Nếu k > dimV, khi đó mỗi tập hợp của k vector đều phụ thuộc tuyến tính và do đó ϕ = 0chỉ là có 1 ánh xạ luân phiên V k →U

Định nghĩa 7.4 Một k- dạng luân phiên là một k-tensor luân phiên

.

k

V →R Không gian của các k-dạng luân phiên được kí hiệu là A V k( ) đây là một không gian con tuyến tính của T V k( )

Chúng tôi định nghĩa A V1 ( ) =V* và A V0 ( ) =R

Ví dụ 7.4.2 Cho η ς, ∈V* 2-tensor η ς ς η⊗ − ⊗ là luân phiên.

Bổ đề sau đây thể hiện một phương pháp tiêu chuẩn để xây dựng các dạng luân phiên

Bổ đề 7.4.2 Cho k >1 Đối với mỗi T T V∈ k( ) phần tử Alt T( ) ∈T V k( ) được xác định bởi

1 ( ) , , sgn

!

Là luân phiên Hơn nữa, nếu T đã là luân phiên thì Alt T( ) =T

Chứng minh Choτ∈S k là một chuyển vị tương ứng với một phép hoán vị

của hai vector trong v1 , ,v k Chúng ta có

1

! k

S

k

∈

= ∑

Bởi vì σ a τ σ° là một song ánh của S k chúng ta có thể thế σ cho τ σ° Dùng

sgn τ σ° = − sgn σ , chúng ta nhận được đẳng thức mong muốn với

( ) ( 1 , , k)

Nếu T đã là luân phiên, mọi số hạng của (7.5) bằng với T v( 1 , ,v k) Bởi vì

!

k

S =k chúng tôi kết luận rằng Alt T( ) =T.

Định nghĩa trong Bổ đề 7.4.2 đối với k>1 là phần phụ của quy ước sau đây

( )

Alt T =T, T∈A V0( ) = ¡ hoặc T∈A V1( ) =V*

Chú ý rằng đối với η1, ,ηk∈V* và v1 , ,v k ∈V chúng ta nhận được

( 1 ) ( 1 ) 1( )( )1 ( )( )

1

!

k

S

∈

Và do đó

( 1 ) ( 1 ) ( ( ) )ij

1 , , det

!

k

k

η ⊗ ⊗η =  η 

Cho e1 , ,e n là cơ sở đối với V và ξ1 , ,ξn là cơ sở đối ngẫu của V* Chúng tôi thấy trong định lý 7.3 rằng các phần tử ξi1 ⊗ ⊗ ξi k dạng một cơ sở đối với

( )

k

T V Chúng tơi bây giờ sẽ thể hiện một cơ sở đồng dạng đối với A V k( ) Chúng tơi đã thấy được rằng A V k( ) = 0 nếu k>n

Định lý 7.4 Giả sử k n≤ Đối với mỗi tập con I ⊂ {1, , }n với k phần tử,

cho 1 ≤ < < ≤i1 i k n là các phần tử của nĩ, và cho

( 1 k) k( )

dim

A V

k n k

=

−

Chứng minh Suy ra từ phát biểu cuối trong Bổ đề 7.4.2 rằng

Alt T V → A V là một song ánh Áp dụng Alt cho mọi phần tử cơ bản

k

ξ ⊗ ⊗ξ đối với T V k( ) , do đĩ chúng tơi cĩ được một tập sinh đối với

k

A V = Suy ra từ (7.6) rằngAlt(ξi1 ⊗ ⊗ ξi k) = 0 nếu cĩ sự lặp lại giữa các

1 , , k

i i Hơn nữa, nếu chúng tơi sắp xếp lại thứ tự của các số i1 , ,i k , phần tử

( 1 )

k

Alt ξ ⊗ ⊗ξ khơng bị thay đổi, ngoại trừ một sự thay đổi cĩ thể cĩ của dấu

Do đĩ A V k( ) được sinh bởi các phần tử ξI trong (7.7)

Xét một tổ hợp tuyến tính bất kỳ I I

I

T =∑a ξ với các hệ số a I ∈ ¡ Cho ( 1 , , k)

J = j j ở đĩ 1 ≤ < <j1 j k ≤n, do đĩ suy ra từ (7.6) rằng

( 1 )

1 , , !

0

k

 trường hợp khác

nếu

Suy ra ( 1 )

J

a , ,

!

k

k

= đối với J =( j1 , , j k) Do đĩ, nếu T=0 chúng tơi kết luận rằng a J = 0 với tất cả hệ số Như vậy các phần tử ξI độc lập.

Chú ý trường hợp đặc biệt k=n trong định lý trước Suy ra rằng A V n( ) là 1 – chiều và được nối bởi ánh xạ

(v1 , ,v n) det(ξi( )v j )ij

a

đối với cơ sở (đối ngẫu) tuỳ ý của V*(như vậy việc chứng minh tính duy nhất của định thức như là một ánh xạ n – đa tuyến tính luân phiên)

7.5 Tích ngoài

Tương tự với tích tensor (S T, ) a S⊗T, đi từ T V k( )×T V l( ) đến T k l+ ( )V , có sự hình thành của tích A V k( )×A V l( ) → A k l+ ( )V Từ đó các tích tensor của các tensor luân phiên là không luân phiên, tích này không đủ điều kiện để có S⊗T

Định nghĩa 7.5 Cho S∈A V k( ) và T∈A V l( ) Tích ngoài S T∧ ∈A k l+ ( )V

được xác định bởi

S T∧ = Alt S⊗T .

Chú ý rằng trong trường hợp k=0, ở đó A V k( ) =R, tích ngoài cũng là một phép nhân vô hướng

Ví dụ 7.5.1 Cho 1( ) *

η η ∈ = Khi đó theo định nghĩa

2

η η∧ = η η η⊗ − ⊗η

Do toán tử Alt tuyến tính, tích ngoài phụ thuộc tuyến tính trên các thừa số S và

T Trở ngại hơn nữa khi chứng minh quy tắc kết hợp đối với ∧ Để làm điều này chúng ta cần một bổ đề sau đây

Bổ đề 7.5.1 Cho S T V∈ k( ) và T T V∈ l( ) Khi đó

( )

Alt Alt S ⊗T = Alt S⊗Alt T = Alt S⊗T

Chứng minh Chúng tôi chỉ chứng minh

( )

Alt Alt S ⊗T = Alt S⊗T

Chứng minh đối với biểu thức còn lại là tương tự