BÀI TOÁN VẬN TẢI

BÀI TOÁN VẬN TẢI

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Tel (84-511) 736 949, Website: itf.ud.edu.vn, E-mail: cntt@edu.ud.vn BÁO CÁO TIỂU LUẬN MÔN HỌC HỆ HỖ TRỢ RA QUYẾT ĐỊNH NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH ĐỀ TÀI SỐ 6: BÀI TOÁN VẬN TẢI (Chú ý không làm thay đổi định dạng trang in) GVHD : TS Nguyễn Văn Hiệu Học viên : Lê Thị Kim Ngân Lớp : K28-KHMT Đà Nẵng, 05/2015 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định MỤC LỤC Tổng quan Phát biểu toán Mô hình toán Phương pháp chọn 4.1 Phương án - Phương án tối ưu 4.2 Dạng bảng toán vận tải 4.3 Dây chuyền - Chu trình 4.4 Ô chọn - Ô loại 4.5 Phương án 4.6 Giải toán vận tải 5 Một số ví dụ minh họa 10 5.1 Bài toán bổ nhiệm 10 5.2 Bài toán vận tải với cung cầu 11 5.3 Bài toán vận tải có đường cấm 13 5.4 Bài toán vận tải kèm chế biến trung gian 15 Kết luận 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Tổng quan Bài toán vận tải toán quan trọng toán quy hoạch tuyến tính Người ta tổng kết 85% toán quy hoạch tuyến tính gặp ứng dụng toán vận tải mở rộng Thuật ngữ toán vận tải thường hiểu toán vận chuyển cho cước phí nhỏ * Một số khái niệm Bài toán vận tải mô tả toán dòng liệu gồm tập hợp nút N chia thành hai phần rời nhau: nút nguồn S nút đích D, tức là: Và cung (i,j) tập cung A có gốc S có D S: nút nguồn D: nút đích Các nút thuộc S gọi nút nguồn (cung), nút thuộc D gọi nút đích (cầu) Một cách tổng quát, toán vận tải trình bày đồ thị Ở toán vận tải có thêm giả thiết nút nguồn có cung nối với nút đích Ở đề cập đến toán vận tải có thêm giả thiết gọi tắt toán vận tải Đối với toán vận tải người ta thường ký hiệu: si ∈ S nguồn phát nút i (i=1→m) dj ∈ D nhu cầu thu nút j (j=1→n) Trong trường hợp nguồn phát không chuyển hết sang nút cầu đủ nhu cầu toán vận tải gọi toán vận tải mở Có thể Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định đưa toán vận tải mở toán vận tải (đóng) cách thêm vào nút cầu giả thứ (n+1) với nhu cầu xác định sau : Phát biểu toán * Thiết lập toán vận tải cân thu phát sau: Có m nơi A1, A2, ,Am cung cấp loại hàng với khối lượng tương ứng a1, a2, ,am Hàng cung cấp cho n nơi B1, B2, , Bn với khối lượng tiêu thụ tương ứng b1, b2, ,bn Cước phí chuyên chở đơn vị hàng từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj cij Hãy lập kế hoạch vận chuyển từ điểm phát đến điểm thu hàng để: - Các điểm phát phát hết hàng - Các điểm thu nhận đủ hàng - Tổng cước phí phải trả Mô hình toán Gọi xij lượng hàng chuyển từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj , xij ≥ Vì tổng lượng hàng phát từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj lượng hàng phát từ Ai nên : xi1 + xi2 + … + xin = (i=1,2,…,m) Vì tổng lượng hàng thu điểm thu B j từ điểm phát Ai lượng hàng cần thu Bj nên: x1j + x2j + … + xmj = bji (j=1,2,…,n) Để tổng cước phí cần phải có : Với phân tích ta có mô hình toán sau: Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Phương pháp chọn 4.1 Phương án - Phương án tối ưu Một ma trận X=[xij]m.n thỏa (2) (3) gọi phương án, thỏa thêm (1) gọi phương án tối ưu 4.2 Dạng bảng toán vận tải Có thể giải toán vận tải theo cách quy hoạch tuyến tính Tuy nhiên tính chất đặc biệt toán vận tải nên người ta nghĩ thuật toán hiệu Trước tiên người ta trình bày toán vận tải dạng bảng sau: Trong bảng hàng mô tả điểm phát, cột mô tả điểm thu, ô mô tả tuyến đường từ điểm phát tới điểm thu 4.3 Dây chuyền - Chu trình Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Một dãy ô bảng mà hai ô liên tiếp nằm hàng cột, ba ô liên tiếp không nằm hàng cột gọi dây chuyền Ta thấy hai ô liền dây chuyền có số hàng số cột nhau: x x x x x x Dây chuyền (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1) Một dây chuyền khép kín, ô ô cuối nhau, gọi chu trình Ta thấy số ô chu trình số chẵn x x x x x x Chu trình: (1,1) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1) (1,1) 4.4 Ô chọn - Ô loại Giả sử ma trận X=[xij]m.n (i=1,2, ,m), (j=1,2, ,n) phương án toán vận tải Những ô bảng tương ứng với xij > gọi ô chọn, ô lại gọi ô loại 4.5 Phương án Một phương án mà ô chọn không tạo thành chu trình gọi phương án Một phương án có đủ (m+n-1) ô chọn gọi không suy biến, có (m+n-1) ô chọn gọi suy biến Trong trường hợp suy biến người ta chọn bổ sung vào phương án số ô loại có lượng hàng để phương án trở thành không suy biến Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định 4.6 Giải toán vận tải Xét toán vận tải có số lượng phát, số lượng thu ma trận cước phí dạng bảng sau: 80 20 60 50 40 70 11 * Lập phương án ban đầu Phương án ban đầu xác định cách ưu tiên phân phối nhiều vào ô có cước phí nhỏ (r,s) (gọi ô chọn) Khi đó: điểm phát r phát hết hàng xóa hàng r bảng số lượng cần thu điểm s bs-ar ; điểm thu s nhận đủ hàng xóa cột s bảng số lượng phát lại điểm phát r ar-bs Bảng thu có kích thước giảm Tiếp tục phân phối hết hàng Các ô chọn trình phân phối, không chứa chu trình, phương án Nếu phương án suy biến, chưa đủ m+n-1 ô, bổ sung thêm số "ô chọn 0" Áp dụng vào toán xét : 1- Phân vào ô (1,3) 50 Hàng (1) bị xóa Cột (3) thu 60-50=10 80 20 10 50 40 70 11 Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định 2- Phân vào ô (2,2) 20 Cột (2) bị xóa Hàng (2) phát 40-20=20 80 10 50 20 20 70 11 3- Phân vào ô (2,1) 20 Hàng (2) bị xóa Cột (1) thu 80-20=60 60 10 50 20 20 70 11 4- Phân vào ô (3,1) 60 Cột (1) bị xóa Hàng (3) phát 70-60=10 0 10 50 20 20 10 60 11 5- Phân vào ô (3,3) 10 Hết hàng 0 0 50 20 20 Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định 60 11 10 Đã có ô chọn, chúng tạo thành phương án không suy biến số ô với m+n-1=3+3-1 * Thuật toán "Quy cước phí ô chọn" Định lý: Nếu cộng vào hàng i cột j ma trận cước phí C=[c ij] số tùy ý ri sj toán vận tải với ma trận cước phí C'=[c'ij=cij+ri+sj] phương án tối ưu toán phương án tối ưu toán ngược lại Thuật toán "Quy cước phí ô chọn" gồm ba giai đoạn:  Giai đoạn 1: Quy cước phí ô chọn Sau xác định phương án có m+n-1 ô chọn, người ta cộng vào hàng i cột j ma trận cước phí C=[c ij] số ri sj cho ma trận cước phí C' ô chọn thỏa c'ij=cij+ri+sj=0 Tiếp tục ví dụ ta thấy: 50 r1=6 20 20 r2=0 60 11 10 r3= -4 s1= -3 s2= -2 s3= -7 Các giá trị cộng vào phải thỏa hệ phương trình: Chọn r2=0 , giải hệ ta kết Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Ma trận cước phí thu : 8 50 20 20 -1 60 10  Giai đoạn 2: Kiểm tra tính tối ưu Sau quy cước phí ô chọn nếu: ô loại có cước phí ≥ phương án xét tối ưu, ngược lại chuyển sang giai đoạn Trong ví dụ ta chuyển sang giai đoạn  Giai đoạn 3: Xây dựng phương án tốt 1- Tìm ô đưa vào Ô đưa vào ô loại (i*,j*) có cước phí nhỏ trở thành ô chọn Trong ví dụ ô (2,3) 2- Tìm chu trình điều chỉnh Chu trình điều chỉnh tìm cách bổ sung ô (i*,j*) vào m+n-1 ô chọn ban đầu, xuất chu trình nhất, gọi chu trình điều chỉnh V Trong ví dụ chu trình điều chỉnh là: V : (2,3) (3,3) (3,1) (2,1) (2,3) 3- Phân ô chẵn lẻ cho chu trình điều chỉnh Đánh số thứ tự ô chu trình điều chỉnh V ô (i*,j*) Khi chu trình điều chỉnh V phân thành hai lớp: VC : ô có số thứ tự chẵn VL : ô có số thứ tự lẻ 4- Tìm ô đưa lượng điều chỉnh Trong số ô có thứ tự chẵn chọn ô (r,s) phân phối hàng làm ô đưa ra, trở thành ô loại Lượng hàng xrs ô đưa gọi lượng điều chỉnh Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Trong ví dụ ô đưa ô (3,3), lượng điều chỉnh 10 5- Lập phương án Phương án có cách thêm bớt lượng điều chỉnh chu trình điều chỉnh sau:  Ô có thứ tự chẵn bị bớt lượng điều chỉnh  Ô có thứ tự lẻ cộng thêm lượng điều chỉnh  Ô chu trình điều chỉnh không thay đổi Trong ví dụ ta thấy ô chu trình điều chỉnh có thay đổi sau :  Ô (2,3) thêm 10 trở thành 10  Ô (3,3) bị bớt 10 trở thành  Ô (3,1) thêm 10 trở thành 70  Ô (2,1) bị bớt 10 nên trở thành 10 Khi phương án : 8 50 10 20 -1 10 70 Quay giai đoạn  Giai đoạn 1: Quy cước phí ô chọn 8 50 r1=-1 10 20 -1 10 r2=0 70 r3=0 s1=0 s2=0 s3=1 Ma trận cước phí : 7 Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 50 Trang Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định 10 20 10 70  Giai đoạn 2: Kiểm tra tính tối ưu Đây phương án tối ưu 80 20 60 50 50 40 10 20 10 70 70 11 Với cước phí là: 1x50 + 3x10 + 2x20 + 6x10 + 7x70 = 670 So sánh với sử dụng phương án ban đầu 80 20 60 50 50 40 20 20 70 60 11 10 cước phí là: 1x50 + 3x20 + 2x20 + 7x60 + 11x10 = 680 Một số ví dụ minh họa Có nhiều toán thực tế có tính chất “vận tải” có mô hình toán học toán vận tải Một số toán : 5.1 Bài toán bổ nhiệm Giả sử tập hợp S gồm m người tập hợp D gồm n công việc (chức vụ) Cước phí việc bổ nhiệm người i∈S vào việc j∈D cij(i=1→m , Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 10 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định j=1→n) Bài toán đặt tìm cách chia người việc cho cước phí bổ nhiệm nhỏ Người ta đặt biến (biến dòng) sau : người i nhận việc j xij = trường hợp khác toán trở thành: ∈ ∈ Vì người nhận việc nên: Vì việc giao cho người nên: Đây toán vận tải có thêm yêu cầu biến xij lấy giá trị Bài toán bổ nhiệm có gọi toán chọn (Choice Problem) Nhiều toán thực tế đa dạng có mô hình toán học toán bổ nhiệm, chẳng hạn toán phân bố hỏa lực vào mục tiêu cần tiêu diệt 5.2 Bài toán vận tải với cung cầu Xét toán toán vận tải với S tập hợp m nút cung D tập hợp n nút cầu mà tổng nguồn cung nhỏ tổng nhu cầu, tức là: Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 11 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Trong trường hợp tất nhiên đáp ứng đủ nhu cầu dj cho nút j=1→n ràng buộc có dạng bất đẳng thức thay đẳng thức Vậy: Người ta thường đưa toán toán vận tải (đóng) theo hai trường hợp sau đây: Trường hợp thứ có tính đến thiệt hại tiền thiếu đơn vị hàng hoá nút cầu j rj (j=1→n) Lúc người ta đưa thêm vào nút cung giả (m+1) với nguồn cung là: cước phí tương ứng c(m+1) j = rj (j=1→n) Khi ta nhận toán vận tải (đóng) Trường hợp thứ hai không tính đến thiệt hại thiếu hàng nút cầu Lúc ta đưa toán vận tải (đóng) trên, không tính đến thiệt hại nên mục tiêu là: Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 12 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định  Ghi chú: Với toán vận tải mở, nguồn chuyển không hết sang nhu cầu, người ta tính thêm cước phí lưu kho nguồn cho đơn vị hàng ci(n+1) (i=1→m) Hoàn toàn tương tự trên, đưa toán toán vận tải (đóng) cách thêm vào nút cầu giả (n+1) hàm mục tiêu trở thành: Như ta cần xét toán vận tải (đóng) 5.3 Bài toán vận tải có đường cấm Đây toán vận tải nguồn có cung nối với đích, nghĩa có đường cấm Cách đưa toán vận tải dùng phương pháp M-lớn, tức phương pháp phạt sau : Gọi E tập cung không cấm, tức cung (i,j), i∈S, j∈D toán có thêm điều kiện: xij=0 với (i,j)∉E Ta đưa toán có yêu cầu Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 13 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định (*) toán vận tải cách đặt cước vận chuyển sau: Cij nÕu (i ,j) ∈ E M nÕu (i,j) ∉ E c¯ij = { Ở M số lớn, coi số lớn số gặp phải tính toán Xét toán với cước phí sau : (**) ta có:  Định lý: Giả sử x = [Xij]m.n phương án vận chuyển tối ưu (**) : Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 14 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định Nếu Xij = ∉ x phương án vận chuyển tối ưu toán vận tải có đường cấm (*) Nếu tồn xkl ∉ mà xkl > toán vận tải có đường cấm (**) nghiệm chấp nhận 5.4 Bài toán vận tải kèm chế biến trung gian Giả sử mô hình vận tải có số điểm nguồn, tức điểm sản xuất, cho số sản phẩm cần phải chế biến trước đến điểm cầu Giả sử có λ=1→k điểm chế biến với khả chế biến aλ đơn vị sản phẩm tương ứng Gọi cước phí vận chuyển đơn vị bán sản phẩm từ i đến λ chuyển đơn vị sản phẩm từ λ đến j Bài toán đặt lập kế hoạch vận chuyển tất sản phẩm qua chế biến đến tất điểm cầu cho cước phí nhỏ Gọi xiλj lượng sản phẩm từ i qua λ qua j, ta cần tìm x=[ x iλj]mkn cho : Kết luận Bài toán vận tải đời từ kỷ trước ngày đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực đời sống xã hội Lớp toán vận tải trường hợp đặc biệt quy hoạch tuyến tính, dùng Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 15 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải Tuy nhiên, tính chất đặc thù riêng nó, người ta xây dựng phương pháp giải riêng Thông thường nói đến toán vận tải ta thường liên hệ đến toán vận tải hai số, toán vận tải kinh điển có phương pháp giải hay Bên cạnh đó, người ta xét số toán vận tải mở rộng toán vận tải ba số, toán vận tải khoảng, toán vận tải đa mục tiêu nhiều toán khác, biến thể toán vận tải kinh điển Trong toán vận tải mở rộng người ta đưa vào chi phí sản xuất, chi phí lưu kho, giá vận chuyển phụ thuộc lượng hàng vận chuyển Hàng hóa toán vận tải hiểu theo nghĩa hẹp hay nghĩa rộng (ví dụ: thông tin, tài ) Bài toán vận tải xuất kinh tế vi mô kinh tế vĩ mô Có thể nói, điều khiển xã hội theo lời giải tối ưu toán vận tải hiệu kinh tế tăng lên nhiều lần, chí hàng chục, hàng trăm lần Chính mà ngày tập đoàn kinh tế lớn giới phải quan tâm đến toán tối ưu, có toán vận tải Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 16 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ định TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ]- Doãn Châu Long, Qui hoạch tuyến tính Lý thuyết đồ thị hữu hạn , NXB Giáo dục, Hà Nội , 1982 [ ]- Ðặng Văn Uyên, Qui hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1989 [ ]- Nguyễn Ðức Nghĩa, Tối ưu hóa ( Qui hoạch tuyến tính rời rạc ), NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 [ ]- Trương Văn Khảng, Qui hoạch tuyến tính, ÐH Kinh tế TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh, 1987 [ ]- http://voer.edu.vn/c/bai-toan-van-tai Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 17 [...]... đến bài toán vận tải ta thường liên hệ ngay đến bài toán vận tải hai chỉ số, bởi đây là bài toán vận tải kinh điển có những phương pháp giải hay Bên cạnh đó, người ta còn xét một số các bài toán vận tải mở rộng như bài toán vận tải ba chỉ số, bài toán vận tải khoảng, bài toán vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài toán khác, đó là các biến thể của bài toán vận tải kinh điển trên Trong bài toán vận tải. .. nhiều bài toán thực tế có tính chất không phải là vận tải nhưng có mô hình toán học là bài toán vận tải Một số bài toán như vậy là : 5.1 Bài toán bổ nhiệm Giả sử tập hợp S gồm m người và tập hợp D gồm n công việc (chức vụ) Cước phí của việc bổ nhiệm người i∈S vào việc j∈D là cij(i=1→m , Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 10 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định j=1→n) Bài toán đặt ra là... thì ta có:  Định lý: Giả sử x = [Xij]m.n là phương án vận chuyển tối ưu của (**) thì khi đó : Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 14 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định 1 Nếu Xij = 0 ∉ thì x là phương án vận chuyển tối ưu của bài toán vận tải có đường cấm (*) 2 Nếu tồn tại xkl ∉ mà xkl > 0 thì bài toán vận tải có đường cấm (**) không có nghiệm chấp nhận được 5.4 Bài toán vận tải kèm chế... (i,j), i∈S, j∈D và bài toán có thêm điều kiện: xij=0 với (i,j)∉E Ta đưa bài toán có các yêu cầu Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 13 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định (*) về bài toán vận tải bằng cách đặt cước vận chuyển mới như sau: Cij nÕu (i ,j) ∈ E M nÕu (i,j) ∉ E c¯ij = { Ở đây M là một số rất lớn, được coi là số lớn hơn mọi số gặp phải khi tính toán Xét bài toán với cước phí mới... tương tự như trên, khi đưa bài toán này về bài toán vận tải (đóng) bằng cách thêm vào nút cầu giả (n+1) thì hàm mục tiêu trở thành: Như vậy ta chỉ cần xét bài toán vận tải (đóng) 5.3 Bài toán vận tải có đường cấm Đây là bài toán vận tải nhưng không phải mỗi nguồn đều có cung nối với mọi đích, nghĩa là có đường cấm Cách đưa về bài toán vận tải là dùng phương pháp M-lớn, tức là phương pháp phạt như sau :... chẳng hạn như bài toán phân bố hỏa lực vào mục tiêu cần tiêu diệt 5.2 Bài toán vận tải với cung ít hơn cầu Xét một bài toán một bài toán vận tải với S là tập hợp m nút cung và D là tập hợp n nút cầu mà tổng nguồn cung nhỏ hơn tổng nhu cầu, tức là: Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 11 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định Trong trường hợp này tất nhiên không thể đáp ứng đủ nhu cầu dj cho... đưa về bài toán vận tải (đóng) như trên, nhưng vì không tính đến sự thiệt hại nên mục tiêu sẽ là: Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 12 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định  Ghi chú: Với bài toán vận tải mở, nguồn chuyển không hết sang các nhu cầu, người ta có thể tính thêm cước phí lưu kho ở mỗi nguồn cho mỗi đơn vị hàng là ci(n+1) (i=1→m) Hoàn toàn tương tự như trên, khi đưa bài toán. .. qua j, ta cần tìm x=[ x iλj]mkn sao cho : 6 Kết luận Bài toán vận tải ra đời từ thế kỷ trước và ngày càng đóng vai trò quan trọng trên nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội Lớp các bài toán vận tải là trường hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính, bởi vậy có thể dùng các Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 15 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải Tuy... thế giới đều phải quan tâm đến các bài toán tối ưu, trong đó có bài toán vận tải Học viên: Lê Thị Kim Ngân – KHMT K28 Trang 16 Tiểu luận môn học Hệ hỗ trợ ra quyết định TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1 ]- Doãn Châu Long, Qui hoạch tuyến tính và Lý thuyết đồ thị hữu hạn , NXB Giáo dục, Hà Nội , 1982 [ 2 ]- Ðặng Văn Uyên, Qui hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1989 [ 3 ]- Nguyễn Ðức Nghĩa, Tối ưu hóa ( Qui... 0 nếu trường hợp khác thì bài toán trở thành: ∈ ∈ Vì mỗi người nhận đúng 1 việc nên: Vì mỗi việc chỉ giao cho một người nên: Đây là bài toán vận tải nhưng có thêm yêu cầu là các biến xij chỉ lấy giá trị 0 hoặc 1 Bài toán bổ nhiệm cũng có khi được gọi là bài toán chọn (Choice Problem) Nhiều bài toán thực tế đa dạng có mô hình toán học là bài toán bổ nhiệm, chẳng hạn như bài toán phân bố hỏa lực vào mục