Nguyên hàm tích phân

hai phơng pháp tính nguyên hàm I Phơng pháp đổi biến: Định lý: f (x)dx = F (x) + C u = (x) hàm có đạo hàm thì: c o a) Nếu m Phơng pháp đổi biến đợc sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau: f (u)du = F (u) + C s b) Nếu hàm f (x) liên tục ta đặt x = (t) (t) với đạo hàm (t) hàm số liên tục, ta đợc: h f [(t)]. (t)dt Dạng Thực theo bớc: a Bớc 1: Chọn x = (t), hàm số thích hợp t Từ ta có hai dạng đổi biến sau: m Bớc 2: Lấy vi phân dx = (t)dt Bớc 3: Biểu thị f (x)dx theo t dt Giả sử g(t)dt w v Bớc 4: Khi I = ie t f (x)dx = g(t)dt Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ: a2 x2 , a > 0: chọn x = a sin t với t [ , ] x = a cos t với t [0, ] 2 a a Dấu hiệu x2 a2 , a > 0: chọn x = với t [ , ] \ {0} x = với sin t 2 cos t t [0, ] \ { } Dấu hiệu a2 + x2 , a > 0: chọn x = a tg t với t ( , ) x = a cotg t với t (0, ) 2 w Dấu hiệu Dấu hiệu Dấu hiệu w www.vietmaths.com f (x)dx = a+x ax ax , a > 0: chọn x = a cos 2t với t [0, ] a+x (x a)(b x): chọn x = a + (b a) sin2 t Ví dụ Tính tích phân: dx (1 x2 )3 ), tích phân thành: 2 Đặt x = sin t, t ( , dt x = tg t + C = + C cos t x2 (1 x2 )3 = cos3 t x Chú ý: Do t ( , ) = cos t > = = tg t 2 x2 x2 dx Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I = x2 Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trờng hợp: c o Với x > 1: Đặt x = m I= , < t < , suy ra: sin 2t h Từ có a t 1 I = (cotg2 t tg2 t) ln | tg t| + C = x x ln |x x2 1| + C 2 m Với x < 1, tơng tự nh trờng hợp Chú ý: lời giải trên, ta có kết cotg2 t tg2 t = 4x x2 tg t = x x2 1, vì: w v tg t = ie t cos4 t sin4 t cos 2t sin2 2t cotg t tg t = = = cos2 t sin2 t sin2 2t sin2 2t x2 = = 4x sin 2t sin2 2t = x x2 sin2 2t sin t cos 2t = = cos t sin 2t sin 2t Ví dụ Tính tích phân bất định: I = dx (1 + x2 )3 ), 2 w Đặt x = tg t, t ( , I= cos tdt = sin t + C = w www.vietmaths.com s (cos2 t + sin2 t)dt x2 2dt = = sin 2t sin3 t cos3 t x2 1 1 = (cotg t + tg t + )dt cos t sin t cos t sin t x + C + x2 Dạng Thực bớc sau: Bớc 1: Chọn t = (x), hàm số thích hợp, xác định x = (t) (nếu có thể) Bớc 2: Lấy vi phân dt = (x)dt Bớc 3: Biểu thị f (x)dx theo t dt Giả sử f (x)dx = g(t)dt Bớc 4: Khi I = g(t)dt Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ: Dấu hiệu hàm có mẫu số: chọn t mẫu số Dấu hiệu f (x) = (x + a)(x + b) : + Với x + a > 0, x + b > chọn t = x+a+ t Đặt t = + sin2 x, đó: 1 (1 )dt = (t ln |t|) + C = [1 + sin2 x ln(1 + sin2 x)] + C t 2 a Đặt t = x2 dx 1x ie t Ví dụ Tính tích phân: I = m I= x + b x a + x b cos x sin3 x dx + sin2 x Ví dụ Tính tích phân bất định: I = x = x = t2 , lúc (t4 2t2 + 1)dt = I = (3x2 + 4x + 8) x + C 15 x5 Ví dụ Tính tích phân: I = 2x2 (1 2x2 )2 dx t3 = x = , đó: 2 w Đặt t = (3t4 10t2 + 15)t + C 15 w v = 3 t8 t5 (t7 t4 )dt = ( ) + C 8 = (20x4 4x2 3) (1 2x2 )2 + C 320 I= w www.vietmaths.com + Với x + a < 0, x + b < chọn t = c o a sin x + b cos x x x : chọn t = tg với cos = c sin x + d cos x + e 2 s Dấu hiệu f (x) = (x) m (x)): chọn t = h Dấu hiệu f (x, Ví dụ Tính tích phân Đặt t = sin3 x cos xdx cos x = t2 = cos x, đó: (3t6 7t2 )t + C 21 = (cos3 x cos x) cos x + C 21 I=2 (t6 t2 )dt = Ví dụ Tính tích phân: I = Đặt t = dx + ex + ex t2 = + ex , đó: (x + 1)(x + 2) c o dx Ví dụ Tính tích phân bất định: I = m dt t1 + ex I=2 = ln + C = ln + C t2 t+1 + ex + x x Có thể đặt t = e , lúc I = ln |e + ex + 1| + C Ta xét hai trờng hợp: dt = ln |t| + C = ln | x + + x + 2| + C t I=2 Đặt t = x+1 0 ie t Với x > Bớc 2: Đặt: I= f (x)dx = u = f1 (x) = dv = f2 (x)dx Bớc 3: Khi đó: I = uv f1 (x).f2 (x)dx du v vdu Lu ý: Khi sử dụng phơng pháp tích phân phần ta cần tuân thủ nguyên tắc sau: Lựa chọn phép đặt dv cho v đợc xác định cách dễ dàng Tích phân vdu tính đợc dễ so với f (x)dx Đặt: m x ln(x + x2 + 1) Ví dụ 10: Tính tích phân: I = dx x2 + x dx Viết lại I = ln(x + x2 + 1) x2 + x2 + ln(x + x2 + ln(x + x2 + 1) dx = x2 + 1) x + C cos(ln x)dx t Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: I = Tích phân phần với u = cos(ln x), sau hai bớc nhận đợc: a x [cos(ln x) + sin(ln x)] + C m I= Chú ý: Nếu toán yêu cầu tính hai tích phân: cos(ln x)dx, ie t sin(ln x)dx; ta sử dụng công thức tích phân phần cho hai tích phân cộng vế trừ vế để suy tích phân cần tính w v ln(cos x) Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I = dx cos2 x u = ln(cos x) Đặt , đợc: I = ln(cos x) tg x + tg x x + C dx dv = cos2 x w Chú ý: Một số dạng hàm sau có cách tính cho riêng loại Loại Tích phân I = Có hai cách: P (x) sin xdx u = P (x) dv = sin xdx w www.vietmaths.com = s I= h Khi đó: c o x du = + x2 +1 dx = dx = ln(x + x2 + 1) x = x + x2 + x2 + dx dv = v = x + x +1 u Cách 1: Đặt P (x) cos xdx , cách nầy ta phải tích phân phần nhiều lần (số lần bậc đa thức P (x)) Cách 2: Phơng pháp số bất định Thực bớc sau: + Bớc Ta có: I= P (x) cos xdx = A(x) sin x + B(x) cos x + C A(x) B(x) hai đa thức bậc với P (x) (1) + Bớc Lấy đạo hàm hai vế (1), đựơc: P (x) cos x = [A (x) + B(x)] sin x + [A(x) + B (x)] cos x (2) Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta xác định đợc đa thức A(x), B(x) m + Bớc Kết luận Nhận xét Nếu bậc đa thức P (x) lớn cách cồng kềnh cách .c o Do ta tới nhận định sau: Nếu bậc P (x) nhỏ 2, ta lựa chọn cách Nếu bậc P (x) lớn 2, ta chọn cách cos 2x 1 dx = x2 x cos 2xdx h x x cos 2xdx, đợc kết quả: t Tích phân phần vào tích phân m a x 1 I = x2 + sin 2x + cos 2x + C 4 (x3 x2 + 2x 3) sin xdx Ví dụ 14: Tính: I = (x3 x2 + 2x 3) sin xdx = P3 (x) cos x + Q3 (x) sin x ie t Ta có: I = Với P3 (x) = a1 x3 + b1 x2 + c1 x + d1 , Q3 (x) = a2 x3 + b2 x2 + c2 x + d2 Lấy đạo hàm hai vế đồng đợc hệ: w v a2 3a = b 2b1 + c2 c1 + d2 =0 =0 =0 =0 a2 3a b 2b2 c2 c2 + d1 =1 = =2 = w Giải hai hệ đợc a1 = 1; b1 = 1, c1 = 4, d1 = 1, a2 = 0, b2 = 3, c2 = 2, d2 = Vậy I = (x3 + x2 + 4x + 1) cos x + (3x2 2x 4) sin x + C Loại Tích phân I = w www.vietmaths.com Biến đổi tích phân I = s x sin2 xdx Ví dụ 13: Tính tích phân: eax sin bxdx eax cos bxdx Ta chọn hai cách tơng tự nh loại Cách Ta đặt Cách I = u = cos bx dv = eax dx eax cos bxdx = [A cos bx + B sin bx]eax + C với A, B số Chú ý: a) Nếu toán yêu cầu tính giá trị cặp tích phân ta tích phân phần vào hai tích phân cộng vế trừ vế để đợc kết hai tích phân b) Phơng pháp áp dụng đợc cho tích phân: eax cos2 bxdx P (x) cos xdx .c o P (x).eax dx Loại Tích phân I = J2 = Cũng chọn hai cách nh hai loại u = P (x) dv = eax dx s Cách Đặt P (x).eax dx = A(x)eax + C A(x) đa thức bậc với P (x) h Cách I = t Nhận xét Nếu bậc đa thức P (x) lớn cách cồng kềnh cách Do ta tới nhận định sau: a Nếu bậc P (x) nhỏ 2, ta lựa chọn cách m Nếu bậc P (x) lớn 2, ta chọn cách Đặt u = ln x dv = x dx Ví dụ 15: Tính tích phân I = ie t x ln xdx, với = Loại Tích phân I = ex cos2 xdx I= w v Hạ bậc cos2 x đa tích phân loại 2, sử dụng phơng pháp đồng ta viết: ex (1 + cos 2x)dx = (a + b cos 2x + c sin 2x)ex + C w Lấy đạo hàm hai vế đồng ta đợc hệ phơng trình: Vậy I = w www.vietmaths.com m eax sin2 bxdx, J1 = a = =1 2a 2(2c + b) = b = 10 2(c 2b) = c = (5 + cos 2x + sin 2x)ex + C 10 Ví dụ 16: Tính tích phân I = xe3x dx Tích phân phần đợc: I = 3x 3x xe e + C Ví dụ 17: Tính tích phân I = (2x3 + 5x2 2x + 4)e2x dx Dùng phơng pháp đồng đợc I = (x3 + x2 2x + 3)e2x + C x2 ln 2xdx Tích phân phần đợc I = x3 x3 ln 2x + C m Ví dụ 18: Tính tích phân I = III Dùng hàm phụ: ý tởng phơng pháp dùng hàm phụ tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f (x) g(x) dễ xác định so với f (x), từ suy nguyên hàm f (x), c o cụ thể ta thực bớc sau: Bớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x) Bớc 2: Xác định nguyên hàm hàm số f (x) g(x), tức là: h cos4 x dx sin4 x + cos4 x a sin x dx; J = sin x cos x Ví dụ 19: Tính I = t Bớc 3: Cộng vế (1) nhận đợc nguyên hàm f (x) F (x) = [A(x) + B(x)] + C sin4 x cos x J g(x) = sin x cos x sin4 x + cos4 x ex dx Ví dụ 20: Tính tích phân: ex ex ex ex ex Tính tích phân I= w v Dùng hàm số phụ g(x) = ie t m Hàm phụ cho I g(x) = w K= M= Bài tập x3 (2 3x2 )8 dx J= cos2 xdx sin8 x x3 dx x8 K= N= sin3 x cos xdx dx x2 + a 2xdx x + x2 Tính tích phân w www.vietmaths.com s F (x) + G(x) = A(x) + C1 F (x) G(x) = B(x) + C2 I= K= M= K= dx + e2x (6x3 + 8x + 1)dx (3x2 + 4) x2 + sin xdx cos x sin2 x + x sin xdx J= L= dx (x + 1) x2 + 2x + dx 2x 2x + N= x3 ln xdx L= ln(sin x) sin2 x (1) Tính tích phân sin x I= sin x + cos x ex ex + ex w w w v ie t m a t www.vietmaths.com h s c o m J= tích phân xác định I Định nghĩa tính chất: b b a = F (b) F (a) với F (x) nguyên hàm f (x) m f (x) dx = F (x) Định nghĩa: a b c o f (x) dx phụ thuộc f, a, b không phụ thuộc cách ký hiệu biến lấy tích phân: Chú ý: Tích phân a b b f (x) dt = ã ã ã = F (b) F (a) f (x) dx = s a h a b t f (x)dx = i) a a f (x)dx = ii) f (x) dx a b f (x)dx a a b b [f (x) g(x)]dx = a b b f (x) a a c c f (x) dx = a f (x) dx + a g(x) dx w v iv) ie t kf (x)dx = k iii) m b b v) a b f (x) dx b b vi) f (x) = f (x) dx (a b) a w b vii) f (x) g(x) = b f (x) dx a g(x) dx, a b a viii) Nếu m g(x) M, x [a, b] w www.vietmaths.com Các tính chất: b m(b a) f (x) dx M (b a) a |x2 1| dx; J = Ví dụ Tính I = |ex 1| dx Do x = x2 = |x2 1| = x2 10 * Có thể sử dụng hàm phụ sin x dx (sin x + cos x)3 Bài tập Tính I = I= tg x ã dx = cos4 x tg2 x(1 + tg2 x) 42 Đổi biến t = tg x ta đợc I = 15 dx + cos x 4 J= dx x = tg x 2 cos2 = tg + sin xdx I= 2 w sin w = x x + cos = 2 x sin + dx sin = a w v tg2 x + cotg2 x 2dx Bài tập Tính I = Ví dụ Tính I = x =2 x cos2 4 x d tg x tg ie t tg dx m dx I= x =2 x sin cos 4 x = ln tg = ln s J= h Ví dụ Tính I = www.vietmaths.com dx x , sin t dx cos2 x c o m sin2 x dx cos6 x Ví dụ Tính I = x + dx Phơng pháp đổi biến Các dấu hiệu đổi biến: (i) Lẻ theo sin x, đặt t = cos x (ii) Lẻ theo cos x, đặt t = sin x 33 sin x x + cos dx 2 sin x + dx = 2 (iii) Chẵn theo sin x cos x, đặt t = tg x (hoặc t = cotg x) cos3 x sin2 xdx , Ví dụ Tính I = x J= sin 4x dx + cos2 x m Ngoài tích phân đặt t = tg * Tính I : Đổi biến t = sin x = dt = cos xdx (1 t2 )t2 dt = I= * Tính J : J = 2 sin 2x cos 2x dx + cos 2x s Đổi biến t = cos 2x = dt = sin 2xdx tdt t+33 J = =2 dt t+3 1 t+3 + ln = 2(t ln |t + 3|) = 15 h 2tdt = 3+t cos x + sin x dx + sin 2x cos x + sin x Viết lại I = (sin x cos x)2 dx sin x cos x ie t J= m Ví dụ Tính I = sin x cos xdx , (2 + sin x)2 Bài tập Tính I = a t dx w v Đổi biến t = sin x cos x, ta đợc I = dt t2 Tiếp tục đổi biến t = sin u = dt = cos udu Ta có I = Ví dụ Tính dx , + cos x + sin x w I= du = J= Tính I : Đặt t = tg Gợi ý: Tách đổi biến Ví dụ Tính I = sin2xdx a2 sin2 x + b2 cos2 x 34 sin x + cos x + dx sin x + cos x + x dt , ta đợc I = = ln |t + 1| = ln 2 t+1 x Tính J : đặt t = tg sin x + cos x Bài tập Tính I = dx 2 sin x + cos x w www.vietmaths.com 15 c o sin 2xdx = |a| 4|a| (ii) a = b : đổi biến t = a2 sin2 x + b2 cos2 x, ta đợc I= a2 b |a| dt = |b| 2(|a| |b|) a2 b c o I= Tích phân phần P (x) cos xdx eax cos(bx)dx eax sin(bx)dx, a, b = Bài tập Tính I = h s P (x) sin xdx (2x 1) cos2 xdx t a x tg2 dx Ví dụ 10 Tính I x dx = cos2 x m I= xdx cos2 x xdx Tích phân thứ hai I2 = ie t Tích phân phần vào tích phân thứ nhất, ta đợc I1 = tg + ln(cos 1) 2 x + sin x dx cos2 x Bài tập Tính I = Dùng hàm phụ Ví dụ 11 Tính I = (ĐS: + ln + 1) 2 w w v Vậy I = tg + ln(cos 1) cos2 x cos2 2xdx Xét J = sin2 x cos2 2xdx Ta có w www.vietmaths.com m (i) a = b : I +J = (1 + cos 4x)dx = I J = Vậy I = cos 2xdx = (cos 6x + cos 2x)dx = 0 Chú ý 35 (i) Có thể biến đổi lợng giác: x ta đợc I = J Tính I + J ta suy đợc I x cos4 x sin3 xdx Bài tập Tính I = ) 35 (ĐS: Ví dụ 12 Tính I = Ví dụ 13 Tính I = esin x h x sin x cos3 xdx t Hàm vô tỉ: I= a Đặt t = sin x x2 + 1dx (i) Đổi biến x = tg t (ii) Đổi biến t = x + cos tdt u=sin t 2 (1 sin t) x2 + 2 du (u + 1)2 (u 1)2 u = x2 + dv = dx w v (iii) Tích phân phần: ie t m Tích phân hàm siêu việt w Sử dụng nguyên hàm Ví dụ Tính I = w www.vietmaths.com Đổi biến t = sinn x dx sinn x + cosn x s c o (ii) Đổi biến t = m cos2 x cos2 2x = (1 + cos 2x)(1 + cos 4x) = (2 + cos 2x + cos 4x + cos 6x) ex dx ex I= 1 = Bài tập Tính I = ex ex dx d(ex ) ex = = ln 2x e2x ex + 1 e e2 e1 (e + 1)2 ln ln = ln e +1 e+1 e +1 dx + ex 36 1 Ví dụ Gọi In = enx dx Tính S = In + In1 + ex 1 (n1)x x e(n1)x e (e + 1) dx = dx x + ex 0 1+e 1 e(1n)x e1n (n1)x e dx = = = 1n 1n enx dx + + ex c o m S= Phơng pháp phân tích Ví dụ Tính I = dx + ex s e2x x e + ex dx = dx = dx x I= x x x x x e e +1 e (e + 1) 0 e (e + 1) 1 ex + ex ex x = dx = e + dx ex ex + ex + 0 e1 x x e1 = e x + ln(e + 1) = ln h t m a dx ; 2x e +3 Đổi biến Ví dụ Tính I = 0 e w Ví dụ Tính I = 1 (1 + t)2 dt = e + 2 t e dx Ta đợc x I= ln 0 dx ; + ex + ln x dx 2x Đổi biến t = ln x = dt = Ví dụ Tính I = ln (1 + ex )2 dx ex Đổi biến t = ex , ta đợc I = e dx ; x e +1 w v ie t Bài tập Tính tích phân sau w www.vietmaths.com 2+t 32 dt = dx ex + 37 ln ex + ex + ex = t2 = + ex = 2tdt = ex dx I=2 Ví dụ Tính I = 2 = ln 3(3 2) 2+x dx ln x2 x 2+x dx = dt = 2x x2 I= tdt = t2 ln = ln2 e ln x ã 2 + ln x dx x Tích phân phần (1 + ex )2 dx; ex ln ex 1dx x ln(1 + x2 )dx Ví dụ Tính I = w v Đặt m e2x dx ; ex + t (1 + e ) dx + e2x x2 + 1)dx; a ln x ie t e ln(x + 2xdx du = u = ln(1 + x2 ) + x2 = x2 dv = xdx v = x2 ln(1 + x2 ) w I= = 1 x3 dx ln = 1+x 2 x 0 ln x(x2 + 1) x dx x2 + x ln x dx = ln(1 + x2 ) 1+x 2 1 = ln w www.vietmaths.com ex dx ; ex + h Bài tập Tính tích phân sau c o Đổi biến t = ln t1 dt = ln t t+1 m s Đổi biến t = Bài tập Tính tích phân 1 x2 ex dx; xe2x dx; x e2x+e dx Ví dụ Tính I = x2 ln(2x + 1)dx 38 x ex ã ee ã ex dx Đổi biến t = ex = dt = ex dx Ta có Viết lại I = e t I= t et dt = ee+1 ee te dt = te e 1 m e Bài tập Tính tích phân sin2 x e ã sin x ã cos xdx; 0 1 + ln2 x dx x ln(1 + t2 )dt 1 t +11 ln dt = t +1 3 ie t ln 3 = ln t + = 3 1 Hớng dẫn: I = x4 + sin x dx = x2 + Ví dụ Cho In = 0 ln 2 + ã 3 1 x4 dx + x2 + 1 sin x x2 + =0 hàm lẻ Tích phân truy hồi Tích phân phần 1 dt + x4 + sin x dx x2 + w w v 1 dt ln 2 = + + t2 3 Đổi biến t = tg u, cuối ta đợc I = Ví dụ 11 Tính I = t2 dt + t2 m 1 I= t ln(1 + t2 ) a t 2tdt u = ln(1 + t ) du = + t2 v dv = dt = t w www.vietmaths.com Đổi biến t = ln x, ta đợc I = s Ví dụ 10 Tính I = ln h e Đặt ex cos xdx .c o xn xdx a) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 b) Tính In 39 dt + t2 dt + t2 du = nxn1 dx u =x = v dv = xdx = (1 x)3 n a) Đặt In = 2n ã In1 2n + (1) b) Từ (1) ta đợc 2n 2(n 1) 2(n 2) ã ã ã ã ã I0 2n + 2n + 2n 2n n! ã = xdx ã ã ã ã (2n + 3) h = 2n+1 n! ã ã ã ã ã (2n + 3) m cosn x cos nxdx Ví dụ Cho In = t 2n n! ã 1x ã ã ã ã (2n + 3) a = ie t a) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 b) Tính In du = n cosn1 x sin xdx u = cos x = v dv = cos nxdx = sin nx n a) Đặt w v n = = w In = cosn1 x sin x sin nxdx sin nx cosn x + n 0 cosn1 x cos(n 1)x cos(n + 1)x dx cosn1 x cos(n 1)xdx cosn1 x cos(n + 1)xdx 0 In1 w www.vietmaths.com In = s Vậy c o m 2n n1 x (1 x) xdx In = x (1 x) + 3 0 1 2n xn1 xdx xn xdx = 0 2n = (In1 In ) = b) Từ (1) ta có In = 1 1 ã ã ã ã ã I0 = n 2 2 Ví dụ Cho In = dx = 2n n x sin xdx a) Thiết lập hệ thức liên hệ In In2 b) Tính I2 , I3 40 (1) u = xn = dv = sin xdx In = x cos x +n 0 u = xn1 = dv = cos xdx In = n x n1 =n du = (n 1)xn2 dx v = sin x (n 1) sin x 0 n1 xn2 sin xdx (n 1)In2 = n n1 h (1 x2 )n dx Bài tập Cho In = Ví dụ Cho tích phân In = a b) Tính In t a) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 tg2n xdx, n Z+ m a) Chứng minh In In+1 ie t b) Lập hệ thức liên hệ In In1 1 In 2(2n + 1) 2(2n 1) c) Chứng minh tg = = tg x = tg2(n+1) x tg2n x 2(n+1) w v a) x xdx tg2n xdx = In+1 In , n Z+ b) Viết In lại: w In = tg 2n2 x tg xdx = = w www.vietmaths.com n(n 1)In2 s Tiếp theo, đặt xn1 cos xdx m n du = nxn1 dx ta đợc v = cos x c o Tích phân phần hai lần Đặt = tg tg2n2 x 2n2 xd(tg x) tg 2n2 dx cos2 x tg2n1 x xdx = 2n In1 In1 2n c) Kết a) chứng tỏ dãy In giảm 2In = In + In In + In1 2In = In + In In + In+1 2n 1 = 2n + = 41 2(2n 1) = In 2(2n + 1) = In 1 In 2(2n + 1) 2(2n 1) Xét f (x) = x2 ; x2 x2 dx x2 m Ví dụ Chứng minh x [2, 3] Ta có f (x) = x(x2 2) (x2 1) > 0, c o Từ suy x [2, 3] Vậy dx y = x x2 , exx dx e x [0, 2] Ta có y = 2x = y , m Xét hàm e2 a t h ie t Ví dụ Chứng minh x [0, 2] = ã ã ã = đpcm x (e2t + e2t )dt w v Ví dụ Cho tích phân I(x) = a) Tính I(x) x = ln b) Giải biện luận phơng trình I(x) = m w 2t 2t Ta có I(x) = e e 2 w www.vietmaths.com s x2 f (2) f (x) f (3) = x2 2 3 f (x)dx dx = 2 2 x dx = x2 a) Với x = ln ta có x 1 = e2x e2x 2 I(ln 2) = 15 b) Đặt t = e2x > Giải t = m + x = ln m+ + m2 Vậy với m phơng trình có nghiệm + m2 ứng dụng tích phân Diện tích hình phẳng 42 y = f (x) Ox D: x=a x = b a) Giới hạn đờng: b m |f (x)|dx SD = b) Giới hạn đờng trục Ox: c o a y = f (x) (C) Ox D: Tìm hoành độ giao điểm (C) Ox Giả sử hoành độ giao điểm x1 , , xn Khi xn s |f (x)|dx SD = h a b |f (x) g(x)|dx a m y = f (x) (C1 ) y = g(x) (C ) SD1 = Nếu D1 : x = a x=b t c) Giới hạn hai đờng: y = f (x) (C1 ) tìm hoành độ giao điểm (C1 ) (C2 ) Giả sử hoành độ y = g(x) (C2 ) giao điểm x1 < ã ã ã < xn Khi ie t Nếu D2 : xn |f (x) g(x)|dx SD2 = w v x1 Ví dụ x=1 x = e b) D2 : y = ln x y = x w y = sin2 x cos3 x y = a) D1 : x=0 x = SD1 = w www.vietmaths.com x1 = sin x cos xdx = = + cos 2x cos x cos 3x ã dx |sin2 x cos3 x|dx ý cos x 0, x 0, = (3 cos 2x cos x cos 3x + cos x cos 2x cos 3x)dx 1 cos 3x cos 5x + cos x dx 2 1 = sin 3x sin 5x + sin x 10 43 = (đvdt) 15 e e Bài tập Tính diện tích miền y = x 2x x = a) D : x=2 y=0 b) D : y= SD = x x 1 dx sin x cos2 x w v 1 = < sin x cos x = sin x cos2 x 1 = < cos x sin x = sin x cos2 x 1 1 SD = dx + dx = 2 2 cos x sin x sin x cos x x y = D : y =3x x = w Ví dụ (C) ie t sin3 x + cos3 x y = x2 + 3x + x+1 (C) Tính SD biết D : y = x = 0, x = y= sin2 x Ví dụ Tính SD biết D : y = cos x x = , x = w www.vietmaths.com c) Khảo sát vẽ đồ hàm số c o m s x ln x h = = ln x Đặt dx dv = x e x dx = ( x ln x x) = e (đvdt) x ln xdx x t u a SD2 = ln x dx = x e m e (3 x 2x )dx = S= Bài tập Tính diện tích miền sau: 3x y = sin2 12x D : y =1+ x = 0, x = ln x y = e D : y = ex x = 44 y = x2 2x y = x2 + 4x Ví dụ Tính diện tích miền D : (x2 + 4x x2 + 2x)dx = (đvdt) S= Phơng trình tung độ giao điểm: y 2y = y y=0 y = s | y + 2y + y|dy = y = |x2 4x + 3| y = x Phơng trình hoành độ giao điểm: |x2 4x + 3| = x a m 3x0 (x2 4x + + x)(x2 4x + + x) = x=0 x = x = w w v ie t t Ví dụ Tính diện tích miền D : w www.vietmaths.com S= c o y 2y + x = x + y = h Ví dụ Tính diện tích miền D : m S = S1 + S2 + S3 với S1 = , S2 = , 6 Bài tập Tính diện tích miền sau: S3 = Vậy S= 13 D: y=x x = y y = x2 + x D: 2 y = |x| D: y = |x2 1| y = |x| + D: 45 y = ax2 (a > 0) y = ax + 2a y = f (x) D : y = g(x) y = h(x) d) Giới hạn ba đờng: Tìm giao điểm cặp đờng suy diện tích miền cần tìm x2 x = 0, 27 27 x = 3, x x2 x2 dx + 27 S = S1 + S2 = x2 27 = x = 27 x 27 x2 dx = 27 ln x 27 t h m a y = x2 + 4x (C) Hai tiếp tuyến (C) A(0, 3), B(3, 0) e) Diện tích hình giới hạn đờng bậc hai ie t Ví dụ Tính diện tích hình giới hạn đờng tròn (C) : (x 1)2 + y = đờng thẳng (d) : y = x Tính tỉ số diện tích hai phần x2 y + = a2 b Ví dụ 11 Tính tỉ số diện tích hai hình phẳng giới hạn đờng (P ) : y = 2x (C) : x2 + y = + ĐS: Bài tập w w v Ví dụ 10 Tính diện tích hình Elip Tính diện tích miền D : (P ) : y = 2px (C) : 27py = 8(x p)3 w www.vietmaths.com Bài tập Tính diện tích miền: y = x2 x2 D: y= D: y=8 m x2 = c o x2 = s Ví dụ Tính diện tích miền y = x2 x2 D: y= 27 y = 27 x Tính diện tích phần chung hai elip: x2 y x2 y + = 1, + = a2 b2 b2 a Tính tỉ số diện tích miền D1 : (P ) : y = 2x (C) : x2 + y = 24 (P ) : y = 2x D2 : (E) : x + y = Ví dụ 12 Xét hình giới hạn (P ) : y = x2 đờng thẳng qua A(1, 4) có hệ số góc k Xác định k để S nhỏ 46 (P ) (d) = {B, C} Khi xB , xC hai nghiệm phơng trình x2 xB + xC = k kx + k Vậy ta có xB ã xC = k (d) : k(x 1) + 4, x xC C x3 kx2 S= (k 4)x (kx k + x )dx = xB xB k = (xC xB )2 (k 4)(xC xB ) (x3C x3B ) = (k 4k + 16) c o m (S nhỏ nhất) (k 4k + 16 nhỏ ) k = Vậy Smin = 24 k = s Thể tích h ,y = t D = y = tg x, x = 0, x = D = {y = x ln x, y = 0, x = 1, x = e} y= x2 , y = x2 + m D = a G = {y = x2 , y = x2 + 2} w w v ie t Hình tròn x2 + (y 2)2 w www.vietmaths.com Tính thể tích khối tròn xoay sinh miền sau quay quanh Ox 47