Thông tin tài liệu
Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Đề Thi Đại Học (2010 – 2015) Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A (1;-2;1), B(2;1;3) mặt phẳng (P) x y 2z Viết phương trình đường thẳng AB tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P) (2015) a) AB qua A (1; -2; 1) có VTCP AB =(1; 3; 2) nên có pt: x 1 y z 1 b) Tọa độ giao điểm M AB (P) nghiệm hệ phương trình: x 1 y z 1 M (0; 5; 1) x y z Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z–1=0 đường thẳng (d): x 2 y z 3 Tìm tọa độ giao điểm d (P) Viết phương 2 trình mặt phẳng chứa (d) vuông góc với (P) (Khối A – 2014) Gọi M giao điểm (d) (P) M thuộc d → M(2 + t; –2t; –3 + 3t) M thuộc (P) 2(2 + t) – 2t – 2(–3 + 3t)–1 = –6t + = t = 3/2 Vậy giao điểm d (P) M(7/2; –3; 3/2) Gọi (α) mặt phẳng chứa (d) vuông góc với mặt phẳng (P) Mặt phẳng (α) nhận u d = (1; –2; 3) n P = (2; 1; –2) làm vector phương Mặt phẳng (α) qua N(2; 0; –3) thuộc d nhận [u d ; n P ] = (1; 8; 5) làm vector pháp tuyến, có phương trình (α): x – + 8y + 5(z + 3) = x + 8y + 5z + 13 = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; –1) đường thẳng d: x 1 y z Viết phương trình mặt phẳng qua vuông góc với d Tìm tọa 2 1 độ hình chiếu vuông góc A d (Khối B – 2014) Mặt phẳng (α) qua A(1; 0; –1) có VECTOR PHÁP TUYẾN u d = (2; 2; –1) (α): 2(x – 1) + 2y – (z + 1) = 2x + 2y – z – = Gọi H hình chiếu vuông góc A d → H giao điểm d mặt phẳng (α) → H thuộc d → H(1 + 2t; –1 + 2t; –t) H thuộc (α) → 2(1 + 2t) + 2(–1 + 2t) + t – = → t = 1/3 → H(5/3; –1/3; –1/3) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x+3y–2z – = mặt cầu (S): x² + y² + z² – 6x – 4y – 2z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C) (Khối D – 2014) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 1) bán kính R 32 22 12 11 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (6; 3; –2) d(I, (P)) = 6.3 3.2 2.1 62 32 (2)2 =3 Vì d(I, (P)) < R nên mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến đường tròn (C) Gọi J tâm đường tròn (C), ta có J hình chiếu I (P) Đường thẳng IJ qua I(3; 2; 1) vuông góc (P) nên nhận n = (6; 3; –2) làm vectơ phương nên J(3 + 6t; + 3t; – 2t) J thuộc (P) nên 6(3 + 6t) + 3(2 + 3t) – 2(1 – 2t) – = → 49t + 21 = → t = –3/7 Do J(3/7; 5/7; 13/7) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z Δ: điểm A(1; 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A 3 2 vuông góc với Δ Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ cho AM = 30 (Khối A – 2013) CB Δ nhận (–3; –2; 1) làm vector phương mặt phẳng (P) qua A(1; 7; 3) vuông góc với Δ, nhận (–3; –2; 1) làm vector pháp tuyến mặt phẳng (P) có phương trình –3(x–1)–2(y–7)+z–3=0 hay (P): –3x–2y+z+14=0 M thuộc Δ → M(6 – 3t; –1 – 2t; –2 + t) AM=2 30 (5–t)²+(2t+8)²+(t–5)²=12014t²–8t–6=0t=1 t= –3/7 Suy M(3; –3; –1) M(51/7; –1/7; –17/7) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+3y+z-11=0 mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 2z – = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) (Khối A – 2013) NC (S) có tâm I(1; –2; 1) bán kính R = 14 d(I, (P)) = 2.1 3(2) 11 22 32 12 14 = R → (P) tiếp xúc với (S) Đường thẳng Δ qua I vuông góc với (P) qua tiếp điểm M (P) (S) Do M(1 + 2t; –2 + 3t; + t) M thuộc (P) → 2(1 + 2t) + 3(–2 + 3t) + + t – 11 = t = → M(3; 1; 2) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) mặt phẳng (P): 2x + 3y – z – = Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua (P) (Khối B – 2013) Đường thẳng d qua A(3; 5; 0) vuông góc với (P), nhận n P = (2; 3; –1) làm vector phương Đường thẳng d có phương trình là: x 3 y 5 z 1 Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (P) Gọi H trung điểm A’A A’ thuộc d → A’(3 + 2t; + 3t; –t) → H(3 + t; + 3t/2; –t/2) thuộc (P) 6+2t + 15 + 9t/2 + t/2 – = 7t + 14 = t = –2 suy A’(–1; –1; 2) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 1), B(–1; 2; 3) đường thẳng Δ: x 1 y z Viết phương trình đường thẳng qua A 2 vuông góc với hai đường thẳng AB Δ (Khối B – 2013) AB = (–2; 3; 2) Δ nhận u = (–2; 1; 3) làm vector phương Đường thẳng d vuông góc với AB Δ, nhận v [AB, u] = (7; 2; 4) làm vector phương đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; –1; –2), B(0; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vuông góc với (P) (Khối D – 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; –1; –2), B(0; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vuông góc với (P) Đường thẳng d qua A vuông góc với (P) nhận n = (1; 1; 1) làm vector phương Gọi H hình chiếu vuông góc A (P) H thuộc d → H(–1 + t; –1 + t; –2 + t) H thuộc (P) 3t – = t = 5/3 Suy H(2/3; 2/3; –1/3) AB = (1; 2; 3) [AB, n] = (–1; 2; –1) mặt phẳng (α) qua A, B vuông góc với (P), nhận n α = (1; –2; 1) làm vector pháp tuyến phương trình mặt phẳng (α): x – 2y + z + = Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 3; –2) mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + = Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với (P) (Khối D – 2013) d(A, (P)) = 1 2.3 2.(2) 12 (2)2 22 = 2/3 mặt phẳng (α) qua A(–1; 3; –2) song song với (P) nhận n = (1; –2; 2) làm vector pháp tuyến phương trình mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + = Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z điểm I(0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I (Khối A – 2012) CB đường thẳng d nhận u = (1; 2; 1) làm vector phương Gọi H trung điểm AB → IH vuông góc với AB H thuộc d nên H(–1+t;2t;2+t) → IH = (t – 1; 2t; t – 1) IH vuông góc với d nên IH.u = t–1+4t+t–1 = 0t=1/3 nên IH = (–2/3; 2/3; –2/3) Tam giác IAH vuông cân H nên bán kính mặt cầu (S) R = IA = IH = Vậy phương trình mặt cầu (S) x² + y² + (z – 3)² = 8/3 Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z , 1 mặt phẳng (P): x + y – 2z + = điểm A(1; –1; 2) Viết phương trình đường thẳng Δ cắt d (P) M, N cho A trung điểm đoạn MN (Khối A – 2012) NC M thuộc d nên có dạng M(–1 + 2t; t; + t); MN nhận A làm trung điểm suy N(3 – 2t; –2 – t; – t) N thuộc (P) – 2t – – t – + 2t + = t = → M(3; 2; 4) Đường thẳng Δ qua A nhận AM = (2; 3; 2) làm vector phương có phương trình Δ: x 1 y z Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z 2 hai điểm A(2; 1; 0), B(–2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d (Khối B – 2012) Gọi (S) mặt cầu qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng d → I(1 + 2t; t; –2t) IA = IB IA² = IB² (1 – 2t)² + (1 – t)² + (2t)² = (–3 – 2t)² + (3 – t)² + (2 + 2t)² t = –1 → I(–1; –1; 2) Bán kính (S) R = IA = 17 Phương trình mặt cầu (S) là: (x + 1)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 17 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 3), M(1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM (Khối B – 2012) AM = (1; 2; –3) nên đường thẳng AM có phương trình x y z 3 3 Vì B thuộc Ox, C thuộc Oy nên chúng có dạng B(b; 0; 0), C(0; c; 0) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Suy G(b/3; c/3; 1) G thuộc đường thẳng AM nên b c 1 → b = c = 3 Vậy phương trình mặt phẳng (P) x/2 + y/4 + z/3 = hay (P): 6x + 3y + 4z – 12 = Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+y–2z+10= điểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn có bán kính (Khối D – 2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = điểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn có bán kính Gọi I hình chiếu vuông góc I (P) Suy H tâm đường tròn giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cần viết phương trình Ta có IH = d(I, (P)) = Bán kính mặt cầu (S) R = IH 42 = (S) có phương trình (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 3)² = 25 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x 1 y z hai điểm A(1; –1; 2), B(2; –1; 0) Xác định tọa độ điểm M 1 thuộc d cho tam giác AMB vuông M (Khối D – 2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x 1 y z hai 1 điểm A(1; –1; 2), B(2; –1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M Do M thuộc d nên M(1 + 2t; –1 – t; t) AM = (2t; –t; t – 2), BM = (2t – 1; –t; t) ΔAMB vuông M AM.BM = 6t² – 4t = t = t = 2/3 Vậy M(1; –1; 0) M(7/3; –5/3; 2/3) Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) mặt phẳng (P): 2x–y–z+4=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA=MB= (Khối A – 2011) CB Gọi (α) mặt phẳng trung trực AB, I trung điểm AB → I(1; –1; 2) AB = (–2; –2; 2) = –2(1; 1; –1) Mặt phẳng (α) qua I(1; –1; 2) nhận (1; 1; –1) làm vector pháp tuyến, có phương trình x + y – z + = Vì MA = MB nên M thuộc (α); mà M thuộc (P) suy M thuộc đường giao tuyến d (α) (P) Dễ thấy (α) (P) nhận N(0; 1; 3) điểm chung (P) nhận n p = (2; –1; –1) làm vector pháp tuyến (α) nhận n α = (1; 1; –1) làm vector pháp tuyến [ n p , n α ] = (2; 1; 3) Giao tuyến d qua N(0; 1; 3) nhận (2; 1; 3) làm vector phương M thuộc d nên M(2t; + t; + 3t) MA = MA² = (2t – 2)² + (1 + t)² + (2 + 3t)² = 14t² + 6t = t = t = –3/7 Vậy M(0; 1; 3) M(–6/7; 4/7; 12/7) Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x – 4y – 4z = điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết B thuộc (S) tam giác OAB (Khối A – 2011) NC (S) có tâm I(2; 2; 2) bán kính R = ; O(0; 0; 0) A(4; 4; 0) thuộc mặt cầu (S) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh ΔOAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = OA 3 Gọi (α) mặt phẳng chứa O, A, B d(I, α) = R2 r2 mặt phẳng (α) qua O có dạng (α): ax + by + cz = A thuộc (α) suy b = –a d(I, α) = 2c 2a c2 (a² + b² + c² ≠ 0) → c² = a² → c = a c = –a Với c = a: phương trình mặt phẳng (α) x – y + z = Với c = –a: phương trình mặt phẳng (α) x – y – z = Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y 1 z 2 1 mặt phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm Δ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với Δ MI = 14 (Khối B – 2011) CB I thuộc Δ → I(2 + t; –1 – 2t; –t) I thuộc (P) → – 2t – = t = –1 I(1; 1; 1) Gọi M(a + 1, b + 1, c + 1) thuộc (P) cho MI vuông góc với Δ MI = 14 a b c b 2a c 3a Ta có a 2b c → a = a = –4 2 a b c 224 14a 224 Với a = 4, b = 8; c = –12: M(5; 9; –11) Với a = –4; b = –8; c = 12: M(–3; –7; 13) Vậy M(5; 9; –11) M(–3; –7; 13) Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y 1 z hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ 2 cho tam giác MAB có diện tích (Khối B – 2011) M thuộc Δ → M(–2 + t; + 3t; –5 – 2t) Ta có AM = (t; 3t; –6 – 2t) BM = (t + 1; 3t + 2; –7 – 2t) [AM, BM] = (–t – 12; t + 6; t) 3t 36t 180 SMAB = 3t² + 36t + 180 = 180 SMAB = t² + 12t = t = t = –12 Vậy M(–1; 1; –5) M(–14; –35; 19) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x 1 y z Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d cắt 2 trục Ox (Khối D – 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x 1 y z Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d cắt 2 trục Ox mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 3), vuông góc với d, có phương trình 2(x – 1) + y – – 2(z – 3) = hay (P): 2x + y – 2z + = mặt phẳng (P) cắt trục Ox B(–1; 0; 0) Gọi Δ đường thẳng cần viết phương trình Suy Δ qua A B AB = (–2; –2; –3), phương trình đường thẳng Δ x 1 y z 2 Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x 1 y z mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Δ, có bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) (Khối D – 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x 1 y z mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Δ, có bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) Gọi I tâm mặt cầu (S) cần viết phương trình I thuộc Δ → I(1 + 2t; + 4t; t) Mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng (P) d(I, (P)) = 2(1 2t) (3 4t) 2t =1 |2t – 1| = t = –1 t = → I(–1; –1; –1) I(5; 11; 2) phương trình mặt cầu (S) là: (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² = (x – 5)² + (y – 11)² + (z – 2)² = Câu 23 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x 1 y z mặt 1 phẳng (P): x – 2y + z = Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = (Khối A – 2010) CB Đường thẳng Δ có vector phương u = (2; 1; –1) mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến n = (1; –2; 1) cos ( u, n ) = u.n 1 u n 6 Gọi H hình chiếu vuông góc M (P) Suy cos CMH = |cos ( u, n )| = 1/6 Khi d(M, (P)) = MH = MC.cos CMH = Toán Tuyển Sinh Group 6 www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 24 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) đường thẳng ∆: x 2 y2 z3 Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = (Khối A – 2010) NC Đường thẳng Δ qua điểm M(–2; 2; –3) nhận u = (2; 3; 2) làm vector phương Ta có MA = (2; –2; 1) [ u , MA ] = (7; 2; –10) d(A, Δ) = [u, MA] u 49 100 =3 494 Gọi (S) mặt cầu tâm A cắt Δ B, C cho BC = Bán kính (S) R = AB = [d(A, Δ)]2 ( BC ) =5 Vậy phương trình mặt cầu (S) x² + y² + (z + 2)² = 25 Câu 25 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) b, c dương mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) 1/3 (Khối B – 2010) CB Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng x + y/b + z/c – = mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) nên 1/b – 1/c = hay b = c d(O, (ABC)) = 1/3 1 1/ b 1/ c suy + 2/b² = b² = 1/4 b = 1/2 (vì b > 0) Vậy b = c = 1/2 Câu 26 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x y 1 z Xác định 2 tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến Δ OM (Khối B – 2010) NC Δ qua A(0; 1; 0) nhận u = (2; 1; 2) làm vector phương M thuộc Ox, có dạng M(m; 0; 0) → AM = (m; –1; 0) Suy [ u, AM ] = (2; 2m; –2 – m) d(M, Δ) = u, AM u 5t 4t Ta có: d(M, Δ) = OM 5m2 4m m m² – m – = m = –1 m = → M(–1; 0; 0) M(2; 0; 0) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z = (Q): x y + z = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) (Khối D – 2010) (P) nhận n P = (1; 1; 1) làm vector pháp tuyến (Q) nhận nQ = (1; –1; 1) làm vector pháp tuyến [n P , n Q ] = (2; 0; –2) = 2(1; 0; –1) mặt phẳng (R) vuông góc với (P), (Q) nên nhận n = (1; 0; –1) làm vector pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (R) có dạng x – z + D = Ta có d(O, (R)) = → D D = 2 Vậy mặt phẳng (R) có phương trình x – z + 2 = x – z – 2 = x t Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1: y t z t Δ2: x y 1 z Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ1 cho khoảng cách từ M đến Δ2 2 (Khối D – 2010) Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ1 cho khoảng cách từ M đến Δ2 M thuộc Δ1 → M(3 + t; t; t) Δ2 qua A(2; 1; 0) nhận u = (2; 1; 2) làm vector phương → AM = (1 + t; t – 1; t), [u, AM] = (–t + 2; 2; t – 3) d(M, Δ2) = [u, AM u 2t 10t 17 suy 2t² – 10t + 17 = t² – 5t + = t = t = Vậy M(4; 1; 1) M(7; 4; 4) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh
Ngày đăng: 15/10/2016, 23:16
Xem thêm: Toa do khong gian
