SOS đa thức vô nghiệm

Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội S.O.S Chứng Minh Đa Thức Vô Nghiệm Tác giả: Lâm Minh - ĐH Bách khoa Hà Nội (15 - 20) I Giới Thiệu Chung ) S.O.S phương pháp chứng minh phương trình vô nghiệm (luôn âm dương) hay mang tính tự nhiên cao nhiều so với phương pháp đánh giá khác ) Tôi đưa phương pháp phân tích SOS tổng quát cho dạng đa thức bậc 4, bậc bậc (kí hiệu tương ứng F4 (x), F6 (x), F8 (x)) dạng thường gặp sử dụng kỹ thuật CASIO giải Toán ) Các ví dụ dạng đa thức chủ yếu bịa hệ số xấu sau phân tích, bạn thông cảm, cần hiểu phương pháp thực hành ) Nếu đọc lý thuyết tổng quát khó hiểu, bạn xem ví dụ trước ) Mọi thắc mắc, góp ý xin liên lạc địa chỉ: facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST sherlockttmt@gmail.com II Các Dạng Đa Thức Cách Phân Tích Phân tích SOS tổng quát cho đa thức F2k (x) = a1 x2k + a2 x2k−1 + · · · + a2k x + a2k+1 (k ∈ N∗ ) vô nghiệm sau: F2k (x) = fk2 (x) + fk−1 (x) + · · · + f12 (x) + f02 (x) Trong F2k (x) đa thức có bậc 2k , f0 (x) = C , f1 (x) = ax + b, f2 (x) = ax2 + bx + c, Kiến thức cần chuẩn bị: Kỹ thuật nhẩm nghiệm PT Solve Kỹ thuật khai triển đa thức CASIO Cách tìm nhanh cực trị hàm bậc EQN công thức − B 4AC − B 2A 4A Dạng Đa thức bậc 4: F4 (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e Về mặt tổng quát nói trên, ta có: F4 = x2 + a1 x + a2 Tuy nhiên đơn giản ta phân tích sau: F4 = 2 + (b1 x + b2 )2 + c2 b x2 + x + m 2 + (b1 x + b2 )2 + c2 b2 − 4c a − 2m + x2 − (bm − d)x + e − m2 = x2 + x + m  4c − b  m< Do phải có g(x) ≥ ∀x ∈ R =⇒ ( ) (bm − d)2 + e − m2 8m + b2 − 4c ≤ Ta có: F4 = b x2 + x + m 2 + g(x) Vậy hệ ( ) công thức chuẩn để phân tích SOS đa thức F4 (x) vô nghiệm! Tuy nhiên nhiều người sợ khó nhớ công thức này, giới thiệu đến bạn thêm cách khác để phân tích nhanh Sau tất cách phân tích SOS cho F4 (x): VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Cách Áp dụng CT ( ) Chỉ cần chọn giá trị m thỏa mãn ( ) OK, đa thức điều kiện chặt đến không vấn đề! Nhận xét: Ưu điểm: phân tích đa thức F4 (x) vô nghiệm Nhược điểm: công thức ( ) không dễ nhớ Khắc phục nhược điểm: cần luyện tập cách với khoảng 10 nhớ, làm lại cho thành thói quen Cách Chọn điểm rơi m theo cực trị Các bước làm sau: Giải PT F4 (x) = 4x3 + 3bx2 + 2cx + d = tìm cực tiểu F4 (x), giả sử cực tiểu đạt x = x0 b Chọn m hữu tỉ cho m ≈ −x20 − x0 Trừ đa thức, phân tích nốt g(x) = (b1 x + b2 )2 + c2 kết thúc toán Nhận xét: Ưu điểm: phân tích đa thức F4 (x) vô nghiệm (F6 F8 áp dụng) Nhược điểm: phải tìm cực tiểu F4 (x), Solve giải F4 (x) = lâu nghiệm tốn thời gian (nhất với đa thức bậc cao hơn) Nói chung tốc độ ngang Cách Khắc phục nhược điểm: cần nắm kỹ thuật Solve cho tốc độ nhanh (giải nhanh nghiệm vét hết nghiệm) Cách Áp dụng ”SOS 66” Tên phương pháp đặt người nghĩ bạn Vích Bảo Nguyễn, sau bước làm: Xét thành phần x4 + bx3 + cx2 = x2 x2 + bx + c , tìm cực trị x2 + bx + c, ta b 4c − b2 4c − b2 x2 + bx + c = x + + với > 0, đó: 4 F4 = x Phân tích tiếp 4c − b2 b x+ 2 + 4c − b2 x2 + cx + d x2 + cx + d = (b1 x + b2 )2 + c2 kết thúc toán Sở dĩ gọi phương pháp "SOS 66" VINACAL, ta dùng chức tính max b 4c − b2 tam thức bậc cách bấm SHIFT 6 để phân tích nhanh x2 +bx+c = x + + 4c − b x2 + cx + d = (b1 x + b2 )2 + c2 Đối với máy chức sử B 4AC − B dụng biểu thức − MODE COMP bấm bấm lại 2A 4A Nhận xét: Ưu điểm: phương pháp áp dụng cho tất F2k (x), phân tích với tốc độ nhanh (≤ phút) 4c − b2 Nhược điểm: thành công > 0, phân tích F4 theo kiểu (trong cách giúp ta phân tích theo nhiều kiểu) Khắc phục nhược điểm: khắc phục được, phải biết thêm cách phân tích khác để hỗ trợ! VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Cách Thử giá trị m Nghe tên biết không cần phải nghĩ nhiều, ta cần sử dụng CALC thử giá trị m hữu b tỉ, đồng thời trừ đa thức F4 − x2 + x + m = px2 + qx + r xem phần lại g(x) = px2 + qx + r có vô nghiệm hay không xong, cụ thể g(x) ≥ b Chính vậy, việc thực trừ đa thức F4 − x2 + x + m cho nhanh (phụ thuộc vào kỹ thuật khai triển đa thức bạn), ta cần phải nắm số dấu hiệu để đánh giá nhanh xem g(x) có vô nghiệm hay không để làm tiếp: Khi gán X = 1000 để trừ đa thức, kết âm loại m Nguyên việc ta cần g(x) ≥ ∀x ∈ R, nghĩa lim g(x) = +∞ Vì x→∞ X = 1000 số lớn coi ta tính lim Từ kết gán X = 1000, dễ dàng nhìn thấy hệ số p, q , r, khuyết p r loại m Nếu p r trái dấu, loại m, tam thức bậc có nghiệm hệ số bậc hệ số tự trái dấu Và không đánh giá vòng giây dấu hiệu trên, phải tính ∆g bình thường b Cuối ta Solve đa thức F4 − x + x + m (trong trình thử m luôn) xem có nghiệm hay không khai triển làm tiếp Nhận xét: Ưu điểm: ta không cần phải nghĩ nhiều mà phân tích theo nhiều kiểu khác Nhược điểm: phân tích lâu (vì phải bấm nhiều), thích hợp với "không chặt" Bài không chặt mà ta chọn m nhỏ, theo Cách ta phải lấy b b m ≈ −x20 − x0 (đúng không cách xa −x20 − x0 quá!) Hoặc mà ta lấy m 2 khoảng rộng, theo Cách m phải nằm khoảng nghiệm hệ ( ) Nếu gặp phải chặt mà bạn dùng cách có mò mẫm hồi vô ích, không thu kết Khắc phục nhược điểm: tốt không nên áp dụng cách để tránh trường hợp mò mẫm vô ích Nếu áp dụng muốn tăng tốc độ có việc luyện tập thường xuyên cho thành thói quen (như Cách 1) Cách Đây cách thầy Mai Hồng Phong (thực chất CT ( )): Ta ghép: F4 = b x2 + x 2 + c− b x2 + x − m 2 = b x2 + x − m 2 = b2 x2 + dx + e = b x2 + x − m + m b + 2m x2 + x − m + m2 + + 2m + 4c − b2 4c − b2 + 4c − b2 x2 + dx + e x2 + dx + e x2 + (d + bm)x + e − m2 4c − b2 > phương (thầy Phong gọi cách chọn chọn "tối ưu"!), sau xử nốt bậc lại! Ta chọn m cho 2m + VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Nhận xét: Ưu điểm: giúp bạn hiểu chất CT ( ) "tự xoay xở" không nhớ hệ CT (dù tốc độ chậm chút) Nhược điểm: theo CT ( ) m phải thỏa mãn hệ chắn tam thức bậc 4c − b2 lại dương, nên chọn m cho 2m + > phương phần điều kiện nằm CT ( ), chặt cách khó thành công! Do gọi cách chọn m tối ưu được, mà phải gọi cách chọn "đơn giản nhất" Cũng cách nên dùng cho đa thức bậc Khắc phục nhược điểm: áp dụng cho đa thức bậc cần phải biết thêm số cách phân tích khác, tốt nắm Cách Cách Kỹ thuật "Tích bình phương" b Đây cách chọn điểm rơi m theo cực trị, thay chọn m ≈ −x20 − x0 Cách 2 ta chọn m ≈ x0 thôi, ta phân tích sau: F4 = (x − m)2 px2 + qx + r + ux + v Trong px2 + qx + r > ∀x ∈ R Ta có px2 + qx + r = p x + F4 = p(x − m)2 x + Việc lại phân tích nốt q 2p + q 2p + 4pr − q Vậy: 4p 4pr − q (x − m)2 + ux + v 4p 4pr − q (x − m)2 + ux + v 4p Cách tìm nhanh ux + v mà không cần thực chia có dư sau: =⇒ px2 + qx + r = u = F4 (m) um + v = F4 (m) F4 − (ux + v) (x − m)2 Sở dĩ F4 (x) = 2(x − m) px2 + qx + r + (x − m)2 (2px + q) + u Nhận xét: b Ưu điểm: chọn điểm rơi m nhanh (vì m ≈ x0 m ≈ −x20 − x0 , thực chẳng Cách cả, việc chọn điểm rơi trực m thấy đơn giản cách áp dụng với đa thức bậc mà Nhược điểm: phân tích lâu Cách phải thực nhiều thao tác chia rút gọn (đặc biệt hệ số biểu thức lại thường phân số) Khắc phục nhược điểm: thành thạo thao tác chia đa thức có dư rút gọn đa thức, hệ số chứa phân số! Sang dạng đa thức bậc bạn thấy rõ ý nghĩa tên "Tích bình phương" Chốt lại, đứng trước đa thức F4 (x) vô nghiệm, thử áp dụng SOS 66, không chuyển sang thử m, cuối áp dụng công thức ( ) tìm cực trị Thực cách tối ưu lắp CT ( ), "lỏng" tốn thời gian SOS 66 thử m Dạng Đa thức bậc 6: F6 (x) = x6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + f x + g VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Về tổng quát ta phân tích: F6 = x3 + a1 x2 + a2 x + a3 Cụ thể sau: F6 (x) = + b1 x2 + b2 x + b3 + (c1 x + c2 )2 + d2 b x3 + x2 + mx + n + F4 (x), F4 (x) ≥ ∀x ∈ R Sau cách: Cách Áp dụng "SOS 66" Đơn giản thôi, ta xét x6 + bx5 + cx4 = x4 x2 + bx + c , dùng SHIFT 6 biểu thức − 4AC − B để phân tích x2 + bx + c = 4A F6 = x4 x + Phần lại tiếp tục xét 4c − b2 b 2 + x+ b 4c − b2 + 4c − b2 4c − b2 với > 0, ta được: 4 B 2A x4 + dx3 + ex2 + f x + g x4 + dx3 + ex2 phân tích đến hết! Nhận xét: tương tự bên phân tích SOS cho F4 (x) Cách Triệt tiêu bớt hệ số F4 (x) Cách sưu tầm được, chậm chạp! Với phân tích F6 (x) = F4 (x) = b x3 + x2 + mx + n 2 + F4 (x), ta được: 4c − b2 − 2m x4 + (d − bm − 2n)x3 + e − bn − m2 x2 + (f − 2mn)x + g − n2 Để tìm m, n ta triệt tiêu hệ số F4 (x) (để lập hệ ẩn m n) Cụ thể, đặt F4 = a1 x4 + a2 x3 + a3 x2 + a4 x + a5 , để F4 (x) ≥ 0, phải có bậc chẵn, có tất cách triệt tiêu hệ số sau: a1 = a2 = 0; a2 = a3 = 0; a2 = a4 = 0; a3 = a4 = 0; a4 = a5 = Sau giải hệ tìm m, n, ta lại tiếp tục phân tích SOS chứng minh F4 vô nghiệm biết! Nhận xét: Ưu điểm: nhớ dạng tổng quát F4 nhìn chung để nói thêm! Nhược điểm: thứ nhớ dạng tổng quát F4 ! (Ở chỗ phân tích SOS F4 (x) ta phải nhớ hệ công thức tìm m rồi, phân tích đa thức lại phải nhớ thêm công thức khác) Thứ xảy trường hợp cách triệt tiêu hệ số không cho ta F4 (x) ≥ 0, cách thất bại Và cuối đáng nói hết chậm chạp để thực trừ đa thức F6 (x) − b x3 + x2 + mx + n CASIO để F4 (thay nhớ CT tổng quát nó), có lẽ phải tính tay (vì CASIO phép trừ đa thức biến!) b Khắc phục nhược điểm: cần nhớ CT khai triển tay cho x3 + x2 + mx + n sau: (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Công thức dễ nhớ! Vấn đề lại luyện tập! Cách Chọn điểm rơi m, n theo cực trị Các bước làm sau: Giải PT đạo hàm F6 (x) = 6x5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f = tìm cực tiểu F6 (x), giả sử cực tiểu đạt x = x0 b Chọn m, n cho mx0 + n ≈ −x30 − x20 , trừ đa thức phần lại F4 (x) Phân tích tiếp F4 (x) Nhận xét: Ưu điểm: không gặp rắc rối Cách 2, lại phân tích F6 theo nhiều kiểu khác nhau, dù chặt hay không chặt Nhược điểm: khó khăn để giải nhanh vét hết nghiệm PT F6 (x) = Khắc phục nhược điểm: cần nắm kỹ thuật Solve cho tốc độ nhanh nhất! Cách Kỹ thuật "Tích bình phương" (các bạn biết bên phân tích dạng F4 ) Vì cần chọn tham số m nên nhanh Cách việc chọn, đổi lại thao tác rút gọn đa thức lâu! Ta phân tích sau: F6 = (x − m)2 a1 x4 + a2 x3 + a3 x2 + a4 x + a5 + ux + v = (x − m)2 f4 (x) + ux + v F6 để tìm (x − m)2 F6 − (ux + v) Sau phân =⇒ f4 (x) = (x − m)2 Trong m ≈ x0 (điểm cực tiểu F6 ) f4 (x) > ∀x ∈ R Thay chia có dư u = F6 (m) f4 (x) ux + v , ta áp dụng: um + v = F6 (m) tích tiếp: f4 (x) = (x − n)2 px2 + qx + r + u1 x + v1 = (x − n)2 p x+ q 2p + 4pr − q 4p + u1 x + v1 Vậy ta được: F6 = (x − m)2 (x − n)2 = (x − m)2 p x+ p(x − n)2 x + q 2p q 2p = p(x − m)2 (x − n)2 x + q 2p = p(x − m)2 (x − n)2 x + q 2p + + + 4pr − q 4p + u1 x + v1 + ux + v 4pr − q (x − n)2 + u1 x + v1 4p + ux + v 4pr − q (x − m)2 (x − n)2 + (u1 x + v1 )(x − m)2 + ux + v 4p + F4 (x) Đến tiếp tục phân tích F4 (x) giống trên! Bây hiểu rõ tên chứ? Nhận xét: giống nhận xét cho Cách dạng đa thức bậc Dạng Đa thức bậc 8: F8 = x8 + k2 x7 + k3 x6 + k4 x5 + k5 x4 + k6 x3 + k7 x2 + k8 x + k9 VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Phân tích tổng quát là: x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 x4 + Cụ thể ta phân tích: F8 = + b1 x3 + b2 x2 + b3 x + b4 + c1 x2 + c2 x + c3 + (d1 x + d2 )2 + e2 k2 x + mx2 + nx + p + F6 (x) với F6 ≥ ∀x ∈ R Cách SOS 66 Không cần nói bạn hiểu rồi, để giải nhiều ta cần thêm cách khác! Cách Chọn điểm rơi m, n, p theo cực trị k2 x với x = x0 điểm cực tiểu F8 Chọn giá trị khó khăn dễ phải chịu số xấu, chốc qua phần Ví Dụ bạn kiểm chứng độ mạnh nó! Cách bạn hiểu, ta phải chọn m, n, p cho mx20 + nx0 + p ≈ −x40 − Cách Kỹ thuật "Tích bình phương" Tốt không nêu phân tích tổng quát nữa, xem phần Ví Dụ, bạn hiểu chất qua dạng F4 F6 rồi! III Bài Tập Ví Dụ Dạng Đa thức bậc Bài F4 = x4 + x3 + 3x2 + x + Ta giải cách xem sao! SOS 66 trước: xét tam thức x2 + x + = F4 = x2 x + x+ 2 + 11 , đó: 11 x + x + = x2 x + + + x+ 11 + 76 11 Rất nhanh không, cách phân tích Để xem phương pháp thử m tìm cách Vì ta phân tích F4 = x2 + x +m + px2 + qx + r, nhập F4 (X) − X + X +M 2 ×4 (nhân để triệt mẫu khai triển) Bắt đầu, bấm CALC cho X = 1000 và: + M = =⇒ kết 11004028 = 11X + 4X + 28 = 2 11 X+ + 304 , xong cách! 11 + M = =⇒ kết 3000024 = 3X + 24, xong cách nữa! + M = =⇒ −5003988 < =⇒ loại! + M = −1 =⇒ 19008024 = 19X + 8X + 24 = + M = −2 =⇒ 27012012 = 27X + 12X + 12 = X+ 19 2 X+ + 440 , cách! 19 + 68 + Có lẽ đủ đấy! Vậy: F4 = x2 + = x2 + VNCASIOer Team 2016 x 2 x −1 + + x+ 11 x+ 19 + 76 x = x2 + + 11 2 + + x2 + 110 x = x2 + − 19 2 + x+ + 17 = ··· Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội 4c − b2 Để biết xác khoảng m, ta dùng công thức (bm − d)2 + e − m2 8m + b2 − 4c ≤ Lắp số liệu vào ta được:  m < 11 ⇐⇒ −2, 56834085 ≤ m ≤ 1, 371627353 (m − 1)2 + − m2 (8m − 11) ≤   m< Tìm khoảng m phân tích thoải mái! Cách 4: chọn m dựa vào cực trị Đầu tiên giải PT 4x3 + 3x2 + 6x + = tìm cực tiểu Cực x0 tiểu đạt x0 = −0, 1788459021, ta chọn m ≈ −x20 − = 0, 05743709435 Chẳng hạn m = cách Cách 6: "Tích bình phương" Ta chọn m ≈ x0 , chẳng hạn m = − x+ F4 = phân tích: px2 + qx + r + ux + v  14   =− u = F4 − 125 Ta có: 4307   ⇒v= − u + v = F4 − 5 625 14 4307 F4 − − x+ 68 3 125 625 =⇒ px2 + qx + r = = x+ = x2 + x + 25 10 x+ 2 263 14 4307 =⇒ F4 = x + x+ + x+ − x+ 10 100 125 625 =⇒ F4 = x+ x+ 10 + 263 100 x+ 47 263 + + 263 100 1136227 164375 263 14 4307 x+ − x+ 100 125 625 chắn vô nghiệm, thực chất chọn m = đẹp nhất, phân tích SOS 66! Tôi chọn m sát x0 để đảm bảo tam thức sau Bài F4 = x4 + x3 − 4x2 − x + SOS 66 thất bại, tam thức x2 + x − = F4 = x x+ x+ 2 − − 17 , nghĩa 17 x −x+7 Phần lại dương Với cách 2, ta thử giá trị m để phân tích Ta nhập F4 (X) − X + X + M 2 × Sau bấm CALC cho X = 1000 và: + M = =⇒ kết −17003972 < =⇒ loại! VNCASIOer Team 2016 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội + M = =⇒ kết −25007976 < =⇒ loại tiếp, chuyển sang phần âm + M = −1 =⇒ kết −8999976 =⇒ loại nốt! + M = −2 =⇒ −995988 =⇒ loại luôn! + M = −3 =⇒ 7007992 = 7X + 8X − =⇒ loại có nghiệm + M = − =⇒ 3006003 = 3X + 6X + = 3(X + 1)2 =⇒ xong! Vậy: F4 = x2 + x− 2 + (x + 1)2 Mất tầm 20 - 30 giây cho việc thử! Bây xem cách áp dụng hệ công thức giải m  4c − b2  m< Thay hệ số F4 vào công thức , ta được: (bm − d)2 + e − m2 8m + b2 − 4c ≤  m < − 17 (m + 1)2 + − m2 (8m + 17) ≤ ⇐⇒ −2, ≤ m ≤ −2, 21221445 Vậy ta chọn m khoảng ok! Vô số cách: F4 = x 23 x + − 10 2 88 + (7x + 13)2 + = 140 175 x 12 x + − 2 + 96 (11x + 14)2 + = ··· 220 275 Bây giờ, chọn m theo cực trị, giải PT 4x3 + 3x2 − 8x − = tìm cực tiểu: cực tiểu đạt x0 = −2, 3076844 Chẳng hạn chọn m = −2, x0 = −1, 789540321 Do ta chọn m ≈ −x20 − ta cách phân tích trên, xong! 9 Thử "Tích bình phương" nhé: chọn m = − , ta có: F4 = x + px2 + qx + r + ux + v 5 26 9 82 =⇒ u = F4 − =− =⇒ v = F4 − + u= 125 5 625 26 82 F4 − − x+ 43 125 625 − 13 x + 53 = x − 13 =⇒ px2 + qx + r = = x + 25 10 100 x+ 2 13 43 26 82 =⇒ F4 = x + x− + x+ − x+ 10 100 125 625 =⇒ F4 = x+ x− 13 10 + 43 100 x+ 67 43 + 12912 26875 Bài F4 = 8x4 − 6x3 − 4x2 + 2x + Bài SOS 66 thất bại tam thức 8x2 − 6x − có nghiệm! Cách thử m vô ích (thử biết!), lí "chặt"! Vì ta phải biết cách lại 1 Viết lại: F4 = x4 − x3 − x2 + x + VNCASIOer Team 2016 = 8f4 (x) Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Với cách tìm khoảng m, ta nhập hệ số f4 vào công thức, ta được:  11  m < − 36 ⇐⇒ −0, 3527260696 ≤ m ≤ −0, 3134254864 1 22   − m− + ≤0 − m2 8m + m nằm khoảng nhỏ, chứng tỏ chặt! Ta số cách phân tích sau: F4 = x2 − x − + x + = x2 − x − 24 20 + (19x − 2)2 + = ··· 760 475 Cuối thử tìm cực trị xem sao: dễ dàng tìm cực tiểu F4 đạt x0 = −0, 4121168448, nghĩa m ≈ −x20 + x0 = −0, 3243841105 Bài không trình bày "Tích bình phương" hệ số phân số xấu! Nói tóm lại, có cách xác định khoảng m biết độ chặt toán, lại cách chuẩn để phân tích xác nhiều kiểu! Dạng Đa thức bậc Bài F6 = 4x6 − 9x5 + 20x4 − 40x3 + 40x2 − 36x + 32 Dùng SOS 66 trước: ta có 4x2 − 9x + 20 = x − F6 = 4x4 x − Tiếp tục: 239 239 x − 40x + 40 = 16 16 F6 = 4x4 x − Vậy: F6 = 4x4 x − + + x− + + 239 x − 40x3 + 40x2 − 36x + 32 16 320 239 + 3160 , ta lại được: 239 239 320 x x− 16 239 239 320 x x− 16 239 239 , đó: 16 + 3160 239 + x− 3160 x − 36x + 32 239 2151 1580 + 5921 790 Xem cách triệt tiêu hệ số F4 có thành công không! Đầu tiên viết lại: F6 = x6 − x5 + 5x4 − 10x3 + 10x2 − 9x + Ta phân tích sau: f6 = x3 − x2 + mx + n = 4f6 (x) + F4 (x) Áp dụng đẳng thức: (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd Ta được: x3 − x2 + mx + n 81 = x6 − x5 + 2m + 64 9 x4 + 2n − m x3 + m2 − n x2 + 2mnx + n2 4 Do đó: F4 = a1 x4 + a2 x3 + a3 x2 + a4 x + a5 = 239 − 2m x4 + 64 VNCASIOer Team 2016 m − 2n − 10 x3 + n − m2 + 10 x2 − (2mn + 9)x + − n2 10 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội  239   − 2m =   64  239   m=   128 ⇐⇒        m − 2n − 10 = n = − 2969 1024 165 119767 426353 =⇒ F4 = − x − x− =⇒ loại! 16384 65536 1048576    m − 2n − 10 =  4 ⇐⇒ nghiệm xấu =⇒ loại! Triệt a2 a3 xem sao:     n − m2 + 10 = Các bạn làm tiếp tương tự cho cặp lại nhé, chuyển qua cách khác cách sợ gặp số xấu! Giả sử triệt tiêu a1 a2 , ta được: 45 x + 20x3 − 30x2 + 20x − = Dễ thấy cực tiểu F6 đạt x0 = 1, 286838959 (cũng nghiệm PT đạo hàm) Vậy ta phải có: 1, 286838959m + n ≈ −x30 + x20 = −0, 2679979541 Ta làm tròn thành 1, 3m + n = −0, để chọn cho dễ Chọn điểm rơi m n theo cực trị: giải PT 6x5 − 111 91 27 29 136 ta được: F4 = x − x + x − x+ Cái SOS 64 20 5 25 66 xử tiếp được, xấu: Chọn (m; n) = 1; − F4 = Chọn (m; n) = 0; − 10 + 239 1504 x x− 64 1195 Chọn (m; n) = (−1; 1) F4 = F4 = 6704 2775 x− 16095 13048 + 1313201 670400 239 47 373 791 x − x + x − 9x + SOS 66 cho 64 40 100 ta được: F4 = nhanh! F4 = 728 111 x x− 64 555 + 162983 47800 x− 215100 162983 + 32124553 16298300 367 57 45 x − x + x − 7x + 7: 64 4 367 456 x x− 64 367 + 3519 1468 x− 5138 3519 26816 2775 x− + 6650 3519 Nói chung ta vài cách phân tích: F6 = x3 − x2 + x − F6 = x3 − x2 − 10 2 + 111 728 x x− 16 555 1504 239 + x x− 16 1195 + 162983 + 11950 367 456 3519 F6 = x3 − x2 − x + + x x− + 16 367 367 √ √ Bài F6 = 32x6 + 24x4 − 3x3 + 18x2 − 3x + 15 Dùng SOS 66 dễ dàng phân tích: F6 = 32x6 + 24 x − √ 16095 13048 215100 x− 162983 x− 5138 3519 + + 1313201 167600 + 32124553 4074575 26600 3519 √ 3 + 16 x − 32 + 933 64 Cách triệt tiêu hệ số F4 bình thường áp dụng lâu số xấu, hệ số F6 chứa lại không nên dùng! VNCASIOer Team 2016 11 Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Để có thêm nhiều cách phân tích khác, ta phải tìm cực√ tiểu F6 : cực √ tiểu đạt x0 = 15 3 x3 + x2 − x+ = 32f6 , 0, 1628297708 Do viết lại F6 = 32 x6 + x4 − 4 16 32 32 ta phải chọn 0, 1628297708m + n ≈ −x30 = −0, 00431719271 Làm tròn lại ta m+n=0 25 Chọn m = n = ta cách phân tích SOS 66, bạn thích chọn tùy, đến không khó khăn! Tóm lại với F6 (x), phương pháp tối ưu chọn m, n theo cực trị Dạng Đa thức bậc Bài F8 = x8 + x7 + 2x6 + Bài F8 = x8 + x7 + 3x6 + 5 x + x + 10 x + x3 + x2 + x + (update sau ) 14 x − 2x3 + 3x2 − x2 + (update sau ) 3 IV Bài Tập Tự Luyện (update sau ) VNCASIOer Team 2016 12 [...]... 0, 1628297708m + n ≈ −x30 = −0, 00431719271 Làm tròn lại ta được m+n=0 25 Chọn m = n = 0 thì ta được cách phân tích như SOS 66, ngoài ra các bạn thích chọn thế nào nữa thì tùy, đến đây không còn gì khó khăn! Tóm lại với F6 (x), phương pháp tối ưu là chọn m, n theo cực trị Dạng 3 Đa thức bậc 8 4 Bài 1 F8 = x8 + x7 + 2x6 + 3 2 Bài 2 F8 = x8 + x7 + 3x6 + 3 5 5 x + 3 4 5 x + 3 10 4 x + x3 + x2 + x + 1 (update... PT 6x5 − 8 111 4 91 3 27 2 29 136 thì ta được: F4 = x − x + x − x+ Cái này SOS 5 64 20 5 5 25 66 xử tiếp được, nhưng hơi xấu: Chọn (m; n) = 1; − F4 = Chọn (m; n) = 0; − 3 10 + 239 2 1504 x x− 64 1195 Chọn (m; n) = (−1; 1) thì được F4 = F4 = 6704 2775 x− 2 16095 13048 + 1313201 670400 239 4 47 3 373 2 791 x − x + x − 9x + SOS 66 luôn cho 64 5 40 100 thì ta được: F4 = nhanh! F4 = 2 728 111 2 x x− 64... 65536 1048576  9   m − 2n − 10 = 0  4 ⇐⇒ nghiệm quá xấu =⇒ loại! Triệt a2 và a3 xem sao:   9   n − m2 + 10 = 0 4 Các bạn cứ làm tiếp tương tự cho các cặp còn lại nhé, tôi chuyển qua cách khác vì cách trên sợ gặp số xấu! Giả sử triệt tiêu a1 và a2 , ta được: 45 4 x + 20x3 − 30x2 + 20x − 9 = 0 Dễ 4 thấy cực tiểu F6 đạt tại x0 = 1, 286838959 (cũng là nghiệm duy nhất của PT đạo hàm) Vậy ta phải... 2 2 + 2 111 2 728 x x− 16 555 1504 239 2 + x x− 16 1195 + 2 162983 + 11950 2 9 367 2 456 2 3519 F6 = 4 x3 − x2 − x + 1 + x x− + 8 16 367 367 √ √ Bài 2 F6 = 32x6 + 24x4 − 8 3x3 + 18x2 − 3 3x + 15 Dùng SOS 66 dễ dàng phân tích: F6 = 32x6 1 + 24 x − √ 2 3 16095 13048 2 215100 x− 162983 2 x− 2 5138 3519 2 + + 1313201 167600 + 32124553 4074575 26600 3519 √ 3 3 + 16 x − 32 2 + 933 64 Cách triệt tiêu hệ số