Bài toán vận tải 3 chỉ số

Tài liệu tham khảo:Bài toán vận tải 3 chỉ số

LỜI MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài tốn tối ưu xuất hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả năng ứng dụng của các bài tốn tối ưu cũng ngày càng đa dạng và phong phú. Lớp bài tốn tối ưu quan trọng được nghiên cứu đầu tiên và được ứng dụng nhiều nhất là bài tốn quy hoạch tuyến tính (linear programming). Đó là mơ hình tốn học của một lớp rộng lớn các bài tốn ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật. Do đó cấu trúc của lớp bài tốn quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất rất tốt về mặt tốn học, người ta đã tìm được các thuật giải rất hữu hiệu cho bài tốn này. Năm 1947 nhà tốn học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất ra thuật tốn đơn hình (simplex method) để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính. Thuật tốn đơn hình được phát triển mạnh mẽ trong những năm sau đó và được xem là một phương pháp kinh điển để giải các bài tốn quy hoạch tuyến tính. Đây là một phương pháp được sử dụng có thể nói là rộng rãi nhất. Có ba lý do chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể đưa về bài tốn quy hoạch tuyến tính. Hai là: Trong nhiều phương pháp giải các bài tốn phi tuyến, bài tốn tuyến tính xuất hiện như là một bài tốn phụ cần phải giải trong nhiều bước lặp. Ba là: Phương pháp đơn hình là phương pháp hiệu quả để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính. Ngày nay, bằng thuật tốn đơn hình và các dạng cải biên của chúng, người ta có thể giải rất nhanh các bài tốn QHTT cỡ lớn. Lớp các bài tốn vận tải là trường hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính, bởi vậy có thể dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải. Tuy nhiên, do tính chất đặc thù riêng của nó, người ta xây dựng các phương pháp giải riêng. THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN Thơng thường khi nói đến bài tốn vận tải ta thường liên hệ ngay đến bài tốn vận tải hai chỉ số, bởi đây là bài tốn vận tải kinh điển có những phương pháp giải hay. Bên cạnh đó, người ta còn xét một số các bài tốn vận tải mở rộng như bài tốn vận tải ba chỉ số, bài tốn vận tải khoảng, bài tốn vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài tốn khác, đó là các biến thể của bài tốn vận tải kinh điển trên. Trong khn khổ khố luận này, em xem xét và nghiên cứu một số bài tốn mở rộng trong lớp các bài tốn vận tải mở rộng đó. Đó là các bài tốn: Bài tốn vận tải ba chỉ số (solid transport problem) khơng hạn chế và có hạn chế khả năng thơng qua, Bài tốn vận tải ba chỉ số khoảng (interval solid transport problem) và giới thiệu một số Bài tốn vận tải đa mục tiêu. THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN CHƯƠNG I. BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Trong việc nghiên cứu các bài tốn tối ưu nói chung, giải tích lồi giữ một vai trò rất quan trọng. Nó được sử dụng làm cơ sở tốn học trong việc xây dựng các thuật tốn. Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài tốn tối ưu được nghiên cứu trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài tốn vận tải là một dạng đặc biệt của QHTT. Do đó chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ bản về giải tích lồi và QHTT. 1.1 Một số khái niệm về giải tích lồi 1.1.1 Khơng gian Euclude Một vector n chiều trên trường số thực là một bộ được sắp thứ tự gồm n số thực x=(x 1 , x 2 , ., x n ). Các x i , i =1, ., n gọi là các thành phần hay toạ độ của vector. Ví dụ x=(4,5,10,20). Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu x i =y i , ∀i =1, ., n. Xét hai phép tốn trên các vector: Phép cộng: x+y=(x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , ., x n +y n ) Phép nhân: αx=(αx 1 , αx 2 , ., αx n ), ∀α ∈ R Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các vector, nhân một số thực với vector như trên tạo thành khơng gian tuyến tính n chiều trên trường số thực R, ký hiệu R n . Các vector x (i) ∈R n , i =1, ., m được gọi là độc lập tuyến tính nếu: Nếu: ∑ = = m i i i xx 1 )( α với ít nhất một α i ≠ 0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của các x (i) , i =1, ., m. Hơn nữa nếu α i > 0, i =1, ., m và ∑ = = m i i 1 1 α thì x gọi là tổ hợp lồi của các x (i) , i =1, ., m. Trong R n có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nó. mix i i m i i ,1,00 )( 1 ==⇔= ∑ = αα THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN Giả sử e (1) , e (2) , ., e (n) là một cơ sở của R n thì bất kỳ một vector x ∈ R n đều là tổ hợp tuyến tính của các vector e (1) , e (2) , ., e (n) . Ta gọi tích vơ hướng của hai vector x=(x 1 , x 2 , ., x n ) và y=(y 1 , y 2 , ., y n ), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng. Tích vơ hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, khơng âm, tức là: 1. <x,y> = <y, x>. ∀x,y ∈ R n 2. <x (1) + x (2) , y >=< x (1) , y >+< x (2) , y>. ∀x (1) , x (2) , y ∈ R n 3. <λx,y> = λ<x,y>. ∀x,y ∈ R n 4. <x,x> ≥ 0, ∀x∈ R n dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0. Độ dài của vector x=(x 1 , x 2 , ., x n ) là một số xác định bởi. Khoảng cách giữa hai vector x và y là một số xác định bởi: Khơng gian vector trong đó có tích vơ hướng và khoảng cách như trên gọi là khơng gian Euclude. 1.1.2 Tập compact Dãy {x (k) }⊂R n k=1, 2, . được gọi là có giới hạn x (0) khi k → ∞ và viết lim x (k) = x (0) , nếu Hình cầu tâm a bán kính ρ là tập S={x∈R n :x-a≤ ρ }. Hình cầu này tạo nên ρ- lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a. * Nếu tập A⊂R n chứa cùng với điểm x một lân cận của nó thì x gọi là điểm trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x ∈ A có các điểm của A và các điểm khơng thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A. * Một tập A⊂R n gọi là giới nội nếu nó được chứa trong một hình cầu tâm O nào đó, tức là tồn tại số ρ đủ lớn sao cho với mọi x∈A,x≤ ρ. Một dãy {x (k) } hội tụ thì bao giờ cũng giới nội. ∑ = =><= n i i xxxx 1 2 , ( ) 0,lim )0()( = ∞→ xx k k ρ ∑ = =>< n i ii yxyx 1 , k → ∞ ( ) ( ) ∑ = −=>−−<=−= n i ii yxyxyxyxyx 1 2 ,, ρ THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN * Một tập hợp G⊂R n được gọi là mở nếu với mọi x∈G đều tồn tại một hình cầu tâm x nằm gọn trong G. Một tập F⊂R n được gọi là đóng nếu với mọi dãy hội tụ{x (k) }⊂ F ta đều có: Fx k k ∈ ∞→ )( lim Một tập chứa mọi điểm biên của nó là tập đóng. * Tập C được gọi là tập Compact nếu từ mọi dãy vơ hạn {x (k) } thuộc C đều có thể trích ra một dãy con {x (ki) } hội tụ tới phần tử thuộc C. Tập C là Compact khi và chỉ khi C đóng và giới nội. Tập Compact M của tập đóng C cũng đóng trong C. Tập con đóng M của tập Compact cũng Compact. Hàm f(x) liên tục trên tập Compact C thì sẽ đạt cực trị trên tập ấy. 1.1.3 Tập lồi Cho hai điểm a, b ∈R n . Ta gọi đường thẳng qua a, b là tập điểm có dạng x∈R n : x = λa + (1-λ)b, λ ∈ R. Đoạn thẳng nối hai điểm a, b là tập lồi các điểm có dạng x∈R n :x = λx + (1-λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1 * Một tập M⊂R n được gọi là một đa tạp affine nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈M thì tồn bộ đường thẳng đi qua hai điểm đó cũng thuộc M. Tức là λx + (1-λ)y ∈M : ∀x,y ∈M, ∀ λ∈R. * Một siêu phẳng trong khơng gian R n là tập hợp tất cả các điểm x=(x 1 , x 2 , ., x n ) ∈R n thỏa mãn phương trình tuyến tính a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n = α trong đó a 1 , a 2 , ., a n , α ∈R * Tập hợp các điểm x=(x 1 , x 2 , ., x n ) ∈R n thoản mãn bất phương trình tuyến tính a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n ≤ α được gọi là nửa khơng gian đóng. * Nửa khơng gian được cho bởi a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n < α được gọi là nửa khơng gian mở. * Tập X⊂R n được gọi là tập lồi nếu cùng với việc chứa hai điểm x, y nó chứa cả đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức là chứa tất cả các điểm có dạng: λx + (1-λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1 Ví dụ về các tập lồi: Khơng gian Euclide, các nửa khơng gian, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vng, hình elip, hình hộp, hình cầu . THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN * Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng được gọi là tập lồi đa diện. Mệnh đề: Giao của hai tập lồi là một tập lồi. Hệ quả 1. Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập lồi. Hệ quả 2. Miền chứa nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính dạng. là một tập lồi (đa diện lồi). Một tập lồi đa diện giới nội gọi là một đa diện. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập X gọi là bao lồi của nó, ký hiệu [X] 1.1.4 Hàm lồi * Một hàm số f(x) xác định trên tập lồi C ⊂ R n được gọi là hàm lồi trên C, nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y). * Hàm f(x) được gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có. f(λx + (1-λ)y) < λf(x) + (1-λ)f(y). * Hàm f(x) được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu - f(x) là hàm lồi (lồi chặt) * Hàm f(x) xác định trên C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x* ∈C nếu f(x * ) ≤ f(x):∀ x∈C * Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x* ∈ C nếu tồn tại lân cận mở U của x* sao cho f(x*) ≤ f(x):∀ x∈C ∩U Mệnh đề 1: Bất kỳ điểm cực tiểu địa phương nào của hàm lồi trên tập lồi cũng là điểm cực tiểu tuyệt đối. Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phương nào của hàm lõm cũng là cực đại tuyệt đối. Mệnh đề 2: Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên. 1.2 Bài tốn Quy hoạch tuyến tính QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà tốn học Nga nổi tiếng, Viện sỹ L.V. Kantorovich trong một loạt các cơng trình về bài tốn kế hoạch hố sản xuất, cơng bố năm 1938. Năm 1947 nhà tốn học Mỹ G.B. Dantzig đã . . . . 2211 22222121 11212111        ≤+++ ≤+++ ≤+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN nghiên cứu và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài tốn QHTT. Năm 1952 phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử của Mỹ. 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính  Bài tốn tổng qt. Để nhất qn lập luận ta xét bài tốn tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài tốn tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài tốn tổng qt của QHTT có dạng: Ký hiệu: A=(a ij ) mxn là ma trận với các phần tử a ij (1.1) gọi là hàm mục tiêu, (1.2) là các rằng buộc. Nếu gặp bài tốn Min, tức là Thì giữ ngun ràng buộc và đưa về bài tốn Max bằng cách Nếu bài tốn Max có phương án tối ưu là x* thì bài tốn min cũng có phương án là x* và f min =-  f max Thật vậy, vì x* là phương án tối ưu của bài tốn Max nên ta có: Chứng tỏ x* là phương án tối ưu của bài tốn Min và  Dạng chuẩn và dạng chính tắc. Người ta thường xét bài tốn quy hoạch tuyến tính dưới hai dạng sau: ( ) Dx xcxf j n j j ∈ →= ∑ = min 1 ( ) Dx xcxf j n j j ∈ →−= ∑ = max 1 Dxxcxc hayDxxcxcf n j jj n j jj j n j j n j jj ∈∀≤ ∈∀−≥−= ∑∑ ∑∑ == == , , 11 * 11 * max ∑ = −== n j jj fxcf 1 max * min ( ) 1.1max 1 → ∑ = j n j j xc ( ) ( ) ( ) 3.1, .,1,0 2.1 .,,1,,, 1 njx mibxa j i n j jij =≥ =≥=≤ ∑ = THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN -Dạng chuẩn: -Dạng chính tắc:  Đưa bài tốn QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc. Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đưa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau: i) Một ràng buộc Có thể đưa về ràng buộc bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại ii) Một ràng buộc đẳng thức có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức: iii) Một biến x j khơng bị ràng buộc dấu có thể thay thế bởi hiệu của hai biến khơng âm bằng cách đặt: iv) Một ràng buộc bất đẳng thức njx mibxa xc j i n j jij n j jj , .,1,0 , .,1, max 1 1 =≥ =≤ → ∑ ∑ = = njx mibxa xc j i n j jij j n j j , .,1,0 , .1, max 1 1 =≥ == → ∑ ∑ = = ∑ = ≥ n j ijij bxa 1 i n j jij bxa = ∑ =1 i n j jiji n j jij bxabxa −≤−≤ ∑∑ == 11 , 0,0, ≥≥−= −+−+ jjjjj xxxxx víi ij n j ij bxa ≤ ∑ = 1 ij n j ij bxa −≤− ∑ = 1 .'' 1 ij n j ij bxa ≤ ∑ = THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN Có thể đưa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đưa vào biến phụ y i ≥ 0: Về ngun tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi (i), (ii) và (iii) ta có thể đưa một bài tốn QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi (iv) ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc.  Giải bài tốn QHTT bằng phương pháp hình học. Xét bài tốn QHTT dưới dạng chuẩn với hai biến số: Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phương trình tuyến tính a i1 x 1 +a i2 x 2 ≤ b i xác định một nửa mặt phẳng. Như vậy miền ràng buộc D được xác định như là giao của một nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng. Phương trình c 1 x 1 +c 2 x 2 = α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đường thẳng song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức α ). Mỗi điểm ∈D sẽ nằm trên một đường mức với mức Bài tốn đặt ra có thể phát biểu theo ngơn ngữ hình học như sau: trong số các đường mức cắt tập D, hãy tìm đường mức với gía trị lớn nhất. Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vector pháp tuyến của chúng thì giá trị mức sẽ tăng, nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm. Vì vậy để giải bài tốn đặt ra, ta có thể tiến hành như sau. Bắt đầu từ một đường mức cắt D, ta dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vector pháp tuyến (c 1 ,c 2 ) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức khơng còn cắt D nữa thì dừng. Điểm của D (có thể nhiều điểm) i n j ijij byxa =+ ∑ = 1    =≥ =≤+ = →+ 2,1,0 , .,1, max 2111 2211 jx mibxaxa D xcxc j iii ( ) 21 , xxx = . 2211 xcxc += α ( ) 21 , ccn = THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còn giá trị của hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài tốn. Ví dụ: Xét bài tốn: f(x)= 4x 1 +5x 2 →max Xét đường mức: 4x 1 +5x 2 =10. Đường mức này đi qua hai điểm (0,2) và (2.5,0). Ta có x*=(3,2), f max =22 và x* là một đỉnh của D. Qua phương pháp hình học ta thấy rằng: - Nếu quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh là tối ưu. Sở dĩ nói ít nhất vì có trường hợp đường mức ở vị trí giới hạn trùng với một cạnh của D thì tất cả các điểm trên cạnh này là phương án tối ưu, trong đó có hai đỉnh. - Nếu miền ràng buộc D giới nội và khác rỗng thì chắc chắn có phương án tối ưu. - Nếu miền ràng buộc khơng giới nội nhưng hàm mục tiêu bị chặn trên ở trên miền ràng buộc thì cũng chắc chắn có phương án tối ưu. 1.2.2 Một số tính chất chung Mệnh đề 1: Tập hợp tất cả các phương án của một bài tốn QHTT là tập lồi. Tập lồi D các phương án của một bài tốn QHTT xác định bởi tồn bộ các ràng buộc (1.2) và (1.3). Tập D có thể là rỗng, hoặc là một đa diện lồi hoặc là một tập lồi đa diện khơng giới nội. 0,0 3 72 82 21 2 21 21 ≥≥      ≤ ≤+ ≤+ xx x xx xx y n *x x THƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN [...]... -3 -5 -7 0 ai 11 16 10 Ta có h=2 và x111= 4, x1 43= 7, x2 13= 3, x222=2, x 233 =5, x242=6, x321=2, x3 43= 8 *Lần lặp 6: u = (0, -5 .33 , -2.67) v = (0, 3. 67, 1, 3. 67), w = (3, 2.67, 6 .33 ) B ng delta 6 bj 7 4 13 13 0 -1 .33 -3. 67 -22 .33 -24.67 0 -3. 67 -14 -0 .33 -0.67 -6 -9.67 0 -4 .33 0 -16 .33 -0 -1 .33 -0.67 -4 .33 -12.67 0 -5.67 0 -3. 33 -8.67 0 -3. 67 0 -4 .33 -9 -8 .33 ai 11 16 10 ... x122= 4, x222= 0,x2 23= 9, x242= 7, x 332 = 4, x3 43= 6 *Lần lặp 3: u = (0, -6, -2), v = (0, 3, -1, 3) , w= (3, 4, 9) Bảng delta 3: bj ai 11 16 10 7 4 13 13 0 0 -15 - 23 -24 2 -3 -12 -10 -1 0 -4 -11 0 -3 +0 -15 - 23 -2 -2 -0 -7 -14 0 -7 0 2 -4 -8 2* -5 0 -3 -9 -7 0 Ta có h = 4 và x111= 6, x112=1, x1 43= 4,x222=4, x 233 =7, x242=5, x 332 =6, x3 43 =4 *Lần lặp 4: u=(0, -4, 0), v=(0, 1, -3, 1), w= (3, 4, 9) THƯ VIỆN ĐIỆN... 4: bj 7 4 13 13 0 0 -1 -21 -22 4* -1 -10 -8 -3 -2 -6 -11 0 -3 +0 -15 -8 -4 -4 -2 -7 -14 0 -7 0 2 -6 -10 0 -5 0 -3 -9 -7 0 ai 11 16 10 Ta có h=1 và x111= x1 43= 5, x2 13= 1, x222=4, x 233 =6, x242=5, x 332 =7, x3 43= 3 *Lần lặp 5: u = (0, -4, 0), v = (0, 5, 1, 5), w = (3, 0, 5) Bảng delta 5: bj 7 4 13 13 0 -4 -1 -21 -26 0 -1 -14 -12 1 -2 -6 -7 0 -3 4* -15 -8 -0 -4 -2 -3 -14 0 -3 0 2 -2 -10 0 -1 0 -3 -5 -7 0 ai... b=(7, 4, 13, 13) , c=(6, 16, 15) bj cijk 7 4 13 13 3 4 10 20 22 1 4 14 7 7 7 16 11 1 9 4 20 18 4 5 8 3 11 2 7 1 4 10 15 10 5 1 9 13 12 10 ai 11 16 10 Ta có phương án xuất phát: x111=6, x112=1, x122=4, x222=0, x 232 =11, x 233 =2, x2 43= 3, x3 43= 10 *Lần lặp1: Ta có thế vị u= (0, -6, -5), v= (0, 3, 13, 20), w= (3, 4, -5) Bảng delta là: bj 7 4 13 13 0 0 -15 - 23 -24 -12 -6 -15 -27 -1 0 -18 -11 0 -17 -3 -18 -5... = c22 - v2 = 3 - 2 = 1 v1 = c21 - u2 = 1 - 1 = 0 v3 = c 23 - u1 = 8 - 1 = 7 u3 = c 33 - v3 = 9 - 7 = 2 v4 = c34 - u3 = 7 - 2 = 5 Bước 3 Tính các ước lượng ∆11 = u1 + v1 - c11 = 0 + 0 - 4 = -4 < 0 ∆ 13 = u1 + v3 - c 13 = 0 + 7 - 10 = -3 0 Bước... v2 = 3 - 2 = 1 v3 = c 33 - u3 = 9 - 1 = 8 u2 = c 23 - v3 = 8 - 8 = 0 v1 = c21 - u2 = 1 - 0 = 1 v4 = c34 - u3 = 7 - 1 = 6 Bước 3 Tính các ước lượng ∆11 = u1 + v1 - c11 = 0 + 1 - 4 = -3 < 0 ∆ 13 = u1 + v3 - c 13 = 0 + 8 - 10 = -2 < 0 ∆14 = u1 + v4 - c14 = 0 + 6 - 6 = 0 ∆22 = u2 + v2 - c22 = 0 + 2 - 3 = -1 < 0 ∆24 = u2 + v4 - c24 = 0 + 6 - 12 = -6 < 0 31 = u3 + v1 - c31 = 1 + 1 - 5 = -3 < 0 Ta có phương án... 31 = u3 + v1 - c31 = 1 + 1 - 5 = -3 < 0 Ta có phương án tối ưu là: x12 = 20, x21 = 30 , x 23 = 15, x32 = 5, x 33 = 25, x34 = 25 fmin = 20.2 + 30 .1 + 15.8 + 5 .3 + 25.9 + 25.7 = 605 2.2 Bài tốn vận tải ba chỉ số( Solid Transpotion Problem) 2.2.1 Phát biểu bài tốn THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Một loạt sản phẩm đồng đều được vận chuyển từ một trong m nguồn phát tới một trong n nguồn thu Các nguồn phát có thể... -24 -12 -6 -15 -27 -1 0 -18 -11 0 -17 -3 -18 -5 12 12 0 7 0 0 4 11 -1 13 9 5 12 17 0 5 7 0 ai 11 16 10 Ta có h =3 và các giá trị của x tương ứng là: x111=6, x112=4, x222=0, x 232 =8, x 233 =5, x242=5, x3 43= 10 *Lần lặp 2: u= (0, -6, 12), v= (0, 3, 13, 3) , w= (3, 4, -5) THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Bảng delta 2 : bj 7 4 13 13 0 0 -15 - 23 -24 -12 11 2 -10 -1 0 -18 -11 0 -17 14 -1 -8 12 12 0 7 0 0 21 28* 16 -4... 32 = 1 > 0 ta ghép ơ (3, 2) vào với G ta được chu trình: K: (2,2), (2 ,3) , (3, 3), (3, 2) lẻ chẵn lẻ chẵn THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Bước 5 Phá vỡ chu trình với θ = min{xij (i,j)∈K-} = 5 Ta có bảng mới (Bảng 2.2), Phương án X’ bj ai 30 55 40 25 20 20 45 25 4 2 30 10 6 8 12 15 1 3 5 5 25 3 25 9 7 Lần lặp 2: Bước 2 G = 6 Tìm các thế vị: u1 = 0 ⇒ v2 = c12 - u1 = 2 - 0 = 2 u3 = c32 - v2 = 3 - 2 = 1 v3... ta lại tiếp tục q trình Chú ý: Trong bảng đơn hình ở bảng 1.1, khơng giảm tổng qt ta coi các vector cơ sở được đánh số A1, A2, , Am, nghĩa là J = {1,2, , m} THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN CHƯƠNG 2 BÀI TỐN VẬN TẢI VÀ BÀI TỐN VẬN TẢI MỞ RỘNG 2.1 Bài tốn vận tải hai chỉ số 2.1.1 Phát biểu bài tốn và tính chất Có m địa điểm A1, A2, , An cùng sản xuất một loại hàng hóa với các lượng hàng tương ứng là a1, . còn xét một số các bài tốn vận tải mở rộng như bài tốn vận tải ba chỉ số, bài tốn vận tải khoảng, bài tốn vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài tốn khác,. TRỰC TUYẾN CHƯƠNG 2. BÀI TỐN VẬN TẢI VÀ BÀI TỐN VẬN TẢI MỞ RỘNG 2.1 Bài tốn vận tải hai chỉ số 2.1.1 Phát biểu bài tốn và tính chất Có m