SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II–NĂM HỌC 2013-2014 Mơn Toán - Lớp 10 (Thời gian làm 90 phút, khơng kể thời gian giao đề) Câu (3,0 ®iĨm) Giải bất phương trình sau: a x − 3x + > b x − 3x + > x + c x + 3x + 12 ≤ x + 3x Câu (2,0 ®iĨm) a Tìm m để phương trình (m − 2) x + 2(2m − 3) x + 5m − = có hai nghiệm phân biệt dấu cos4 α + sin α cos2 α + sin α ∀α ≠ π + kπ b Rút gọn biểu thức sau: P = ÷ tan α + Cõu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ®é Oxy , cho hai ®iĨm A(0;1), B(2;-3) vµ ®êng trßn (C): x2 + y − 2x + y + = a Viết phơng trình tng quỏt ca đờng thẳng AB b Viết phơng trình tiÕp tun cđa (C) biÕt tiÕp tun song song víi ®êng th¼ng AB Câu (2,0 ®iĨm) Cho elip (E): x2 y2 + =1 25 a Tìm độ dài hai trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tính tiêu cự, tâm sai elip b Tìm điểm (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng Câu (1,0 điểm) Cho a, b , c số thực dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c a +c a +b Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………… ………… Lớp: Số báo danh:…………………… .… Phòng thi:………… ………… … SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KÌ II Mơn Tốn - Lớp 10 Năm học 2013-2014 Câu Câu (3đ) Câu 1a (1,0đ) ĐIỂM NỘI DUNG Giải bất phương trình sau: a x − 3x + > b x − 3x + > x + c x + 3x + 12 ≤ x + 3x a x − 3x + > TXĐ D = ¡ x = x = 2 Cho x − 3x + = ⇒ Xét dấu VT S = ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) Câu 1b (1,0đ) kết luận b x − 3x + > x + (1) x + ≥ 2x − 3x + > x + (1) ⇔ x + < 2x − 3x + > − x − x ≥ −1 2x − 4x > ⇔ x < −1 2x − 2x + > x ≥ −1 x ∈ ( −∞; 0) ∪ (2; +∞ ) ⇔ x < −1 ∀x ∈ ¡ x ∈ [ −1;0 ) ∪ (2; +∞) ⇔ ⇔ x ∈ (−∞;0) ∪ (2; +∞) x ∈ −∞ ; − ( ) Vậy: x ∈ (−∞;0) ∪ (2; +∞) 1c(1,0 đ) nghiệm 0.5đ bpt 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b x + 3x + 12 ≤ x + 3x (2) ĐK: x + 3x + 12 ≥ 0∀x ∈ ¡ 0.25đ Đặt t = x + 3x + 12 ( t ≥ 0) t ≥ t ≤ −3 Bpt có dạng: t − t − 12 ≥ ⇔ 0.25đ Đối chiếu đk : t ≥ , ta có t ≥ ⇒ x + 3x + 12 ≥ ⇔ x + 3x − ≥ ⇔ x ∈ ( −∞; −4] ∪ [ 1; +∞ ) Vậy: nghiệm bpt là: T = ( −∞; −4] ∪ [ 1; +∞ ) Câu 0.25đ 0.25đ a Tìm m để phương trình (m − 2) x + 2(2m − 3) x + 5m − = có (2.0đ) hai nghiệm phân biệt dấu b Rút gọn biểu thức sau: P = cos4 α + sin α cos2 α + sin α tan α + π ∀α ≠ + kπ ÷ 2.a (1,0đ) a.Tìm m cho f (x ) = có nghiệm phân biệt dấu ĐK để f (x ) = có nghiệm phân biệt dấu ⇒ ∆ , > P > ( 2m − 3) − (m − 2)(5m −6) >0 5m − >0 m−2 m∈( 1;3) 6 ⇔ ⇔ m ∈ 1; ÷ ∪ ( 2;3) 6 5 m∈ −∞; ÷∪( 2;+∞ ) 5 6 Vậy : m ∈ 1; ÷ ∪ ( 2;3) 5 0.25đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 2.b (1,0đ) b Rút gọn biểu thức sau: P= π ∀α ≠ + kπ ÷ cos4 α + sin α cos2 α + sin α tan α + cos2 α (cos α + sin α ) + sin α P= tan α + cos2 α + sin α P= tan α + P= = cos α cos α 0.25đ 0.25đ 0.5đ Câu Trong mỈt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A(0;1), 3(2.0) B(2;-3) đờng tròn (C): x + y − x + y + = a Viết phơng trình tng quỏt ca đờng thẳng AB b Viết phơng trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng AB 3.a (1.0) a Viết phơng trình đờng thẳng AB uuur AB = (2; −4) uuur Chọn nAB = (2;1) PT TQ AB : x + y − = 3.b (1.0đ) 0.5đ 0.5đ b ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C) song song víi đường thẳng AB Đường trịn (C): Tâm I(1;-2); Bán kính R=2 Đường thẳng d//AB có phương trình dạng: 2x + y+ c = (c ≠ -1) (d) tiếp tuyến (C) ⇔ d(I,(d)) = R 2.1 + 1.(−2) + c = ⇔ c = ⇔ c = ±2 ⇔ +1 Vậy: có tiếp tuyến với (C) song song với AB là: 2x + y + =0 2x + y - =0 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu (2.0đ) Cho elip (E): x2 y2 + =1 25 a Tìm độ dài hai trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tính tiêu cự, tâm sai elip 4.a (1.đ) b Tìm điểm (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng a Tìm độ dài hai trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tính tiêu cự, tâm sai elip a = 25 ⇒ c = 16 Ta có : b = a = b = c = 0.25đ Độ dài trục lớn 2a=10 Độ dài trục bé 2b=6 Tọa độ đỉnh : A1 ( −5; 0); A (5; 0); B (0; −3); B (0; 3) Tọa độ tiêu điểm: F1 ( −4; 0); F2 (4; 0) Tiêu cự 2c=8 Tâm sai e = 4b (1.0đ) 0.25đ 0.25đ 0.25đ b Tìm điểm (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng Gọi điểm cần tìm M(x;y) Để điểm M nhìn hai tiêu điểm góc vng M nằm đường trịn (C) tâm O bán kính R=c=4 Phương trình đường trịn ( C) là: x + y = 16 2 0.25đ Tọa độ điểm M nghiệm hpt: 175 x = x=± 9 x + 25 y = 225 16 ⇔ ⇔ 2 81 x + y = 16 y2 = y = ± 16 2 Vậy có điểm thỏa mãn 0.5đ M1 ( Câu (1.0đ) 9 9 ; ); M ( ; − ); M ( − ; ); M ( − ;− ) 4 4 4 4 0.25đ Cho a, b , c số thực dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c a +c a +b a b c a b c + + +3= ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) Ta có b+c a +c a +b b+c a+c a +b = (a + b + c)( + + b+c a +c a +b ) 0.25đ Ta có a + b + c = (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥ (a + b)(b + c)(c + a) 2 1 + + ≥ 33 (a + b)(b + c)(c + a) b+c a +c a +b (a + b + c)( + + b+c a +c a +b a b c + + ≥ b +c a +c a +b Dấu xảy : a=b=c )≥ 0.25đ 0.25đ Vậy : 0.25đ