Toa do phang (DTDH)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình h

Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

Đề Thi Đại Học (2010 – 2015)

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là

trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N(2; –1)

(Khối A – 2014)

Gọi I là giao điểm của AC, BD

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD

AM = a/2; MN = 10; AN = 3AC/4 = 3a 2

4 MN² = AM² + AN² – 2AM.AN cos MAN

Do đó 10 = a²/4 + 9a²/8 – 3a²/4 → a = 4

Gọi E(a, b) là trung điểm của CD

ME = a = 4; EN = IC/2 = AC/4 = 2

Nên ta có: (a – 1)² + (b – 2)² = 16 (1)

và (a – 2)² + (b + 1)² = 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có 2a – 3 – 3(2b – 1) = 14

<=> a = 3b + 7 (3)

Thay (3) vào (2) ta được (3b+5)²+(b+1)² = 2

<=> 5b² + 16b + 12 = 0 <=> b = –2 hoặc b = –6/5

Với b = –2, a = 1, đường thẳng CD đi qua điểm E(1; –2) và nhận EM = (0; 4) làm vector pháp tuyến, có phương trình: y + 2 = 0

Với b = –6/5, a = 17/5, đường thẳng CD đi qua điểm E(17/5; –6/5)

và nhận (–4/5)EM = (3; –4) làm vector pháp tuyến, có phương trình:

3(x – 17/5) – 4(y + 6/5) = 0 hay CD: 3x – 4y – 15 = 0

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Điểm M(–3;

0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; –1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD

và G(4/3; 3) là trọng tâm của tam giác BCD Tìm tọa độ các điểm B và D

(Khối B – 2014)

Gọi E, F lần lượt là giao điểm của HG và HM

với BC

Suy ra M là trung điểm HE → E(–6; 1)

Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD

Ta có: GF/GH = GC/GA = 1/2

Nên GF 1HG

2

 = (2/3; 2) → F(2; 5) Đường thẳng BC đi qua F(2; 5) nhận EF = (8;

4) làm vector chỉ phương, có phương trình là

x – 2y + 8 = 0

đường thẳng BH đi qua H(0; –1) nhận EF làm vector pháp tuyến, có phương trình là 2x + y + 1 = 0

Tọa độ của B thỏa mãn hệ phương trình x–2y+8=0 và 2x+y+1 =0<=> x = –2 và y = 3 Suy ra B(–2; 3)

D

A

C

B

H

M

M

N

B

C

D

A

E

I

A đối xứng với B qua M → A(–4; –3)

1

4

 = (–4/3; –3/2) → I(0; 3/2)

D đối xứng với B qua I suy ra D(2; 0)

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với chân đường phân

giác trong của góc A là D(1; –1) Đường thẳng AB có phương trình là 3x + 2y – 9 = 0; tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x+2y–7 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC

(Khối D – 2014)

Tọa độ của A thỏa mãn hệ phương trình

3x 3y 9 0

x 2y 7 0

  



   



<=> x = 1 và y = 3 suy ra A(1; 3)

Gọi Δ là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC và E là giao điểm của Δ với BC

Đoạn AD có trung điểm là I(1; 1) và AD = (0; 4)

Giả sử E nằm gần đỉnh B hơn C

Khi đó góc ADB = góc DAC + góc ACB

mà góc DAC = góc BAD và góc ACB = góc EAB (ACB là góc nội tiếp; EAB là góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung)

→ góc ADB = góc EAB + góc BAD = góc EAD Hay tam giác EAD cân tại E

Đường trung trực Δ’ của AD có phương trình y – 1 = 0

Vì E thuộc Δ’ nên E(t; 1)

Mặt khác E thuộc Δ <=> t + 2 – 7 = 0 <=> t = 5 Suy ra E(5; 1)

đường thẳng BC đi qua D(1; –1) và nhận DE = (4; 2) làm vector chỉ phương

nên BC có phương trình: x – 2y – 3 = 0

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C

thuộc đường thẳng d: 2x + y + 5 = 0 và A(–4; 8) Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N(5; –4) là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B,

C

(Khối A – 2013) CB

C thuộc d nên C(t; –2t – 5) Gọi I là tâm hình chữ nhật suy ra I là trung điểm của AC

→ I(t 4; 2t 3

  

) ΔBDN vuông tại N nên IN = IB = ID Suy ra IN = IA

→ IN² = IA² <=> (IN IA).(IN IA)  = 0

<=> AN.(IN IA) 0<=>(9;–12).(1–t+4;4+2t–3) = 0

<=> 45 – 9t – 12 – 24t = 0 <=> t = 1 → C(1; –7)

Mặt khác IC là đường trung bình ΔBDM→ IC // DM

Nên IC vuông góc với BN và đi qua trung điểm của

BN

Đường thẳng BN đi qua N(5; –4) nhận AC=(5;–15)

I

N

A

E

làm vector pháp tuyến

→ BN có phương trình x – 5 – 3(y + 4) = 0

hay BN: x – 3y – 17 = 0

B thuộc (BN) → B(3s + 17; s)

Đường thẳng AC có phương trình 3(x + 4) + y – 8 = 0 hay AC: 3x + y + 4 = 0

Gọi H là trung điểm BN → H(3s 22 s 4;

) thuộc AC

→ 3(3s + 22) + (s – 4) + 8 = 0 <=> 10s + 70 = 0 <=> s = –7

Vậy B(–4; –7); C(1; –7)

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x – y = 0 Đường

tròn (C) có bán kính R = 10 cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 2

Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình

của đường tròn (C)

(Khối A – 2013) NC

Gọi M là giao điểm hai tiếp tuyến tại A và B của (C)

Vì M thuộc tia Oy nên M(0; t) với t ≥ 0

Gọi H là trung điểm của đoạn AB Gọi I(xI; yI) là tâm của (C)

HA = HB = AB/2 = 2 2

→ IH² = IA² – HA² = 10 – 8 = 2 → IH = 2

Mặt khác AH² = IH.HM → HM = 4 2

mà d(M; Δ) = MH nên |t| = 8 → t = 8 → M(0; 8)

Đường thẳng IM đi qua M(0; 8) và nhận (1; 1) làm vector pháp tuyến có phương

trình là IM: x + y – 8 = 0

H là giao điểm của IM và Δ nên có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

x y 0

x y 8 0

 



   

<=> x = y = 4

→ H(4; 4)

Vì IH/MH = 1/4 nên IH 1HM

4

 <=> (4–xI;4–yI) = (–1; 1) <=> (xI; yI) = (5; 3)

→ I(5; 3)

Vậy đường tròn (C) có phương trình là (x – 5)² + (y – 3)² = 10

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai

đường chéo vuông góc nhau và AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình

x + 2y – 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H(–3; 2) Tìm tọa độ các điểm C và D

(Khối B – 2013)

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo AC, BD

Đường thẳng AC đi qua điểm H(–3; 2) và vuông góc với

BD: x + 2y – 6 = 0, nhận nAC = (2; –1) làm vector pháp

tuyến Suy ra AC có phương trình 2(x + 3) – y + 2 = 0

hay 2x – y + 8 = 0

Tọa độ của I thỏa mãn: x + 2y – 6 = 0 và 2x – y + 8 = 0

H

I

<=> x = –2 và y = 4 → I(–2; 4)

Mặt khác IB = IC và IB vuông góc với IC

→ ΔIBC vuông cân tại I

mà BH vuông góc với AD nên BH vuông góc với BC

Suy ra ΔBCH vuông cân tại B Khi đó IC = IH = IB

I là trung điểm HC → C(–1; 6)

IH = IB = IC = 5; mà IC/IA = IB/ID = BC/AD = 1/3 → ID = 3IB = 3 5

vì D thuộc BD nên D(6 – 2t; t)

Do đó ID²=45<=>(8 – 2t)² + (t – 4)² = 45 <=> t² – 8t + 7 = 0 <=> t=1 hoặc t=7 Vậy D(4; 1) hoặc D(–8; 7)

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ

từ đỉnh A là H(17/5; –1/5) Chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M(0; 1) Tìm tọa độ đỉnh C

(Khối B – 2013)

HD = (8/5; 16/5) = (8/5)(1; 2)

Đường thẳng BC đi qua D(5; 3), nhận n = (2; –1) làm vector pháp tuyến, có phương trình là 2(x – 5) – (y – 3) = 0

<=> BC: 2x – y – 7 = 0

Đường thẳng AH đi qua H(17/5; –1/5) nhận u = (1;

2) làm vector pháp tuyến, có phương trình là

x + 2y – 3 = 0

A thuộc AH → A(3 – 2t; t), B đối xứng với A qua M

→ B(2t – 3; 2 – t)

B thuộc BC → 2(2t – 3) – (2 – t) – 7 = 0

<=> 5t – 15 = 0 <=> t = 3 → A(–3; 3) và B(3;–1)

Đường thẳng AD, nhận AD = (8; 0) làm vector chỉ phương, nên có phương trình là y–3=0

Gọi N(a, b) là điểm đối xứng với N qua AD Suy ra N thuộc cạnh AC

Trung điểm của MN là I(a/2; b/2 + 1/2) thuộc AD và MN vuông góc với AD

<=> b + 1 = 6 và a.8 = 0 <=> b = 5 và a = 0 → N(0; 5)

Đường thẳng AC đi qua N(0; 5) và nhận AN = (3; 2) làm vector chỉ phương, nên có phương trình là 2x – 3y + 15 = 0

Tọa độ của C thỏa mãn 2x – 3y + 15 = 0 và 2x – y – 7 = 0 <=> x = 9 và y = 11 Vậy C(9; 11)

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(–9/2; 3/2) là

trung điểm cạnh AB, điểm H(–2; 4) và điểm I(–1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ

B và tâm vòng tròn ngoại tiếp ΔABC Tìm tọa độ điểm C

(Khối D – 2013)

A

M

N

IM = (–7/2; 1/2); đường thẳng AB vuông góc với IM và đi

qua M(–9/2; 3/2) có phương trình là 7(x + 9/2) – (y –

3/2) = 0 hay 7x – y + 33 = 0

Tam giác AHB vuông tại H có M là tâm đường tròn ngoại

tiếp

MH² = (–2 + 9/2)² + (4 – 3/2)² = 25/2

Đường tròn ngoại tiếp AHB có phương trình là

(C): (x + 9/2)² + (y – 3/2)² = 25/2

Tọa độ A, B thỏa mãn 7x–y+33=0

và (x+9/2)²+(y–3/2)²= 25/2

Suy ra (x + 9/2)² + (7x + 63/2)² = 25/2

<=> (x + 9/2)² = 1 / 4 <=> x = –4 hoặc x = –5

x = –4 thì y = 5; x = –5 thì y = –2

+ Với A(–4; 5), B(–5; –2): BH = (3; 6) Đường thẳng AC vuông góc với BH và đi qua A(–4; 5) có phương trình x + 2y – 6 = 0

C thuộc AC suy ra C(6 – 2t; t) Mặt khác IA = IC <=> (7 – 2t)² + (t – 1)² = 25

<=> 5t² – 30t + 25 = 0 <=> t = 1 hoặc t = 5 Do C khác A nên C(4; 1)

+ Với A(–5; –2), B(–4; 5): BH = (2; –1) Đường thẳng AC, vuông góc với BH và đi qua A có phương trình là 2x – y + 8 = 0 C thuộc AC suy ra C(t; 2t + 8)

Mặt khác IA=IC <=> (t + 1)² +(2t + 7)² = 25 <=>5t²+30t+25 =0<=>t = –1 hoặc t

=–5

Do C khác A → C(–1; 6)

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 1)²

= 4 và đường thẳng Δ: y – 3 = 0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), điểm N và P thuộc Δ, điểm M và trung điểm của MN thuộc đường tròn (C) Tìm tọa

độ của điểm P

(Khối D – 2013)

Đường tròn (C) có tâm là I(1; 1) Đường thẳng IM vuông

góc với Δ có phương trình là x – 1 = 0 Mà M thuộc IM →

M(1; m)

M thuộc (C) suy ra (m – 1)² = 4 <=> m = 3 hoặc m = –

1.Vì M, N, P tạo thành một tam giác nên M không thuộc Δ

hay m ≠ 3

Suy ra M(1; –1)

Đồng thời (C) tiếp xúc với Δ tại điểm H(1; 3) Gọi D là trung điểm MN Suy ra ID là đường trung bình tam giác MHN Do đó ID // Δ Đường thẳng ID có phương trình y – 1 = 0

D thuộc ID nên tọa độ của D có dạng D(t; 1)

Mà D thuộc (C) <=> (t – 1)² = 4 <=> t = 3 hoặc t = –1

+ Với t = 3: D(3; 1), P thuộc Δ → P(a; 3)

IP vuông góc với MD <=> IP.MD = 0 <=> 2(a – 1) + 4 = 0 <=> a = –1 → P(–1; 3) + Với t = –1: D(–1; 1), IP vuông góc với MD <=> IP.MD = 0 <=> a = 3 → P(3; 3) Vậy P(3; 3) hoặc P(–1; 3)

I

B

M

I

N

P

M

D

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là

trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M(11/2; 1/2) và đường thẳng AN có phương trình là 2x – y – 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A

(Khối A – 2012) CB

Gọi H là giao điểm của AN và BD Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB, cắt

AD và BC lần lượt tại P và Q Đặt HP = x Suy ra PD = x, AP = 3x và HQ = 3x Ta có

QC = x, nên MQ = x Do đó ∆AHP = ∆HMQ, suy ra AH vuông góc với HM

đồng thời ta cũng có AH = HM

→ AM = MH 2 d(M, AN) 2 3 10

2

A thuộc AN: 2x – y – 3 = 0 suy ra A(t; 2t – 3)

→ AM² = 45/2 = (11/2 – t)² + (7/2 – 2t)²

<=> t² – 5t + 4 = 0 <=> t = 1 hoặc t = 4

Vậy A(1; –1) hoặc A(4; 5)

Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² = 8 Viết

phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông

(Khối A – 2012) NC

Phương trình chính tắc của (E) có dạng x²/a² + y²/b² = 1 với a > b > 0

→ 2a = 8 → a = 4;

(E) và (C) nhận Ox, Oy làm các trục đối xứng chung Mặt khác (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành 4 đỉnh hình vuông thì một trong các giao điểm có dạng A(t; t) với t>0

A thuộc (C) suy ra t² + t² = 8 → t = 2

A(2; 2) thuộc (E) nên 2² / 4² + 2² / b² = 1 → b² = 16/3

Vậy (E): x² / 16 + y² / (16/3) = 1

Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1): x² + y² = 4, (C2): x² + y² – 12x + 18 = 0, và đường thẳng d: x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2) tiếp xúc với d và cắt đường tròn (C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d

(Khối B – 2012)

(C1) có tâm O(0; 0) và bán kính R1 = 2 Gọi I(a, b), R lần lượt là tâm và bán kính của vòng tròn (C) cần viết phương trình OI vuông góc với AB mà AB vuông góc với d nên OI // d Suy ra đường thẳng OI có phương trình: y = x

I thuộc (C2) và I thuộc OI nên a=b và a²+b²–12a+18=0 <=> a=b=3 → I(3; 3)

R = d(I, d) = 2 2

Đường tròn (C) có phương trình là (x – 3)² + (y – 3)² = 8

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và

đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x² + y² = 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox

(Khối B – 2012)

B

A

M

H

N

Giả sử ABCD có A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy Gọi

H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Đường tròn nội tiếp ABCD có bán kính OH = 2

Vì AC = 2BD nên OA = 2OB

Gọi A(a; 0) → B(0; a/2)

→ OA = a và OB = a/2

1/OH² = 1/OA² + 1/OB² <=> 1/4 = 1/a² + 4/a²

→ a² = 20

Elip (E) qua A, B, C, D có bán trụ lớn a; bán trục

nhỏ b = a/2

→ b² = 5

phương trình chính tắc của (E) là x² / 20 + y² / 5 = 1

Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng

AC, AD lần lượt có phương trình x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0 Đường thẳng BD đi qua

điểm M(–1/3; 1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD

(Khối D – 2012)

Dựng đường thẳng d qua M song song với AD cắt AC

tại N

d có phương trình x – y + 4/3 = 0

N thuộc AC và d nên tọa độ N thỏa mãn x – y + 4/3 =

0 và x + 3y = 0 <=> x = –1 và y = 1/3 → N(–1; 1/3)

Tọa độ của A thỏa mãnx + 3y = 0 và x – y + 4 = 0 <=>

x = –3 và y = 1 → A(–3; 1)

Trung điểm của đoạn MN là E(–2/3; 2/3), đường

trung trực Δ của đoạn MN đi qua E và vuông góc với

AD Đường thẳng Δ có phương trình x + y = 0 Gọi I, K là giao điểm của Δ lần lượt với AC, AD

→ I(t1; –t1) và K(t2; –t2)

K thuộc AD: x – y + 4 = 0 → t2 = –2 → K(–2; 2)

I thuộc AC: x + 3y = 0 → t1 = 0 → I(0; 0)

D đối xứng với A(–3; 1) qua K(–2; 2) → D(–1; 3) B đối xứng với D(–1; 3) qua I(0; 0)

→ B(1; –3) C đối xứng với A(–3; 1) qua I(0; 0) → C(3; –1)

Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 Viết

phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A, B và cắt trục Oy tại C, D

sao cho AB = CD = 2

(Khối D – 2012)

Gọi I là tâm đường tròn (C) cần viết phương trình Vì I thuộc d nên I(t; 2t + 3)

Ta có AB = CD <=> d(I, Ox) = d(I, Oy) <=> |t| = |2t + 3| <=> t = –3 hoặc t = –1 + Với t = –1, I(–1; 1) → d(I, Ox) = 1 Bán kính của đường tròn (C) là R = 2

Suy ra phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² + (y – 1)² = 2

+ Với t = –3, I(–3; –3) → d(I, Ox) = 3 Bán kính của đường tròn (C) là R = 10

Suy ra phương trình đường tròn (C) là: (x + 3)² + (y + 3)² = 10

A

C

B

D

y

x

O H

C

D

M

N

I

K

Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường

tròn (C): x² + y² – 4x – 2y = 0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết

tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

(Khối A – 2011) CB

(C) có tâm I(2; 1) và bán kính R = 5

Tứ giác MAIB có hai góc vuông tại A, B SMAIB = IA.MA = 10 → MA = 2 5

→ IM² = IA² + AM² = 25

Mặt khác M thuộc Δ có dạng M(t; –t – 2)

Nên (t – 2)² + (t + 3)² = 25 <=> 2t² + 2t – 12 = 0 <=> t = 2 hoặc t = –3;

→ M(2; –4) hoặc M(–3; 1)

Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): x² / 4 + y² / 1 = 1 Tìm tọa độ

các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất

(Khối A – 2011) NC

Do OAB cân tại O và A, B có hoành độ dương nên A, B đối xứng nhau qua trục Ox Gọi A(xo; yo) với xo > 0 → B(xo; –yo) Gọi H là trung điểm của AB Suy ra H(xo; 0)

→ SOAB = (1/2)OH.AB = xo|yo|

mà 2o 2

o

x

4   ≥ xo|yo| Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |yo| = xo 1

2  2 Vậy A( 2; 1

2

 ), B( 2; 1

2 ) hoặc A( 2; 1

2), B( 2; 1

2

 )

Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d:

2x – y – 2 = 0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng Δ tại điểm M thỏa mãn ON.OM = 8

(Khối B – 2011) CB

N thuộc d, M thuộc Δ nên N(a; 2a – 2) và M(b + 4; b)

ON cắt Δ tại M <=> OM, ON cùng phương <=> ab = (2a – 2)(b + 4) <=> b = 8(a 1)

2 a





Mặt khác OM.ON = 8 <=> [a² + (2a – 2)²][(b + 4)² + b²] = 64

<=> [a² + 4(a – 1)²]² = 4(2 – a)²

<=> [5a² – 8a + 4 – 2(2 – a)][5a² – 8a + 4 + 2(2 – a)] = 0

<=> (5a² – 6a)(5a² – 10a + 8) = 0 <=> 5a² – 6a = 0 (vì 5a² – 10a + 8 = 0 vô nghiệm)

<=> a = 0 hoặc a = 6/5

Vậy N(0; –2) hoặc N(6/5; 2/5)

Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(1/2; 1) Đường

tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm

D, E, F Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa độ đỉnh

A, biết A có tung độ dương

(Khối B – 2011) NC

Vì BD = (5/2; 0) vuông góc với vector pháp tuyến n = (0; 1)

của EF

Suy ra BD // EF nên AB = AC

→ AD vuông góc với BC tại D

Đường thẳng AD đi qua D(3; 1) và nhận (1; 0) làm vector

pháp tuyến

Phương trình của AD là x – 3 = 0

F thuộc FE: y – 3 = 0 nên có dạng F(t; 3)

BD = BF <=> (t – 1/2)² + 2² = 25/4 <=> t² – t – 2 = 0

<=> t = –1 hoặc t = 2 → F(–1; 3) hoặc F(2; 3)

Với F(–1; 3), đường thẳng BF có phương trình là 4x + 3y – 5 = 0

A là giao điểm của AD và BF suy ra A(3; –7/3) loại vì A có tung độ dương

Với F(2; 3), đường thẳng BF có phương trình là 4x – 3y + 1 = 0, A(3; 13/3)

Vậy A(3; 13/3) thỏa mãn đề bài

Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(–4; 1) và trọng tâm

G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 =

0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

(Khối D – 2011)

Gọi D là trung điểm của cạnh AC Gọi E là điểm đối xứng với B qua đường thẳng d chứa phân giác trong của góc A

G là trọng tâm ΔABC → BD 3BG (15;0)

Đường thẳng BE vuông góc với d: x – y – 1 = 0, có phương trình là

BE: x + y + 3 = 0

Suy ra E(t; –3 – t) Trung điểm của BE là I(t/2 – 2; –1 – t/2) thuộc d

→ t/2 – 2 + 1 + t/2 – 1 = 0 <=> t = 2 → E(2; –5)

DE = (–3/2; –6), đường thẳng AC đi qua E(2; –5) và

nhận n = (4; –1) làm vector pháp tuyến

Đường thẳng AC có phương trình là 4(x – 2) – y – 5 = 0

hay 4x – y – 13 = 0

Tọa độ của A thỏa mãn x – y – 1 = 0 và 4x – y – 13 = 0

<=> x = 4 và y = –3 suy ra A(4; –3)

C đối xứng với A qua D suy ra C(3; 5)

Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x² + y²

– 2x + 4y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng Δ cắt (C) tại hai điểm M, N sao

cho ΔAMN vuông cân tại A

(Khối D – 2011)

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R = 10

Ta có: AM = AN và IM = IN → IA vuông góc với MN

D

A

B

D E

đường thẳng Δ nhận IA = (0; 2) làm vector pháp tuyến, có dạng y = m

Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình x² – 2x + m² + 4m – 5 = 0 (1)

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 <=> m² + 4m – 6 ≤ 0 (*)

Khi đó M(x1, m), N(x2, m)

AM vuông góc với AN <=> AM.AN = 0 <=> (x1 – 1)(x2 – 1) + m² = 0

<=> x1x2 – (x1 + x2) + 1 + m² = 0

<=> m² + 4m – 5 – 2 + 1 + m² = 0 <=> m² + 2m – 3 = 0 <=> m = 1 hoặc m = –3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đường thẳng Δ là y = 1 hoặc y = –3

Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+y= 0; d2: 3x– y= 0 Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho

ΔABC vuông tại B Viết phương trình của (T) biết diện tích của ΔABC bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

(Khối A – 2010) CB

Ta có: d1 cắt d2 tại O(0; 0) ΔABC vuông tại B suy ra AC là đường kính của đường tròn (T)

Mặt khác ΔOAB cũng vuông tại B do AB vuông góc với d2

Đặt góc AOB = α suy ra cos α = cos (d1, d2) = 1 2

1 2

n n 3 1 1



Vì đường tròn (T) tiếp xúc với d1 tại A nên tam giác OAC vuông tại A

Suy ra góc BAC = α = 60° AB = OAsin α và BC = AB tan α =

OAsin α tan α

AB.BC OA

mà SΔABC = 3

2 suy ra OA² = 4

3

A thuộc d1 nên A(t; – 3t) → 4t² = 4/3 → t = 1

3 (do A có hoành độ dương)

Khi đó A( 1

3 ; –1)

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d1, nhận (1; – 3) làm vector pháp tuyến,

có phương trình là x 1 3(y 1) 0

3

    hay AC: 3x 3y 4  0

Tọa độ của C thỏa mãn hệ phương trình sau 3x 3y 4 0

3x y 0

   





 

2 3



; –2)

Đường tròn (T) có tâm là trung điểm I của AC → I( 1 ; 3

2

2 3



 ) Bán kính đường tròn (T) là IA = 3 2 1 2

( ) ( )

2  2 = 1

Vậy phương trình đường tròn (T) là 1 2 3 2

2

2 3