Toa do phang (DTDH)

Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Đề Thi Đại Học (2010 – 2015) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) N(2; –1) (Khối A – 2014) Gọi I giao điểm AC, BD Gọi a cạnh hình vuông ABCD AM = a/2; MN = 10 ; AN = 3AC/4 = A M B 3a MN² = AM² + AN² – 2AM.AN cos MAN Do 10 = a²/4 + 9a²/8 – 3a²/4 → a = I Gọi E(a, b) trung điểm CD ME = a = 4; EN = IC/2 = AC/4 = N Nên ta có: (a – 1)² + (b – 2)² = 16 (1) (a – 2)² + (b + 1)² = (2) Từ (1) (2) ta có 2a – – 3(2b – 1) = 14 a = 3b + (3) D E C Thay (3) vào (2) ta (3b+5)²+(b+1)² = 5b² + 16b + 12 = b = –2 b = –6/5 Với b = –2, a = 1, đường thẳng CD qua điểm E(1; –2) nhận EM = (0; 4) làm vector pháp tuyến, có phương trình: y + = Với b = –6/5, a = 17/5, đường thẳng CD qua điểm E(17/5; –6/5) nhận (–4/5) EM = (3; –4) làm vector pháp tuyến, có phương trình: 3(x – 17/5) – 4(y + 6/5) = hay CD: 3x – 4y – 15 = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Điểm M(–3; 0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0; –1) hình chiếu vuông góc B AD G(4/3; 3) trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D (Khối B – 2014) Gọi E, F giao điểm HG HM với BC Suy M trung điểm HE → E(–6; 1) Gọi I tâm hình bình hành ABCD Ta có: GF/GH = GC/GA = 1/2 Nên GF  HG = (2/3; 2) → F(2; 5) E B F I M C G Đường thẳng BC qua F(2; 5) nhận EF = (8; 4) làm vector phương, có phương trình A H D x – 2y + = đường thẳng BH qua H(0; –1) nhận EF làm vector pháp tuyến, có phương trình 2x + y + = Tọa độ B thỏa mãn hệ phương trình x–2y+8=0 2x+y+1 =0 x = –2 y = Suy B(–2; 3) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh A đối xứng với B qua M → A(–4; –3) GI  GA = (–4/3; –3/2) → I(0; 3/2) D đối xứng với B qua I suy D(2; 0) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với chân đường phân giác góc A D(1; –1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0; tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x+2y–7 = Viết phương trình đường thẳng BC (Khối D – 2014) Tọa độ A thỏa mãn hệ phương trình 3x  3y     x  2y   A x = y = suy A(1; 3) Gọi Δ tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E giao điểm Δ với BC Đoạn AD có trung điểm I(1; 1) AD = (0; 4) E B D C Giả sử E nằm gần đỉnh B C Khi góc ADB = góc DAC + góc ACB mà góc DAC = góc BAD góc ACB = góc EAB (ACB góc nội tiếp; EAB góc tạo tiếp tuyến với dây cung) → góc ADB = góc EAB + góc BAD = góc EAD Hay tam giác EAD cân E Đường trung trực Δ’ AD có phương trình y – = Vì E thuộc Δ’ nên E(t; 1) Mặt khác E thuộc Δ t + – = t = Suy E(5; 1) đường thẳng BC qua D(1; –1) nhận DE = (4; 2) làm vector phương nên BC có phương trình: x – 2y – = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + = A(–4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N(5; –4) hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B, C (Khối A – 2013) CB C thuộc d nên C(t; –2t – 5) Gọi I tâm hình chữ nhật suy I trung điểm AC → I( t  2t  ) ; 2 ΔBDN vuông N nên IN = IB = ID Suy IN = IA → IN² = IA² (IN  IA).(IN  IA) = AN.(IN  IA)  (9;–12).(1–t+4;4+2t–3) = 45 – 9t – 12 – 24t = t = → C(1; –7) Mặt khác IC đường trung bình ΔBDM→ IC // DM Nên IC vuông góc với BN qua trung điểm BN Đường thẳng BN qua N(5; –4) nhận AC =(5;–15) Toán Tuyển Sinh Group A D N I B C M www.facebook.com/groups/toantuyensinh làm vector pháp tuyến → BN có phương trình x – – 3(y + 4) = hay BN: x – 3y – 17 = B thuộc (BN) → B(3s + 17; s) Đường thẳng AC có phương trình 3(x + 4) + y – = hay AC: 3x + y + = Gọi H trung điểm BN → H( 3s  22 s  ) thuộc AC ; 2 → 3(3s + 22) + (s – 4) + = 10s + 70 = s = –7 Vậy B(–4; –7); C(1; –7) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x – y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt Δ hai điểm phân biệt A, B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) (Khối A – 2013) NC Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến A B (C) Vì M thuộc tia Oy nên M(0; t) với t ≥ Gọi H trung điểm đoạn AB Gọi I(xI; yI) tâm (C) HA = HB = AB/2 = 2 → IH² = IA² – HA² = 10 – = → IH = Mặt khác AH² = IH.HM → HM = mà d(M; Δ) = MH nên |t| = → t = → M(0; 8) Đường thẳng IM qua M(0; 8) nhận (1; 1) làm vector pháp tuyến có phương trình IM: x + y – = H giao điểm IM Δ nên có tọa độ nghiệm hệ phương trình x  y   x  y   x = y = → H(4; 4) Vì IH/MH = 1/4 nên IH  HM (4–xI;4–yI) = (–1; 1) (xI; yI) = (5; 3) → I(5; 3) Vậy đường tròn (C) có phương trình (x – 5)² + (y – 3)² = 10 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm H(–3; 2) Tìm tọa độ điểm C D (Khối B – 2013) Gọi I giao điểm đường chéo AC, BD Đường thẳng AC qua điểm H(–3; 2) vuông góc với BD: x + 2y – = 0, nhận n AC = (2; –1) làm vector pháp tuyến Suy AC có phương trình 2(x + 3) – y + = hay 2x – y + = Tọa độ I thỏa mãn: x + 2y – = 2x – y + = Toán Tuyển Sinh Group B H A C I D www.facebook.com/groups/toantuyensinh x = –2 y = → I(–2; 4) Mặt khác IB = IC IB vuông góc với IC → ΔIBC vuông cân I mà BH vuông góc với AD nên BH vuông góc với BC Suy ΔBCH vuông cân B Khi IC = IH = IB I trung điểm HC → C(–1; 6) IH = IB = IC = ; mà IC/IA = IB/ID = BC/AD = 1/3 → ID = 3IB = D thuộc BD nên D(6 – 2t; t) Do ID²=45(8 – 2t)² + (t – 4)² = 45 t² – 8t + = t=1 t=7 Vậy D(4; 1) D(–8; 7) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A H(17/5; –1/5) Chân đường phân giác góc A D(5; 3) trung điểm cạnh AB M(0; 1) Tìm tọa độ đỉnh C (Khối B – 2013) HD = (8/5; 16/5) = (8/5)(1; 2) Đường thẳng BC qua D(5; 3), nhận n = (2; –1) làm vector pháp tuyến, có phương trình 2(x – 5) – (y – 3) = BC: 2x – y – = A Đường thẳng AH qua H(17/5; –1/5) nhận u = (1; N 2) làm vector pháp tuyến, có phương trình M x + 2y – = A thuộc AH → A(3 – 2t; t), B đối xứng với A qua M → B(2t – 3; – t) B thuộc BC → 2(2t – 3) – (2 – t) – = B H D C 5t – 15 = t = → A(–3; 3) B(3;–1) Đường thẳng AD, nhận AD = (8; 0) làm vector phương, nên có phương trình y–3=0 Gọi N(a, b) điểm đối xứng với N qua AD Suy N thuộc cạnh AC Trung điểm MN I(a/2; b/2 + 1/2) thuộc AD MN vuông góc với AD b + = a.8 = b = a = → N(0; 5) Đường thẳng AC qua N(0; 5) nhận AN = (3; 2) làm vector phương, nên có phương trình 2x – 3y + 15 = Tọa độ C thỏa mãn 2x – 3y + 15 = 2x – y – = x = y = 11 Vậy C(9; 11) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(–9/2; 3/2) trung điểm cạnh AB, điểm H(–2; 4) điểm I(–1; 1) chân đường cao kẻ từ B tâm vòng tròn ngoại tiếp ΔABC Tìm tọa độ điểm C (Khối D – 2013) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh IM = (–7/2; 1/2); đường thẳng AB vuông góc với IM B qua M(–9/2; 3/2) có phương trình 7(x + 9/2) – (y – 3/2) = hay 7x – y + 33 = Tam giác AHB vuông H có M tâm đường tròn ngoại M tiếp MH² = (–2 + 9/2)² + (4 – 3/2)² = 25/2 I Đường tròn ngoại tiếp AHB có phương trình (C): (x + 9/2)² + (y – 3/2)² = 25/2 A H N C Tọa độ A, B thỏa mãn 7x–y+33=0 (x+9/2)²+(y–3/2)²= 25/2 Suy (x + 9/2)² + (7x + 63/2)² = 25/2 (x + 9/2)² = / x = –4 x = –5 x = –4 y = 5; x = –5 y = –2 + Với A(–4; 5), B(–5; –2): BH = (3; 6) Đường thẳng AC vuông góc với BH qua A(–4; 5) có phương trình x + 2y – = C thuộc AC suy C(6 – 2t; t) Mặt khác IA = IC (7 – 2t)² + (t – 1)² = 25 5t² – 30t + 25 = t = t = Do C khác A nên C(4; 1) + Với A(–5; –2), B(–4; 5): BH = (2; –1) Đường thẳng AC, vuông góc với BH qua A có phương trình 2x – y + = C thuộc AC suy C(t; 2t + 8) Mặt khác IA=IC (t + 1)² +(2t + 7)² = 25 5t²+30t+25 =0t = –1 t =–5 Do C khác A → C(–1; 6) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 1)² = đường thẳng Δ: y – = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), điểm N P thuộc Δ, điểm M trung điểm MN thuộc đường tròn (C) Tìm tọa độ điểm P (Khối D – 2013) Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) Đường thẳng IM vuông M góc với Δ có phương trình x – = Mà M thuộc IM → M(1; m) M thuộc (C) suy (m – 1)² = m = m = – D I 1.Vì M, N, P tạo thành tam giác nên M không thuộc Δ hay m ≠ P N Suy M(1; –1) Đồng thời (C) tiếp xúc với Δ điểm H(1; 3) Gọi D trung điểm MN Suy ID đường trung bình tam giác MHN Do ID // Δ Đường thẳng ID có phương trình y – = D thuộc ID nên tọa độ D có dạng D(t; 1) Mà D thuộc (C) (t – 1)² = t = t = –1 + Với t = 3: D(3; 1), P thuộc Δ → P(a; 3) IP vuông góc với MD IP.MD = 2(a – 1) + = a = –1 → P(–1; 3) + Với t = –1: D(–1; 1), IP vuông góc với MD IP.MD = a = → P(3; 3) Vậy P(3; 3) P(–1; 3) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M(11/2; 1/2) đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A (Khối A – 2012) CB Gọi H giao điểm AN BD Kẻ đường thẳng qua H song song với AB, cắt AD BC P Q Đặt HP = x Suy PD = x, AP = 3x HQ = 3x Ta có QC = x, nên MQ = x Do ∆AHP = ∆HMQ, suy AH vuông góc với HM đồng thời ta có AH = HM → AM = MH  d(M, AN)  10 A thuộc AN: 2x – y – = suy A(t; 2t – 3) → AM² = 45/2 = (11/2 – t)² + (7/2 – 2t)² t² – 5t + = t = t = Vậy A(1; –1) A(4; 5) A B M P D H Q N C Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vuông (Khối A – 2012) NC Phương trình tắc (E) có dạng x²/a² + y²/b² = với a > b > → 2a = → a = 4; (E) (C) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng chung Mặt khác (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành đỉnh hình vuông giao điểm có dạng A(t; t) với t>0 A thuộc (C) suy t² + t² = → t = A(2; 2) thuộc (E) nên 2² / 4² + 2² / b² = → b² = 16/3 Vậy (E): x² / 16 + y² / (16/3) = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1): x² + y² = 4, (C2): x² + y² – 12x + 18 = 0, đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2) tiếp xúc với d cắt đường tròn (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d (Khối B – 2012) (C1) có tâm O(0; 0) bán kính R1 = Gọi I(a, b), R tâm bán kính vòng tròn (C) cần viết phương trình OI vuông góc với AB mà AB vuông góc với d nên OI // d Suy đường thẳng OI có phương trình: y = x I thuộc (C2) I thuộc OI nên a=b a²+b²–12a+18=0 a=b=3 → I(3; 3) R = d(I, d) = 2 Đường tròn (C) có phương trình (x – 3)² + (y – 3)² = Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x² + y² = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox (Khối B – 2012) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Giả sử ABCD có A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy Gọi H hình chiếu vuông góc O AB Đường tròn nội tiếp ABCD có bán kính OH = Vì AC = 2BD nên OA = 2OB Gọi A(a; 0) → B(0; a/2) → OA = a OB = a/2 C 1/OH² = 1/OA² + 1/OB² 1/4 = 1/a² + 4/a² → a² = 20 Elip (E) qua A, B, C, D có bán trụ lớn a; bán trục nhỏ b = a/2 → b² = phương trình tắc (E) x² / 20 + y² / = y B O H A x D Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC, AD có phương trình x + 3y = x – y + = Đường thẳng BD qua điểm M(–1/3; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Khối D – 2012) Dựng đường thẳng d qua M song song với AD cắt AC A B N N d có phương trình x – y + 4/3 = N thuộc AC d nên tọa độ N thỏa mãn x – y + 4/3 = I x + 3y = x = –1 y = 1/3 → N(–1; 1/3) K Tọa độ A thỏa mãnx + 3y = x – y + = x = –3 y = → A(–3; 1) M Trung điểm đoạn MN E(–2/3; 2/3), đường D C trung trực Δ đoạn MN qua E vuông góc với AD Đường thẳng Δ có phương trình x + y = Gọi I, K giao điểm Δ với AC, AD → I(t1; –t1) K(t2; –t2) K thuộc AD: x – y + = → t2 = –2 → K(–2; 2) I thuộc AC: x + 3y = → t1 = → I(0; 0) D đối xứng với A(–3; 1) qua K(–2; 2) → D(–1; 3) B đối xứng với D(–1; 3) qua I(0; 0) → B(1; –3) C đối xứng với A(–3; 1) qua I(0; 0) → C(3; –1) Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A, B cắt trục Oy C, D cho AB = CD = (Khối D – 2012) Gọi I tâm đường tròn (C) cần viết phương trình Vì I thuộc d nên I(t; 2t + 3) Ta có AB = CD d(I, Ox) = d(I, Oy) |t| = |2t + 3| t = –3 t = –1 + Với t = –1, I(–1; 1) → d(I, Ox) = Bán kính đường tròn (C) R = Suy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² + (y – 1)² = + Với t = –3, I(–3; –3) → d(I, Ox) = Bán kính đường tròn (C) R = 10 Suy phương trình đường tròn (C) là: (x + 3)² + (y + 3)² = 10 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + = đường tròn (C): x² + y² – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (Khối A – 2011) CB (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = Tứ giác MAIB có hai góc vuông A, B SMAIB = IA.MA = 10 → MA = → IM² = IA² + AM² = 25 Mặt khác M thuộc Δ có dạng M(t; –t – 2) Nên (t – 2)² + (t + 3)² = 25 2t² + 2t – 12 = t = t = –3; → M(2; –4) M(–3; 1) Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): x² / + y² / = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn (Khối A – 2011) NC Do OAB cân O A, B có hoành độ dương nên A, B đối xứng qua trục Ox Gọi A(xo; yo) với xo > → B(xo; –yo) Gọi H trung điểm AB Suy H(xo; 0) → SOAB = (1/2)OH.AB = xo|yo| x o2 x  yo2  ≥ xo|yo| Đẳng thức xảy |yo| = o  mà 2 1 1 Vậy A( 2;  ), B( 2; ) A( 2; ), B( 2;  ) 2 2 Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – = d: 2x – y – = Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng Δ điểm M thỏa mãn ON.OM = (Khối B – 2011) CB N thuộc d, M thuộc Δ nên N(a; 2a – 2) M(b + 4; b) ON cắt Δ M OM, ON phương ab = (2a – 2)(b + 4) b = 8(a  1) 2a Mặt khác OM.ON = [a² + (2a – 2)²][(b + 4)² + b²] = 64 [a² + 4(a – 1)²]² = 4(2 – a)² [5a² – 8a + – 2(2 – a)][5a² – 8a + + 2(2 – a)] = (5a² – 6a)(5a² – 10a + 8) = 5a² – 6a = (vì 5a² – 10a + = vô nghiệm) a = a = 6/5 Vậy N(0; –2) N(6/5; 2/5) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(1/2; 1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Cho D(3; 1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương (Khối B – 2011) NC Vì BD = (5/2; 0) vuông góc với vector pháp tuyến n = (0; 1) EF A Suy BD // EF nên AB = AC → AD vuông góc với BC D Đường thẳng AD qua D(3; 1) nhận (1; 0) làm vector F pháp tuyến Phương trình AD x – = F thuộc FE: y – = nên có dạng F(t; 3) D BD = BF (t – 1/2)² + 2² = 25/4 t² – t – = B t = –1 t = → F(–1; 3) F(2; 3) Với F(–1; 3), đường thẳng BF có phương trình 4x + 3y – = A giao điểm AD BF suy A(3; –7/3) loại A có tung độ dương Với F(2; 3), đường thẳng BF có phương trình 4x – 3y + = 0, A(3; 13/3) Vậy A(3; 13/3) thỏa mãn đề E C Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(–4; 1) trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Tìm tọa độ đỉnh A C (Khối D – 2011) Gọi D trung điểm cạnh AC Gọi E điểm đối xứng với B qua đường thẳng d chứa phân giác góc A 15 ;0) → D(7/2; 1) G trọng tâm ΔABC → BD  BG  ( Đường thẳng BE vuông góc với d: x – y – = 0, có phương trình BE: x + y + = Suy E(t; –3 – t) Trung điểm BE I(t/2 – 2; –1 – t/2) thuộc d → t/2 – + + t/2 – = t = → E(2; –5) B DE = (–3/2; –6), đường thẳng AC qua E(2; –5) nhận n = (4; –1) làm vector pháp tuyến Đường thẳng AC có phương trình 4(x – 2) – y – = hay 4x – y – 13 = Tọa độ A thỏa mãn x – y – = 4x – y – 13 = x = y = –3 suy A(4; –3) C đối xứng với A qua D suy C(3; 5) A D E C Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – = Viết phương trình đường thẳng Δ cắt (C) hai điểm M, N cho ΔAMN vuông cân A (Khối D – 2011) Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) bán kính R = 10 Ta có: AM = AN IM = IN → IA vuông góc với MN Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh đường thẳng Δ nhận IA = (0; 2) làm vector pháp tuyến, có dạng y = m Hoành độ M, N nghiệm phương trình x² – 2x + m² + 4m – = (1) (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 m² + 4m – ≤ (*) Khi M(x1, m), N(x2, m) AM vuông góc với AN AM.AN = (x1 – 1)(x2 – 1) + m² = x1x2 – (x1 + x2) + + m² = m² + 4m – – + + m² = m² + 2m – = m = m = –3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đường thẳng Δ y = y = –3 Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x+y= 0; d2: x– y= Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho ΔABC vuông B Viết phương trình (T) biết diện tích ΔABC điểm A có hoành độ dương (Khối A – 2010) CB Ta có: d1 cắt d2 O(0; 0) ΔABC vuông B suy AC đường kính đường tròn (T) Mặt khác ΔOAB vuông B AB vuông góc với d2 Đặt góc AOB = α suy cos α = cos (d1, d2) = n1.n 1   → α = 60° n1 n 2.2 Vì đường tròn (T) tiếp xúc với d1 A nên tam giác OAC vuông A Suy góc BAC = α = 60° AB = OAsin α BC = AB tan α = OAsin α tan α 3 AB.BC  OA mà SΔABC = suy OA² = SΔABC = A thuộc d1 nên A(t; – t) → 4t² = 4/3 → t = (do A có hoành độ dương) Khi A( ; –1) Đường thẳng AC qua A vuông góc với d1, nhận (1; – ) làm vector pháp tuyến,  3(y  1)  hay AC: 3x  3y    2  3x  3y   Tọa độ C thỏa mãn hệ phương trình sau  → C( ; –2) 3x  y    1 Đường tròn (T) có tâm trung điểm I AC → I( ; ) có phương trình x  2 )  ( ) = 2 Vậy phương trình đường tròn (T) (x  )  (y  )2 = 2 Bán kính đường tròn (T) IA = Toán Tuyển Sinh Group ( www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; –3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho (Khối A – 2010) NC Gọi H chân đường cao hạ từ A ΔABC Gọi D giao điểm AH đường thẳng x + y – = Đường thẳng AH qua A(6; 6) nhận (1; –1) làm vector A(6; 6) pháp tuyến → AH: x – y = x  y  x  y   Tọa độ D nghiệm hệ phương trình  d →D(2; 2) E(1; –3) D H đối xứng với A qua D nên H(–2; –2) Đường thẳng BC qua H song song với d nên có phương trình x + y + = B H C B thuộc BC nên B(t; –t – 4) C đối xứng với B qua H nên C(–4 – t; t) E nằm đường cao hạ từ C ΔABC nên CE vuông góc với AB Hay AB.CE = (t – 6; –t – 10).(5 + t; –3 – t) = (t – 6)(t + 5) + (t + 10)(t + 3) = 2t² + 12t = t = t = –6; Vậy B(0; –4), C(–4; 0) B(–6; 2), C(2; –6) Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ΔABC vuông A có đỉnh C(–4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC biết tam giác ABC có diện tích 24 điểm A có hoành độ dương (Khối B – 2010) CB Gọi D(2a; 2b – 1) điểm đối xứng C qua đường phân giác → trung điểm CD có tọa độ I(a – 2; b) → I thuộc đường thẳng d: x + y – = a – + b – = a + b – = b = – a (1) CD vuông góc với d suy CD = (2a + 4; 2b – 2) phương với n = (1; 1) → 2a + = 2b – (2) Thay (1) vào (2) ta 2a + = 14 – 2a – a = → b = → D(4; 9) A thuộc d nên có dạng A(t; – t) với t > A có hoành độ dương AC vuông góc với AD AC.AD = (–4 – t)(4 – t) + (t – 4)(4 + t) = t = t = –4 (loại) → A(4; 1) Đường thẳng AB qua A D, nhận AD = (0; 8) làm vector phương hay nhận n1 = (1; 0) làm vector pháp tuyến Phương trình đường thẳng AB x – = Vì B thuộc AB nên B(4; m) → AB = |m – 1|; AC = Suy SABC = (1/2)AB.AC = 4|m – 1| mà SABC = 24 → |m – 1| = m = –5 m = → B(4; –5) B(4; 7) Vì AB AD hướng nên B(4; 7) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Khi CB = (8; 6), đường thẳng BC nhận n = (3; –4) làm vector pháp tuyến Đường thẳng BC có phương trình 3(x + 4) – 4(y – 1) = BC: 3x – 4y + 16 = Câu 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; ); elip (E): x² / + y² / = Gọi F1, F2 tiêu điểm E (F1 có hoành độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔANF2 (Khối B – 2010) NC Ta có: a² = 3, b² = → c = → F1(–1; 0) F2(1; 0) đường thẳng F1A qua F1(–1; 0) nhận F1A  (3; 3) làm vector phương có x 1 y  3 x 1 y Tọa độ M thỏa mãn x² / + y² / =  3 (y  1) y   9y² – 4y – = → 2 3 y = y > → M(1; ) 3 Suy MA = MF2 = ; phương trình mà N đối xứng với F2 qua M nên MN = MF2 Suy MF2 = MA = MN Đường tròn (T) ngoại tiếp ΔANF2 có tâm M bán kính MA có phương trình (T): (x – 1)² + (y – )² = 4/3 Câu 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(–2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương (Khối D – 2010) IA² = 5² + 7² = 74 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có phương trình (x + 2)² + y² = 74 AH = (0; 6) → phương trình đường thẳng AH x = Gọi D điểm đối xứng với A qua tâm I, hay AD đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC Vì BD vuông góc với AB nên BD // CH; CD vuông góc với AC nên CD // BH Suy tứ giác BHCD hình bình hành Do HD BC cắt trung điểm đường M D Suy IM đường trung bình ΔADH B M C Hay IM  AH = (0; 3) → M(–2; 3) Đường thẳng BC qua M vuông góc với AH Đường thẳng BC có phương trình y = Tọa độ B, C tọa độ giao điểm đường thẳng BC đường tròn ngoại tiếp ΔABC Phương trình hoành độ giao điểm (x + 2)² + 3² = 74 Toán Tuyển Sinh Group I H A www.facebook.com/groups/toantuyensinh x = –2 + 65 x = –2 – 65 mà C có hoành độ dương Vậy C(–2 – 65 ; 3) Câu 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) Δ đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A Δ Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH (Khối D – 2010) Đường tròn đường kính OA có tâm I(0; 1) bán kính R = OI = 1, có phương trình: x² + (y – 1)² = Gọi H(a, b) Ta có d(H, Ox) = AH b² = a² + (b – 2)² (1) H thuộc đường tròn (I, R) nên a² + (b – 1)² = (2) Từ (1) (2) suy b² = – (b – 1)² + (b – 2)² (b + 1)² = b = –1 + V b = –1 – Từ (2) suy (b – 1)² ≤ nên b = –1 + → a = 2 → H(  2; 1  ) H( 2  2; 1  ) Phương trình đường thẳng Δ là: (1  5)x  Toán Tuyển Sinh Group 2  2y = www.facebook.com/groups/toantuyensinh [...]... với d suy ra CD = (2a + 4; 2b – 2) cùng phương với n = (1; 1) → 2a + 4 = 2b – 2 (2) Thay (1) vào (2) ta được 2a + 4 = 14 – 2a – 2 a = 2 → b = 5 → D(4; 9) A thuộc d nên có dạng A(t; 5 – t) với t > 0 do A có hoành độ dương AC vuông góc với AD AC.AD = 0 (–4 – t)(4 – t) + (t – 4)(4 + t) = 0 t = 4 hoặc t = –4 (loại) → A(4; 1) Đường thẳng AB đi qua A và D, nhận AD = (0; 8) làm vector chỉ phương... 1|; AC = 8 Suy ra SABC = (1/2)AB.AC = 4|m – 1| mà SABC = 24 → |m – 1| = 6 m = –5 hoặc m = 7 → B(4; –5) hoặc B(4; 7) Vì AB và AD cùng hướng nên B(4; 7) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Khi đó CB = (8; 6), đường thẳng BC nhận n 2 = (3; –4) làm vector pháp tuyến Đường thẳng BC có phương trình 3(x + 4) – 4(y – 1) = 0 BC: 3x – 4y + 16 = 0 Câu 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,... = 3 Gọi D là điểm đối xứng với A qua tâm I, hay AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC Vì BD vuông góc với AB nên BD // CH; CD vuông góc với AC nên CD // BH Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành Do đó HD và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là M D Suy ra IM là đường trung bình ΔADH B M C 1 2 Hay IM  AH = (0; 3) → M(–2; 3) Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH Đường thẳng BC có phương... trình y = 3 Tọa độ của B, C là tọa độ giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn ngoại tiếp ΔABC Phương trình hoành độ giao điểm là (x + 2)² + 3² = 74 Toán Tuyển Sinh Group I H A www.facebook.com/groups/toantuyensinh x = –2 + 65 hoặc x = –2 – 65 mà C có hoành độ dương Vậy C(–2 – 65 ; 3) Câu 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của... suy ra (b – 1)² ≤ 1 nên b = –1 + 5 → a = 2 → H( 2 5  2; 1  5 ) hoặc H( 2 5  2; 1  5 ) Phương trình đường thẳng Δ là: (1  5)x  2 Toán Tuyển Sinh Group 5 2 5  2y = 0 www.facebook.com/groups/toantuyensinh