Ứng dụng newton raphson phân tích đa thức vô nghiệm

PHÂN TÍCH ĐA THỨC VÔ NGHIỆM BẰNG THUẬT TOÁN LẶP NEWTON Hà Nội, ngày 22 tháng năm 2016 Lâm Minh – VNCASIOer Team Ý TƯỞNG Vào ngày 27/2/2016 có đăng viết ngắn giải thích nguyên lí chức Solve CASIO lên Group CASIOer: F-tik PT – BPT – HPT Vô Tỷ, cho thấy nhà sản xuất sử dụng thuật toán lặp Newton – Raphson để giúp máy dò nghiệm PT Các bạn xem lại viết web nhóm: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/ Bài viết sau bạn Hoàng Xuân Tuyển (1 Admin sáng tạo group) tìm hiểu nảy ý tưởng ứng dụng thuật toán MODE số phức (MODE 2) CASIO để tìm nghiệm phức PT vô tỷ nhằm F-tik PT vô nghiệm thực Tuy nhiên ý tưởng tạm thời bị trục trặc hạn chế MODE thuật toán Newton, là:  MODE hạn chế tính biểu thức số phức với số mũ số dòng máy  MODE không tính bậc n biểu thức số phức  Thuật toán Newton yêu cầu phải tính đạo hàm PT việc nhập PT lẫn đạo hàm làm tràn hình  Thuật toán Newton yêu cầu giá trị ban đầu X để hội tụ nghiệm (nguyên lí Solve) tốc độ hội tụ nhanh chậm, không thuận tiện PT “lớn” ta hội tụ tay Mặc dù bị trục trặc với PT vô tỷ có chứa căn, song với PT đa thức, ta hoàn toàn áp dụng phương pháp để phân tích đa thức vô nghiệm thành nhân tử, tốc độ hội tụ thuật toán PT đa thức nhanh Sau ví dụ minh họa việc phân tích đa thức vô nghiệm thành nhân tử phương pháp này, chưa biết thuật toán Newton – Raphson đọc viết ngắn web Team (có trang thôi), không xem ví dụ chẳng hiểu đâu đấy!  VÍ DỤ MINH HỌA 𝑽𝑫𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐 Ta có 𝑓 ′ (𝑥) = 8𝑥 + 9𝑥 + 6𝑥, chuyển máy sang MODE số phức, nhập vào câu lệnh sau: 𝑿=𝑿− 𝟐𝑿𝟒 + 𝟑𝑿𝟑 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐 𝟖𝑿𝟑 + 𝟗𝑿𝟐 + 𝟔𝑿 Lưu ý quan trọng nè: nói mục 1, số dòng máy người ta thiết kế cho tính biểu thức số phức với mũ không (rất vớ vẩn không rõ lí gì! Các bạn tự kiểm tra máy xem có bị không nhé), dẫn đến câu lệnh bạn phải nhập sau, không không làm tiếp được: 𝑿=𝑿− 𝟐𝑿𝑿𝟑 + 𝟑𝑿𝟑 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐 𝟖𝑿𝟑 + 𝟗𝑿𝟐 + 𝟔𝑿 Ở có lỗi buồn cười tí tài liệu đưa ra, bạn không nhập đầy đủ biểu thức viết mà lại nhập có 𝑋 − 2𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + , nhắn tin lại cho không hội tụ được…  8𝑋3 + 9𝑋2 + 6𝑋 Ok! Giờ ta bấm 𝐶𝐴𝐿𝐶 , cho X giá trị ban đầu (phức) đó, chẳng hạn cho 𝑋 = 𝑖, sau ta ấn = liên tục, câu lệnh hội tụ giá trị X dần nghiệm phức PT Chỉ cần nhấn = tầm mười lần, ta thấy kết hình không thay đổi liên tục nữa, nghiệm phức hội tụ Giá trị hội tụ là: 𝑋 = + 0,6614378278𝑖 → 𝐴 (lưu vô A) Như nghiệm phức PT, nghiệm phức theo cặp liên hợp, nên nghiệm phức khác PT số phức liên hợp A, nghĩa 𝑋 = − 0,6614378278𝑖 Bằng cách tính tổng tích chúng ta tìm nhân tử 𝑓(𝑥)  Để tính tổng tích chúng bạn sử dụng phép tính sau: 𝑆 = 𝐴 + 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑨) = ⇒ { 𝑃 = 𝐴𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑨) = 1 (𝑥 − 𝑥 + ) nhân tử cần tìm! 2 Trong Conjg(A) chức tính số phức liên hợp A, bấm 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 2 bạn thấy!  Tôi có sử dụng vài toán người để ý Vậy phân tích được: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 𝑥 + 1)(𝑥 + 2𝑥 + 2) 𝑽𝑫𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟕 Ta có: 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 + 6𝑥 + 10𝑥 + 10, nhập câu lệnh sau: 𝑿=𝑿− 𝑿𝟒 + 𝟐𝑿𝟑 + 𝟓𝑿𝟐 + 𝟏𝟎𝑿 + 𝟕 𝟒𝑿𝟑 + 𝟔𝑿𝟐 + 𝟏𝟎𝑿 + 𝟏𝟎 (Chú ý số mũ nhé! ) Bấm 𝐶𝐴𝐿𝐶 cho 𝑋 = 𝑖 ta = liên tục để kiếm nghiệm phức nó! Lưu ý vài lần bấm đầu tính chậm kệ nhé, phương pháp phân tích nhanh số phương pháp phân tích đa thức vô nghiệm mà VNCTeam nghiên cứu trước đó! Và sau mười lần bấm, ta thu được: 𝑋 = −1,207106781 + 0,3587194676𝑖 Nghiệm phức khác đa thức số phức liên hợp nghiệm tìm này, ta tính tổng tích để kết thúc toán thôi: { 𝑆 = 𝑋 + 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑿) = −2,414213562 = −1 − √2 𝑃 = 𝑋𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑿) = 1,585786438 = − √2 ⇒ (𝑥 + (1 + √2)𝑥 + − √2) nhân tử ta! Do nhân tử lại là: (𝑥 + (1 − √2)𝑥 + + √2) Vậy: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + (1 + √2)𝑥 + − √2)(𝑥 + (1 − √2)𝑥 + + √2) Phương pháp mạnh chứ? Hệ số xấu không tha, chém luôn!  Ở việc nhìn số xác S P đơn giản liên quan đến √2, không nhìn dễ dàng lưu lại lôi tool TABLE xử nốt!  𝑽𝑫𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟔 + 𝟏𝟒𝒙𝟓 + 𝟑𝟎𝒙𝟒 + (𝟓𝟒 − 𝟔√𝟔)𝒙𝟑 + (𝟓𝟐 − 𝟒√𝟔)𝒙𝟐 + (𝟐𝟔 − 𝟐√𝟔)𝒙 + 𝟕 Đa thức vô nghiệm đấy, thách bạn dùng cách biết mà phân tích thành tích tam thức bậc vô nghiệm được! Ai có cách khác vui lòng liên hệ để nghiên cứu phát triển kỹ thuật CASIO nhé!  Ta có: 𝑓 ′ (𝑥) = 18𝑥 + 70𝑥 + 120𝑥 + 3(54 − 6√6)𝑥 + 2(52 − 4√6)𝑥 + 26 − 2√6, nhập lệnh sau: 𝑿=𝑿− 𝟑𝑿𝟔 + 𝟏𝟒𝑿𝟓 + 𝟑𝟎𝑿𝟒 + 𝑨𝑿𝟑 + 𝑩𝑿𝟐 + 𝑪𝑿 + 𝟕 (∗) 𝑫𝑿𝟓 + 𝑴𝑿𝟒 + 𝒀𝑿𝟑 + 𝟑𝑨𝑿𝟐 + 𝟐𝑩𝑿 + 𝑪 Trong bạn gán trước: 𝐴 = 54 − 6√6; 𝐵 = 52 − 4√6; 𝐶 = 26 − 2√6; 𝐷 = 18; 𝑀 = 70; 𝑌 = 120 để nhập lệnh không bị tràn hình Thực tế dòng máy không cho tính biểu thức phức với số mũ 3, biểu thức dài bị tràn tối giản trên, không sao, máy bạn nhập này: 𝟑𝑿𝟑 𝑿𝟑 + 𝟏𝟒𝑿𝟑 𝑿𝟐 + 𝟑𝟎𝑿𝑿𝟒 + 𝑨𝑿𝟑 + 𝑩𝑿𝟐 + 𝑪𝑿 + 𝟕 (∗∗) 𝑫𝑿𝟑 𝑿𝟐 + 𝑴𝑿𝑿𝟒 + 𝒀𝑿𝟑 + 𝟑𝑨𝑿𝟐 + 𝟐𝑩𝑿 + 𝑪 Nếu máy bạn nhập theo câu lệnh (∗) ok rồi, làm tiếp 2VD trước Nhưng phải nhập theo lệnh (∗∗), chưa có vòng lặp để hội tụ nên phải làm khác chút hướng dẫn sau (còn chất không thay đổi)… Tính kết (∗∗) 𝑋 = 𝑖 sau tính tiếp phép tính 𝑋 = 𝑋 − Ans, dùng phím ∆ để chuyển đổi phép tính (tính xong quay lên tính kia), kết hợp với 𝐶𝐴𝐿𝐶 để tính 𝑋 = 𝑋 − Ans, hội tụ thôi!  Hơi lâu la, cuối ta được: 𝑋 = − + 0,4714045208𝑖 Từ nhân tử đầu tiên: 𝑆 = 𝑋 + 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑿) = − { 𝑃 = 𝑋𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑿) = 3 ⇒ (3𝑥 + 2𝑥 + 1) nhân tử ta! Lặp lại trình cách thay giá trị ban đầu khác: 𝑋 = 5𝑖, vào câu lệnh: 𝟑𝑿𝟑 𝑿𝟑 + 𝟏𝟒𝑿𝟑 𝑿𝟐 + 𝟑𝟎𝑿𝑿𝟒 + 𝑨𝑿𝟑 + 𝑩𝑿𝟐 + 𝑪𝑿 + 𝟕 𝑫𝑿𝟑 𝑿𝟐 + 𝑴𝑿𝑿𝟒 + 𝒀𝑿𝟑 + 𝟑𝑨𝑿𝟐 + 𝟐𝑩𝑿 + 𝑪 Ta thu nghiệm là: 𝑋 = −0,1339745962 + 1,252133078𝑖 Vậy nhân tử là: { 𝑆 = 𝑋 + 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑿) = −0,2679491924 = −2 + √3 𝑃 = 𝑋𝐂𝐨𝐧𝐣𝐠(𝑿) = 1,585786438 = − √2 ⇒ (𝑥 + (2 − √3)𝑥 + − √2) nhân tử tiếp theo! Nhân tử lại chắn bạn tìm dễ dàng phải không? Nó hệ số (và chứa √2; √3) nên tốt dùng EQN mà tìm cho nhanh! Kết luận: 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2𝑥 + 1)(𝑥 + (2 − √3)𝑥 + − √2)(𝑥 + (2 + √3)𝑥 + + √2) Mặc dù lâu gấp chục lần VD trước điều cho thấy phương pháp lặp Newton – Raphson thực làm điều mà trước trả lời “Không!” hỏi câu hỏi: “Làm phân tích đa thức vô nghiệm hệ số chứa thành nhân tử CASIO?” … 𝑽𝑫𝟒 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟏 Các bạn nghĩ đưa VD vào với mục đích gì?  Hãy làm thử xem nhé, đừng thấy nhỏ mà coi thường! Trong lần trước công bố tài liệu có 3VD phía thôi, lần phải thêm 1VD này, để nói trục trặc từ phát từ thực nghiệm… Vâng, cách làm cũ, ta nhập: 𝑿=𝑿− 𝑿𝟒 + 𝟏 𝟑 𝟏 = 𝑿− 𝟑 𝟒𝑿 𝟒 𝟒𝑿𝟑 Nhấn 𝐶𝐴𝐿𝐶 , cho 𝑋 = 𝑖 ấn = liên tục, ấn thế, chục lần lúc hội tụ!… Vâng, trục trặc! Thực nghiệm cho thấy: với đa thức dạng 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, phương pháp không hội tụ nghiệm phức gán 𝑋 = 𝑘𝑖 (𝑘 ∈ R), bạn máy móc gán theo VD trước 𝑋 = 𝑖 dẫn đến không hội tụ được!  Thực chất việc gán giá trị ban đầu 𝑋 y hệt chức Solve (vì chất Solve này), mà Solve không hội tụ nghiệm PT có nghiệm rõ ràng Trong trên, thay gán 𝑋 = 𝑖, ta gán giá trị phức có đủ phần thực phần ảo, chẳng hạn 𝑋 = + 𝑖, việc hội tụ có kết quả: 𝑋 = 0,7071067812 + 0,7071067812𝑖 (hội tụ sau khoảng 5-6 lần thay đổi!) Và nhân tử là: 𝑥 − (𝑋 + Conjg(𝑋))𝑥 + 𝑋Conjg(𝑋) = 𝑥 − √2𝑥 + Nói chung, với dạng 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, ta cho 𝑋 giá trị ban đầu có đủ phần thực phần ảo (𝑚 + 𝑛𝑖), hội tụ nhanh! Nhưng nói chung thêm với dạng 𝑓(𝑥) việc phân tích tay chẳng có khó, đừng dùng CASIO làm cho thời gian!  𝑥 + = (𝑥 + 2𝑥 + 1) − 2𝑥 = (𝑥 + 1)2 − (√2𝑥) = (𝑥 − √2𝑥 + 1)(𝑥 + √2𝑥 + 1) TÓM LƯỢC Về lý thuyết sử dụng cách để lập trình chương trình máy vi tính phân tích đa thức thành nhân tử, dù có nghiệm hay vô nghiệm Còn CASIO bậc vướng tội tràn hình!  Nhưng đa thức bậc trở lên, người ta phân tích thành tam thức bậc 2, mà dùng S.O.S để chứng minh vô nghiệm Tôi viết tài liệu S.O.S bạn yêu cầu, đặc biệt rảnh!  Và giả sử đời máy tính bỏ túi sau đời thực Solve nghiệm PT MODE 2, tức giải nghiệm phức, chắn phải sử dụng cách vừa làm!  Sở dĩ chưa có chức đó, hạn chế việc lũy thừa tính MODE số phức, nói mục 1, tương lai, Solve MODE đồng nghĩa với hạn chế cải tiến!  Chắc chắn có loại máy tính bỏ túi thế, khoảng chục năm nữa!  Như kỹ thuật cho thấy chất việc phân tích đa thức vô nghiệm thành nhân tử, việc tìm dạng số vô tỉ (S P) – vấn đề có từ lâu! Hiện tại, có dạng số vô tỉ 𝒂 ± 𝒃√𝒄; ±√𝒂 ± 𝒃√𝒄 𝒂 + 𝒃√𝒄 ± √𝒅 ± 𝒆√𝒄 theo cặp liên hợp hoàn toàn tìm kỹ thuật CASIO, bạn xem F-tik Group CASIOer: F-tik PT – BPT – HPT Vô Tỷ để biết cách tìm Còn dạng chứa bậc hay bậc cao chưa có cách chung để tìm, nhược điểm phương pháp này, lí việc nhiều bạn kêu than phân tích số PTB4 không làm rõ S P, sau up tài liệu!  Cuối xin cảm ơn ý tưởng Admin Hoàng Xuân Tuyển, dẫn đến kỹ thuật hay này!  Trong thời gian tới, Team đưa số kỹ thuật khác ứng dụng phương pháp Newton – Raphson toán hệ PT đa thức, ý theo dõi nhé!  Tài liệu gõ vội vàng gặp sai sót, độc giả phát xin vui lòng thông báo cho địa sau: + Facebook cá nhân: + Lâm Minh: facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST + Hoàng Xuân Tuyển: facebook.com/profile.php?id=100009145326427 + Facebook Group: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam + Gmail tác giả: sherlockttmt@gmail.com + Web Team: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/ Cảm ơn bạn đọc tài liệu! 