Tài liệu BD Casio NV - ĐH A Mơc lơc PhÇn I: Híng dÉn sư dơng m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp: ”Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio” PhÇn III: Mét sè ®Ị thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio ( hƯ THCS ) B néi dung PhÇn I: Híng dÉn sư dơng m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS A/.m¸y tÝnh casio Fx:500 MS I/ C¸c phÝm vµ c¸ch bÊm m¸y sư dơng chung cho c¶ m¸y Fx:500 MS vµ Fx:570 MS : 1) C¸c lo¹i phÝm: + PhÝm tr¾ng: BÊm trùc tiÕp ( vÝ dơ: ta Ên 5= ) + PhÝm vµng: BÊm SHIFT + PhÝm vµng (VÝ Dơ: 81 , ta bÊm SHIFT x 81 = 81 ) + PhÝm ®á: BÊm ALPHA + PhÝm ®á (vÝ dơ: A, ta bÊm ALPHA A 2) Më t¾t m¸y: + Më m¸y: BÊm + T¾t m¸y: BÊm ON SHIFT + OFF + Xo¸ mµn h×nh lµm tÝnh : AC - BÊm - BÊm SHIFT CLR = - BÊm SHIFT CLR = + §Ĩ kiĨm tra lçi ta dïng c¸c phÝm + §Ĩ s÷a lçi: - Dïng phÝm >< di chun - BÊm phÝm DEL xo¸ ký tù ®ang nhÊp nh¸y - BÊm phÝm SHIFT + IN S chÌn ký tù ®¸nh sãt II/ m¸y tÝnh casio Fx:500 MS: *) ChÕ ®é Mode: Nh»m Ên ®Þnh tõ ®Çu lo¹i h×nh tÝnh to¸n, lo¹i ®¬n vÞ ®o,d¹ng sè biĨu diƠn kÕt qu¶, ch÷ sè cã nghÜa,sai sè lµm trßn phï hỵp víi gi· thiÕt cđa bµi to¸n a) BÊm Mode ( lÇn) man −hinh → COMP SD REG Tài liệu BD Casio + BÊm Mode NV - ĐH → Lµm c¸c phÐp tÝnh thêng + BÊm Mode → Lµm thèng kª mét biÕn + BÊm Mode → Lµm thèng kª hai biÕn b) BÊm Mode Mode( lÇn) man −hinh → EQR + BÊm Mode Mode man −hinh → UNKNO S ( gi¶i ph¬ng tr×nh ) ( Èn ) - BÊm tiÕp → Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn - BÊm tiÕp → Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn + BÊm Mode Mode man −hinh → Degree (bËc) - BÊm tiÕp → Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn - BÊm tiÕp → Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba mét Èn c) BÊm Mode Mode Mode ( lÇn) man −hinh → Deg Ded Gra + BÊm Mode Mode Mode → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ®é + BÊm Mode Mode Mode → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ra®ian + BÊm Mode Mode Mode → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ grad d) BÊm Mode Mode Mode Mode ( lÇn) man −hinh → Fix Sci Norm + BÊm Mode Mode Mode Mode → Cã chän sè sè lỴ thËp ph©n + BÊm Mode Mode Mode Mode → Cã chän hiƯn sè d¹ng : a.10 n + BÊm Mode Mode Mode Mode → Cã chän sè d¹ng thêng e) BÊm Mode Mode Mode Mode Mode( lÇn) man −hinh → Disp BÊm tiÕp man −hinh → ab / c d / c + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 → kÕt qu¶ díi d¹ng hỉn sè + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode → kÕt qu¶ díi d¹ng ph©n sè + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode man −hinh → Dot Comma Tài liệu BD Casio + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode NV - ĐH → Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (.) + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode → Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (,) III/ C¸ch lµm mét bµi thi - Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio" *Quy ®Þnh: Yªu cÇu c¸c em dù thi chØ dïng m¸y Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio fx 500 ES, Casio fx 570 ES ®Ĩ gi¶i NÕu kh«ng qui ®Þnh g× thªm th× c¸c kÕt qu¶ c¸c ®Ị thi ph¶iviÕt ®đ 10 chư sè hiƯn trªn mµn h×nh m¸y tÝnh Tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸c bíc sau : - S¬ lỵc lêi gi¶i ( lêi gi¶i v¾n t¾t) - Thay sè vµo c«ng thøc (nÕu cã) - ViÕt quy tr×nh Ên phÝm - KÕt qu¶ *NhËn xÐt : Qua c¸c ®Ị thi tØnh, khu vùc tỉ chøc c¸c n¨m gÇn ®©y Chóng ta cã thĨ nh×n ®Ị thi - Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio theo c¸c ®Þnh híng sau ®©y : Bµi thi häc sinh giái" Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " ph¶i lµ mét bµi thi Häc sinh giái to¸n cã sù trỵ gióp cđa m¸y tÝnh ®Ĩ thư nghiƯm t×m c¸c quy lt to¸n häc hc t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n §»ng sau c¸c bµi to¸n Gi¶i trªn m¸y tÝnh Casio Èn chøa nh÷ng ®Þnh lý, tht to¸n, thËm chÝ c¶ mét lý thut to¸n häc ( sè häc, d·y tru håi ) ` Ph¸t huy ®ỵc vai trß tÝch cùc cđa to¸n häc vµ m¸y tÝnh gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay I/ Mét sè d¹ng to¸n x¸c ®Þnh sè (sè häc): 1/ Lo¹i TÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ phÐp tÝnh : Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c tÝnh chÊt sau: 1) Sè a1a a3 a a7 a8 = a1a a3 a 10 + a5 a6 a7 a8 2) TÝnh chÊt cđa phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD 3) KÕt hỵp tÝnh trªn m¸y vµ lµm trªn giÊy Tài liệu BD Casio NV - ĐH Mơc tiªu: Chia sè lín thµnh nh÷ng sè nhá mµ kh«ng trµn mµn h×nh thùc hiƯn trªn m¸y vÝ dơ1: tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cđa phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375 b) TÝnh chÝnh x¸c A c) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: B = 1234567892 d) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: C = 10234563 Gi¶i: a) NÕu tÝnh trªn m¸y sÏ trµn mµn h×nh nªn ta lµm nh sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * TÝnh trªn m¸y: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 = 180808750000 * TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125 Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 VËy A = 12578963 x 14375 = 180822593125 b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 TÝnh trªn m¸y: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521 VËy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 46090521 = 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 TÝnh trªn m¸y: 10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584; 4563 = 94818816 VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000 1431651672000000 + 638155584000 94818816 = 1072031456922402816 Bµi tËp ¸p dơng: Bµi : TÝnh kÕt qu¶ ®óng cđa c¸c tÝch sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 §¸p sè: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Tài liệu BD Casio NV - ĐH Bµi 2: TÝnh kÕt qu¶ ®óng cđa c¸c phÐp tÝnh sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432 Bµi 3: TÝnh chÝnh x¸c tỉng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! + + 16.16! * Híng dÉn: Ta cã n.n! = ( n + – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n! * §¸p sè: S = 355687428095999 Bµi 4: a) TÝnh b»ng m¸y tÝnh: Q = + 2 + + + 10 b) Cã thĨ dïng kÕt qu¶ ®ã ®Ĩ tÝnh tỉng : K = 2 +.4 + + + 20 mµ kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y tr×nh bµy lêi gi¶i Êy 12 Bµi 5: TÝnh chÝnh x¸c cđa sè A = 10 + NhËn xÐt: §¸p sè: a) Q = 385; b) K = 1540 10k + lµ sè nguyªn cã (k - 1) ch÷ sè 3, tËn cïng lµ sè 10k + lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè ci cïng lµ * Ta dƠ dµng CM ®ỵc vµ tÝnh ®ỵc kÕt qu¶ lµ: A = 111111111111555555555556 2/ lo¹i 2: T×m sè d cđa phÐp chia cđa sè a cho sè b * Ph¬ng ph¸p: 1/ §èi víi sè bÞ chia tèi ®a cã 10 ch÷ sè: A A Th× sè d cđa A: B = A - B (trong ®ã lµ phÇn nguyªn cđa A cho B B 2/ Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè: Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè ta ng¾t thµnh hai nhãm Nhãm ®Çu ch÷ sè ®Çu( kĨ tõ bª tr¸i) t×m ®ỵc sè d nh phÇn 1) Råi viÕt tiÕp sau sè d cßn l¹i tèi ®a ch÷ sè råi t×m sè d lÇn hai NÕu cßn n÷a th× lµm liªn tiÕp nh vËy *§Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b ≠ 0, lu«n tån t¹i nhÊt mét cỈp sè nguyªn q vµ r cho: a = bq + r vµ ≤ r < |b| * Tõ ®Þnh lÝ trªn cho ta tht to¸n lËp quy tr×nh Ên phÝm t×m d phÐp chia a cho b: a SHIFT STO A b SHIFT STO B a a ALPHA A ÷ ALPHA B = ( ) Χ ALPHA B - ALPHA B Χ =(Kqu¶: r = ) b b VÝ dơ1: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d chia 18901969 cho 3041975 TÝnh sè d b) T×m sè d phÐp chia: 815 cho 2004 Gi¶i: a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B Tài liệu BD Casio NV - ĐH ANPHA SHIFT A A ÷ ANPHA - × B B = = (6,213716089) (650119) VËy sè d lµ: r = 650119 b) Ta ph©n tÝch: = 88.87 Ta cã: 88 ≡ 1732(mod2004) 87 ≡ 968(mod2004) 15 ⇒ 815 ≡ 1732 x 968 (mod2004) ≡ 1232(mod2004) VËy sè d lµ: r = 1232 Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 1: a) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm ®Ĩ t×m sè d chia 3523127 cho 2047 b) T×m sè d ®ã.T×m th¬ng vµ sè d phÐp chia: 123456789 cho 23456 Bµi 2: T×m sè d phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 3/ §¸p sè: r=9 lo¹i 3: T×m UCLN - BCNN cđa a vµ b: *Ph¬ng ph¸p: 1.Víi c¸c sè a vµ b nhá h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng tÝnh chÊt rót gän ph©n sè a a , m a , = = b b , m b , Trong ®ã (a , ; b ) = Khi ®ã UCLN (a;b) = m Víi c¸c sè a vµ b lín h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng tht to¸n ¥LE: T×m UCLN(a;b) víi a 〉 b ta cã tht to¸n sau : a = b.q + r1 b = r1 q + r2 r1 = r2 q3 + r3 rn − = rn −1 q n + rn Cha râ rµng vỊ tht to¸n ¬le rn −1 = rn q n +1 + Sè d ci cïng kh¸c lµ r n chÝnh lµ UCLN (a;b) hay : r n = UCLN (a;b) * Chó ý: VÝ dơ 1: BCNN(a;b) = a.b UCLN (a; b) T×m UCLN cđa hai sè: a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i: Tài liệu BD Casio , , *C 1: +) Ta cã: a = a , m = a , b b m b NV - ĐH Trong ®ã (a , ; b ) = Khi ®ã UCLN (a;b) = m +) Quy tr×nh Êm m¸y: 24614205 SHIFT STO A ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311) VËy UCLN(a;b) = 21311 *C 2: +)Theo tht to¸n ¥le t×m sè d phÐp chia sè a cho b ta ®ỵc: +) quy tr×nh Êm m¸yliªn tơc: (B¹n ®äc cã thĨ dĨ dµng lµm ®ỵc vµ kÕt qu¶ UCLN(a, b) = 21311) X¸c ®Þnh sè íc sè cđa mét sè tù nhiªn n *:§Þnh lÝ : Cho sè tù nhiªn n, n > 1, gi¶ sư ph©n tÝch n thõa sè nguyªn tè ta ®ỵc: n = p1e1 p2e2 pkek , víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n: < p1 < p2 < < pk Khi ®ã sè íc sè cđa n ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc: τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1) VÝ dơ2: H·y t×m sè c¸c íc d¬ng cđa sè A = 6227020800 Gi¶i: Ph©n tÝch A thõa sè nguyªn tè, ta ®ỵc: A = 210.35.52.7.11.13 ¸p dơng ®Þnh lÝ trªn ta cã sè c¸c íc d¬ng cđa A lµ: τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584 VËy sè c¸c íc d¬ng cđa sè A = 6227020800 lµ: 1584 Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 1: T×m íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cđa: a = 75125232 vµ b = 175429800 §¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) = Bµi 2: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lµ íc cđa: N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 §¸p sè: 46080 4/ lo¹i 4: T×m ch÷ sè x cđa sè n = a n a n -1 xa a M m víi m ∈ N Tài liệu BD Casio * Ph¬ng ph¸p: 1) Dùa vµo c¸c dÊu hiƯu chia hÕt cđa 2,3,4,5,6,7,8,9,11 2) Thay x lÇn lỵt tõ ®Õn cho nMm NV - ĐH VÝ dơ 1: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x y3z chia hÕt cho *S¬ lỵc lêi gi¶i: - Sè lín nhÊt d¹ng 1x y3z chia hÕt cho sÏ lµ: 19293z LÇn lỵt thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta ®ỵc sè lín nhÊt d¹ng 1x y3z chia hÕt cho lµ: 1929354 ,th¬ng lµ 275622 - Sè nhá nhÊt d¹ng 1x y3z chia hÕt cho sÏ lµ: 10203z LÇn lỵt thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta ®ỵc sè nhá nhÊt d¹ng 1x y3z chia hÕt cho lµ: 1020334 , th¬ng lµ 145762 VÝ dơ 2: T×m tÊt c¶ c¸c sè n d¹ng: N = 1235679 x y chia hÕt cho 24 *S¬ lỵc lêi gi¶i: V× N M24 ⇒ N M3 ; N M8 ⇒ (37 + x + y) M3 ; x y M8 ⇒ y chØ cã thĨ lµ ; ; ; ; Dïng m¸y tÝnh, thư c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: (x + y + 1) M3 vµ x y M8, ta cã: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 1: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt c¸c sè tù nhiªn d¹ng: 1x y3z chia hÕt cho 13 Sè 2: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x y3z chia hÕt cho 25 Sè 3: T×m ch÷ sè a biÕt r»ng 46928381a6506 chia hÕt cho 2009 Sè 4: T×m ch÷ sè x biÕt r»ng 469x838196506 chia hÕt cho 2009 * lo¹i 4: T×m ch÷ sè tËn cïng cđa sè n = a n a n -1 xa a víi n ∈ N Ph¬ng ph¸p: (VËn dơng c¸c tÝnh chÊt sau) 1) Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 n©ng lªn bÊt kú l thõa nµo còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 2) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 2;4;6 n©ng l thõa bËc dỊu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 3) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 3;7;9 n©ng l thõa bËc dỊu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 4) L thõa bËc bÊt k× cđa c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Ịu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn) 5) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 6) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ vµ nh©n víi sè lỴ th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 7) Sè chÝnh ph¬ng chØ chøa c¸c sè tËn cïng lµ: 0;1;4;5;6;9 Tài liệu BD Casio NV - ĐH 8) T×m ch÷ sè tËn cđa mét sè cïng th× ta t×m sè d chia sè ®ã cho 10 (hc béi cđa 10 bÐ h¬n 100) 9) T×m ch÷ sè tËn cđa mét sè cïng th× ta t×m sè d chia sè ®ã cho 100 (hc béi cđa 100 bÐ h¬n 1000) Thư trªn m¸y lÇn lỵt c¸c sè tho¶ m·n ®iỊu kiƯn bµi to¸n th× ta chän 10) L thõa bËc bÊt k× cđa c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hc 625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Ịu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hc 625 (cã ®u«i bÊt biÕn) 11) L thõa bËc bÊt k× cđa c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hc 0625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Ịu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hc 0625 (cã ®u«i bÊt biÕn) VÝ dơ 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cđa sè: a) 9 vµ b) 14 14 *S¬ lỵc lêi gi¶i:: a) Ta thÊy 9 lµ sè lỴ nªn 9 = 2.k + ⇒ 9 = 2.k +1 nªn tËn cïng lµ sè b) ta thÊy 14 14 ch¼n nªn 14 14 =2.k ⇒ 14 14 =14 2.k =196 k nªn ch÷ sè tËn cïng lµ sè: 14 14 VÝ dơ 2: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè: 14 14 14 *S¬ lỵc lêi gi¶i: Ta cã: - = 2400 ⇒ 4.k - M100 ⇒ 14 - M100 ⇒ 14 cã ch÷ sè lµ : 01 MỈt kh¸c : 14 14 = 14 14 Nhng: 14 : 20 d (v× : 12 - = { (2 ) - } : (2 - 1) =15; ⇒ 4.(2 12 - ): 20 ) Vµ : 14 : 20 d ( v× :7 4.k - : 100 ⇒ 12 -1 : 100 ⇒ 12 : 20 d ⇒ 14 : 20 d ) VËy : 14 14 : 20 d 4.9 = 36 ⇒ 14 14 : 20 d 10 ⇒ 14 14 cã ch÷ sè tËn cïng lµ:16 14 14 VÝ dơ 3: T×m C¸c sè x ; y cho xxxxx : yyyy cã th¬ng lµ 16 d r Cßn xxxx : yyy cã th¬ng lµ 16 d r -2000 *S¬ lỵc lêi gi¶i: Theo bµi ta cã: xxxxx = 16 yyyy + r (1) xxxx = 16 yyy + r - 2000 ( 2) LÊy (1) trõ ( 2) ta ®ỵc : x0000 = 16 y 000 + 2000 ⇔ 10.x = 16.y + ⇔ 5.x = 8.y + ⇒ y = 5x − ( v× x; y ∈ Z ; x;y ≤ ) ⇒ x = 5: y = VÝ dơ 4: T×m c¸c sè b×nh ph¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè Cã hay kh«ng c¸c sè b×nh ph¬ng cã tËn cïng lµ ch÷ sè ? *S¬ lỵc lêi gi¶i: Ch÷ sè ci cïng cđa x2 lµ th× ch÷ sè ci cïng cđa x lµ hc TÝnh trªn m¸y b×nh ph¬ng cđa sè: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 Tài liệu BD Casio NV - ĐH ta chØ cã c¸c sè:12, 62, 38, 88 b×nh ph¬ng lªn cã tËn cïng lµ hai ch÷ sè TÝnh trªn m¸y b×nh ph¬ng cđa c¸c sè: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta ®ỵc: 462, 962, 38, 538 b×nh ph¬ng cã tËn cïng lµ 444 * T¬ng tù c¸ch lµm trªn, ta cã kÕt ln: kh«ng cã sè N nµo ®Ĩ N kÕt thóc bëi ch÷ sè tËn cïng lµ : 4444 Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 5: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ch÷ sè tho· m·n: 1) Sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ci lín h¬n sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ®Çu ®¬n vÞ 2) Lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 6: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 10000 < x < 15000 vµ chia x cho 393 còng nh 655 ®Ịu cã sè d lµ 210 Bµi 7: T×m c¸c ch÷ sè x, y, z ®Ĩ 579xyz chia hÕt cho 5, vµ Bµi 8: T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: 1) ViÕt díi d¹ng thËp ph©n a cã tËn cïng lµ sè 2) NÕu bá ch÷ sè ci cïng vµ ®Ỉt ch÷ sè lªn tríc c¸c ch÷ sè cßn l¹i sÏ ®ỵc mét sè gÊp lÇn ch÷ sè ban ®Çu Bµi 9: T×m sè tù nhiªn n cho: a) 2n + chia hÕt cho n + b) n + chia hÕt cho - n Bµi 10: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt cho n lµ mét sè cã ch÷ sè ®Çu vµ ch÷ sè ci ®Ịu lµ sè Bµi 11: a) T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt mµ n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 vµ kÕt thóc b»ng sè 89 b) T×m sè tù nhiªn n cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ®ã xxxxxx lµ sè cã thĨ kh¸c nhau) Bµi 12: Víi gi¸ trÞ tù nhiªn nµo cđa n th×: 1,01n - < (n - 1) vµ 1,01n > n Bµi 13: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn: x ; x ; ; x Sao cho x1 x x8 = ( x1 x ) §¸p sè - Híng dÉn lêi gi¶i: Bµi 1: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 129304; - Sè nhá nhÊt lµ 1020344 10 Tài liệu BD Casio BÊm phÝm: NV - ĐH a SHIFT STO A b SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C B + B ANPHA + C A LỈp dÊu b»ng: = = VÝ dơ : Cho d·y sè ®ỵc x¸c ®Þnh bëi: u = 1, u = u n+2 = 3u n+1+ u n + ; n ∈ N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiƯn quy tr×nh: SHIFT STO A × + × + SHIFT STO B × + ANPHA A × + SHIFT STO A × + ANPHA B × + SHIFT STO B ∆ SHIFT COPY = = ta ®ỵc d·y: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hc cã thĨ thùc hiƯn quy tr×nh: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C B + ANPHA A + = = ta còng ®ỵc kÕt qu¶ nh trªn 4.D·y sè cho bëi hƯ thøc truy håi víi hƯ sè biÕn thiªn d¹ng: D·y sè (un) cho bëi u = a ) ; n ∈ N* u n+1 = f ( { n, un } 26 Trong ®ã f ( { n, un } ) lµ kÝ hiƯu cđa biĨu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n Tài liệu BD Casio NV - ĐH * Tht to¸n ®Ĩ lËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cđa d·y: - Sư dơng « nhí: A : chøa gi¸ trÞ cđa n B : chøa gi¸ trÞ cđa un C : chøa gi¸ trÞ cđa un+1 - LËp c«ng thøc tÝnh un+1 thùc hiƯn g¸n A = A + vµ B := C ®Ĩ tÝnh sè h¹ng tiÕp theo cđa d·y - LỈp phÝm : = VÝ dơ : Cho d·y sè ®ỵc x¸c ®Þnh bëi: u1 = n u n+1 = n+1 ( u n +1 ) ; n ∈ N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiƯn quy tr×nh: SHIFT STO A ANPHA × ( C ANPHA ANPHA ANPHA A SHIFT STO B B ( = + ) ANPHA + ANPHA = = ta ®ỵc d·y: ANPHA : , : ANPHA 1, , ÷ A ( ANPHA B 2, ANPHA A ANPHA , 3, A ANPHA = + ) ) = ANPHA C , LËp c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t: Ph¬ng ph¸p gi¶i: - LËp quy tr×nh trªn MTCT ®Ĩ tÝnh mét sè sè h¹ng cđa d·y sè - T×m quy lt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t - Chøng minh c«ng thøc t×m ®ỵc b»ng quy n¹p VÝ dơ 1: T×m a2004 biÕt: a1 = n(n + 1) an +1 = (n + 2)( n + 3) ( an + 1) ; 27 n∈N * Tài liệu BD Casio NV - ĐH Gi¶i: - Tríc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cđa d·y (an), quy tr×nh sau: SHIFT STO ANPHA C ÷ ( ANPHA ( ( SHIFT STO B A ANPHA ANPHA B = ANPHA + ) A + ) ( ANPHA ANPHA : ANPHA ( A ANPHA A + ANPHA : ANPHA B + ) A ANPHA A A + ) ) ANPHA × = ANPHA = ANPHA C 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 - Ta ®ỵc d·y: - Tõ ®ã ph©n tÝch c¸c sè h¹ng ®Ĩ t×m quy lt cho d·y trªn: 1.5 = = 30 3.10 2.7 2.7 = = 20 40 4.10 27 3.9 = 50 5.10 a1 = a2 = a3 = a4 = ⇒ a2004 = ⇒ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t: an = ( n −1)(2n +1) 10( n +1) (1) * DƠ dµng chøng minh c«ng thøc (1) ®óng víi mäi n ∈ N* b»ng quy n¹p 2003.4009 20050 a1 = 1, a2 = VÝ dơ 2: XÐt d·y sè: * an + = 2an − an + ; n ∈ N Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + lµ sè chÝnh ph¬ng Gi¶i: - Ta co sè sè h¹ng ®Çu cđa d·y (an) b»ng quy tr×nh: - Ta ®ỵc d·y: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - T×m quy lt cho d·y sè: 1(1 + 1) 2(2 + 1) a2 = = 3(3 + 1) a3 = = a1 = = ⇒ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t: an = 28 n( n + 1) (1) Tài liệu BD Casio 4(4 + 1) a4 = 10 = 5(5 + 1) a5 = 15 = NV - ĐH * Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1) ®óng víi mäi n ∈ N* Tõ ®ã: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 ⇒ A lµ mét sè chÝnh ph¬ng C¸ch gi¶i kh¸c: Tõ kÕt qu¶ t×m ®ỵc mét sè sè h¹ng ®Çu cđa d·y,ta thÊy: - Víi n = th× A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Tõ ®ã ta chøng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) B»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p ta còng dƠ dµng chøng minh ®ỵc (*) Bµi tËp ¸p dơng Bµi 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2, ): ( + 3) −( − 3) = n un n a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn b) T×m tÊt c¶ n nguyªn ®Ĩ un chia hÕt cho Bµi 2: Cho d·y sè (an) ®ỵc x¸c ®Þnh bëi: ao = an +1 = 4an + 15an − 60 , n ∈N * a) X¸c ®Þnh c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t an b) Chøng minh r»ng sè: A = ( a2 n + 8) biĨu diƠn ®ỵc díi d¹ng tỉng b×nh ph¬ng cđa sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n ≥ Bµi 3: Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: uo = 0, u1 = un + = 1999un +1 − un , n ∈ N T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n cho un lµ sè nguyªn tè Bµi 4: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi: a1 = 5, a2 = 11 an +1 = 2an − 3an −1 , n ≥ 2, n ∈ N Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d¬ng, sè ©m b) a2002 chia hÕt cho 11 29 Tài liệu BD Casio NV - ĐH Bµi 5: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi: a1 = a2 = an2−1 + a = , n an − n ≥ 3, n ∈ N Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn Bµi 6: D·y sè (an) ®ỵc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: ( ) n n n an = + , n ∈ N * ; (kÝ hiƯu ( + ) lµ phÇn nguyªn cđa sè ( + ) ) Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lỴ DẠNG TOÁN LÃI SUẤT ( TĂNG TRƯỞNG ) 1) Lãi ngân hàng : Khi ta có tiền không sử dụng đến , ta gửi ngân hàng để lấy lãi Có hai cách tính lãi a) Lãi đơn : Lãi tính theo tỉ lệ phần trăm khoảng thời gian cố đònh trước Ví dụ l Khi gửi 1.000.000 đ (một triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 5% /năm sau năm ta nhận số tiền lãi : 1.000.000 × 5% = 50.000 (năm mươi ngàn đồng) Số tiền lãi cộng vào hàng năm Kiểu tính lãi gọi lãi đơn Thí dụ, sau hai năm số tiền gốc lẫn lãi : 1.000.000 + × 50.000 = 1.100.000 đ (một triệu trăm nghìn đồng) Nói chung, sau n năm, số tiền gốc lẫn lãi : xn = 1.000.000+ 50.000n đ Tiền vốn tăng trưởng tăng tuyến tính, giá trò xn phụ thuộc cách tuyến tính theo n Nếu biểu diễn đồ thò xn theo n ta điểm đường thẳng Kiểu tính lãi không khuyến khích người gửi, vì, ta cần rút tiền ra, thí dụ, sau 18 tháng, ta tính lãi năm đầu tổng số tiền rút xn = 1.000.000+ 50.000 = 1.050.000 đ Vì ngân hàng thường tính lãi suất với chu kì ngắn hơn,thí %/tháng cuối tháng đầu có số tiền lãi 12 từ triệu đồng 1.000.000 × % = 4166 đ 12 Sau năm, tổng số tiền lãi trước : 4166 × 12 = 50000 đ dụ, tính lãi theo tháng Nếu lãi suất Như vậy, với lãi đơn, sai khác ta nhận lãi theo tròn năm hay theo tháng Tuy nhiên, ta rút tiền chừng, thí dụ , sau 18 tháng, ta số tiền lãi là: 4166 × 18 = 75000 đ 30 Tài liệu BD Casio NV - ĐH Và ta đóng tài khoản số tiền cà gốc lẫn lãi sau 18 tháng 1.000.000 + 75.000 = 1.075.000 đ nhiều so với tính lãi theo năm 25000 đ b) Lãi kép : Sau đơn vò thời gian ( tháng , năm ) , lãi gộp vào vốn tính lãi Loại lãi gọi lãi kép Ví dụ : Khi ta gửi 1.000.000 đ với lãi suất 5%/năm sau năm ta nhận số tiền lãi 50000 đ số tiền gốc lẫn lãi 1.050.000đ Toàn số tiền dược coi tiền gốc tổng số tiền cuối năm thứ hai 1.050.000 +1.050.000 × 5% = 1.102.500 đ Gọi xn số tiền nhận cuối năm thứ n x0 = 1.000.000 đ, x1 = 1.000.000 + 1.000.000 × 5% = 1.000.000 ( + 5%) = 1.000.000 × 1,05 = 1.050.000 đ Hoàn toàn tương tự, sau hai năm ta nhận số tiền : x2 = xl + x1 × 5% = x1 (1+ 5%) = x0 × (l+5%)2 đ Sau năm, số tiền là: x3 = x2 + x2 × 5% = x2 (1+ 5%) = x0 × (l+5%)3 đ Sau n năm, số tiền nhận gốc lẫn lãi là: xn+1 = (1+ 5%)xn = l,05 xn Phương trình phương trình sai phân tuyến tính bậc Nghiệm phương trình tính trực tiếp theo công thức là: xn = (1+ 5%)n x0 c) Tăng trưởng đột biến : Trong mục trước , ta mở tài khoản với với số vốn ban đầu sau để số vốn tự sinh lãi Tuy nhiên , thực tế , ta thường hay sử dụng loại " tăng trưởng đột biếân ", tức ta gửi vào rút lượng tiền Ví dụ 1: Giả sử vào ngày tháng giêng ta gửi 1000 đô la với lãi suất 0,5 %/ tháng Khi , sang ngày tháng ta có : 1000 + 1000 × 0,5 % = 1005 đô la Sang ngày tháng ta có số tiền : 1005 + 1005 × 0,5 % = 1010,025 đô la Giả sử đầu tháng ta rút 100 đô la , số tiền mà ta lại 1010,025 - 100 = 910,025 đô la Công thức : xn+1 = (1+r%)xn + dn , n = 0,1,2,3, Nếu dn ≡ d Ta có công thức : xn = qnx0 + ( qn-1 + qn-2 + +q +1) d qn −1 n d = q x0 + (1) q −1 Ví dụ : Bạn gửi 1000 đô la trả lãi kép theo tháng với lãi suất 0,5%/ tháng Giả sử tháng ta phải rút 50 đô la để trả tiền điện Hỏi số tiền lại sau năm Giải : Với lãi suất 0,5 % / tháng ta có : x1 = 1,005 x0 - 50 , , xn+1 = 1,005 xn - 50 , n = 0,1,2, 31 Tài liệu BD Casio NV - ĐH Áp dụng công thức ( ) với : r = 0,5 % , n = 12 , xn = 1000 , d = - 50 Ta : xn =(1+0,5%) (1 + 0,5%)12 − × 50 = 444,8996932 ≈ 444,90 đô la × 1000 0,5% 12 d) Trả lãi nợ : Ví dụ : Giả sử bạn vay 2000 đô la từ ngân hàng để đóng học phí Phải trả lãi %/ năm bạn muốn trả hết nợ vòng năm Hỏi tháng bạn phải trả tiền Giải : Gọi m số tiền hàng tháng mà bạn phải trả x n số tiền nợ sau n tháng Như , x0 = 2000 đô la Sau năm số tiền lại : x1 = 2000 + 2000 × % - 12 = ( + 6% ) 2000 - 12 m Sau n + năm số tiền lại : xn+1 = 1,06 xn - 12 m Áp dụng công thức ( ) với n = x3 = ta : 1,06 − = 1,06 × 2000 - 12m 0,06 1,06 × 2000 × 0,06 = 62,35163547 ≈ 62,35 đô la Suy : m = 1,06 − × 12 ( ) e) Lạm phát : Lạm phát xảy đồng tiền bò giá Tỷ lệ phần trăm tăng lên số giá bán lẻ năm gọi tỉ lệ lạm phát năm Thí dụ, nói tỷ lệ lạm phát 3%, nghóa ta cần 1+3 % = 1,03 đô la mua vật trò giá đô la trước năm Nếu tỷ lệ lạm phát số từ năm sang năm khác , cách tính giá trò hàng hóa hoàn toàn giống trường hợp tính lãi kép Thí dụ , với tỷ lệ lạm phát % / năm , sau 20 năm ta muốn mua vật trò giá lúc 1000 đô la cần số tiền : 20 x20 = 1 + × 1000 = 1806,111235 ≈ 1806 đô la 100 Ta sử dụng công thức : xn = qn x0 , n = 1,2, với r = % , x0 = 1000 n = 20 năm Mặc dù tỉ lệ lạm phát bình thường , sau thời gian dài gía trò đồng tiền bò giá cách đáng kể Thí dụ , với tỉ lệ lạm phát 3%, hỏi sau giá trò đồng tiền nửa ? Để trả lời câu hỏi ta cần tìm n cho n xn = + ×1 = 100 Bằng máy tính, ta thấy : x21 = (1 + % )23 = 1,97 x22= ( + % )24 = 2.03 Vì , sau khoảng 24 năm,ta cần đô la để mua vật trò giá đầu đô la 2) Một số công thức tính toán lãi suất số ví dụ áp dụng A : tiền vốn nhập lãi a : tiền gửi vào hàng tháng r : Lãi suất ( hàng tháng ) n : thời gian ( tháng ) 32 Tài liệu BD Casio * Ví dụ : NV - ĐH Một số tiền 58.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7 % tháng Tính vốn lẫn lãi sau tháng A = a ( 1+ r )n Công thức : Giải : A = a (1+r)n = 58.000 (1,007)8 = 61.328,69987 Ấn phím : 58.000 1.007 × ^ (61.328,69987) = * Ví dụ : Muốn 58.000 đ trở thành 70.021 đ Hỏi phải gởi tiết kiệm với lãi suất 0,7 % tháng A n= a ln(1 + r ) ln Công thức : Giải : 70.021 A ln 58.000 = 27 tháng a = n= ln( 1.007) ln(1 + r ) ln Ví dụ : Số tiền 58.000 đ gởi tiết kiệm tháng lãnh 61.329 đồng Tìm lãi suất / tháng Công thức : Giải : r=n r= n A −1 a A 61329 −1 = − = 0,007 = 0,7 % a 58000 Ví dụ : Mỗi tháng gửi tiết kiệm 50.000 đ với lãi suất 0.7 % / tháng Hỏi sau 10 tháng lãnh vốn lẫn lãi Công thức : a(1 + r)[(1 + r ) n − 1] A= r ( ) a(1 + r )[(1 + r ) n − 1] 50000 × 1,007 × 1,00710 − = Giải : A = = 519.659,9 r 0,007 Ví dụ : Muốn có 1.000.000 đ sau 10 tháng phải gởi quỹ tiết kiệm tháng , lãi suất 0,6 % a= [ Ar ] (1 + r ) (1 + r ) − n 33 Tài liệu BD Casio NV - ĐH Công thức : Giải : a= Ar ( + r ) [( + r ) 10 ] −1 = 1.000.000 × 0,006 1,006 × 1,006 10 − = 96.749,1 ( ) BÀI TẬP THỰC HÀNH : 1) Số tiền 58.000 đ gởi tiết kiệm theo lãi kép ( sau tháng tiền lãi nhập thành vốn ) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84.155 đồng Tính lãi suất /tháng ( tiền lãi 100 đ tháng ) 2) Dân số nước 65 triệu , mức tăng dân số năm 1,2 % Tính dân số nước sau 15 năm 3) Dân số Hà Nội sau hai năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng ? 4) Một người gửi 6800 đồng ( đôla ) vào ngân hàng với lãi suất hàng năm 4,3% Hỏi sau năm , năm , năm , năm , năm , người có tiền , biết hàng năm người không rút lãi suất BÀI TẬP 1) (Thi HS giỏi Hà Nội, 1996) Dân số nước 65 triệu, mức tăng dân số l,2% năm Tính dân số nước sau 15 năm 2) (Thi HS giỏi Cần Thơ, 2002) Dân số nước ta năm 1986 55 triệu, mức tăng dân số 2, 2% năm Tính dân số nước ta năm 1996 3) ( Thi Khu vực , Bộ GD ĐT , 2004 , Đề dự bò ) Một người gửi tiết kiệm 1000 đô-la vào ngân hàng khoảng thời gian 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người nhận số tiền nhiều hay ngân hàng trả lãi suất % tháng 12 4) (Thi HS giỏi Cần Thơ, 2002) Một người sử dụng xe có giá trò ban đầu 10 triệu Sau năm, giá trò xe giảm 10% so với năm trước a) Tính giá trò xe sau năm b) Tính số năm để giá trò xe nhỏ triệu 5) a).Bạn gửi 1000 đô-la với lãi suất đơn cố đònh theo năm.Sau năm số tiền 1330 đô-la Hỏi lãi suất tiết kiệm bao nhiêu? b) Giả sử ngân hàng tính lãi kép Hãy tính lãi suất tiết kiệm sau sáu năm bạn nhận số tiền 1330 đô-la 34 Tài liệu BD Casio NV - ĐH c).Giả sử bạn gửi 1000 đô-la với lãi suất kép 5%/năm vòng sáu năm Hỏi bạn nhận dược sau sáu năm Nếu ngân hàng tính lãi suất theo q (3 tháng lần tính lãi) bạn nhận 6) Bạn dinh gửi ngân hàng dể tăng gấp dôi số tiền 1000 đô-la nhanh tốt Ngân hàng đề nghò bạn chọn ba cách gửi tiền: Cách l Lãi suất 7,5%/ năm ; Cách Lãi suất 7,25%/nửa năm Cách Lãi suất 7%/tháng ~ Bạn chọn cách ? 7) Bạn đònh người thực di chúc chia tài sản người bác Tài sản ông ta chia cho ba người Cổ phia61u trả lãi 7,75 %/năm số tiền nhận sau ba năm 15.011,81 đô la Hỏi ông bác có tiền lúc mua cổ phiếu Nếu để sau 10 năm thực di chúc người nhận chia 8) ( Thi HS giỏi TP HCM , 1996 ) Một số tiền 58.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi kép Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155 đ Tính lãi suất / tháng ( tiền lãi 100 đồng tháng ) 9) ( Thi Khu vực , Bộ GD&ĐT , 2004 ) Dân số xã Hậu Lạc 10000 người Người ta dự đoán sau năm dân số xã Hậu Lạc 10404 người a) Hỏi trung bình năm dân số xã Hậu lạc tăng phần trăm ? b) Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm , hỏi sau 10 năm dân số Hậu Lạc ? 10) Dân số nước 65 triệu , mức tăng dân số 1,2 % năm a) Tính dân số nước sau n năm b) Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm c) Dân số nước sau n năm vượt 100 triệu.Tìm số n bé 11) Dân số giới năm 1995 5,6 tỷ người Hỏi với mức tăng trưởng 1,7 % số dân giới năm 2015 ? 12) (Thi chọn đội tuyển Thái Nguyên, Lớp 9, 2004) Ông J muốn sau năm phải có 20.000.000 đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,075 % tháng 13) (Thi chọn đội tuyển Thái Nguyên, Lớp 9, 2004) a) Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền x đồng với lãi suất r% tháng (lãi suất kép) Biết người không rút tiền lãi Hỏi sau n tháng người nhận tiền gốc lẫn lãi?- Áp dụng số : a = 75.000.000 đ; r = 0,62 ; n = 12 b) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m% tháng (lãi kép) Biết người không rút tiền lãi Hỏi cuối tháng thứ n người nhận dược tiền gốc lẫn lãi? - ÁP dụng số : a = 1.000.000 đ; m = 0,8 ; n = 12 14) Bạn gửi vào ngân hàng 2000 đô-la với lãi suất kép 4%/năm vòng năm Vào cuối năm bạn lấy 300 đô la Lập phương trình sai phân tính số tiền lại sau năm Hỏi sau sáu năm số tiền lại bạn bao nhiêu? 35 Tài liệu BD Casio NV - ĐH 15).Ta gửi 1000 đô la với lãi suất 0,5 %/tháng , giả sử ba tháng đầu tháng lấy 125 đô-la, 70 đô-la 95 đô-la Hỏi số tiền lại vào đầu tháng thứ tư bao nhiêu? Bạn muốn rút tháng 40 đô-la vòng tháng sau Hỏi cuối năm bạn tiền? 16) a) Bạn vay 5000 đô-la để mua xe với lãi suất kép 12%/năm Bạn trả tiền hàng quý trả hết vòng năm Hỏi quý bạn phải trả b) Giả thiết thay bạn phải trả lãi kép, bạn phải trả lãi đơn với lãi suất 10,75 % / năm toàn tổng số tiền Bạn có muốn chọn cách trả lãi không? 36 Tài liệu BD Casio 1/ Gi¶i tam gi¸c: * Mét sè c«ng thøc: NV - ĐH 5.H×nh Häc: 1/ C¸c hƯ thøc tam gi¸c vu«ng: 2/ TØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän: 3/ C¸c c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c: 1 a.h = b.hb = c.hc 2 1 / S ∆ABC = a.b.SinC = b.c.SinA = c A.SinB 2 a+b+c / S ∆ABC = P.( P − a )( P − b)( P − c ) P = a.b.c / S ∆ABC = 4R / S ∆ABC = P.r / S ∆ABC = / S ∆ABC = ( P − a) = ( P − b)rb = ( P − c) rc / S ∆ABC = 2.R SinA.SinB.SinC * C¸c d¹ng to¸n: VÝ dơ 1: TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC, biÕt: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 HD: Ta cã : S ∆ABC = µ = Tõ ®ã ta cã: A 1 a.b sin C = b.c sin A = c.a sin B = P ( P − a)( P − b)( P − c) 2 µ = ; B ; Cµ = Bµi 2: TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt: µ = 54o35’12’’ AB = 11,52 ; AC = 19,67 vµ gãc A §¸p sè: BC = µ = ; B ; Cµ = Bµi 3: TÝnh c¹nh AB, AC, gãc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt: µ = 54o35’12’’ ; B µ = 101o15’7’’ BC = 4,38 ; A §¸p sè: AB= ; AC = ; Cµ = Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 §iĨm M n»m trªn c¹nh BC cho: BM = 2,142 1) TÝnh ®é dµi AM? 2) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM 3) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM §¸p sè: 1) AM = 2) R = 3) r = µ = 73o52’ vµ c¹nh BC = 18,53 µ = 49o27’ ; C Bµi 5: Tam gi¸c ABC cã: B TÝnh diƯn tÝch S cđa tam gi¸c ? §¸p sè: S = 37 Tài liệu BD Casio NV - ĐH µ = 82o35’ µ = 57o18’ vµ C Bµi 6: Tam gi¸c ABC cã chu vi 58 (cm) ; B TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC, CA ? §¸p sè: AB = ; BC = ; CA = µ < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6 Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90o < A TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tun AM ? µ =? 2) Gãc B 3) DiƯn tÝch tam gi¸c S = ? µ = §¸p sè: BC = ; AM = ;B ; S= µ = 90o ; AB = (cm) ; AC = (cm) Bµi 8: Tam gi¸c ABC cã A TÝnh ®é dµi ®êng ph©n gi¸c AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ? §¸p sè: AD = ; AE = §a gi¸c, h×nh trßn: a A 1/ §a gi¸c ®Ịu n c¹nh, ®é dµi c¹nh lµ a: α 2π 360 (rad), hc: a o = (®é) O n n µ = n − π (rad), hc A µ = n − 180 (®é) + Gãc ë ®Ønh: A n n na α + DiƯn tÝch: S = cot g + Gãc ë t©m: α = 2/ H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn: + H×nh trßn b¸n kÝnh R: O R - Chu vi: C = 2πR - DiƯn tÝch: S = πR2 + H×nh vµnh kh¨n: - DiƯn tÝch: S = π(R2 - r2) = π(2r + d)d + H×nh qu¹t: r R O d - §é dµi cung: l = αR ; (α: rad) - DiƯn tÝch: S= = Rα π R 2a 360 (α: rad) R O (a: ®é) Bµi 9: Ba ®êng trßn cã cïng b¸n kÝnh cm ®«i mét tiªp xóc ngoµi (H×nh vÏ) TÝnh diƯn tÝch phÇn xen gi÷a ba ®êng trßn ®ã ? 38 Tài liệu BD Casio NV - ĐH H.DÉn: SBµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a = 5,35 Dùng c¸c ®êng trßn t©m A, B, C, D cã b¸n O1 a kÝnh R = TÝnh diƯn tÝch xen gi÷a ®êng trßn ®ã A H.DÉn: O2 B Sg¹ch = SABCD - 4Squ¹t Squ¹t = 1 SH.trßn = πR2 4 1 πR2 = a2 - πa2 4 ⇒ Sg¹ch = a2 - π) ≈ 6,142441068 = a2(1 - D C Bµi 11: Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 3,15 cm Tõ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn vÏ hai tiÕp tun AB vµ AC (B, C lµ hai tiÕp ®iĨm thc (O) ) TÝnh diƯn tÝch phÇn giíi h¹n bëi hai tiÕp tun vµ cung trßn nhá BC BiÕt OA = a = 7,85 cm H.DÉn: OB R 3,15 - TÝnh α: cos α = OA = a = 7,85 B 3,15 α ⇒ α = cos 7,85 −1 O A SOBAC = 2SOBA = aRsinα C 2 Squ¹t = π R 2α = π R α 360 180 Sg¹ch = SOBAC - Squ¹t = aRsinα - π R α ≈ 11,16 (cm2) 180 Bµi 12: TÝnh diƯn tÝch phÇn ®ỵc t« ®Ëm h×nh trßn ®¬n vÞ (R = 1) (Xem h×nh 1) §¸p sè: Bµi 13: TÝnh tû lƯ diƯn tÝch cđa phÇn ®ỵc t« ®Ëm vµ diƯn tÝch phÇn cßn l¹i h×nh trßn ®¬n vÞ (Xem h×nh 2) §¸p sè: H×nh H×nh 39 Tài liệu BD Casio NV - ĐH Còn số dạng tốn mà tơi chưa biết chưa tập hợp được, mong bổ xung (Lưu ý : Tài liệu để đọc, học, chia sẻ đồng nghiệp tâm huyết, tuyệt đối khơng gửi lên mạng lần tải về) 40 [...]... fx -50 0MS: (−) 5 SHIFT STO M 1 × ALPHA M + 0 = ( -5) × ALPHA M − 2 = (23) × ALPHA M + (−) 3 = (-118) VËy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x + 5) (x6 -5x5 + 23x4 -118x3 + 59 0x2- 259 0x + 14 751 ) 73 756 × ALPHA M + 0 = (59 0) × ALPHA M + 0 = (-2 950 ) × ALPHA M + 1 = (14 751 ) × ALPHA M + (−) 1 = (-73 756 ) 5/ Lo¹i 5: Ph©n tÝch ®a thøc theo bËc cđa mét ®¬n thøc *Ph¬ng ph¸p: Sư dơng s¬ ®å Horner cho n lÇn 18 Tài liệu BD Casio NV... x 108 ⇔ 50 ,24937811 x 104 ≤ x < 50 , 259 32749 x 104 VËy : 50 2493 < x < 50 259 3 Sè x tËn cïng ph¶i lµ: 17, 33, 67, 83 (theo c©u a), do ®ã c¸c sè tho¶ m·n lµ: 50 251 7, 50 253 3, 50 256 7, 50 258 3 Bµi 12:*S¬ lỵc lêi gi¶i: 1,0 151 2 ≈ 163,133 < 51 2 Ta cã: 1,011024 ≈ 26612 ,56 > 1024 VËy: 51 2 < n < 1024 Thu hĐp kho¶ng c¸ch chøa n b»ng ph¬ng ph¸p chia ®«i: 52 1+1024 2 - Chia ®«i o n [51 2 ; 1024], ta cã: 1, 01 = 1, 01768... 768 VËy l¹i cã: 51 2 < n < 768 Sau mét sè bíc chia ®«i nh thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652 Ci cïng ta cã: 1,01 651 = 650 , 45 < 651 1,01 652 = 656 , 95 > 652 ⇒ n = 652 * Quy tr×nh trªn MT Casio fx: 50 0 MS (Tht to¸n: XÐt hiƯu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2, dõng l¹i khi hiƯu trªn chun tõ (-) sang (+)) - G¸n cho « nhí A gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn: 0 SHIFT STO A 14 Tài liệu BD Casio NV - ĐH - LËp... 328329 ; 52 852 9 ; 7 157 16 Bµi 6: *S¬ lỵc lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 393 x = 655 .q2 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 655 ⇒ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655 ) = 19 65 ⇒ x -210 = 19 65. k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210 - Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 150 00 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 150 00 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8 TÝnh trªn m¸y: Víi k = 5, ta cã: x = 19 65. 5 + 210... x = 19 65. 5 + 210 = 100 35 Víi k = 6, ta cã: x = 19 65. 6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 19 65. 7 + 210 = 139 65 VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 100 35, 12000, 139 65 Bµi 7: *S¬ lỵc lêi gi¶i: V× c¸c sè 5, 7, 9 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta ph¶i t×m c¸c ch÷ sè x, y, z sao cho 57 9xyz chia hÕt cho 5. 7.9 = 3 15 Ta cã 57 9xyz = 57 9000 + xyz = 1838.3 15 + 30 + xyz ⇒ 30 + xyz chia hÕt cho 3 15 V× 30 ≤ 30 + xyz < 1029... = = Bµi to¸n kÕt thóc khi chun tõ n = 651 sang n = 652 Bµi 13:*S¬ lỵc lêi gi¶i: Ta cã: 10.000.000 ≤ x1 x 2 x8 = ( x1 x 2 ) 4 ≤ 99999999 ⇔ 57 ≤ x6 x8 ≤ 99 Ta ghi lªn mµ h×nh ( 57 ) 4 = 1 055 6001 kh«ng tho¶ m·n ë vÞ trÝ x 6 ; x 8 Dïng phÝm 〈 ®Ĩ sưa vµ thư c¸c sè tõ 57 ; 58 ; ;98; 99 ta ®ỵc 3 sè : 65; 86; 91 VËy ta cã 3 bé sè x 1 ; x 2 ; ; x 8 lµ : 65 4 = 17 850 6 25 ; 86 4 = 54 700816 ; 91 4 = 6 857 4961 II... 19, P(4) = 33, P (5) = 51 TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) Bµi 6: Cho ®a thøc P(x) = x10 + x8 – 7 ,58 9x4 + 3 ,58 x3 + 65x + m a T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ P(x) cã nghiƯm lµ: x = 0,3648 b Víi m võa t×m ®ỵc, t×m sè d khi chia P(x) cho (x -23 ,55 ) 7x 5 y-x 4 y3 +3x 3 y+10xy4 -9 5x 3 -8x 2 y 2 +y3 x 5 -6,723x 4 +1, 658 x 2 -9,134 2.T×m sè d r cđa phÐp chia : x-3,281 7 6 5 4 3 2 3 Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x... SHIFT STO A × 3 + 4 × 1 + 5 SHIFT STO B × 3 + ANPHA A × 4 + 5 SHIFT STO A × 3 + ANPHA B × 4 + 5 SHIFT STO B ∆ SHIFT COPY = = ta ®ỵc d·y: 15, 58 , 239, 954 , 3823, 152 90, 61167, 244666, 978671 Hc cã thĨ thùc hiƯn quy tr×nh: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = 3 ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C B + 4 ANPHA A + 5 = = ta còng ®ỵc kÕt qu¶ nh trªn 4.D·y sè cho bëi... sè chÝnh ph¬ng Gi¶i: - Ta co sè sè h¹ng ®Çu cđa d·y (an) b»ng quy tr×nh: - Ta ®ỵc d·y: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 , - T×m quy lt cho d·y sè: 1(1 + 1) 2 2(2 + 1) a2 = 3 = 2 3(3 + 1) a3 = 6 = 2 a1 = 1 = ⇒ dù o n c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t: an = 28 n( n + 1) 2 (1) Tài liệu BD Casio 4(4 + 1) a4 = 10 = 2 5( 5 + 1) a5 = 15 = 2 NV - ĐH * Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1)... A(x) = x 4 + 5x3 − 3x 2 + x − 1 khi x = 1,23 456 b P(x) = 17x 5 − 5x 4 + 8x 3 + 13x 2 − 11x − 357 khi x = 2,1 856 7 2/.Lo¹i 2: T×m d trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhi thøc ax + b *Ph¬ng ph¸p: Khi chia ®a thøc P (x) cho (ax + b) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th¬ng Q(x) vµ sè d r Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x) (ax + b) + r ⇒ b a P(- ) = r 16 Tài liệu BD Casio NV - ĐH b VËy sè d trong phÐp chia P (x) cho (ax + b)