Bài toán vận tải đa mục tiêu

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài toán tối ưu xuất hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả năng ứng dụng của các bài toán tối ưu cũng ngày càng đa dạng và phong phú. Lớp bài toán tối ưu quan trọng được nghiên cứu đầu tiên và được ứng dụng nhiều nhất là bài toán quy hoạch tuyến tính (linear programming). Đó là mô hình toán học của một lớp rộng lớn các bài toán ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật. Do đó cấu trúc của lớp bài toán quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất rất tốt về mặt toán học, người ta đ• tìm được các thuật giải rất hữu hiệu cho bài toán này. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đ• nghiên cứu và đề xuất ra thuật toán đơn hình (simplex method) để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Thuật toán đơn hình được phát triển mạnh mẽ trong những năm sau đó và được xem là một phương pháp kinh điển để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính. Đây là một phương pháp được sử dụng có thể nói là rộng r•i nhất. Có ba lý do chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính. Hai là: Trong nhiều phương pháp giải các bài toán phi tuyến, bài toán tuyến tính xuất hiện như là một bài toán phụ cần phải giải trong nhiều bước lặp. Ba là: Phương pháp đơn hình là phương pháp hiệu quả để giải bài toán quy hoạch tuyến tính.

lời mở đầu Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài toán tối u xuất hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả năng ứng dụng của các bài toán tối u cũng ngày càng đa dạng và phong phú. Lớp bài toán tối u quan trọng đợc nghiên cứu đầu tiên và đợc ứng dụng nhiều nhất là bài toán quy hoạch tuyến tính (linear programming). Đó là mô hình toán học của một lớp rộng lớn các bài toán ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật. Do đó cấu trúc của lớp bài toán quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất rất tốt về mặt toán học, ngời ta đã tìm đợc các thuật giải rất hữu hiệu cho bài toán này. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất ra thuật toán đơn hình (simplex method) để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Thuật toán đơn hình đợc phát triển mạnh mẽ trong những năm sau đó và đợc xem là một phơng pháp kinh điển để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính. Đây là một phơng pháp đợc sử dụng có thể nói là rộng rãi nhất. Có ba lý do chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể đa về bài toán quy hoạch tuyến tính. Hai là: Trong nhiều phơng pháp giải các bài toán phi tuyến, bài toán tuyến tính xuất hiện nh là một bài toán phụ cần phải giải trong nhiều bớc lặp. Ba là: Phơng pháp đơn hình là phơng pháp hiệu quả để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngày nay, bằng thuật toán đơn hình và các dạng cải biên của chúng, ngời ta có thể giải rất nhanh các bài toán QHTT cỡ lớn. Lớp các bài toán vận tải là trờng hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính, bởi vậy có thể dùng các phơng pháp của quy hoạch tuyến tính để giải. Tuy nhiên, do tính chất đặc thù riêng của nó, ngời ta xây dựng các phơng pháp giải riêng. Thông thờng khi nói đến bài toán vận tải ta thờng liên hệ ngay đến bài toán vận tải hai chỉ số, bởi đây là bài toán vận tải kinh điển có những phơng pháp giải hay. Bên cạnh đó, ngời ta còn xét một số các bài toán vận tải mở rộng nh bài toán vận tải Trang: 1 ba chỉ số, bài toán vận tải khoảng, bài toán vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài toán khác, đó là các biến thể của bài toán vận tải kinh điển trên. Trong khuôn khổ khoá luận này, em xem xét và nghiên cứu một số bài toán mở rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng đó. Đó là các bài toán: Bài toán vận tải ba chỉ số (solid transport problem) không hạn chế và có hạn chế khả năng thông qua, Bài toán vận tải ba chỉ số khoảng (interval solid transport problem) và giới thiệu một số Bài toán vận tải đa mục tiêu. Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thày giáo hớng dẫn Thạc sỹ Vũ Tiến Việt, ngời đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khoá luận này. Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong khoa Toán - Tin, Học viện An ninh Nhân dân. Trang: 2 Chơng I. Bài toán quy hoạch tuyến tính Trong việc nghiên cứu các bài toán tối u nói chung, giải tích lồi giữ một vai trò rất quan trọng. Nó đợc sử dụng làm cơ sở toán học trong việc xây dựng các thuật toán. Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối u đợc nghiên cứu trọng vẹn cả về phơng diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài toán vận tải là một dạng đặc biệt của QHTT. Do đó chơng này nhằm giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ bản về giải tích lồi và QHTT. 1.1 Một số khái niệm về giải tích lồi 1.1.1 Không gian Euclude Một vector n chiều trên trờng số thực là một bộ đợc sắp thứ tự gồm n số thực x=(x 1 , x 2 , ., x n ). Các x i , i =1, ., n gọi là các thành phần hay toạ độ của vector. Ví dụ x=(4,5,10,20). Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu x i =y i , i =1, ., n. Xét hai phép toán trên các vector: Phép cộng: x+y=(x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , ., x n +y n ) Phép nhân: x=(x 1 , x 2 , ., x n ), R Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các vector, nhân một số thực với vector nh trên tạo thành không gian tuyến tính n chiều trên tr- ờng số thực R, ký hiệu R n . Các vector x (i) R n , i =1, ., m đợc gọi là độc lập tuyến tính nếu: Trang: 3 mix i i m i i ,1,00 )( 1 === = Nếu: = = m i i i xx 1 )( với ít nhất một i 0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của các x (i) , i =1, ., m. Hơn nữa nếu i > 0, i =1, ., m và = = m i i 1 1 thì x gọi là tổ hợp lồi của các x (i) , i =1, ., m. Trong R n có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nó. Giả sử e (1) , e (2) , ., e (n) là một cơ sở của R n thì bất kỳ một vector x R n đều là tổ hợp tuyến tính của các vector e (1) , e (2) , ., e (n) . Ta gọi tích vô hớng của hai vector x=(x 1 , x 2 , ., x n ) và y=(y 1 , y 2 , ., y n ), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng. Tích vô hớng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, không âm, tức là: 1. <x,y> = <y, x>. x,y R n 2. <x (1) + x (2) , y >=< x (1) , y >+< x (2) , y>. x (1) , x (2) , y R n 3. <x,y> = <x,y>. x,y R n 4. <x,x> 0, x R n dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0. Độ dài của vector x=(x 1 , x 2 , ., x n ) là một số xác định bởi. Khoảng cách giữa hai vector x và y là một số xác định bởi: Không gian vector trong đó có tích vô hớng và khoảng cách nh trên gọi là không gian Euclude. 1.1.2 Tập compact Dãy {x (k) }R n k=1, 2, . đợc gọi là có giới hạn x (0) khi k và viết lim x (k) = x (0) , nếu Trang: 4 = =><= n i i xxxx 1 2 , ( ) 0,lim )0()( = xx k k = =>< n i ii yxyx 1 , k ( ) ( ) = =><== n i ii yxyxyxyxyx 1 2 ,, Hình cầu tâm a bán kính là tập S={xR n :x-a }. Hình cầu này tạo nên - lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a. * Nếu tập AR n chứa cùng với điểm x một lân cận của nó thì x gọi là điểm trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x A có các điểm của A và các điểm không thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A. * Một tập AR n gọi là giới nội nếu nó đợc chứa trong một hình cầu tâm O nào đó, tức là tồn tại số đủ lớn sao cho với mọi xA,x . Một dãy {x (k) } hội tụ thì bao giờ cũng giới nội. * Một tập hợp GR n đợc gọi là mở nếu với mọi xG đều tồn tại một hình cầu tâm x nằm gọn trong G. Một tập FR n đợc gọi là đóng nếu với mọi dãy hội tụ{x (k) } F ta đều có: Fx k k )( lim Một tập chứa mọi điểm biên của nó là tập đóng. * Tập C đợc gọi là tập Compact nếu từ mọi dãy vô hạn {x (k) } thuộc C đều có thể trích ra một dãy con {x (ki) } hội tụ tới phần tử thuộc C. Tập C là Compact khi và chỉ khi C đóng và giới nội. Tập Compact M của tập đóng C cũng đóng trong C. Tập con đóng M của tập Compact cũng Compact. Hàm f(x) liên tục trên tập Compact C thì sẽ đạt cực trị trên tập ấy. 1.1.3 Tập lồi Cho hai điểm a, b R n . Ta gọi đờng thẳng qua a, b là tập điểm có dạng xR n : x = a + (1-)b, R. Đoạn thẳng nối hai điểm a, b là tập lồi các điểm có dạng xR n :x = x + (1-)y, 0 1 * Một tập MR n đợc gọi là một đa tạp affine nếu với hai điểm bất kỳ x, y M thì toàn bộ đờng thẳng đi qua hai điểm đó cũng thuộc M. Tức là x + (1-)y M : x,y M, R. * Một siêu phẳng trong không gian R n là tập hợp tất cả các điểm x=(x 1 , x 2 , ., x n ) R n thỏa mãn phơng trình tuyến tính Trang: 5 a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n = trong đó a 1 , a 2 , ., a n , R * Tập hợp các điểm x=(x 1 , x 2 , ., x n ) R n thoản mãn bất phơng trình tuyến tính a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n đợc gọi là nửa không gian đóng. * Nửa không gian đợc cho bởi a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n < đợc gọi là nửa không gian mở. * Tập XR n đợc gọi là tập lồi nếu cùng với việc chứa hai điểm x, y nó chứa cả đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức là chứa tất cả các điểm có dạng: x + (1-)y, 0 1 Ví dụ về các tập lồi: Không gian Euclide, các nửa không gian, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình elip, hình hộp, hình cầu . * Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng đợc gọi là tập lồi đa diện. Mệnh đề: Giao của hai tập lồi là một tập lồi. Hệ quả 1. Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập lồi. Hệ quả 2. Miền chứa nghiệm của một hệ bất phơng trình tuyến tính dạng. là một tập lồi (đa diện lồi). Một tập lồi đa diện giới nội gọi là một đa diện. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập X gọi là bao lồi của nó, ký hiệu [X] 1.1.4 Hàm lồi * Một hàm số f(x) xác định trên tập lồi C R n đợc gọi là hàm lồi trên C, nếu với mọi x, y C và 0 1 ta có f(x + (1-)y) f(x) + (1-)f(y). * Hàm f(x) đợc gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x, y C và 0 1 ta có. f(x + (1-)y) < f(x) + (1-)f(y). * Hàm f(x) đợc gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu - f(x) là hàm lồi (lồi chặt) Trang: 6 . . . . 2211 22222121 11212111 +++ +++ +++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa * Hàm f(x) xác định trên C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x* C nếu f(x * ) f(x): xC * Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phơng tại x* C nếu tồn tại lân cận mở U của x* sao cho f(x*) f(x): xC U Mệnh đề 1: Bất kỳ điểm cực tiểu địa phơng nào của hàm lồi trên tập lồi cũng là điểm cực tiểu tuyệt đối. Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phơng nào của hàm lõm cũng là cực đại tuyệt đối. Mệnh đề 2: Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên. 1.2 Bài toán Quy hoạch tuyến tính QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sỹ L.V. Kantorovich trong một loạt các công trình về bài toán kế hoạch hoá sản xuất, công bố năm 1938. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất phơng pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài toán QHTT. Năm 1952 ph- ơng pháp đơn hình đã đợc chạy trên máy tính điện tử của Mỹ. 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán tổng quát. Để nhất quán lập luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài toán tổng quát của QHTT có dạng: Ký hiệu: A=(a ij ) mxn là ma trận với các phần tử a ij (1.1) gọi là hàm mục tiêu, (1.2) là các rằng buộc. Nếu gặp bài toán Min, tức là Trang: 7 ( ) Dx xcxf j n j j = = min 1 ( ) 1.1max 1 = j n j j xc ( ) ( ) ( ) 3.1, .,1,0 2.1 .,,1,,, 1 njx mibxa j i n j jij = == = Thì giữ nguyên ràng buộc và đa về bài toán Max bằng cách Nếu bài toán Max có phơng án tối u là x* thì bài toán min cũng có phơng án là x* và f min =- f max Thật vậy, vì x* là phơng án tối u của bài toán Max nên ta có: Chứng tỏ x* là phơng án tối u của bài toán Min và Dạng chuẩn và dạng chính tắc. Ngời ta thờng xét bài toán quy hoạch tuyến tính dới hai dạng sau: -Dạng chuẩn: -Dạng chính tắc: Đa bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc. Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau: Trang: 8 ( ) Dx xcxf j n j j = = max 1 Dxxcxc hayDxxcxcf n j jj n j jj j n j j n j jj = == == , , 11 * 11 * max = == n j jj fxcf 1 max * min njx mibxa xc j i n j jij n j jj , .,1,0 , .,1, max 1 1 = = = = njx mibxa xc j i n j jij j n j j , .,1,0 , .1, max 1 1 = == = = i) Một ràng buộc Có thể đa về ràng buộc bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại ii) Một ràng buộc đẳng thức có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức: iii) Một biến x j không bị ràng buộc dấu có thể thay thế bởi hiệu của hai biến không âm bằng cách đặt: iv) Một ràng buộc bất đẳng thức Có thể đa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đa vào biến phụ y i 0: Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi (i), (ii) và (iii) ta có thể đa một bài toán QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi (iv) ta sẽ đa nó về dạng chính tắc. Giải bài toán QHTT bằng phơng pháp hình học. Xét bài toán QHTT dới dạng chuẩn với hai biến số: Trang: 9 = n j ijij bxa 1 i n j jij bxa = = 1 i n j jiji n j jij bxabxa == 11 , 0,0, = ++ jjjjj xxxxx với ij n j ij bxa = 1 i n j ijij byxa =+ = 1 ij n j ij bxa = 1 .'' 1 ij n j ij bxa = = =+ = + 2,1,0 , .,1, max 2111 2211 jx mibxaxa D xcxc j iii Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phơng trình tuyến tính a i1 x 1 +a i2 x 2 b i xác định một nửa mặt phẳng. Nh vậy miền ràng buộc D đợc xác định nh là giao của một nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng. Phơng trình c 1 x 1 +c 2 x 2 = khi thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đờng thẳng song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đờng mức (với giá trị mức ). Mỗi điểm D sẽ nằm trên một đờng mức với mức Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học nh sau: trong số các đ- ờng mức cắt tập D, hãy tìm đờng mức với gía trị lớn nhất. Nếu dịch chuyển song song các đờng mức theo hớng vector pháp tuyến của chúng thì giá trị mức sẽ tăng, nếu dịch chuyển theo hớng ngợc lại thì giá trị mức sẽ giảm. Vì vậy để giải bài toán đặt ra, ta có thể tiến hành nh sau. Bắt đầu từ một đờng mức cắt D, ta dịch chuyển song song các đờng mức theo h- ớng vector pháp tuyến (c 1 ,c 2 ) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đờng mức không còn cắt D nữa thì dừng. Điểm của D (có thể nhiều điểm) nằm trên đờng mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối u cần tìm, còn giá trị của hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối u của bài toán. Ví dụ: Xét bài toán: f(x)= 4x 1 +5x 2 max Xét đờng mức: 4x 1 +5x 2 =10. Đờng mức này đi qua hai điểm (0,2) và (2.5,0). Ta có x*=(3,2), f max =22 Trang: 10 0,0 3 72 82 21 2 21 21 + + xx x xx xx ( ) 21 , xxx = . 2211 xcxc += ( ) 21 ,ccn = y n *x x