CHƯƠNG 2 THUẬT GIẢI XẤP XỈ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG THUẬT GIẢI XẤP XỈ TUYẾN TÍNH Trong chương nghiên cứu nghiệm yếu toán ( ) utt + ut − + u (t ) u xx = λu + f ( x, t ), < x < 1, < t < T , H  u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ( P ) :=   u ( x,0) = u% ( x), ut ( x,0) = u% ( x)  Nhân v ∈ H 01 vào ( 2.1) lấy tích phân từ ( &( t ) , v + u&( t ) , v + + u ( t ) u& H1 →1 ) ∇u ( t ) , ∇v (2.1) theo biến x , ta = λu ( t ) + f ( t ) , v Từ (2.1) – (2.2) ta toán biến phân toán (2.2) ( P)  u& &( t ) , v + u&( t ) , v + P ( t ) ∇u ( t ) , ∇v = F ( t ) , v , Q : = ( )  , ut (0) = u% , v ∈ H 01 u (0) = u% (2.3) Trong ( ) P ( t ) = + u ( t ) ,  H1   F ( t ) = λu ( t ) + f ( t ) Khi nghiệm toán Để tìm nghiệm toán ( Q) ( Q) (2.4) nghiệm yếu toán ( P) trước hết ta thành lập giả thiết sau A1 u% ∈ H 01 ∩ H , A2 u% ∈ H 01 , A3 f ∈ C ( Ω × ¡ + ) thỏa điều kiện f ( 0, t ) = f ( 1, t ) = A4 ứng với T >0 cho trước, ta đặt { K = K ( T , f ) := sup f ( x, t ) : ( x, t ) ∈ΩT } { , } K1 = K1 ( T , f ) := sup ∇f ( x, t ) : ( x, t ) ∈ QT A5 ứng với M>0, T>0 cho trước, ta đặt u ∈ L∞ ( 0,T ; H 02 ) : u&∈ L∞ ( 0,T ; H 01 ) , u& &∈ L2 ( QT ) ;  W ( M ,T ) =   &L ( Q ) ≤ M   u L ( 0,T ;H ∩H ) ≤ M , u&L ( 0,T ; H ) ≤ M , u&  ∞ ∞ T &∈ L∞ ( QT ) } W1 ( M ,T ) = { u ∈ W ( M , T ) : u& 2.1 Xấp xỉ tuyến tính Ta liên kết toán (1.3) với dãy quy nạp tuyến tính u0 = u% Trước hết ta chọn {u } m sau Giả sử Sau đó, tìm um −1 ∈ W ( M ,T ) um ∈ W ( M , T ) (2.5) nghiệm toán biến phân tuyến tính  u& &( t ) , v + u&m ( t ) , v + Pm ( t ) ∇um ( t ) , ∇v = Fm ( t ) , v , Q : = ( m)  m , u&m (0) = u% , v ∈ H 01 um (0) = u% (2.6) Trong  P ( t ) = + u ( t ) , m m −1 H   Fm ( t ) = λum−1 ( t ) + f ( t ) Định lý 2.1 Giả sử ( A ) −( A ) dãy quy nạp tuyến tính (2.7) đúng, đó, tồn số dương { u } ∈ W ( M ,T ) m M > 0, T > xác định (2.6)-(2.7) Chứng minh chia thành nhiều bước Bước Xấp xỉ Galerkin (việc giải trực tiếp toán (2.6) không khả thi hệ với vô số phương trình Để giải vấn đề ta sử dụng phương pháp Galerkin ) {w } j Xét sở trực chuẩn H 01 H 01 ∩ H với w j ( x ) = sin ( jπ x ) , j ∈ ¥ −∆w j = ε j w j , ε j = ( jπ ) , j = 1, 2, {w } j , sở Ta tìm nghiệm xấp xỉ (1.6) dạng l um( k ) ( x, t ) = ∑ cmj( k ) ( t ) w j ( x ) j =1 umk ( x, t ) Với , thỏa hệ phương trình ( k) ( k) ( k)  & & & u t , w + u t , w + P t ∇ u ( ) ( ) ( ) ( t ) , ∇w j = Fm ( t ) , w j , m j m j m m  k Q : = ( m )  ( k) x ) , u&m( k ) (0) = u% x ) , ≤ j ≤ k  0k ( 1k ( um (0) = u% (2.8) k k j =1 j =1 u% x ) = ∑ cmj( k ) ( ) w j ( x ) = ∑ α (j k ) w j ( x ) → u% x) 0k ( 0( k k j =1 j =1 u% = ∑ c&mj( k ) ( ) w j ( x ) = ∑ β j( k ) w j ( x ) → u% x) 1k 1( Ta có k ( k) & u& t ,w j = m ( ) ∑ c&&( ) ( t ) w , w u&m( k ) ( t ) , w j = ∑ c&( ) ( t ) w , w i =1 k i =1 k mi i k mi i j j ( k) & = c& t , mj ( ) = c&mj( k ) ( t ) , H 01 ∩ H H 01 , (2.9) (1.10) k ∇um( k ) ( t ) , ∇w j = ∑ c ( ) ( t ) ∇w , ∇ w i =1 k mi i j k = ∑ cmi( k ) ( t ) ∇w i , ∇w j i =1 k = ∑ cmi( k ) ( t )  w i ( x ) ∆w j ( x ) − ∆w i , w j    i =1 k = ∑ cmi( k ) ( t ) ε i w i , w j i =1 = ε j cmj( k ) ( t ) Hệ (1.8) viết lại dạng sau ( k) c& & t = −c&mj( k ) ( t ) − ε j Pm ( t ) cmj( k ) ( t ) + Fm ( t ) , w j , mj ( )  ( k) ( k) ( k) ( k) cmj ( ) = α j , c&mj ( ) = β j ,1 ≤ j ≤ k (2.11) Từ (2.11) lấy tích phân lần từ đến t, ta ( ( k) t s 0 cmj ( t ) = α j + β j ( k) ( k) ) t +α ( k) j t t s 0 − ∫ cmj ( s ) ds − ∫ ds ∫ ε j Pm ( τ ) cmj( k ) ( τ ) dτ + ∫ ds ∫ Fm ( τ ) , w j dτ , ( k) ≤ j ≤ k (2.12) Bỏ qua số m, k, Ta viết (2.12) dạng phương trình điểm bất động H [ c ] = c, Với (2.13) H [ c ] = ( H1 [ c ] , H [ c ] , , H k [ c ] ) , H j [ c] = Qj ( t ) + U j [ c] ( t ) t s t s  Q t = α + β t + α + ds λ u τ , w d τ + ds j ) j ∫0 ∫0 m−1 ( ) j ∫0 ∫0 f ( τ ) , w j dτ  j ( ) ( j  t t s U [ c ] ( t ) = − c ( s ) ds − ds ε + u ( τ ) c ( τ ) dτ , ≤ j ≤ k m −1 j ∫0 j ∫0 ∫0 j H  j ( ) Với T ' > : T ' ∈ [ 0, T ] hàm liên tục c , đặt X ≡ C ( [ 0, T '] , ¡ c ( c1 , c2 , , cn ) : [ 0, T '] → ¡ k ) không gian Banach gồm k chuẩn k X = sup c ( t ) , c ( t ) = ∑ c j ( t ) , c ∈ X 0≤t ≤T ' Hiển nhiên j =1 H:X → X , ta chứng minh tồn H n = H  H n−1  : X → X n∈¥ cho ánh xạ co Ta có t n +1   tn  Cn n! + Cn ε k ( + 2M )  n + ! ÷ ( ) ÷   ÷ t n+2 n n   H [ c ] ( t ) − H [ d ] ( t ) ≤  +Cn ε k ( + 2M )  ÷c−d X ( n + 2) ! ÷   ÷ n t 2n ε k ( + M )   + + Cnn ÷ ÷ n !   Chứng minh Với n=1 (2.14) H j [ c] ( t ) − H j [ d ] ( t ) = U j [ c] ( t ) − U j [ d ] ( t ) t t s 0 t t s 0 t t s 0 = ∫ c j ( s ) −d j ( s ) ds + ∫ ds ∫ ε j Pm ( τ ) c j ( τ ) − d j ( τ ) dτ ≤ ∫ c j ( s ) −d j ( s ) ds + ∫ ds ∫ ε j Pm ( τ ) c j ( τ ) − d j ( τ ) dτ ≤ ∫ c j ( s ) − d j ( s ) ds + ∫ ds ∫ ε j Pm ( τ ) c j ( τ ) − d j ( τ ) dτ t t s 0 ≤ ∫ c j ( s ) − d j ( s ) ds + ε k ( + 2M ) ∫ ds ∫ c j ( τ ) − d j ( τ ) dτ Từ (2.15) lấy tổng theo j, ta t H [ c ] ( t ) − H [ d ] ( t ) = ∫ c ( s ) − d ( s ) 1ds + ε k ( + 2M t s 0 ) ∫ ds ∫ c ( τ ) − d ( τ ) t2 ≤ c ( s ) − d ( s ) X t + ε k ( + 2M ) c ( s ) − d ( s ) t2   ≤ t + ε k ( + M )  c ( s ) − d ( s ) X 2  Giả sử (2.14) với n >1 đó, ta có X dτ ( 2.15 ) H n+1 [ c ] ( t ) − H n +1 [ d ] ( t ) = H  H n [ c ]  ( t ) − H  H n [ d ]  ( t ) t ≤ ∫ H n [ c ] ( t ) − H n [ d ] ( t ) 1ds + ε k ( + 2M t s ) ∫ ds ∫ H [ c ] ( t ) − H [ d ] ( t ) n 0 n dτ t n +1   tn  Cn n! + Cn ε k ( + M )  n + ! ÷ ( ) ÷  t  ÷ t n+ 2 ≤ ∫  +Cn ε k ( + 2M )  ÷ c − d X ds ( n + 2) ! ÷ 0 2n  ÷ n n t ε k ( + M )   + + Cn ÷ ÷ 2n !    t n +1   tn   C + C ε + M )  n + !÷ n  k (  n n! ( ) ÷  t s ÷ t n+ 2 2 + ε k ( + M ) ∫ ds ∫  +Cn ε k ( + 2M )  ÷ c − d X dτ ( n + 2) ! ÷ 0 2n  ÷ n n t ε k ( + 2M )   + + Cn ÷ ÷ n!    t n+  t n +1   Cn n + ! + Cn n + ! ε k ( + M ) ÷ ( ) ( ) ÷c−d = X n +  ÷ n t n   + + C ε + M ( )  ÷÷  n ( 2n + 1) !  k   t n+3  t n+ 2   C n n + ! + Cn n + ! ε k ( + 2M ) ÷ ( ) ( ) ÷c−d + ε k ( + 2M )  n + ( )  ÷ n t n ε k ( + M )   + + Cn ÷ ÷ n + ! ( )   Ta X  t n +1  t n +2 C + ε + M C + C  n ) n + !( n n ) ÷ k ( ( )  ( n + 1) ! ÷ n +1  ÷ n t n +1 n +1 n n −1 ε ( + 2M )  ( Cn + Cn ) ÷ c − d H [ c ] ( t ) − H [ d ] ( t ) ≤  + + ( 2n + 1) !  k  ÷  ÷ 2( n +1) n +1 t  +C n ÷    n ( 2n + ) ! ε k ( + 2M )  ÷    t n +1  t n+2 C + ε + M C  n+1 ( ) n + ! n+1 ÷ ( n + 1) ! k ( )  ÷ n +1  ÷ n t n ÷c−d X ε ( + 2M )  Cn +1 =  + + ( 2n + 1) !  k  ÷  ÷ 2( n +1) n +1 t n +  +C ÷    n+1 ( 2n + ) ! ε k ( + M )  ÷   X (2.14) chứng minh Mặt khác 2n n  tn n t   lim C + + C ε + M ( ) n n k  ÷= n →∞  2n !   n!  nên tồn số n0 ∈ ¥ cho 2n  tn  t n +1 n t C + C + + C  n ÷< n n n ! n + ! n ! ( ) 0   Hn 0 Vậy cmj( k ) ( t ) ánh xạ co, H có điểm bất động Vậy (2.8) có nghiệm suy hệ (2.6) có nghiệm cho ta lấy M , T’ = T với m, k um( k ) ( t ) [ 0, T '] Đánh giá tiên nghiệm Bước Đánh giá tiên nghiệm Nhân c&mj( k ) ( t ) vào (1.6) lấy tổng theo j đến k , ta k k k k k k ( k)  & t , u&m( ) ( t ) + u&m( ) ( t ) , u&m( ) ( t ) + Pm ( t ) ∇um( ) ( t ) , ∇u&m( ) ( t ) = Fm ( t ) , u&m( ) ( t ) , m ( )  u&  ( k) , u&m( k ) ( x,0 ) = u% ( 2.15)  0k 1k um ( x,0 ) = u% Ta có d ( k)  ( k) ( k) & & & & u t , u t = u t , ( ) ( ) ( ) m m m  dt  1d  ( k) ( k) ∇um( k ) ( t ) ,  ∇um ( t ) , ∇u&m ( t ) = dt   u&( k ) ( t ) , u&( k ) ( t ) = u&( k ) ( t ) m m  m  (2.16) Từ (2.15)-(2.16) ta 2 1d  d ( k) u&m ( t ) + u&m( k ) ( t ) + Pm ( t ) ∇um( k ) ( t ) = Fm ( t ) , u&m( k ) ( t )  dt  dt k k ( ) ( ) um ( x,0 ) = u% , u&m ( x,0 ) = u% 0k 1k  Từ ( 2.17 ) lấy tích phân từ 0→t (2.17) , ta t 2 ( k) 1t d ( k) u&m ( t ) + ∫ u&m ( s ) ds + ∫ Pm ( s ) ∇um( k ) ( s ) ds = u&m( k ) ( ) 20 ds 2 t + ∫ Fm ( s ) , u&m( k ) ( s ) ds d ( k) P s ∇ u s ds = Pm ( s ) ∇um( k ) ( s ) ( ) ( ) ∫0 m ds m t Xét t (2.18) t ( k) − ∫ P& s ∇ u s ds ( ) ( ) m m (2.19) Từ (2.17)-(2.19) ta (bước ta chuyển giá trị dương phía để sử dụng bổ đề Gronwall) t t t I 23 ≤ ∫ ∇Fm ( s ) , ∇u&m( ) ( s ) ds ≤ ∫ ∇f ( s ) , ∇u&m( ) ( s ) ds + ∫ ∇um3 −1 ( s ) , ∇u&m( ) ( s ) ds k k k t t ≤ ∫ ∇f ( s ) ∇u&m( ) ( s ) ds + 2∫ ∇um3 −1 ( s ) ∇u&m( ) ( s ) ds, k k Từ A4 (2.44) , (1.5), *1.44) áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có t I 23 ≤ ∫ ∇f ( s ) t + ∇u&m( k ) ( s ) ds + ∫ ∇um3 −1 ( s ) 2 + ∇u&m( k ) ( s ) ds t ≤ ( K1 t + M 6t ) + 2∫ Z mk ( s ) ds (2.45) Từ (2.33), ta có t k I 24 ≤ ∫ u&m( ) ( t ) ≤ 4( K + M ) + ( + M ) Pm ( t ) ∆um( ) ( t ) k t + 8( 1+ M + ( K + M ) ds t ) ∫ Z ( s ) ds k m (2.46) Từ (1.36), (1.40), (1.43), (1.45) (1.46), ta t Z mk ( t ) ≤ S mk ( ) + Ymk ( ) + C1 ( M , t ) + C2 ∫ Z mk ( s ) ds (2.47) Trong C1 ( M , t ) =  ( K + M ) + λ M + K + K1 + M  t   C2 = 12 + 16 M (2.48) Ta có Smk ( ) + Ymk ( ) = ∇u&m( k ) ( ) ( + Pm ( ) ∆um( k ) ( ) ) % ∆u% = ∇u% + + u% 1k + ∇u0 0k + u&m( k ) ( ) + u% 0k 2 + Pm ( ) ∇um( k ) ( ) ( ) % ∇u% + + u% + ∇u0 0k (2.49) Từ (2.9), (2.10) (2.49), ta suy tồn M >0 cho M2 S ( 0) + Y ( 0) ≤ , ∀k , m k m k m (2.50) Từ (2.47), (2.50) bổ đề Gronwall,ta M2  Z mk ( t ) ≤  + C1 ( M , t ) ÷eC2t ,   Do (2.51) M2  C2 t M2 + C M , t e → ( )  ÷   t→0 (2.52) Từ (1.51), (1.52) ta chọn T>0 cho Z mk ( t ) ≤ M , kt = ( + 9λ ) T M 2 e ( M +1) T < (2.53) Từ (1.53), ta u&m( k ) ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [ 0,T ] u&m( k ) ( t ) suy ∇u&m( k ) ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [ 0,T ] ∇u&m( k ) ( t ) ∆um( k ) ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [ 0,T ] suy ∆um( k ) ( t ) ∇um( k ) ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [ 0,T ] suy ∇um( k ) ( t ) ( k) & u& t m ( ) L2 ,T ;L2 ( ) ( L∞ 0,T ; L2 suy ≤ M , ∀t ∈ [ 0,T ] ( k) & u& t m ( ) suy ) ≤ M, (2.54) ( ) ( ) ( ) L∞ 0,T ; L2 L∞ 0,T ; L2 L∞ 0,T ; L2 L2 ( QT ) ≤ M, (2.55) ≤ M, (2.56) ≤ M, (2.57) ≤M , (2.58) Vậy um( k ) ( t ) ∈ W ( M , T ) , ∀k , m (2.60) Bước Qua giới hạn { u( ) } k m Từ (2.60), suy tồn dãy dãy um( ) → um k k u&m( ) → u&m ( k) & & & u& m → um ∇u&m( k ) → ∇u&m L∞ ( 0, T; H10 ∩ H ) L∞ ( 0, T; H10 ) L2 ( QT ) { u( ) } k m mà ký hiệu yếu * , cho (2.61) yếu * , (2.62) yếu, (2.63) L∞ ( 0, T; L2 ) , (2.64) um ( x, t ) ∈ W ( M ,T ) , ∀m (2.65) Từ (2.62)- (2.64), ta ( k) & & u& t , w j → u& t ,w j m ( ) m( ) u&m( k ) ( t ) , w j → u&m ( t ) , w j L2 ( 0, T ) yếu, L∞ ( 0, T ) ∇um( k ) ( t ) , ∇w j → ∇um ( t ) , ∇w j (2.66) yếu * , L∞ ( 0, T ) (2.67) yếu *, Từ (2.9)-(2.10) (2.66)-(2.68), qua giới hạn (2.8), ta có L2 ( 0, T ) yếu 2.2 Sự tồn nghiệm (2.68) um ( t ) thỏa (2.6) Định lý 2.2 giả sử A1 − A3 Khi tồn số toán (1.1) có nghiệm yếu Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính u {u } m toán (1.1) không gian u ∈ W1 ( M , T ) M > 0,T > cho xác định (1.5) hội tụ mạnh nghiệm yếu { } W1 ( T ) = u ∈ L∞ ( 0, T ; H 01 ) : u&∈ L∞ ( 0, T ; L2 ) Hơn nữa, ta có đánh giá sai số um − u L ( 0,T ;H ) + u&m − u&L ( 0,T ;L ) ≤ CkTm , ∀m ≥ ∞ Trong ∞ kT ∈ ( 0,1) phụ thuộc (2.69) (đã xác định (2.53)) Và C số không phụ thuộc m mà T , u% , u% ,f Chứng minh định lý a) Sự tồn nghiệm Trước hết ta ý u W1 ( T ) W1 ( T ) với chuẩn gW ( T ) không gian Banach (xem [2]) = u L ( 0,T ; H ) + u&L ( 0,T ; L ) ∞ ∞ Ta chứng minh {u } m dãy Cauchy (2.70) W1 ( T ) Giả sử Đặt um +1 , um ∈ W ( M , T ) vm = um +1 − u m lần lược thỏa toán vm Qm+1 , Qm (2.71) thỏa mãn toán biến phân sau  v& & t , v + v&m ( t ) , v + Pm+1 ( t ) ∇vm ( t ) , ∇v + ( Pm+1 ( t ) − Pm ( t ) ) ∇um ( t ) , ∇v m( )  ( Rm ) :=  = Fm+1 ( t ) − Fm ( t ) , v  ( 2.72 ) vm (0) = v&m (0), v ∈ H Trong  Fm ( t ) = λum3 −1 ( t ) + f ( t )  P t = + u ( ) m m −  H Thay (Q ) m Xét v = v&m (2.73) (2.72), ta  v& & t , v&m + v&m ( t ) , v&m + Pm+1 ( t ) ∇vm ( t ) , ∇v&m + ( Pm+1 ( t ) − Pm ( t ) ) ∇u m ( t ) , ∇v&m m( )  = = Fm+1 ( t ) − Fm ( t ) , v&,  ( 2.74 ) vm (0) = v&m (0) =          1d v&m , dt 1d ∇vm ( t ) , ∇v&m ( t ) = ∇vm ( t ) , dt & & v& m ( t ) , vm = v&m ( t ) , v&m ( t ) = v&m ( t ) , ∇um ( t ) , ∇v&m = ∇um ( t ) v&m − ∆um ( t ) , v&m Từ ( 2.74 ) , ta 2 d d v&m ( t ) + v&m ( t ) + Pm+1 ( t ) ∇vm ( t ) dt dt Từ (2.75) lấy tích phân từ t → t, = ( Pm+1 ( t ) − Pm ( t ) ) ∆um ( t ) , v&m + Fm+1 ( t ) − Fm ( t ) , v&m ( 2.75 ) ta t d ∇vm ( s ) ds = ∫ ( Pm+1 ( s ) − Pm ( s ) ) ∆u m ( s ) , v&m ds ds t v&m ( t ) + 2∫ v&m ( s ) ds + ∫ Pm+1 ( s ) 2 t + ∫ Fm+1 ( s ) − Fm ( s ) , v&m ds ( 2.76 ) Từ (2.76), ta t t 0 S m ( t ) = ∫ P& s ∇vm ( s ) ds + 2∫ ( Pm+1 ( s ) − Pm ( s ) ) ∆u m ( s ) , v&m ds m +1 ( ) t + 2∫ Fm+1 ( s ) − Fm ( s ) , v&m ds ≡ j1 + j2 + j3 (2.77) Sm ( t ) = v&m ( t ) t + 2∫ v&m ( s ) ds + Pm+1 ( t ) ∇vm ( t ) 2 Trong (2.78) Ta đánh giá tích phân Từ (2.70)-(2.71) bất đẳng thức Holder, ta có ( ) 2 d P& u m ( t ) + ∇u m ( t ) m +1 ( t ) = dt = u&m ( t ) , um ( t ) + ∇u&m ( t ) , ∇um ( t ) ≤ u&m ( t ) um ( t ) + ∇u&m ( t ) ∇u m ( t ) ≤ 4M , (2.79) Pm +1 ( s ) − Pm ( s ) = um ( t ) + ∇um ( t ) − um −1 ( t ) − ∇um −1 ( t ) 2 ≤ um ( t ) − um −1 ( t ) 2 2 + ∇um ( t ) − ∇um −1 ( t ) 2 ≤ M um ( t ) − u m−1 ( t ) + 2M ∇um ( t ) − ∇um −1 ( t ) ≤ M vm −1 ( t ) + 2M ∇vm −1 ( t ) ≤ 2M vm −1 ( t ) W1 ( T ) , (2.80) Fm +1 ( s ) − Fm ( s ) = λum3 ( t ) − λum3 −1 ( t ) = λ um3 ( t ) − u m3 −1 ( t ) = λ ( um ( t ) − um−1 ( t ) ) ( um2 ( t ) + um ( t ) um−1 ( t ) + um2 −1 ( t ) ) ≤ 3M 2λ um ( t ) − um −1 ( t ) ≤ 3M 2λ vm −1 ( t ) Từ (2.79)-(2.81), ta có W1 ( T ) , (2.81) t t 0 2 j1 = ∫ P& s ∇vm ( s ) ds ≤ 4M ∫ ∇vm ( s ) ds m +1 ( ) ≤ 4M t ∫ S ( s ) ds m t (2.82) t j2 = 2∫ ( Pm +1 ( s ) − Pm ( s ) ) ∆um ( s ) , v&m ds ≤ 4M ∫ vm −1 ( s ) ∆um ( s ) , v&m ds W1 ( T ) t ≤ M ∫ vm −1 ( s ) W1 ( T ) ∆um ( s ) v&m ds t ≤ ∫ M vm −1 ( s ) ≤ M vm −1 ( s ) t t v&m ds ≤ ∫ 3M 2λ vm −1 ( t ) j3 ≤ ∫ Fm +1 ( s ) − Fm ( s ) W1 ( T ) W1 ( T ) t T + ∫ Sm ( s ) ds W1( T ) (2.83) v&m ds t ≤ M 4λ 2T vm−1 ( t ) v&m ds W1 ( T ) + ∫ v&m ds W1 ( T ) + ∫ S m ( s ) ds t ≤ M 4λ 2T vm−1 ( t ) (2.84) Từ (2.82)-(2.84), ta S m ( t ) ≤ ( + 9λ ) M vm−1 ( s ) t T + ( 2M + 1) ∫ S m ( s ) ds W1( T ) (2.85) Từ (2.85) sử dụng bổ đề Gronwall, ta Sm ( t ) ≤ ( + 9λ ) M vm−1 ( s ) Đặt N = ( + 9λ ) M 4Te ( W1( T ) Te ( ) 2 M +1 T , ∀t ∈ [ 0, T ] (2.86) ) , 2 M +1 T (2.87) Từ (1.86)-(1.87), ta  v& ( t ) + ∇v ( t ) ≤ N v ( s ) m m −1  m   v&m ( t ) L ( 0,T ; L ) ≤ N vm −1 ( s ) ( ) ,   vm ( t ) ≤ N vm −1 ( s ) L ( 0,T ;H ) ( )  ∞ ∞ W1( T ) , W1 T W1 T (2.88) Từ (2.70) (2.88), ta vm ( t ) Với W1( T ) kt vm ( t ) ≤ N vm −1 ( s ) ≡ kt vm−1 ( s ) W1( T ) W1( T ) (2.89) xác định (2.53) Từ (2.89), suy W1( T ) ≤ ktm v0 ( s ) W1( T ) (2.90) Từ (2.90), suy um + p − um W1 ( T ) ≤ vm+ p −1 W1 ( T ) ≤ kTm+ p −1 v0 + vm+ p −2 W1 ( T ) ≤ kTm ( + kT ) −1 = kTm ( + kT ) −1 Từ (2.91) suy { um } + + vm W1 ( T ) + kTm+ p −2 v0 v0 W1 ( T ) W1 ( T ) + + kTm v0 W1 ( T ) W1 ( T ) u1 − u0 W1 ( T ) dãy Cauchy không gian (2.91) W1 ( T ) Do tồn u ∈ W1 ( T ) cho um → u Do { um } ⊂ W ( M , T ) mạnh W1 ( T ) nên ta trích dãy ký hiệu (2.92) {u } mk cho umk → u yếu * L∞ ( 0,T ; H ) , , (2.93) L∞ ( 0, T ; H ) , u&mk → u& yếu * (2.94) L2 ( 0, T ; L2 ) , & & & u& mk → u yếu (2.95) u ∈ W ( M ,T ) (2.96) Từ (2.95), ta & &( t ) , v u& t , v → u& m ( ) k L2 ( 0,T ) yếu (2.97) Từ (2.94), ta u&m ( t ) , v → u&( t ) , v k L∞ ( 0, T ) yếu * (2.98) Pmk ( t ) ∇umk ( t ) − P ( t ) ∇u ( t ) ≤ Pmk ( T ) ∇umk ( t ) − ∇u ( t ) + Pmk ( T ) − P ( t ) ∇u ( t ) ≤ M ∇umk ( t ) − ∇u ( t ) + umk −1 ( t ) H − u(t) ≤ M ∇umk ( t ) − ∇u ( t ) + 2M u mk −1 ( t ) − u ( t ) Từ (2.96) (2.99), ta H1 ∇u ( t ) H1 ∇u ( t ) , ( 2.99 ) Pmk ( t ) ∇umk ( t ) − P ( t ) ∇u ( t ) ≤ M ∇umk ( t ) − ∇u ( t ) + 2M umk −1 ( t ) − u ( t ) H1 ≤ M ∇umk ( t ) − ∇u ( t ) + 2M umk −1 ( t ) − u ( t ) H1 ∇u ( t ) ( 2.100 ) Hay Pmk ( t ) ∇umk ( t ) − P ( t ) ∇u ( t ) ≤ M ∇umk ( t ) − ∇u ( t ) ( L∞ 0,T ; L2 + 2M umk −1 ( t ) − u ( t ) ) ( L∞ 0,T ; H ) , ∀t ∈ [ 0,T ] (2.101) Từ (2.101), ta Pmk ( t ) ∇umk ( t ) − P ( t ) ∇u ( t ) ( L∞ 0,T ; L2 ) ≤ M umk ( t ) − u ( t ) W1 ( T ) + 2M u mk −1 ( t ) − u ( t ) W1 ( T ) , ( 2.102 ) Từ (2.92) (2.102), ta Pmk ( x, t ) ∇umk ( x, t ) → P ( x, t ) ∇u ( x, t ) ∞ L ( 0,T ;L2 ) mạnh (2.103) Tương tự, ta có Fm ( x, t ) − F ( x, t ) = λ um3 −1 ( x, t ) − u ( x, t ) k k ≤ λ um −1 ( t ) − u ( t ) k (u mk −1 ( t) ) + um −1 ( t ) u ( t ) + u ( t ) , k (2.104) Từ (2.65), (2.96) (2.104), ta Fm ( x, t ) − F ( x, t ) ≤ 3λ M um −1 ( t ) − u ( t ) k Từ (2.92) (2.105), ta k W1 ( T ) , ∀t ∈ [ 0,T ] (2.105) Fm ( x, t ) → F ( x, t ) k ∞ L ( 0,T ;L2 ) mạnh (2.106) Từ (2.97)-(2.98), (2.103), (2.106) qua giới hạn (1.6) ta u thỏa toán biến phân  u& &( t ) , v + u&( t ) , v + P ( t ) ∇u ( t ) , ∇v = F ( t ) , v , Q : = ( )  , ut (0) = u% , v ∈ H 01 u (0) = u% (2.107) Từ (2.96), (2.103), (.106) -(1.107), ta &( x, t ) = −u&( x, t ) + P ( x, t ) ∆u ( x, t ) + F ( x, t ) ∈ L∞ ( 0, T ; L2 ) , u& Vậy b) (2.108) u ∈ W1 ( M , T ) (2.109) Sự nghiệm Giả sử u1 , u2 ∈ W1 ( M , T ) nghiệm toán ( Q) với w = u1 − u2 thỏa toán  w & &( t ) , v + w &( t ) , v + P2 ( t ) ∇w ( t ) , ∇v = ( P2 ( t ) − P1 ( t ) ) ∆u1 ( t ) , v  + F2 ( t ) − F1 ( t ) , v ,   & =  w(0) = w(0) Trong (2.110) P ( t ) = + u ( t ) , i  i H   Fi ( t ) = λui ( t ) + f ( t ) , i = 1,2 Từ (1.110) thay & v=w ta 2 d d &( t ) + w &( t ) + P2 ( t ) w ∇w ( t ) dt dt & = ( P2 ( t ) − P1 ( t ) ) ∆u1 ( t ) , w & + F2 ( t ) − F1 ( t ) , w (2.111) Lấy tích phân theo biến t ta t t t 0 & ds + ∫ F2 ( s ) − F1 ( s ) , w& ds S ( t ) = ∫ P& s ∇w ( s ) ds + ∫ ( P2 ( s ) − P1 ( s ) ) ∆u1 ( s ) , w 2( ) ≡ j11 + j12 + j13 t ( 2.112 ) &( t ) + ∫ w &( s ) ds + P2 ( t ) ∇w ( t ) S ( t) = w Trong 2 Đặt M = max { M , M } T = { T1 , T2 } Ta có t t 0 j11 = ∫ P& s ∇w ( s ) ds ≤ ( 2M ) ∫ S ( s ) ds 2( ) (2.113) t t 0 ( & ds ≤ 4M ∫ w ( s ) + ∇w ( s ) j12 = ∫ ( P2 ( s ) − P1 ( s ) ) ∆u1 ( s ) , w ≤ 4M t ∫ ≤ M ∫ S ( s ) ds t 0 &( s ) ds ∆u1 ( s ) w w ( s ) +ds t t ) ( 2.114 ) & ds ≤ 2λ ∫ F2 ( s ) − F1 ( s ) w &ds j13 = ∫ F2 ( s ) − F1 ( s ) , w ≤ 6λ M t ∫ w ( s) ≤ 6λ M t ∫ ≤ 3λ M w&( s ) ds &( s ) ds ∇w ( s ) w t ∫ S ( s ) ds (2.115) Từ (2.66)-(2.68) suy t t t 0 S ( t ) ≤ ( 2M ) ∫ S ( s ) ds + 4M ∫ S ( s ) ds + 3λ M ∫ S ( s ) ds t = ( M + 3λ M ) ∫ S ( s ) ds Theo bổ đề Gronwall suy S ( t) = u2 ≡ u1 (2.116) [...]... Gronwall,ta được M2  Z mk ( t ) ≤  + C1 ( M , t ) ÷eC2t ,  2  Do (2. 51) M2  C2 t M2 + C M , t e → ( )  ÷ 1 2  2  khi t→0 (2. 52) Từ (1.51), (1. 52) ta chọn T>0 sao cho Z mk ( t ) ≤ M 2 , kt = 2 ( 4 + 9λ ) T M 2 2 e ( 2 M +1) T 2 < 1 (2. 53) Từ (1.53), ta được u&m( k ) ( t ) ≤ M 2 , ∀t ∈ [ 0,T ] u&m( k ) ( t ) 2 suy ra ∇u&m( k ) ( t ) ≤ M 2 , ∀t ∈ [ 0,T ] ∇u&m( k ) ( t ) 2 ∆um( k ) ( t ) ≤ M 2 , ∀t ∈... ) + λ 2 M 6 + K 2 + K1 + M 6  t   2 C2 = 12 + 16 M (2. 48) Ta có Smk ( 0 ) + Ymk ( 0 ) = ∇u&m( k ) ( 0 ) 2 ( 2 + Pm ( 0 ) ∆um( k ) ( 0 ) ) 2 % ∆u% = ∇u% + 1 + u% 1k 0 + ∇u0 0k + u&m( k ) ( 0 ) 2 + u% 0k 2 2 + Pm ( 0 ) ∇um( k ) ( 0 ) ( ) 2 % ∇u% + 1 + u% 0 + ∇u0 0k 2 (2. 49) Từ (2. 9), (2. 10) và (2. 49), ta suy ra tồn tại M >0 sao cho M2 S ( 0) + Y ( 0) ≤ , ∀k , m 2 k m k m (2. 50) Từ (2. 47), (2. 50)... được t 2 2 I 21 ≤ ∫ 4M 2  ∇um( k ) ( s ) + ∆um( k ) ( s )  ds   0 ≤ 8M t 2 ∫ Z ( s ) ds, k m 0 (2. 40) t I 22 ≤ 2 ∫ Fm ( s ) , u&mk ( s ) ds 0 t t 0 0 ≤ 2 λum3 −1 ( s ) , u&mk ( s ) ds + 2 ∫ f ( s ) , u&mk ( s ) ds, Từ A4 (2. 42) , (2. 5), (2. 42) và áp dụng bất dẳng thức Holder, ta dược t I 22 ≤ 2 λ u 0 3 m −1 ( s) t u& ( s ) ds + 2 f ( s ) u&mk ( s ) ds k m 0 t t ≤ ∫ 2 M 3 u&mk ( s ) ds + ∫ 2 K... 1 ,2 Từ (1.110) thay & v=w ta được 2 2 d d &( t ) + 2 w &( t ) + P2 ( t ) w ∇w ( t ) dt dt 2 & = 2 ( P2 ( t ) − P1 ( t ) ) ∆u1 ( t ) , w & + 2 F2 ( t ) − F1 ( t ) , w (2. 111) Lấy tích phân theo biến t ta được t t t 0 0 0 2 & ds + 2 ∫ F2 ( s ) − F1 ( s ) , w& ds S ( t ) = ∫ P& s ∇w ( s ) ds + 2 ∫ ( P2 ( s ) − P1 ( s ) ) ∆u1 ( s ) , w 2( ) ≡ j11 + j 12 + j13 t ( 2. 1 12 ) &( t ) + 2 ∫ w &( s ) ds + P2 (... ) S ( t) = w 2 Trong đó 2 2 0 Đặt M = max { M 1 , M 2 } T = min { T1 , T2 } Ta có t t 0 0 2 j11 = ∫ P& s ∇w ( s ) ds ≤ ( 2M 2 ) ∫ S ( s ) ds 2( ) (2. 113) t t 0 0 ( & ds ≤ 4M ∫ w ( s ) + ∇w ( s ) j 12 = 2 ∫ ( P2 ( s ) − P1 ( s ) ) ∆u1 ( s ) , w ≤ 4M t 2 ∫ 0 2 ≤ 4 M 2 ∫ S ( s ) ds 0 t 0 0 &( s ) ds ∆u1 ( s ) w w ( s ) +ds t t ) ( 2. 114 ) & ds ≤ 2 ∫ F2 ( s ) − F1 ( s ) w &ds j13 = 2 ∫ F2 ( s ) − F1 (... phân trong (2. 36) t  ∇u ( k ) ( s ) 2 + ∆u ( k ) ( s ) 2  ds I 21 = ∫ P& s ( ) m m m   0 ( 2 d um −1 ( s ) + ∇um−1 ( s ) 0 ds t =∫ 2 )  ∇u ( k ) ( s ) 2 + ∆u ( k ) ( s ) 2  ds, m m   (2. 37) Từ (2. 5) và sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có ( d um −1 ( t ) dt 2 ) ≤ 2 u& ( x, t ) m −1 ≤ 2M 2 , um −1 ( x, t ) (2. 38) ( d ∇um −1 ( t ) dt 2 ) ≤ 2 ∇u& ( x, t ) m −1 ∇um−1 ( x, t ) ≤ 2M 2 , (2. 39) Từ... m ( ) (2. 32) Từ (2. 32) , suy ra ( k) ( k) ( k) ( k) & & & & u& t ≤ u&m( k ) ( t ) u& t + Pm ( t ) ∆u m( k ) ( t ) u& t + Fm ( t ) u& t m ( ) m ( ) m ( ) m ( ) 2 ≤ u&m( k ) ( t ) + Pm ( t ) 2 A4 Từ 2 ∆um( k ) ( t ) + Fm ( t ) + 2 2 2 3 ( k) & u& t m ( ) 4 (2. 33) , (2. 5) và (2. 33), ta được ( k) & u& t ≤ 4 u&m( k ) ( t ) + 4 ( 1 + 2 M 2 ) Pm ( t ) ∆u m( k ) ( t ) + 4 ( K + M 3 ) , m ( ) 2 2 2 2 (2. 34)... W1( T ) 0 (2. 85) Từ (2. 85) sử dụng bổ đề Gronwall, ta được Sm ( t ) ≤ ( 4 + 9λ 2 ) M 4 vm−1 ( s ) Đặt N 2 = ( 4 + 9λ 2 ) M 4Te ( 2 W1( T ) Te ( ) 2 2 M 2 +1 T , ∀t ∈ [ 0, T ] (2. 86) ) , 2 2 M 2 +1 T (2. 87) Từ (1.86)-(1.87), ta được  v& ( t ) 2 + ∇v ( t ) 2 ≤ N 2 v ( s ) m m −1  m   v&m ( t ) L ( 0,T ; L ) ≤ N vm −1 ( s ) ( ) ,   vm ( t ) ≤ N vm −1 ( s ) L ( 0,T ;H ) ( )  ∞ 2 ∞ 1 0 2 W1( T )... ∆um( k ) ( t ) 2 ∇um( k ) ( t ) ≤ M 2 , ∀t ∈ [ 0,T ] suy ra ∇um( k ) ( t ) 2 ( k) & u& t m ( ) 2 L2 0 ,T ;L2 ( ) ( L∞ 0,T ; L2 suy ra ≤ M 2 , ∀t ∈ [ 0,T ] ( k) & u& t m ( ) suy ra ) ≤ M, (2. 54) ( ) ( ) ( ) L∞ 0,T ; L2 L∞ 0,T ; L2 L∞ 0,T ; L2 L2 ( QT ) ≤ M, (2. 55) ≤ M, (2. 56) ≤ M, (2. 57) ≤M , (2. 58) Vậy um( k ) ( t ) ∈ W ( M , T ) , ∀k , m (2. 60) Bước 3 Qua giới hạn { u( ) } k m Từ (2. 60), suy ra tồn... có ( ) 2 2 d P& u m ( t ) + ∇u m ( t ) m +1 ( t ) = dt = 2 u&m ( t ) , um ( t ) + 2 ∇u&m ( t ) , ∇um ( t ) ≤ 2 u&m ( t ) um ( t ) + 2 ∇u&m ( t ) ∇u m ( t ) ≤ 4M 2 , (2. 79) Pm +1 ( s ) − Pm ( s ) = um ( t ) + ∇um ( t ) − um −1 ( t ) − ∇um −1 ( t ) 2 2 ≤ um ( t ) − um −1 ( t ) 2 2 2 2 + ∇um ( t ) − ∇um −1 ( t ) 2 2 ≤ 2 M um ( t ) − u m−1 ( t ) + 2M ∇um ( t ) − ∇um −1 ( t ) ≤ 2 M vm −1 ( t ) + 2M ∇vm