PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG mặt PHẲNG

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ y I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : j x'Ox : trục hồnh y'Oy : trục tung O : gốc toạ độ i x' i, j : véc tơ đơn vị ( i j i O x y' j ) Quy ƣớc : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy) II Toạ độ điểm véc tơ: Định nghĩa 1: Cho M mp(Oxy) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo i, j hệ thức có dạng : OM xi y j với x,y Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M y Q j x' M i O Ký hiệu: M(x;y) ( x: hồnh độ điểm M; y: tung độ điểm M ) x P đ/n M ( x; y ) y' OM xi y j Ý nghĩa hình học: y Q M y x' x O x P x OP y=OQ y' Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Định nghĩa 2: Cho a mp(Oxy ) Khi véc tơ a biểu diển cách theo i, j hệ thức có dạng : a a1i a2 j vớ i a1,a2  a Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a y  e2 a (a1; a2 ) Ký hiệu: đ/n a=(a1;a2 ) Ý nghĩa hình học: O a a1i a2 j x P y' y K B2 B A A2 x'  e1 x' H a1 x O A1 B1 A1B1 a2 =A2 B2 y' III Các cơng thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ :  Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ) B(xB ; yB ) B( x B ; y B ) AB ( xB xA ; yB yA )  Định lý 2: A( x A ; y A ) Nếu a (a1; a2 ) b (b1 ; b2 ) * a b a1 b1 a2 b2  a  b * a b (a1 b1; a2 b2 ) * a b (a1 b1; a2 b2 ) * k.a (ka1; ka2 ) (k ) IV Sự phƣơng hai véc tơ: Nhắc lại Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Định lý phƣơng hai véc tơ: Cho hai véc tơ a b với b  Định lý :  a a phương b  b  b  a cho a k b Nếu a số k trường hợp xác định sau: k > a hướng b  a k < a ngược hướng b a k  !k Định lý :  b b , b a b A, B, C thẳng hàng - a A C B AB phương AC (Điều kiện điểm thẳng hàng )  Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) b (b1; b2 ) ta có : a phương b a1.b2 a2 b1 (Điều kiện phương véc tơ) V Tích vơ hƣớng hai véc tơ: Nhắc lại:  b  b O  a  a y a.b B A a a  b a b cos(a, b) a x' a.b b  a O  Định lý 6: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) b (b1; b2 ) ta có : a.b a1b1 a2b2 y' (Cơng thức tính tích vơ hướng theo tọa độ)  Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) ta có : a Tốn Tuyển Sinh Group a12 a22 (Cơng thức tính độ dài véc tơ ) www.facebook.com/groups/toantuyensinh x  Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) B(x B; yB ) x A )2 ( yB ( xB AB y A )2 (Cơng thức tính khoảng cách điểm)  Định lý 9: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) b (b1; b2 ) ta có a a1b1 a2b2 b (Điều kiện vng góc véc tơ)  Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) b (b1; b2 ) ta có cos(a, b) a.b a.b a1b1 a2 b2 a12 a22 b12 b22 (Cơng thức tính góc véc tơ) VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ) : MA k.MB A M B  Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B; yB ) MA k.MB ( k xM yM Đặc biệt : xA yA k x B k k y B k M trung điểm AB xM yM Tốn Tuyển Sinh Group ) xA yA 2 xB yB www.facebook.com/groups/toantuyensinh VII Một số điều kiện xác định điểm tam giác : A G trọng tâm tam giác ABC xA xG GA GB GC yA yG H trực tâm tam giác ABC ' A chân đường cao kẻ từ A AH BC AH BC BH AC BH AC AA' BA phương BC xC G yC C B A H A BC ' xB yB A' B C B C A I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA=IB IA=IC D chân đường phân giác góc A ABC D' chân đường phân giác góc A ABC J tâm đường tròn nội tiếp ABC JA I AB DC AC DB D' B C B A AB ' D C AC A AB JD BD C D B J C B Tốn Tuyển Sinh Group D www.facebook.com/groups/toantuyensinh B ĐƢỜNG THẲNG I Các định nghĩa VTCP VTPT (PVT) đƣờng thẳng: a VTCP đường thẳng ( ) n VTPT đường thẳng ( ) a đn a có giá song song trùng với ( ) n đn n có giá vuông góc với ( )  a  a  n ( ) * Chú ý: ( ) Nếu đường thẳng ( ) có VTCP a (a1; a2 ) có VTPT n ( a2 ; a1 ) Nếu đường thẳng ( ) có VTPT n ( A; B) có VTCP a ( B; A) II Phƣơng trình đƣờng thẳng : Phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc đƣờng thẳng : a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( ) qua M0(x0;y0) nhận a (a1; a2 ) làm VTCP có :  Phương trình tham số y  a ( ): M ( x; y ) x x0 t.a1 y y0 t.a2 (t ) x O M ( x0 ; y0 )  Phương trình tắc ( ): x x0 a1 y y0 a2 a1 , a2 Phƣơng trình tổng qt đƣờng thẳng : a Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n ( A; B) là: y  n O M ( x0 ; y0 ) M ( x; y ) x ( ) : A( x x0 ) B( y y0 ) ( A2 B 0) Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh b Phƣơng trình tổng qt đƣờng thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( ) có dạng :  y n ( A; B) M ( x0 ; y0 ) O  a  a Ax + By + C = với A2 B2 x ( B; A) ( B; A) Chú ý: Từ phương trình ( ):Ax + By + C = ta ln suy : VTPT ( ) n ( A; B) VTCP ( ) a ( B; A) hay a (B; A) M0 ( x0 ; y0 ) ( ) Ax0 By0 C Mệnh đề (3) hiểu : Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng Các dạng khác phƣơng trình đƣờng thẳng : a Phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm A(xA;yA) B(xB;yB) : ( AB) : x xA xB x A y yA yB y A ( AB) : x y yA y M ( x; y ) O ( AB) : y xA B( x B ; y B ) yA xA x A( x A ; y A ) yB A( x A ; y A ) xB A( x A ; y A ) y B( x B ; y B ) y A yB x B( x B ; y B ) b Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn: Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ) cắt trục hồnh điểm A(a;0) trục tung điểm B(0;b) với a, b có dạng: Tốn Tuyển Sinh Group x a y b www.facebook.com/groups/toantuyensinh x c Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k: Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Gọi (Ox, ) k tg gọi hệ số góc đường thẳng Định lý 1: Phương trình đường thẳng y qua M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k : y M ( x; y ) y0 x x0 O y - y = k(x - x ) (1) x O Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình đường thẳng qua M0 vng góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vng góc Ox x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng thẳng k có phương trình y ax b hệ số góc đường a Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng // k1 , ta có : k2 k1.k2 1 c Phƣơng trình đt qua điểm song song vng góc với đt cho trƣớc: i Phương trinh đườ ng thẳ ng ( 1) //( ): Ax+By+C=0 có ng: Ax+By+m1=0 ii Phương trinh đườ ng thẳ ng ( 1) ( ): Ax+By+C=0 có ng: Bx-Ay+m2 =0 Chú ý: m1; m2 xác định điểm có tọa độ biết nằm y : Ax By m1 : Ax By C1 M1 O x0 y 1; : Bx Ay m x M1 O x0 x : Ax By C1 Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh III Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng : y y y x O x O x O 2 // cắt Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : Vị trí tương đối ( ) ( 2) ( 1) : A1x B1y C1 ( 2) : A2 x B2 y C2 0 phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình : A1 x B1y C1 A2 x B2 y C2 hay A1 x B1y C1 A2 x B2 y C2 (1) Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M ( 1) ( 2) Định lý 1: Định lý 2: i Hệ (1) vô nghiệm ( ) //( ) ii Hệ (1) có nghiệm ( 1) iii Hệ (1) có vô số nghiệm ( 1) ( cắt ( 2) 2) Nếu A2 ; B2 ; C2 khác i ( ) cắ t ( ii ( ) // ( 2) iii ( ) ( 2) Tốn Tuyển Sinh Group 2) A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 C1 C2 www.facebook.com/groups/toantuyensinh IV Góc hai đƣờng thẳng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt tạo thành góc Số đo nhỏ số đo bốn góc gọi góc hai đường thẳng a b (hay góc hợp hai đường thẳng a b) Góc hai đường thẳng a b đước kí hiệu a, b Khi a b song song trùng nhau, ta nói góc chúng 0 Cơng thức tính góc hai đƣờng thẳng theo VTCP VTPT a) Nếu hai đường thẳng có VTCP u v v u.v cos a, b cos u, v u.v b) Nếu hai đường thẳng có VTPT n v n ' n.n ' cos a, b cos n, n ' n n' Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : Gọi ( 00 90 ) góc ( 1) ( ( 1) : A1x B1y C1 ( 2) : A2 x B2 y C2 2) 0 ta có : y A1 A2 cos A12 B1B2 B12 A22 B22 x O Hệ quả: ( 1) ( 2) A1 A2 B1B2 V Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : Ax By C điểm M0 Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) tính cơng thức: d ( M0 ; ) y Ax0 By0 C A2 H B2 O ( ) Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh x C ĐƢỜNG TRỊN I Phƣơng trình đƣờng tròn: Phƣơng trình tắc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R : y b O I (a; b) R a (C ) : ( x a)2 ( y b)2 R2 (1) M ( x; y ) x Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường tròn Đặc biệt: Khi I O (C ) : x y R2 Phƣơng trình tổng qt: a R Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x y 2ax 2by c b2 c phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính với a2 b c II Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x y 2ax 2by c điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) : ( ) : x0 x y0 y a( x x0 ) b( y y0 ) c M ( x0 ; y ) (C) ( ) I(a;b) VI Các vấn đề có liên quan: Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng tròn: (C ) (C ) (C ) I R H M Định lý: Tốn Tuyển Sinh Group I I R R H M ( ) (C) ( ) tiếp xúc (C) ( ) cắt (C) H M d(I; ) > R d(I; ) = R d(I; ) < R www.facebook.com/groups/toantuyensinh Lƣu ý: Cho đường tròn (C ) : x y 2ax 2by c đường thẳng : Ax By C Tọa độ giao điềm (nếu có) (C) ( ) nghiệm hệ phương trình: x y 2ax 2by c Ax By C (1) (2) (*) Cách giải (*): Sử dụng phép + Rút x y từ (2) thay vào (1) để phương trình ẩn Vị trí tƣơng đối hai đƣờng tròn : C1 I1 R1 R2 I2 C1 C1 C2 R2 I2 I1 R1 C2 C2 I1 R1 R2 I2 C1 I1 I C2 (C1 ) (C2 ) không cắt I1I2 > R1 R2 (C1 ) (C2 ) cắt R1 R2 < I1I2 < R1 R2 (C1 ) (C2 ) tiếp xúc I1I2 = R1 R2 (C1 ) (C2 ) tiếp xúc I1I2 = R1 R2 Lƣu ý: Cho đường tròn (C ) : x y 2ax 2by c đường tròn C ' : x2 y2 2a ' x 2b ' y c ' Tọa độ giao điểm (nếu có) (C) (C’) nghiệm hệ phương trình: x2 x y 2ax 2by c y 2a ' x 2b ' y c ' (1) (2) (*) Cách giải (*): Sử dụng phép cộng phép + Trừ vế với vế hai phương trình (1) (2) để phương trình ẩn Từ phương trình ẩn tìm rút x y thay vào (1) (2) để tiếp tục phương trình ẩn Giải phương trình nầy ta kết cần tìm Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh [...]... Phƣơng trình chính tắc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : y b O I (a; b) R a (C ) : ( x a)2 ( y b)2 R2 (1) M ( x; y ) x Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn Đặc biệt: Khi I O thì (C ) : x 2 y 2 R2 2 Phƣơng trình tổng qt: a 2 R Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x 2 y 2 2ax 2by c 0 b2 c 0 là phương trình của đường tròn (C)... (C2 ) tiếp xúc trong nhau I1I2 = R1 R2 Lƣu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 và đường tròn C ' : x2 y2 2a ' x 2b ' y c ' 0 Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình: x2 x 2 y 2 2ax 2by c y 2 0 2a ' x 2b ' y c ' 0 (1) (2) (*) Cách giải (*): Sử dụng phép cộng và phép thế + Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn Từ phương trình 1 ẩn... www.facebook.com/groups/toantuyensinh Lƣu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 và đường thẳng : Ax By C 0 Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và ( ) là nghiệm của hệ phương trình: x 2 y 2 2ax 2by c 0 Ax By C 0 (1) (2) (*) Cách giải (*): Sử dụng phép thế + Rút x hoặc y từ (2) thay vào (1) để được phương trình 1 ẩn 2 Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn : C1 I1 R1 R2 I2 C1 C1 C2 R2 I2 I1 R1 C2 C2 I1 R1... R Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x 2 y 2 2ax 2by c 0 b2 c 0 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính với a2 b 2 c II Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 tại điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) là : ( ) : x0 x y0 y a( x x0 ) b( y y0 ) c M 0 ( x0 ; y 0 ) 0 (C) ( ) I(a;b) VI Các vấn đề có liên quan:... (*): Sử dụng phép cộng và phép thế + Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn Từ phương trình 1 ẩn tìm được rút x hoặc y và thay vào (1) hoặc (2) để tiếp tục được phương trình 1 ẩn Giải phương trình nầy ta sẽ được kết quả cần tìm Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh