03 khoang cach trong hinh lang tru hinh hop p2

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 04 KHOẢNG CÁCH TRONG LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a , hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC) Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có A ' ABC hình chóp tam giác đều, mặt phẳng ( A ' BC ) vuông góc với mặt phẳng (C ' B ' BC), AB = a Tính theo a thể tích khối chóp A '.BCC ' B ' Bài 4: Cho lăng trụ ABCA′B′C ′ có đáy tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC) Góc ( AB′C ) ( BB′C ) 600 Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ theo a Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng ( AB ' C ') a Tính góc hai mặt phẳng ( AB ' C ') ( A ' B ' C ') , biết thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a 15 Bài 6*: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' , biết A ' ABC hình chóp có cạnh đáy a Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C theo a Bài 7: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, điểm A ' cách ba điểm A, B, C Góc AA ' mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AB , CC’ theo a Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vuông góc M lên AA’, Khi (P) ≡ (BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) tam giác BCH Do tam giác a a ABC cạnh a nên AM = , AO = AM = C’ A’ 3 a2 a2 a B’ ⇒ HM.BC = ⇒ HM = Theo S BCH = 8 H 3a 3a 3a AH = AM − HM = − = 16 A' O HM Do hai tam giác A’AO MAH đồng dạng nên = A C AO AH O AO.HM a a a M suy A' O = = = AH 3a B 1aa a3 a= Thể tích khối lăng trụ: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = 23 12 Bài 2: Gọi M trung điểm BC 2a 2a ; A ' AG = 600 ⇒ A ' G = AG.t an600 = 3 1 2a Thể tích V khối lăng trụ tính V = S ABC A ' G = AB AC A ' G = a.a = a (đvtt) 2 Từ giả thiết ta có BC = 2a, AG = AI = Dựng AK ⊥ BC K GI ⊥ BC I ⇒ GI // AK GI MG 1 AB AC a.a a ⇒ = = ⇒ CI = AK = = = AK MA 3 BC 2a Dựng GH ⊥ A’I H (1) Do BC ⊥ GI   ⇒ BC ⊥ GH (2) BC ⊥ A ' G  Từ (1) (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC) Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) N trung điểm AB’ Từ d [ B ', ( A ' BC )] = d [ A, ( A ' BC )] = 3d [G, ( A ' BC )] = 3GH A ' G.GI = = A' I A ' G.GI A ' G + GI = 2a a = 6a = 2a 51 17 51 12a 3a + 36 Bài 3: (Các em tự vẽ hình nhé) Gọi x độ dài cạnh bên, O tâm tam giác ABC, I M trung điểm BC B’C’ Ta có A ' M = AI = a a2 ; A ' I = x − ; IM = x  A ' I ⊥ BC ⇒ A ' I ⊥ (C ' B ' BC ) ⇒ A ' I ⊥ IM  ( A ' BC ) ⊥ (C ' B ' BC ) a 3a a Do đó: A ' I + IM = A ' M ⇔ x + x − = ⇔x= 4 a3 VA '.BCC ' B ' = A ' I BC.IM = Bài 4: (Các em tự vẽ hình nhé) Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng + Ta tính AA ' = BB ' = CC ' = a 1 + S∆ABC = AI BC = a.2a = a 2 + VABC A′B′C ′ = a 2.a = a Bài 5: + Đặt A ' I = x ⇒ B ' I = 2a − AI = a − x ⇒ AI = a + x + A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ = a 3 + Ta có AK = AI sin φ = a + x sin φ ⇒ V = AK S A ' B 'C ' ⇔ a4 − x4 a 15 a 15 2 2 4 ⇔ = a + x sin φ x.2 a − x ⇔ a − x ( x sin φ) = 9 a a 15 a = ⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ = ⇒ sin φ = ⇒ φ = 450 9 x 2 Bài 6: (Các em tự vẽ hình nhé) Gọi M , N , E trung điểm AB, BC B’C’; H = CM ∩ AN Có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ A ' ABC hình chóp ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( BCC ' B ') Ta có A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ ( BCC ' B ') ⇔ A ' N ⊥ NE • Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x( x > 0) a  NE = BB '  NE = AA ' A ' N = A ' B − BN = x − ;  ⇒ ⇒ Tứ giác ANEA ' hình bình  NE / / BB '  NE / / AA '  NE = x  hành ⇒  a A' E =  • Trong tam giác vuông A ' NE có a 3 a2 a A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x =  ⇔ x2 = a2 ⇔ x =      2 2 Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng P = −3c + 96c − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c) ≤ −3c3 + 96c − 384c + 512 − 3(7 − 2c)(8 − 2c ) ⇒ P ≤ −3c3 + 84c − 294c + 344 a a2 a3 Thể tích khối lăng trụ ABC A' B ' C ' V = A ' H S ∆ABC = = A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /( BCC ' B ') ⇒ d ( A ' A, B ' C ) = d ( A ' A, ( BCC ' B ') ) = d ( A, ( BCC ' B ') )  BC ⊥ AN •  ⇒ BC ⊥ ( A ' AN ) ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' hình chữ nhật  BC ⊥ A ' N 1a a2 ⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC = a = 2 3V a • VB ' ABC = V = = d ( A, ( BCB ') ) S ∆B ' BC ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = B ' ABC 24 S ∆B ' BC a3 a ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = 28 = a 2 Bài 7: A' C' B' K C A H G G trọng tâm ∆ ABC Ta có A ' G ⊥ ( ABC ) ( AA ';( ABC ) ) = A ' AG = 600 a Xét ∆A ' AG có A ' G = AG.tan 600 = a a2 S ABC = a2 a3 Thể tích VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' G = a = 4 AG = B Kẻ CK ⊥ A ' H ⇒ CC '// AA ' ⇒ d ( CC ', AA ' ) = d ( CC ', ( AA ' B ' B ) ) = CK Ta có CK = A ' G.CH = A' H a a2 a 13 = = 13 A ' G + HG a 39 a Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn