Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội S.O.S Phương Trình Vô Tỷ Tác giả: Lâm Minh - ĐH Bách khoa Hà Nội (15 - 20) Phương pháp phân tích SOS PT vô tỉ chủ yếu phải thử, tập trung vào phân tích tay nhiều kỹ thuật CASIO, bạn mong muốn sử dụng CASIO nhiều không thấy hay cho Phần kỹ thuật CASIO bạn Hoàng Xuân Tuyển đưa kỹ hơn! Khi đứng trước PT vô tỉ muốn SOS, chuyển hết đại lượng sang vế xem xét dương hay âm, ta ưu tiên dương cho dễ, nghĩa phân tích thành dạng: F12 (x) + F22 (x) + · · · + Fn2 (x) = Giả sử PT có đại lượng g(x) f (x), ta chuyển dạng: + ag(x) + b f (x) + a + bg(x) f (x) 2 + Hoặc g(x) a f1 (x) + b f2 (x) f (x) = f1 (x)f2 (x) Muốn biết cần phải xem phần thừa lại sau tạo bình phương có dương hay không để phân tích tiếp, cách thử Solve (vì theo hướng phân tích tay) Về lí thuyết F (x) ≥ ∀x ∈ R biểu diễn dạng Sum Of Squares, chọn cách phân tích mà có số hạng bị ngược dấu với số hạng lại phải chọn lại hướng khác, thành công Nếu gặp phân thức, quy đồng để làm phân thức, liên hợp, không ta tìm cực trị thêm bớt số để SOS Cụ thể, xét phân thức F (x), giả sử F (x) = F0 =⇒ F (x) − F0 ≥ Nếu F0 không đẹp cho ta chọn m ≈ F0 m < F0 ghép vào, ta F (x)−m > 0, quy đồng biểu thức lên SOS Tổng quát lên ta được: giả sử y = f (x) tiếp xúc với đường y = F (x) x = x0 F (x) ≥ f (x) (f (x) tiếp tuyến y = F (x) đường cong), biểu thức F (x) − f (x) biểu diễn dạng SOS chứa nghiệm kép x0 Ngoài ta áp dụng số đẳng thức sau để phân tích nhanh hơn: ) (a + b)(b + c)(c + a) − 8abc = a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 ) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 : nghĩ đến toán chứa bậc ) a4 + b4 + c4 + d4 − 4abcd = a2 − b2 ) a2 + b2 + c2 = + c2 − d2 + 2(ab − cd)2 : thử chứa bậc (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 : dùng cho toán nghiệm kép Lí thuyết tổng quát nhìn chung có thế, ngoại lệ mẹo nhỏ để xử lí nói rõ VNCASIOer Team 2016 vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh KSTN K60 Bài x2 − x + = √ x2 + x − + √ ĐH Bách khoa Hà Nội −x2 + x + Đây SOS PT vô tỉ: PT ⇐⇒ (x − 1)2 + 1− x2 + x − + 1− −x2 + x + =0 Nếu phân tích bỏ qua này, phương pháp mới: √ √ + PT có nghiệm kép x = =⇒ x2 + x − = −x2 + x + =1 x=1 √ =⇒ có − x2 + x − − √ x=1 −x2 + x + √ √ để đảm bảo khai triển số x2 + x − −x2 + x + + Nhóm xong phần lại tự khắc phải đẹp: (x − 1)2 + Nhân thêm Chỉ có thôi! Bài 2x2 + 3x + + x2 + 2x + PT ⇐⇒ x2 + (x + 1)2 + + √ √ x+1=0 x+1 √ + (x + 1)2 x + = =⇒ PT vô nghiệm! Bài phân tích tay nhanh nhất! √ + 2x + rõ ràng có dáng dấp Đầu tiên ta quan sát thấy ngoặc x x + 1√"thấp thoáng" √ √ √ đó, ta tách ra: x2 + 2x + x + = x + + (x + 1)2 x + Từ x + lại làm ta nghĩ √ đến việc tạo + x + Nhóm xong phần lại phải bàn! Bài 15x + = √ 2x + + √ √ x2 + + 11x + Nhờ có SOS, nhiều ta không cần phải quan tâm đến vấn đề chọn biểu thức để liên hợp, liên hợp kiểu sau dùng SOS chứng minh phần lại vô nghiệm Đây điển hình, cách liên hợp không cần suy nghĩ nhiều: PT ⇐⇒ ⇐⇒ x √ 2x + − + (2x + 1)2 + √ √ x2 + − + 2x + + +√ x2 √ 11x + − − 15x = x 22 +√ − 15 11x + + +1+1 = ⇐⇒ xf (x) = Bây ta SOS f (x) để đánh giá vô nghiệm, biểu thức vô tỉ, thường phân tích SOS tay nhiều sử dụng CASIO, sau hướng dẫn bạn cách phân tích tay cho , phân thức chứa f (x) phải 11 trừ số cho từ dương chuyển thành âm! Sử dụng TABLE ta thấy f (x) < ∀x ≥ − Cũng theo TABLE ta thấy (2x + 1)2 + √ 2x + + < Ta có: √ − a − a (2x + 1)2 − a 2x + −a= √ √ (2x + 1)2 + 2x + + (2x + 1)2 + 2x + + VNCASIOer Team 2016 vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh KSTN K60 Việc có (2x + 1)2 a = tử bằng: 1− √ 2x + làm ta nghĩ đến việc tạo số hạng kiểu √ 2x + = − (2x + 1)2 − ĐH Bách khoa Hà Nội √ 2x + + k Nếu chọn √ 2x + + , chưa xác định âm! (2x + 1)2 − Nếu chọn a = tử bằng: √ −2 (2x + 1)2 − 2x + = − √ (2x + 1)2 − 2x + + , chưa xác định âm! Do ta nâng tiếp lên a = 3: −1 − 3 (2x + 1)2 √ 3 − 2x + = − 1)2 3√ − + 2x + 2 (2x + , OK rồi! √ 22 22 − 2b − b 11x + √ Tiếp tục: √ −b= , ta chọn b = 11 đẹp: 11x + + 11x + + √ 22 11 11x + √ − 11 = − √ √ √ 2 Xử trước, đưa f1 (x) + g1 (x) 2x + f2 (x) + g2 (x) 4x + , cho phần dư đa thức lại phải vô nghiệm (đa thức bậc 4): √ √ −(x − 2) 2x + = x − − 2x + √ √ x + − 4x + −(x + 1) 4x + = 2 x − 2x + 2 x + 6x + − 2 − Khi PT trở thành: 2 x − 2x + − x + 6x + 2 √ √ 1 2 + − x − 2x + + x + − 4x + = 2 2 Solve cụm x4 − 2x3 + 3x2 + 6x + − x − 2x + − x + 6x + thấy có nghiệm với 2 x ≥ − , chưa thỏa mãn! √ √ √ 1 2 Tách lại: −(x − 2) 2x + = 2x + + x − − 2x + − x + Thế vào PT ta được: 2 √ √ √ 1 2 x4 − 2x3 + 2x2 + 3x + + 2x + + x − − 2x + + x + − 4x + = 2 x4 − 2x3 + 3x2 + 6x + − Đa thức bậc lại vô nghiệm, phân tích nốt xong (xem cách phân tích bên phần đa thức bậc 4): x2 − x − 2 √ √ 1 x − − 2x + + (2x + 1)2 + + 2x + + 2 + √ x + − 4x + 2 =0 Tương tự ta SOS sau: x2 − x √ √ x − 2x + + (x + 1)2 + + 2x + + 2 + √ x + − 4x + 2 =0 Nhận Xét: thiết phải dồn hết thứ vào bình phương tách làm đơn giản biểu thức dương! Khi dùng SOS chứng minh vô nghiệm, bạn thoải mái loại bỏ bớt (tạm xem không có) đại lượng chắn dương cho phần lại thỏa mãn dương, vừa đơn giản biểu thức mà lại không sai Với đại lượng chứa nghiệm kép toán dương ta làm tương tự (như Bài 11) √ Bài x4 − x2 + + x 3x5 + 5x4 − 4x3 − 5x2 + 3x = √ Như Bài 7, PT vô nghiệm, cụ thể x4 − x2 + + x 3x5 + 5x4 − 4x3 − 5x2 + 3x > √ Ta có: x 3x5 + 5x4 − 4x3 − 5x2 + 3x = − x4 − x2 + < √ √ √ √ + + 10 − 10 − =⇒ x ∈ − ;− ∪ ; 3 √ Ta có 3x5 + 5x4 − 4x3 − 5x2 + 3x = x (x2 + x − 1) (3x2 + 2x − 3), ta ứng dụng đẳng thức sau: a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 VNCASIOer Team 2016 vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Muốn ta tách x x (x2 + x − 1) (3x2 + 2x − 3) thành −3abc cho a + b + c > √ √ + + 10 ) TH1: x ∈ D1 = − ;− √ √ x < nên ghép x với x thành x4 OK! x2 + x − < nên ta ghép với − √ được, dư lại 3x2 + 2x − > Vậy ta được: √ x x (x2 + x − 1) (3x2 + 2x − 3) = −3 x4 − 3 x2 + x − 3x2 + 2x − Nghĩa phân tích ta có: √ √ x4 − x4 √ 1√ x2 + x − + 3x2 + 2x − 3 1√ + x2 + x − √ 1√ x2 + x − + 3x2 + 2x − 3 + √ + 3x2 + 2x − − √ x4 Do phải thêm bớt lượng: √ x4 + − 3 x2 + x − + 3x2 + 2x − 3 = x4 + 80 53 80 x + x− 27 27 27 tiếc chưa dương khoảng x trên! Phần đa thức lại là: x4 − x2 + − x4 + =− 80 53 80 x + x− 27 27 27 107x2 + 53x − 107 , 27 Nhưng không sao, ta tận cách phân tích khác: 1√ 3 x4 − x2 + x − √ 3 x (x2 + x − 1) (3x2 + 2x − 3) = −3 x4 − x2 + x − x x (x2 + x − 1) (3x2 + 2x − 3) = −3 x3 3 3x2 + 2x − 3x2 + 2x − Với cách nằm trên, lượng cần thêm bớt là: 1√ x4 3 + − x2 + x − Do phần đa thức thừa là: + 3x2 + 2x − 3 = x4 + 2x2 + x − 27 26 x − 3x2 − x + > ∀x ∈ D1 , OK xem toán xong 27 nửa! Để rõ việc 26 x − 3x2 − x + > ∀x ∈ D1 , ta viết lại: 27 26 26 x − 3x2 − x + = x −1 27 27 − 29 2 x + x − + (x + 13) 27 27 Tóm lại PT cho tương đương: 26 29 2 x −1 − x + x − + (x + 13) 27 27 27 + (P + Q + R) (P − Q)2 + (Q − R)2 + (R − P )2 > ∀x ∈ D1 √ √ 1√ Trong đó: P = x4 , Q = − x2 + x − 1, R = 3x2 + 2x − 3 VNCASIOer Team 2016 vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh KSTN K60 √ ) TH2: x ∈ D2 = 5−1 ; √ ĐH Bách khoa Hà Nội 10 − Tương tự TH1, PT cho tương đương: 17 x 3x2 + 2x − + 27 + (P + Q + R) (P − Q)2 + (Q − R)2 + (R − P )2 > ∀x ∈ D2 √ √ 1√ Trong đó: P = x4 , Q = x2 + x − 1, R = − 3x2 + 2x − 3 − Kết luận: PT cho vô nghiệm √ √ x + + x2 − x + Bài x4 + 7x2 + = x3 + 4x Nghiệm kép x = x4 − x3 + 7x2 + − 4x √ x+3+ √ Bài giống Bài thôi, ta có x = tích: √ √ −4x x + = 2x − x + √ x2 − x + ≥ x + = 2x √ x2 − x + = x, ta phân − 4x2 + x + √ √ −4x x2 − x + = x − x2 − x + Vậy: PT ⇐⇒ x(x + 1)(x − 1)2 + 2x − √ − 2x2 − x + x+3 +2 x− √ x2 − x + = ⇐⇒ x = Tuy nhiên trình bày ta phải ghi sau: + ĐK: x ≥ −3 + Từ PT cho ta có: √ x 4x x + + x2 − x + = x4 − x3 + 7x2 + = x2 − 2 + 27 x + > =⇒ x > + Do đó: PT ⇐⇒ · · · √ √ Bài 10 x2 + + + x2 = + + x2 x Bài có nghiệm căn, mò dạng không khó: x = ± √ 1+ , điều đặc biệt chúng nghiệm kép! Bài chơi AM − GM nhanh nhất: V T ≥ Dấu "=" ⇐⇒ x2 = x2 √ 1 + + x2 = V P x2 √ 1 + + x2 Tuy nhiên tài liệu trình bày SOS nên ta x làm nốt cách SOS! Không có khó, quy đồng lên xong luôn: PT ⇐⇒ x4 − 2x2 x2 − ⇐⇒ 1+ 1+ √ x2 VNCASIOer Team 2016 √ + x2 + + x2 + x2 √ + x2 =0 = ⇐⇒ x2 − 1+ √ + x2 = ⇐⇒ x4 = + √ + x2 vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh ⇐⇒ KSTN K60 √ + x2 x2 − x2 + x + + Bài 11 √ √ + x2 − = ⇐⇒ x2 − x2 − x + + x+1+ √ ĐH Bách khoa Hà Nội √ + x2 − = ⇐⇒ · · · (tự xử nốt!) x+1=2 1+ √ x+1 Nghiệm kép x = 0, bình phương vế ta được: x2 + x + + √ x+1+ x2 − x + + √ x+1 √ ⇐⇒ 2x2 − − x + + x2 + x + + √ ⇐⇒ 2x2 − − x + + x4 + x2 + x + + (x2 + 1) Ta thấy x4 + x2 + x + + (x2 + 1) √ =4 1+ x+1 √ x+1 √ √ x+1=0 x+1=0 ( ) = 2, cục lại mang dấu "+" nên không x4 + x2 + x + + (x2 + 1) tiếp xúc với đồ thị y = F (x) = x+1 x2 − x + + x=0 thể tạo nhân tử √ √ x+1−2 được, ta tìm đường y = f (x) x4 + x2 + x + + (x2 + 1) √ x + x = cho F (x) ≥ f (x) Chắc chắn bạn nghĩ đến tiếp tuyến, đường dễ tìm Tiếp tuyến y = F (x) x x = y = + thỏa mãn yêu cầu Ta có: √ x4 + x2 − x − + x2 + x + √ x x4 + x2 + x + + (x2 + 1) x + − +2 = √ x x + x + x + + (x2 + 1) x + + + 2 √ √ 2 Xét tử x + x − x − + x + x + ≥ 0, ta bỏ bớt 2x x + chứa nghiệm kép √ x = 0, phân tích lại G(x) = x4 + x2 − x − + x + √ Nếu đặt x + = t G(x) trở thành đa thức bậc chứa nghiệm kép t = 1, nghĩa có nhân tử √ (t − 1)2 , G(x) có nhân tử x + − , chia biểu thức ta được: G(x) = = √ √ x+1−1 x+1−1 2 x2 (x 3 x3 + 2x2 + x + + 2x2 + 2 + 1) + x + + √ x+1 √ 23 + 2x2 + 64 x + ≥ ∀x ≥ −1 √ Trở lại ( ), sau xử xong cục khổng lồ rồi, phần thừa lại là: 2x2 + x + − x + ≥ √ Phần đơn giản, bằng: 2x2 + x+1−1 Tóm lại kết cuối là: ( ) ⇐⇒ 2x2 + √ x+1−1 √ √ 4x2 x + + x+1−1 + √ 23 + 4x2 + x + 32 =0 √ x+1 2 x + x + x + + (x + 1) x + + + 2 2x2 (x + 1) + x + + ⇐⇒ x = √ √ √ Bài 12 3x x2 − + 3x2 − = 3x4 − 3x2 − VNCASIOer Team 2016 vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội √ x≥ √ ĐK: x≤− √ √ √ Nghiệm kép x = 3x4 − 3x2 − − 3x x2 − − 3x2 − ≥ √ √ Nếu bình phương vế lên: 3x x2 − + 3x2 − ⇐⇒ 3x4 + 3x2 − 12 − 6x = 3x4 − 3x2 − (x2 − 2) (3x2 − 4) = √ √ Thì dễ rồi: PT ⇐⇒ x x2 − − 3x2 − =0 Lưu ý, có nhiều cách ghép bình phương, chẳng hạn: 2x − (x2 − 2) (3x2 − 4) 8−x ; (x2 − 2) (3x2 − 4) Nhưng thành F-tik SOS, bạn phải trải qua cách sai trước tới cách trên: 3 2 2x − (x2 − 2) (3x2 − 4) − x −4 =0 2 √ √ 3x − 10x2 + − x2 − 2x + 3x4 − 10x2 + + x2 + 2x − = ⇐⇒ 2 PT ⇐⇒ − x (x2 − 2) (3x2 − 4) − x + x2 − = 8 ⇐⇒ − x2 − (x2 + 2) − x (x2 − 2) (3x2 − 4) PT ⇐⇒ + x2 − (x2 + 2) − x (x2 − 2) (3x2 − 4) = x+ 1+ x +x+1 Bài 13 + x2 + x + PT ⇐⇒ + x2 + x + x + 1+ 1+ √ = − x 1−x x2 + x + x +x+1 Nghiệm đơn x = −1, thay vào ta 1+ = x2 + x + 1 x +x+1 PT ⇐⇒ + x x2 + x + + x2 + x + ⇐⇒ (x + 1) x2 + 1 + ⇔ (x + 1) x2 + 1 + 1+ x +x+1 x6 − x5 − 2x3 + 6x2 + 5x + (x2 + x + 1)2 F (x) x3 x2 − −x+1 2 + (1 − x)3 = − (1 − x)3 nên dễ dàng liên hợp: (1 − x)3 = =0 10 1355 − x−1 + (83x + 14) + 1162 332 =0 (x2 + x + 1)2 F (x) x2 ⇐⇒ x = −1 1+ x +x+1 Trong F (x) = Bài 14 4x2 + x − √ + (1 − x)3 > x2 + x + − 4x2 + 3x + VNCASIOer Team 2016 √ x2 − − ≤ vietnamcasioerteam.blogspot.com Lâm Minh KSTN K60 ĐH Bách khoa Hà Nội Bài có tài liệu Kỹ thuật F-tik (v2): BPT ⇐⇒ √ x2 + x + − 2x2 + x + + √ √ x2 − − x2 + x + − √ x2 − − (x2 − 1) (x2 + x + 2) ≤ Trong tài liệu ta quan tâm đến ngoặc vuông chính: 2x2 + x + + = √ √ x2 + x + − x2 + x + − Kiểm tra thấy √ √ √ x2 − − x2 − + + x2 + x + − √ (x2 − 1) (x2 + x + 2) x2 + x + − √ x2 − √ x2 − + > nên ta làm Bây để xử lí nốt phần thừa cách riêng lẻ không dễ, thời gian muốn SOS Tuy nhiên để ý thấy ngoặc vuông thực có dạng y + y + = y + + , √ √ với y = x2 + x + − x2 − Chỉ mẹo nhỏ cho kết đẹp! BPT ⇐⇒ √ x2 +x+2− √ x2 −1−1 √ x2 +x+2− √ 2+2 x ≥ √ √ 2 ⇐⇒ x + x + − x − − ≤ ⇐⇒ √ 2−2 x≤ √ x2 −1+ 2 + ≤0 CÒN NỮA VNCASIOer Team 2016 10 vietnamcasioerteam.blogspot.com