Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 06) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 06) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph h c tr ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao D NG CHÓP U Bài Cho hình chóp đ u S.ABCD, O tâm đáy, M trung m c a SO, kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC) b ng b, AB = a Tính th tích hình chóp S.ABCD S Gi i: B c 1: Xác đ nh d(M, (SBC) OH I B c 2: Ph i tính SO B c 3: Tính SO d a vào tam giác vuông SOE c n tính OE M OE AB H A B Xét tam giác SOE vuông t i O, OH chi u cao 1 SO V 2 OH OE SO O E D Bài C Cho hình chóp đ u S.ABC, đáy b ng a, góc gi a hai m t ph ng (SBC ),( ABC ) Tính V B Gi i: c 1: Xác đ nh góc gi a hai m t ph ng (SBC ),( ABC ) SEA c 2: Ph i tính SH c 3: Tính SH d a vào tam giác vuông SHE Trong tam giác SHE c n tính HE, HE AE AE chi u cao tam giác đ u S B B C A a Có AE suy HE suy SH suy V AE H E B Bài Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC) b ng V i giá tr c a góc gi a m t bên m t đáy c a chóp th tích c a chóp nh nh t? Gi i: G i M, N trung m BC, AD, g i H hình chi u vuông góc t N xu ng SM Ta có: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian SMN ,d A; SBC d N; SBC NH NH SABCD MN sin sin sin tan SI MI.tan sin cos 4 VSABCD sin cos 3.sin .cos sin sin 2cos 2 2 2 sin .sin .2cos 3 sin .cos VSABCD sin .cos max MN sin 2cos 2 cos S H C D N M I A B Bài Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, O giao m c a AC BD Bi t m t bên c a hình chóp tam giác đ u kh ang cách t O đ n m t bên d Tính th tích kh i chóp cho Gi i: G i M trung m CD, k đ ng cao OH c a tam giác SOM S OH (SCD) OH d G i CM = x Khi đó: OM = x , SM = x SO = SM x2 3x2 x2 x Ta có: SM.OH = SO.OM hay H A D d M O d x x d x x x CD d , SO d B C 1 V CD SO 6d d 2d 3 3 Bài Cho t di n ABCD có t t c c nh đ u b ng a G i P, Q l n l t trung m c a AB CD R m t m c nh BC cho BR = 2RC M t ph ng ( PQR) c t AD t i S Tính th tích kh i t di n SBCD theo a A Gi i: A RQ c t BD t i K, g i I trung m c a BR =>DI//RQ => ID đ ng trung bình c a tam giác BRK =>D trung m c a BK P AS C T suy S tr ng tâm tam giác ABK S R AD A I B V AS VSBCD VABCD Ta có ABSC Q A VABCD AD mà VABCD a3 a3 VSBCD 12 36 D K A Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Bài Cho hình chóp t giác đ u SABCD có c nh đáy b ng a, m t bên t o v i đáy góc 600 M t ph ng qua CD vuông góc v i m t bên (SAB) c t SA, SB l n l t t i M N Tìm th tích hình chóp S.CDMN Gi i: S G i O tâm hình vuông ABCD, SO đ ng cao c a chóp đ u SABCD M N K SH AB H trung m AB SAB cân, P A D G i I trung m CD, k IP SH O I H B Ta có: AB SH AB ( SHI ) IP AB AB SO C Xét PHI vuông t i P, có HP HI cos 600 a OH a Xét OSH vuông t i O, có SH cos60o P trung m c a SH M, N l n l M t khác: SO OH tan 600 VS ABD VS BCD 60o Khi SHO a SABD Do IP (SAB) (CDP ) (SAB) nl đ i t trung m c a SA, SB a2 AB AD 2 1 a a2 a3 SO.SABD 3 2 12 Ta có: VS.MND SM SN 1 VS.MND VS ABD VS ABD SA SB VS NCD 1 VS NCD VS BCD VS BCD Th tích kh i chóp S.MNCD là: a3 VS.MNCD VS.MND VS NCD VS ABD (đvtt)\ 16 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Bài Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng G i M, N m l n l AC cho DMN ABC t di đ ng c nh AB, t AM = x, AN = y Tính th tích t di n DAMN theo x y Ch ng minh r ng: x y 3xy Gi i: D ng DH MN H Do DMN ABC DH ABC mà D ABC D t di n đ u nên H tâm tam giác đ u ABC 3 Trong tam giác vuông DHA: DH DA AH 2 B C N H Di n tích tam giác AMN SAMN AM AN.sin 600 xy M A xy Th tích t di n D AMN V SAMN DH 12 Ta có: SAMN SAMH SAMH 1 xy.sin 600 x AH sin 300 y AH sin 300 2 x y 3xy Bài Trong m t ph ng (P) cho tam giác đ u ABC c nh a, I là trung m c a BC D m đ i a G i H hình chi u c a I SA Ch ng minh r ng (SAB) ( SAC ) tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC x ng c a A qua I Trên đ ng th ng vuông góc v i (P) t i D l y m t m S cho SD Gi i: Ch ng minh: (SAB) ( SAC ) Ta có: BC AD BC ( SAD ) BC SA BC SD (do SD ( ABC )) Nh v y: SA BC SA ( HBC ) SA HB SA HC [(SAB),(SAC )] BHC SA IH Ta có: AHI ADS a a HI AI v i: SD , AI 2 SD AS AS AD SD (a 3)2 ( Hocmai.vn – Ngôi tr AI DS a a a a 3a HI SD ) 2 3a 2 AS 2 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Tam giác HBC có IH IB IC ng) Hình h c không gian a 900 HBC vuông t i H BHC V y: (SAB) ( SAC ) (đpcm) Tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC Ta có: VH ABC VS ABC VS.HBC 1 a a2 a3 VS ABC SD.SABC (đvtt) 3 S SH đ ng cao c a hình chóp S.HBC VS.HBC Tam giác IHC có IH IC SH SBCH H a a , HC IHC vuông cân t i I 2 A C a IHB vuông cân t i I HB HC SBHC I D B 1 a 2 a2 HB.HC ( ) (đvdt) 2 a 2 a2 a 2 ) a Tam giác AHB vuông t i H AH BA BH a ( 2 2 2 a2 a3 3a a 2a SH SA AH a VS HBC a (đvtt) 12 2 2 V y: VH ABC VS ABC VS HBC a3 a3 a3 (đvtt) 12 24 Bài (bt t gi i) Cho kh i chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a G i G tr ng tâm c a tam giác SAC kho ng cách t G đ n m t bên (SCD) b ng a Tính th tích kh i chóp S.ABCD a3 Bài 10 (bt t gi i) Cho t di n đ u ABCD c nh a G i H hình chi u vuông góc c a A xu ng m t ph ng (BCD) O trung m c a AH Tính th tích V c a t di n theo a áp s : VS ABCD áp s : VABCD a3 12 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -