Phương pháp giải nhanh đề thi toán đại học

Hong Vit Qunh Toaởn hoồc phửớ thửng Cỏc phng phỏp gii nhanh thi i hc WWW.MATHVN.COM Cỏc phng phỏp gii toỏn i s v gii tớch L i núi u: Sau 12 nm hc tp, gi õy ch cũn mt kỡ thi nht ang ch i cỏc em ú l kỡ thi i hc õy s l kỡ thi khú khn nht sut 12 nm cỏc em ngi trờn gh nh trng Kỡ thi i hc chớnh l mt bc ngot ln cuc i ca mi hc sinh vỡ th mi hc sinh cn phi chun b kin thc tht ton din vỡ ni dung ca thi mang tớnh liờn tc Cú l cỏc mụn, mụn toỏn luụn chim v trớ quan trng v l vt cn ln nht trờn bc ng tin ti ging ng i hc Vỡ th tụi xin mo mui gúp chỳt kin thc ó thu lm c quỏ trỡnh hc vit lờn quyn sỏch ny Hy vng õy s l ti liu b ớch cho cỏc em hc Quyn sỏch c chia thnh sỏu n v bi hc v hai ph lc Mi bi u l nhng phn quan trng, xut hin thng xuyờn thi i hc mi bi u cú nhng c im sau: Phn túm tt kin thc ó hc c trỡnh by ngn gn v tng quỏt nhm li phn kin thc ó quờn ca cỏc em H thng cỏc bi lm c chn lc k lng, cú tớnh in hỡnh v khai thỏc ti a cỏc gúc cnh ca nờu ra, ng thi phng phỏp gii ngn gn, trc quan cựng nhiu kinh nghm gii giỳp cỏc em cú th hiu c ni dung bi gii v cỏch ỏp dng cho cỏc dng thi s gp sau ny ng thi, cỏc vớ d u c trỡnh by t c bn n nõng cao õy l nhng bi trớch t thi d tr ca cỏc nm trc v tham kho t nhng ti liu ca cỏc thy cụ cú nhiu nm kinh nghim quỏ trỡnh luyn thi nờn m bo v mc v gii hn kin thc Li gii cỏc vớ d ch l tng trng nhm mc ớch nờu lờn phng phỏp gii, cỏc em v cỏc thy cụ tham kho cun ti liu ny cú th tỡm v trỡnh by cỏch gii v cỏch trỡnh by hp lớ hn Cỏc em nờn gii cỏc dng bi trờn mt cỏch thun thc v c lp sau gii xong mi xem phn li gii ú l iu m tỏc gi kỡ vng nhiu nht Lớ gii cỏc phng phỏp, a thut toỏn gii chung, a bn cht li gii, ú l phn li bỡnh, lu ý cui mi bi Phn ph lc l 12 thi tiờu biu theo cu trỳc thi mi nht B GD&T cụng b Cỏc thi cú mc khú rt cao, ũi hi ngi lm phi t rt nhiu Vi mc khú ú, tụi mong rng cỏc em gii thun thc cỏc bi b thi ny cỏc em s cú t tin v kin thc t im cao lm bi mụn toỏn Ph lc l mt s mo dựng mỏy tớnh oỏn nghim c nh, phc v cho quỏ trỡnh gii cỏc bi v phng trỡnh tớch nh lng giỏc, h phng trỡnh, phng trỡnh, cỏch gii nhanh bi toỏn hỡnh hc bng mỏy tớnh ng thi gii thiu thờm phng phỏp chia Horner giỳp cỏc em lm nhanh bi toỏn cú chia a thc, phõn tớch thnh tớch Vi d nh l s gii thiu quyn sỏch cho cỏc em thỏng cui cựng trc thi i hc nờn sỏch ó gin lc mt s phn khụng cn thit v cỏc kin thc bờn l, ch gii thiu nhng trng tõm ca thi nờn bi cú th cũn ớt Tụi cng cú li khuyờn cho cỏc thỡ sinh l hóy tỡm thờm cỏc thi trờn mng internet vỡ õy l kho kin thc vụ tn Mc dự rt c gng nhng cun sỏch rt cú th cũn nhiu thiu sút thi gain biờn son ngn ng thi kinh nghim v s hiu bit cũn hn ch Rt mong c s gúp ý ca bn c Mi gúp ý xin liờn h vi tỏc gi qua a ch sau: Hong Vit Qunh Khu 6a Th trn Lc Thng Bo Lõm Lõm ng Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn Blog: http://vn.myblog.yahoo.com/vquynh-qflower Tel: 063-3960344 - 01676897717 WWW.MATHVN.COM Bi I: ng dng phng trỡnh ng thng gii phng trỡnh cn thc VD1 Nhc li kin thc v ng thng 1) Phng trỡnh tng quỏt: ng thng i qua M(x0;y0) v cú vet phỏp tuyn n (A;B) thỡ ng thng ú cú phng trỡnh: (d): A(x-x0)+B(y-y0)=0 (d): Ax+By+C=0 ng thng qua M(1;2) nhn n (2;1) lm vect phỏp tuyn VD1 (d): 2(x-1)+1(y-2)=0 (d): 2x+y-4=0 2) Phng trỡnh tham s: ng thng i qua M(x0;y0) v cú vect ch phng a (a1;a2) (d): x = x0 + a1t y = y0 + a2t ng thng qua M(3;4) nhn a (2;3) lm vtcp cú phng trỡnh: VD2 x = + 2t y = + 3t (d): VD3 Cho (d): x+y=4 Vit phng trỡnh tham s ca (d) Gii: Vect phỏp tuyn : n (1,1) Vect ch phng : a (1,-1) im i qua M(2;2) (d) : x = + t y = t VD2 ng dng VD1 Gii phng trỡnh : x + + 12 x = 10 Gii: t: x + =1+3t x +8=(1+3t) (*) v v 12 x =3-t k( -1/3 t1/3) 12-x = (3-t) (**) Ly (*)+(**) ta cú 20=10t +10 t2=1 t=1 hoc t=-1(loi) x =8 x=2 Tip: Cú phi bn ang t hi: thut toỏn no ó giỳp ta nhỡn thy c cỏch t n t ??? WWW.MATHVN.COM Khụng phi ngu nhiờn m tụi li trỡnh by li ng thng, mt tng chng nh chng liờn quan gỡ n i s Nhng gi õy ta mi nhn c ng thng chớnh l tuyt chiờu gii phng trỡnh dng cn thc Mu cht ú l: x + + 12 x = 10 B1: X Y T ú ta cú phng trỡnh ng thng : X+3Y=10 B2: ta vit li phng trỡnh: X+3Y=10 theo tham s t X = + 3t Y = - t Lỳc ny phng trỡnh ó quy v n t v vic gii phng trỡnh trờn l khụng khú (Vỡ õy l kin thc lp nhớ) hiu rừ hn v phng phỏp ny cỏc bn hóy cựng tụi n vi VD2 VD2 Gii phng trỡnh : x + + x + =1 X Gii: Gi (d): X=1+t (1) v Y Y=0+t x + = t t x + = t (t1) x + = 2t + t x + = t Ly phng trỡnh tr pt1 ta cú: -1=t3-t2 +2t-1 t3-t2 +2t=0 T=0 x=-2 Lu ý: Trong gii thi, cỏc bn nờn trỡnh by t bc(1) tr i nhm m bo tớnh ngn gn cho bi toỏn Bc gi phng trỡnh ng thng ch nờn lm ngoi giy nhỏp Trong bi trờn ta cú th t x + = u x + = v v quy v gii h phng trỡnh Cỏc bn cú th xem cỏch ny nh mt bi cỏc bn hóy lm v so sỏnh s u vit gia phng phỏp Trong bi trờn ta hn ch phng phỏp ly tha vỡ nu mun kh cn thc khỏc bc trờn, ta phi ^6 phng trỡnh Ta s gp khú khn v s i mt vi phng trỡnh kinh khng v ta phi gii xt khúi mi cú th nghim VD3 Gii h phng trỡnh : x + y xy = (1) x + + y + = (2) ( thi H nm 2005) Gii: t: x + = + t y + = t (-2t2) x + = t + 4t + y + = t 4t + x = t + 4t + y = t 4t + Phng trỡnh(1) tr thnh: 2t2+6- (t + + 4t )(t + 4t ) =3 WWW.MATHVN.COM t 10t + =2t2+3 hoc t=0 VD4 x=y=3 nh m phng trỡnh sau cú nghim: Gii: phng trỡnh cú nghim: f ( x) = m Min f(x)m Max f(x) x + 2m = + 3t 3m x = t x + 2m = + 6t + 9t 3m x = 6t + t t Vi f(t)= 2t2+2 F(t)=4t =>f(t)=0 t F(t) - (-1/3t3) cng v vi v => 5m=10+10t2 2t2+2=m f(t)=m xỏc nh: D=[-1/3;3] t=0 -1/3 - 0 + + 20/9 20 F(t) M cú nghim VD3 2m20 Bi t luyn 1) Gii h phng trỡnh: 2) Gii h phng trỡnh: 3) Gii h phng trỡnh: 4) Gii phng trỡnh: x + y + x + = x + y = ( thi d b1A 2005) sin( x) + + cos( x) = ( thi d b2A 2004) WWW.MATHVN.COM Bi II: Cỏc cỏch gii phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t 1)Ly Tha Phng phỏp ly tha l phng phỏp tng quỏt nht gii phng trỡnh cú cn Khi gp cỏc phng trỡnh cú dng cn phc nhng chỳng ta bit mo ly tha thỡ cú th gii bi toỏn mt cỏch d dng õy l mt phng phỏp c bn, cỏc bn phi thc nhun nhuyn vỡ phng trỡnh thi i hc cú lỳc rt d nhng ta li khụng ý cỏc bn hóy theo dừi cỏc vớ d sau Nhng trc ht hóy lu ý sau: t iu kin Ly tha chn thỡ hai v khụng õm Cỏc dng c bn: A=B AB B A = B B A B B < A B A > B VD1 Gii: x x 10 x x + x + x(5 x) = 10 x x 6x + = VD2 Gii: x x x = x x=1 x=5 x x + < x x x < x + + x + ( x + 3)( x 1) x x x=1 x > x + 2x > x 2x + x 2 4(5 x x ) = 25 10 x + x x = x + x WWW.MATHVN.COM x x + x > x VD3 Gii: k: 2x+1>0 x>1/2 Bpt (4x2-4x+1)(x2-x+2)36 t t = (x2-x) bpt tr thnh: (4t+1)(t+2)36 4t2+9t-340 t-17/4 hoc t2 x2-x-17/4 hoc x2-x2 x1 hoc x2 VD4 Gii bt phng trỡnh : Gii: x + x = x x > x x x = x =1 Lu ý: bt phng trỡnh trờn cỏc bn khụng nờn ly tha tớnh toỏn vỡ quỏ trỡnh ly tha v nhõn phõn phi rt mt thi gian Hn na, quy v mt phng trỡnh h qu, chỳng ta gii rt d sai vỡ giao cỏc nghim s khụng cú giỏ tr no tha Trong bi trờn tụi s dng cỏch ỏnh giỏ theo kiu nh sau: A B B = B > A ú chớnh l mu cht ca bi toỏn VD5 Gii phng trỡnh : Gii: 3x x x = x x=3 WWW.MATHVN.COM Lu ý: Trong phng trỡnh trờn cỏc bn phi ý v nhanh mt chỳt vỡ nu nh ta nguyờn phng trỡnh cho ly tha thỡ ú l mt iu khụng cũn gỡ di bng ta s i mt vi chuyn ly tha ln => mt phng trỡnh bc Phng trỡnh ny ta khụng th bm mỏy tớnh Nhng nu gii tay thỡ phi gii xt khúi mi thi gian khụng ch i ng thi chỳng ta khụng cn gii iu kin vi vỡ giỏm kho ch quan tõm n bi lm v kt qu Chỳng ta hóy ch vit cỏi sn ca iu kin sau gii nghim ch vic th vo iu kin l xong 2) Phng phỏp t n ph: CCH GII: f u ( x); n u ( x) ( f (u ( x); f (u ( x); n n ) u ( x) ) u ( x) ) = t= n u ( x) Phng trỡnh hu t hoc h phng trỡnh BI TP P DNG: VD1 Gii: t t= => t>0 ; t2+2= x2 + x 3t=2(t2-1) t=-0.5 (loi) hoc t=2 x2+x=6 x=2 hoc x=3 VD2 Gii: T= t t + = x x Phng trỡnh tr thnh: t2+1-(t+1)=2 x=5 t2-t-2=0 t=2 hoc t=-1 VD3 Gii: => WWW.MATHVN.COM pt tr thnh: t2+t+2=8 TH1: t=2 t=-3 t=2 TH2: t=-3 LOI II: f ( n ) u ( x) + n v( x) { 0; 0; =0 } Phng phỏp chung: n u ( x) = u m v( x) = v VD1 Gii: => a v h phng trỡnh 23 x + x = 3x = u x = v (v 0) u + v = v = 2u ( tuyn sinh i hc 2009) u +v = 3 2u + 3v = 2u = u + 3 v = 2u (u + 2)(15u 26u + 20) = 2u v = u = x=-2 v = LOI III: H PHNG TRèNH A THC Nhng h phng trỡnh ny ta rt thng hay gp thi i hc lp 10, ta thng gp nhng phng trỡnh cú tờn l h i xng, ng cp Nhng h ny ó cú cỏch gii n lin nhng thi i hc, ta khụng h tỡm thy nhng dng ú Nhng tt c cỏc h trờn u quy v mt mi ú l Phõn tớch thnh nhõn t WWW.MATHVN.COM x x = y y Gii h phng trỡnh: y = x + VD1 (1) (H A 2003) ( 2) Gii: K: xy0 Ta cú (1) ( x y ) + x = y =0 xy xy = x = y = x = y x = y + x = y x = y = TH1: 3 2 y = x + x = x + ( x 1) ( x + x 1) = x = y = y= 2 xy = 1 y = x TH2: M x + x + = x + x + + > 0, x VN x 2 y = x + = x + x + x + = x + + Vy nghim ca h l ( x; y ) = (1;1) , ; , ; x + + y(y + x) = 4y (1) VD2 Gii h phng trỡnh: ( x, y R ) (D b A2006) (x + 1)(y + x 2) = y ( ) Gii: (1) x + + y ( x + y ) = (*) t: u = x + > 0; v = x + y u yv = ( 3) Thay (4) vo (3) ta cú: ( 3) u + u ( v + ) v = u + v ( v + ) = u ( v + ) = y ( ) v + 2v + = (v + 1) = v = x + y = H x2 + y = x = y = Vy (*) x2 + (3 x ) = x = y = x = y x 8x = y3 + 2y VD3 Gii h phng trỡnh ( x, y R ) (D b 2A 2006) 2 x = 3(y + 1) (*) Gii: 3 x3 y = ( x + y ) ( x y ) = ( x + y ) (1) Ly (2) thay vo (1) ta cú H 2 2 x y = ( ) x y = ( x3 y ) = ( x y ) ( x + y ) x3 12 y x + x y = x ( x + xy 12 y ) = D thy x=0 thỡ y=0 Th vo (*) ta thy khụng tha Vy õy khụng phi l nghim ca phng trỡnh: WWW.MATHVN.COM 3: A PHN CHUNG: Cõu 1: y= Cho hm s (C) mx + x+m Kho sỏt v v th (C) m =-1 Tỡm trờn th (C) ct Ox ti A, Ct Oy ti B cho tip tuyn ti A v B song song Cõu 2: Gii phng trỡnh: cos x + cos x + sin x = Gii phng trỡnh: log x + x 12 log x x 12 = ) ( ( ) Cõu 3: Tớnh tớch phõn: sin 3xdx (1 + cos x ) Cõu 4: Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht, chiu cao SA=a hp vi (SBC) v (SBD) cỏc gúc 450 v 300 Cõu 5: y2 x xy + = nh m h sau cú nghim: x2 + x y = m B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: (Chng trỡnh chun) a Vit phng trỡnh ng trũn i qua gc ta v ct Ox, Oy ti A,B cho AB= tõm ng trũn thuc d:x+y-4=0 b Trong Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) qua M(1;1;0), song song vi d: Bit rng x y z = = v cỏch gc ta mt khong bng c Tỡm a, b R bit phng trỡnh a b 5i + = cú nghim z1 = Tỡm nghim cũn li z +1 z + 2i (Chng trỡnh nõng cao) a Tỡm ta nh ABC vuụng cõn ti A cú trc i xng l x-2y+1=0; Cõu 7: A Ox; B Oy v C d : x + y = b Vit phng trỡnh tham s ca ng thng d qua M(1;2;0), song song vi (P):2x-y+z-1=0 v hp vi (Q): x+y+2z-1=0 mt gúc 600 c Trong hp ng 15 viờn bi gm bi , bi xanh v bi vng Tớnh xỏc sut chn c viờn bi c mu WWW.MATHVN.COM 4: A PHN CHUNG: Cõu 1: x3 Cho hm s y = + x cú th (C) Kho sỏt v v th (C) Vit Phng trỡnh ng thng d qua gc ta O v ct (C) ti A v B (khỏc O) saocho tip tuyn ca (C) ti A v B vuụng gúc Cõu 2: 4tan x + 2tan x +sin x = 21+ 2sin 2x + 2x x Gii bt phng trỡnh: x 2x x Gii phng trỡnh: sin x sin x + cos4 xdx Cõu 3: Tớnh tớch phõn: Cõu 4: Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng chiu cao SA Bit SC=2a hp vi (SAB) mt gúc 300 Cõu 5: Cho a,b,c>0 v a+b+c=1 Tỡm giỏ tr nh nht: A = a + b3 + c a + b2 + c B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: (Chng trỡnh chun) I/ Trong Oxyz cho A(2;3;-1), B(5;-3;2) v (P): x+y+z-3=0: a Vit phng trỡnh tham s ng thng d vuụng gúc vi (P) v ct ng thng AB ti I cho AI + BI = b Tỡm M ( P ) cho AM2+2BM2 nh nht II/ Hóy phõn phi 2010 im lờn ng thng song song cho tng s tam giỏc thu c l ln nht Cõu 7: (Chng trỡnh nõng cao) I/ a Vit phng trỡnh ng trũn Oxy i qua A(2;1), Tõm thuc Oy v ct Ox ti B v C cho gúc BAC bng 600 b Trong Oxyz cho A(0;1;2), B(1;-1;1), C(-1;3;0) Vit phng trỡnh tham s ng thng d vuụng gúc vi (ABC) v ct (ABC) ti trc tõm H ca ABC x ( m + 1) x + 2m II/ nh m bit th hm s y = tip xỳc vi Ox xm WWW.MATHVN.COM 5: A PHN CHUNG: Cõu 1: Cho hm s y= x cú th (C) x +1 Kho sỏt v v th (C) Cho A(0;2) Tỡm trờn (C) im M cho AM ngn nht Cõu 2: cos x cos x cos x + cos x = Gii phng trỡnh: 1 x + + y + =3 x y Gii h phng trỡnh: + =1 x + y xy Cõu 3: Tớnh tớch phõn: Cõu 4: x ln x + x2 dx Cho hỡnh chúp S.ABCD cú (SAB) (ABC), ABC u v ABC vuụng cõn ti A Tớnh th tớch 1 a b 25ab Cho a,b,>0 v + = Tỡm giỏ tr nh nht: A = + + a b a b ( a + b2 ) mt cu ngoi tip hỡnh chúp Bit SC= a Cõu 5: B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: (Chng trỡnh chun) I/ Trong Oxyz cho A(2;-1;2), B(3;-3;3); C(1;-2;4) v (P): 2x-3y+z+1=0: a Vit phng trỡnh tham s ng thng d i qua tõm ng trũn ngoi tip vi (P) b Tỡm M ( P ) cho AM2+2BM2+CM2 nh nht II/ Tỡm a, b R bit Z = i i + i i + + i 2009 l nghim ca phng trỡnh nghim cũn li Cõu 7: (Chng trỡnh nõng cao) x = t x y z I/ Trong Oxyz cho d1 : y = + 2t ; d : = = 1 + t a Tỡm A d1 bit khong cỏch t A n d2 bng b Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d2 v hp vi d1 mt gúc 300 2log3 x + y log3 = II/ Gii h phng trỡnh: log y + log x = y x x3 WWW.MATHVN.COM ABC v vuụng gúc a b + = Tỡm 1+ z z 6: A PHN CHUNG: x4 Cho hm s (C) y = mx + m + , m l tham s Cõu 1: Kho sỏt v v th (C) m =1 nh m bit th hm s (C) cú im cc tr to thnh tam giỏc cú trc tõm l gc ta Cõu 2: sin x + + cos x + = tan x + 1 ( x + y ) + + ( x + y ) + = y x x y Gii h phng trỡnh: log x log y = 2 3 Gii phng trỡnh: Cõu 3: Tớnh tớch phõn: I= xdx e 1+ x Cõu 4: Tớnh th tớch hỡnh lng tr u ABCD.ABCD bit AC=a v gúc gia BD v CD bng 600 Cõu 5: Cho a,b,c>0 v 1 b+c c+a a+b + + = Tỡm giỏ tr ln nht: A = 3 + + 3 a b c b +c c +a a +b B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu Cõu 6: (Chng trỡnh chun) a Trong Oxy cho ABC vuụng cõn ti A cú din tớch bng 2, bit A d1 = x y + = v B, C d : x + y = Tỡm ta A,B,C vi xA, xB>0 b Trong Oxyz vit phng mt phng (P) qua A(0;1;2), B(1;3;3) v hp vi (Q ) : x y 2z = mt gúc nh nht c Tỡm s t nhiờn n tha: Cn3+1 Cn2+1 = An (Chng trỡnh nõng cao) Cõu 7: a Trong Oxy cho hai ng trũn ( Cm ) : x + y 2mx my + m = v ( C ) : x + y 3x + = nh m bit s tip tuyn chung ca hai ng trũn l mt s l b Trong Oxyz vit phng trỡnh ng thng d song song vi ( P) : x + y + z = x y +1 z = = ti im A,B cho AB ngn nht 1 c Gii phng trỡnh: z + z + = , z C Ox v : WWW.MATHVN.COM v ct ng thng 7: A PHN CHUNG: Cõu 1: Cho hm s (C) y = x3 3ax + b , (1) ( a, b > ) Kho sỏt v v th (C) a=1 b=4 nh a,b bit th hm s (C) cú im cc tr A v B cho OAB vuụng cõn Cõu 2: x tan2 x + tan x tan = sin x 1 x + y + xy = Gii h phng trỡnh: =1 x + y x y 2 Gii phng trỡnh: Cõu 3: Tớnh gii hn: ex x +1 x ln (1 + sin x ) lim Cõu 4: Cho hỡnh chúp S.ABCD chiu cao SA=2a, ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B cú AB=BC=a, AD=2a Mt phng qua trung im M ca SA cha CD, ct SB ti N Tớnh din tớch t giỏc CDMN Cõu 5: nh m bt phng trỡnh cú nghim: mx x + ln ( x + x m + x m ) Tỡm nghim tng ng B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu Cõu 6: (Chng trỡnh chun) a Trong Oxy cho A ( 7;1) , B ( 3; ) , C (1; ) Vit phng trỡnh ng trũn ni tip ABC b Trong Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) qua gc ta , song song vi hp vi : x y +1 z = = v x +1 y z = = mt gúc 600 1 c Tỡm h s ca Cõu 7: d: x3 khai trin thnh a thc ca biu thc: ( x + x 1) (Chng trỡnh nõng cao) a Trong Oxy cho ng trũn ( C ) : x + y x + = Tỡm M thuc trc tung cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn bng 600 b Trong Oxyz Cho M ( 2;1;0 ) v ng thng d cú phng trỡnh x y + z = = Vit phng trỡnh 1 chớnh tc ca ng thng i qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d c Tỡm h s ca x3 khai trin thnh a thc ca biu thc: ( x + x 1) WWW.MATHVN.COM 8: A PHN CHUNG: Cõu 1: Cho hm s (C) y= mx + x +1 Kho sỏt v v th (C) m =-1 nh m bit tip tuyn ti im c nh ca h th (C) cỏch I(1;0) mt khong ln nht Cõu 2: sin x + sin x.sin x = cos 2 x +3 x Gii bt phng trỡnh : + 22 x ( x + x ) 15 Gii phng trỡnh: Cõu 3: Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh bi hỡnh phng to bi v ng thng x=1; x=2 quay quanh Ox Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a v hai ng thng 1+ 1 + , trc Ox x x d1 ; d ln lt qua A v C v vuụng gúc vi Cõu 4: mt phng (ABCD) Ly (C ) : y = M d1 , N d cho AM , CN cựng chiu v cú tng di bng 6a Tớnh th tớch t din MNBD Cõu 5: Gii h phng trỡnh: 1 xy + x = x + + y ln y xy + = y + y + x ln x B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: a (Chng trỡnh chun) Trong Oxy cho A,B l hai im trờn ( P) : y2 = x cho OAB vuụng ti A Tỡm ta A,B ( y A < ) bit OB ngn nht b Trong Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) qua gc ta v song song vi d: x y z = = 2 v cỏch d mt khong bng c Cho a giỏc li n nh, bit rng s tam giỏc cú nh v cnh chung vi a giỏc l 70 Tỡm s tam giỏc cú nh chung v khụng cú cnh chung vi a giỏc (Chng trỡnh nõng cao) a Trong Oxy vit phng trỡnh chớnh tc elip (E) qua M(2;1) cho Cõu 7: MF1.MF2 nh nht b Trong Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) qua gc ta v ln lt hp vi mt phng ( Q ) : x + z = v ( R ) : x + y z + = c Tớnh giỏ tr: cỏc gúc 300 v 600 Z = (1 + 2i + 3i + + 2009i 2008 )(1 2i + 3i 4i + + 2009i 2008 ) WWW.MATHVN.COM 9: A PHN CHUNG: Cõu 1: Cho hm s (C) y = ( x m ) ( x x + 1) Kho sỏt v v th (C) m =3 nh m bit (Cm) ct Ox ti A, ct Oy ti B cho hai tip tuyn ca (Cm) ti A v B vuụng gúc Cõu 2: Gii phng trỡnh: tan x = Gii bt phng trỡnh : Cõu 3: ( sin x + cos x + sin x + cos x 7+5 ) log 2 x ( = 2 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi: ) log x + log x 0.25 (C ) : y = x x v d : y = x + Cho hỡnh chúp S.ABCD chiu cao SA=a, ỏy l hỡnh vuụng cnh a chng minh AI (SBD) av2 tớnh th tớch t din SIBD, bit I l trung im SC Cõu 4: Cõu 5: Tỡm giỏ tr nh nht tham s m h: 1 x + y2 = cú nghim x,y>0 Tỡm nghim tng x + y = m ng B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) (Chng trỡnh chun) Trong Oxy cho ABC cú ng cao v trung tuyn k t A l Cõu 6: a ng trung tuyn k t B l hA = x + y + = , mA = y = v mB : 3x + 11y + 21 = Tớnh gúc C x = t x y z b Trong Oxyz cho d1 : ,d : y = 2t Chng minh rng cú vụ s mt phng (P) cha = = z = 1+ t d2 v song song vi d1 Vit phng trỡnh (P) cho d2 l hỡnh chiu vuụng gúc ca d1 lờn (P) c Tỡm x, y R tha: 1 = x + ( y ) i + y + xi (1 + i ) Cõu 7: (Chng trỡnh nõng cao) x2 y = ( a, b > ) cú hai tiờu im l F1 ; F2 ng thng d qua ; F2 vuụng gúc a b2 Ox v ct (H) ti M v N cho F1MN u Tỡm tõm sai ca (H) v vit phng trỡnh (H) nu bit din a Trong Oxy cho tớch (H ): F1MN = b Trong Oxyz cho A(-1;2;2), B(0;3;0) Hóy tỡm (P) cho c Mt ng thng tip xỳc vi th hm s tớch y= ABC u 3x + v ct ng tim cn ti A v B Tớnh din x OAB 10 WWW.MATHVN.COM 10: A PHN CHUNG: Cõu 1: x4 Cho hm s y = + ( m + 1) x m, (1) cú th (C) m l tham s Kho sỏt v v th (C) m=0 Chng minh rng th hm s (1) luụn i qua im A v B c nh nh m bit tip tuyn ti A v B hp gúc 600 Cõu 2: sin x sin x + = + sin x cos x x xy + y = Gii h phng trỡnh: xy + y + x = 12 x Cõu 3: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi: y = , trc Ox v hai ng thng x=1;x=4 x + ln x e Gii phng trỡnh: Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABC bit SA, SB, SC ụi mt hp vi gúc 600 v cú di ln lt l a, 2a, 3a Cõu 4: Cõu 5: nh m phng trỡnh log ( x + m ) = + log m ( x 1)( x 3) cú nghim nht Tỡm nghim nhõt ú B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: (Chng trỡnh chun) I/ Trong Oxyz cho d: x + y z = = v (P): x-y-1=0: 1 a Vit phng trỡnh tham s ng thng d l hỡnh chiu vuụng gúc ca d lờn (P) Tớnh gúc gia d v d b Gi A l giao im ca (P) v d Vit phng trỡnh cỏc mt cu tip xỳc (P) ti A v ct d ti B cho AB= II/ Gii phng trỡnh: Cõu 7: x3 log log x log = + log x x (Chng trỡnh nõng cao) x = t I/ Trong Oxyz cho A l giao im ca d1 : y = + 2t v mt phng (P):x-2y+z=0 + t a Vit phng trỡnh chớnh tc ng thng qua A vuụng gúc vi d v hp vi (P) mt gúc 300 b Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc d, i qua A v ct P mt ng trũn di 2 II/ Tỡm ( 0; ) bit th hm s y= x + ( + cos ) x + sin cú hai im cc tr l A v B x cho AB di nht, ngn nht 11 WWW.MATHVN.COM 11: A PHN CHUNG: Cõu 1: Cho hm s y= 2x , (1) cú th (C) x 1 Kho sỏt v v th (C) ca hm s (1) Tỡm M trờn (C) bit tip tuyn ti M to vi tim cn ca (C) mt tam giỏc cú chu vi nht Cõu 2: Gii phng trỡnh: Gii phng trỡnh: Cõu 3: 16sin x + cos x = cos x + sin x x5 ( x x5 ) =2 Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh bi hỡnh trũn ( C ) : ( x 3) + ( y 1) = quay quanh trc Oy Cho t din ABCD cú AB=a, AC= a , AD=2a ng thng AC hp vi AB,AD cỏc gúc 450 , AB hp vi AD gúc 600 Tớnh t s th tớch ca t din v hỡnh cu ngoi tip t din Cõu 4: Cõu 5: Cho a + b + c = Chng minh rng: a + b3 + c 3abc B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: a (Chng trỡnh chun) Trong Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) i qua H(1;2;3) v ct Ox, Oy, Oz ln lt ti A, B, C cho H l trc tõm ABC b Trong Oxyz vit phng trỡnh mt cu tõm I Oz, i qua A(1;1;1) v ct (Oxy) mt ng trũn di c Gii phng trỡnh : Cõu 7: C20 + C31 + C42 + + Cxx = 120 , x N (Chng trỡnh nõng cao) I/ Trong Oxyz cho A(3;0;0) B(1;-2;8) v mt phng (P):x-2y+2z+6=0 a Tỡm M(P) cho AM + BM nh nht b Vit phng trỡnh mt phng (Q) qua A, B v ct (P) theo giao tuyn d hp vi AB gúc 900 x y x y x y + xy = 5.4 xy II/ Gii h phng trỡnh : log x + log y = log x.log y 2 12 WWW.MATHVN.COM 12: A PHN CHUNG: Cõu 1: x3 16 + mx ( m ) x + Cho hm s (C) y = (1) 3 Kho sỏt v v th (C) m =0 Chng minh rng (Cm) luụn tip xỳc vi ng thng c nh ti im c nh Cõu 2: Gii phng trỡnh: sin 3x + sin x = ( cos x 1) Gii bt phng trỡnh : log Cõu 3: Tớnh tớch phõn: I = + log x2 2x 0, 25 log 0.5 x x dx 2x Cõu 4: Cho hỡnh tr cú chiu cao bng bỏn kớnh ỏy v bng a Ly trờn cỏc gn trũn ỏy (O) v (O) cỏc im A, B cho AB=2a tớnh gúc gia hai ng thng OA, OB v th tớch t din OOAB Cõu 5: 1 a2 + b2 ab Cho a,b>0 v + = Tỡm giỏ tr nh nht: P = + a + b ab ab a+b B PHN T CHN: (Thớ sinh ch c chn Cõu hoc Cõu 7) Cõu 6: a (Chng trỡnh chun) Trong Oxy cho ABC cú tõm ng trũn ngoi tip l I(2;1), AOy v ng thng BC: 3x y 10 = Tỡm ta A,B,C bit gúc BAC bng 450 v b y A > > yB Trong Oxyz cho A(0;1;0), B(1;-2;2) Hóy vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, B v cỏch A mt khong bng 2 c Gii phng trỡnh : Cõu 7: 4z + = (Chng trỡnh nõng cao) a Trong Oxy cho ( P ) : y = x cú hai tiờu im l Chng minh rng 1 + khụng i MF NF F ng thng d quay quanh F ct (P) ti M,N b Trong Oxyz vit phng trỡnh tham s ng thng qua M(1;-2;2) d OM v d hp vi Oy mt gúc 450 c Tỡm h s ca x khai trin thnh a thc ca biu thc: P = ( x + 1) x10 bng 10 13 WWW.MATHVN.COM n +1 (x n + x + 1) Bit h s ca PH LC II: Cỏch gii nhanh bi toỏn bng mỏy tớnh b tỳi.Phộp chia theo s Horner Trong cỏc kỡ thi quan trng cú mụn toỏn, mỏy tớnh b tỳi c phộp s dng v tr thnh cụng c khụng th thiu i vi thớ sinh Tuy nhiờn ớt cú th tn dng c ti a cỏc chc nng ca mỏy tớnh gii toỏn Nay tụi xin gii thiu mt s phng phỏp tỡm nghim bng chc nng SOLVE ca mỏy tớnh Bi vit c vit vi mỏy fx-570ES v tụi cng khuyờn cỏc em lm quen s dng mỏy ny quỏ trỡnh gii toỏn VD1 Tỡm nghim c nh: x ( a + 1) x + 6ax = (1) Gii: Son phng trỡnh (1) vo mỏy tớnh x ( A + 1) x + Ax = Du = son bng cỏch nhn: ALPHA + CALC Nhn tip: Shift + SOLVE Sau ú, mỏy hi: A=? ta cho ngu nhiờn A=2 ri nhn phớm = Tip n, da vo linh cm mỏch bo, ta oỏn x=-3, nhn tip phớm = Mỏy hin nghim x=0.5 Ta ghi nghim ny giy cú th õy s l nghim c nh cn tỡm??!! Nhn tip Shift + SOLVE vi A=2 Ln ny ta th vi x=10 Mỏy hin x=2 Thay A=-3;4;5 v lm tng t ta ch thy mỏy bỏo x=2 Vy ta kt lun x=2 l nghim c nh õy chớnh l cỏch tỡm nghim c nh bi trang 35 VD2 Tỡm m cho: y = x3 ( m + 1) x + ( m + 4m + 1) x 4m ( m + 1) ct Ox ti im phõn bit cú honh >1 Gii: Son phng trỡnh x3 ( A + 1) x + ( A2 + A + 1) x A ( A + 1) = vo mỏy v nhn Shift + SOLVE Mỏy hi giỏ tr ca A Ta cho a=3 Tai li tip tc oỏn nghim x=-5 Mỏy hin x=1.732281591 Ta khụng quan tõm n nghim ny vỡ õy l nghim xu Mc ớch ca ta l tỡm nghim hu t phõn tớch thnh nhõn t Nhn tip Shift + SOLVE Ln ny ta cho A=9 v x=10 Mỏy hin x=10 Ta ghi nhn nghim ny Vi A=9 cho x=-5 ta nhn c kt qu x=2 Th tng t vi A bng vi giỏ tr v th x=2, x=10 vo ta u nhn c thụng bỏo x=2 Vy x=2 l nghim c nh ca phng trỡnh VD3 Gii phng trỡnh: sin x + cos x cos x + 3sin x = (1) Gii: Lỳc ny lớ trớ mỏch bo ta rng Cn phõn tớch phng trỡnh v phng trỡnh tớch Hn na, phi cú nghim p mi cú th phõn tớch c Ta dựng Shift + SOLVE tỡm nghim ny Nhp phng trỡnh trờn vo mỏy Nhn Shift + SOLVE Ta ln lt th x bng cỏc gúc c bit nh: Khi th n cỏc nghim l v ; ; thỡ mỏy hin rt nhanh kim tra ta nnn: sin( _ ALPHA _X_) 14 WWW.MATHVN.COM V nu coi sin(x) l bin thỡ cú th phõn tớch phng trỡnh qua nhõn t l ( sin x 1) hay ( 2sin x 1) Ta chn phõn tớch theo hng ( sin x 1) Mỏy hin =1 v = (1) 3sin x + cos x + sin 2x + cos x = 3(sin x 1) + + (1 2sin x ) + sin x cos x = ( sin x 1) + 2(1 sin x) + sin x cos x = ( sin x 1)(1 2sin x ) + 2sin x cos x cos x = ( sin x 1)(1 2sin x ) + cos x ( 2sin x 1) = ( sin x 1)(1 2sin x + cos x ) = n õy, ta ó hon thnh c ý a phng trỡnh u tiờn v phng trỡnh tớch Vic gii phng trỡnh u gi õy ó tr nờn d dng GII CC BI TON HèNH HC GII TCH BNG MY TNH B TI FX 570ES Cõu 1: x = + 2t x = Trong Oxyz cho: d1 : y = + t ; d : y = + t z = z = t a) Tớnh khong cỏch gia d1 v d2 b) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d1 v song song vi d2 Gii: s dng chc nng vect ca mỏy ta nhn: MODE + (vector) Chn vect A mỏy hi ta chn h vect no (Vct A(m) m?) Chn 1:3 Nhp ta vecto ch phng ca d1 (2;1;0) Nhn tip Shift + STO + B copy cỏc thụng s ca vext A vo vect B Sa ta ca vect B thnh (0;1;-1) Ta cú M (2; 1; 0) d1 ; N (1;1;3) d MN ( 1; 2;3) (Bc ny ghi giy) Nhn Shift+5(vector) a) Theo cụng thc: Nhn (Dim) d ( d1 ;d ) = 3(Vct C) sau ú nhp thụng s ca vector MN ( 1; 2;3) d1 ; d MN A; B C tng ng vi: l cỏc vec t c lu mỏy d1 ; d A; B tớnh tớnh tớch cú hng ca hai vect A & B ta nhn: ON Shift+5 3(vct A) x tớnh di vector ta dựng chc nng ABS( bng cỏch nhn phớm Shift+hyp tớnh tớch vụ hng A & B ca ta nhn ON Shift+5 3(vct A) Shift+5 B) = Vy nờn tớnh di cn tỡm ta son vo mn hỡnh mỏy tớnh nh sau: (Abs((VctAxVctB)VctC))ữ(Abs(VctAxVctB)) 11 Kt qu mỏy hin: b) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d1 v song song vi d2: 15 WWW.MATHVN.COM Shift+5 7:(dot) = Shift+5 4(vct Vic u tiờn cn lm ú l ta phi tỡm vect phỏp tuyn ca mt phng ( ) gi vector phỏp tuyn a d1 a ta thy: d1 = A ; d = B a d Nờn a cn tỡm l d1 ; d tỡm a bng mỏy tớnh ta lm nh sau: ( cn tỡm l ) ON Shift+5 3(vct A) x Shift+5 = Mn hỡnh son tho hin nh sau: VctAxVctB nhn phớm = xem kt qu Mỏy hin: Vct Ans (-1;2;2) Vy a = ( 1; 2; ) Mp ( ) i qua M(2;-1;0) Nờn ( ) : ( x ) + ( y + 1) + ( z ) = x + y + z + = Thớ sinh ch cn gi cỏc bc lm vo bi lm, cụng vic cũn li hóy cho mỏy tớnh Ta thy hon thnh bi hỡnh hc gii tớch thi tht nh nhng Cỏc bn cú th th lm cỏc bi toỏn cú li gii sỏch giỏo khoa hỡnh hc 12 hay cỏc sỏch tham kho bng chic mỏy tớnh ca mỡnh S cú nhiu bt ng ang ch cỏc bn khỏm phỏ! S HORNER V NG DNG: Chia a thc P ( x ) = a0 x n + a1 x n + + an cho ( x c ) ta cú: P ( x ) = ( x c ) ( b0 x n + b1 x n + + bn x + bn ) Trong ú bi ( i = 0;1; 2;3; ; n ) nh bi s Horner: a0 b0 c a1 b1 =cb0+ a1 a2 b2 =cb1+ a2 a3 b3 =cb2+ a3 -1 bi =cbi-1+ p dng: VD1 Tớnh thng v s d phộp chia: P ( x ) = x + x3 x x + cho x+2 Gii: Ta cú s Horner: -2 Vy -3 -8 -2 P ( x ) = ( x + ) ( x3 x x + 3) + n õy, chỳng ta ó hiu phn no cụng dng ca s horner Trong bi toỏn liờn quan n tham s, vic tỡm c nghim c nh v phõn tớch thnh tớch s lm cụng vic gii toỏn nh nhng rt nhiu Nghim c nh ó cú mỏy tớnh, cũn vic chia a thc: Hóy s Horner lm cho bn Ta quay li vi vớ d u phn ph lc: VD2 Phõn tớch thnh tớch: x ( a + 1) x + 6ax = (1) Gii: x3 ( a + 1) x + 6ax = Ta ó cú c nghim c nh x=2 vy nờn 2 Vy (1) ( x ) x -3(a+1) -(3a-1) 6a -4 ( 3a 1) x + = õy chớnh l mt phn bi lm Bi3 trang 35 VD3 nh m phng trỡnh: mx3 ( 3m ) x + ( 3m ) x m + = cú nghim dng phõn bit 16 WWW.MATHVN.COM ( A) Gii: Ta d dng nhn ra: a+b+c+d=0 S Horner: m -3m-4 m -2(m-2) phng trỡnh (A) cú nghim x=1 3m+7 m-3 -m+3 ( A ) ( x 1) mx ( m ) x + m = (A) Cú nghim dng phõn bit g ( x ) = mx ( m ) x + m = Nờn cú hai nghim dng phõn bit u khỏc m ' = ( m ) m ( m 3) > m2 m ( ;0 ) ( 3; ) S = >0 m m3 P = m > g (1) = m ( m ) + m VD4 nh m phng trỡnh cú nghim phõn bit: x3 m ( x 1) = (1) Gii: (1) x3 mx + m Dựng mỏy tớnh ta mũ c nghim: x=1 S Horner: 1 1 Vy (1) ( x 1) (x -m 1-m m-1 + x +1 m) = g ( x) = x + x + m = cú hai nghim phõn bit khỏc = 4m > m > [...]... WWW.MATHVN.COM Cách giải các phương trình lượng giác trong đề thi đại học: Lưu ý trước khi giải đề: Các phương trình lượng giác trong đề thi đại học nhìn qua mắt học sinh thường rất khó khăn phức tạp nhưng chúng đều quy về những phương trình đơn giản Đề thi đại học các năm đều xoay quanh biến đổi về dạng phương trình tích, đặt ẩn phụ Năm 2009, đề thi có biến đổi hơn đó là phương trình cuối biến đổi về dạng... x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan  2  tan 4 ( 2 − sin x +1 = 2 ) 2 x sin 3 x 4 cos x 7 WWW.MATHVN.COM Bài IV: Tích Phân Lưu ý trước khi giải đề thi: Tích phân là bài toán rất thường xuất hiện trong đề thi đại học Kể từ năm 2002, khi bắt đầu tiến hành thi “Ba chung” các dạng toán tích phân và ứng dụng luôn xuất hiện và là câu 1 điểm Bài tập phần này không quá khó nhưng vẫn phải đòi hỏi kĩ năng phán... x ; ( C 2 ) y = ; ( C 3) y = 27 x 2 14 WWW.MATHVN.COM Bài V:Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số Lưu ý trước khi giải đề thi: Các bài toán dạng này là câu chiếm 1 điểm, thường nằm ở câu thứ 2 sau phần khảo sát hàm số trong đề thi đại học Muốn giải được dạng toán này ta cần nắm vững các lí thuyết về sự tăng, giảm hàm số, các vấn đề về cực trị, sự tương giao giữa hai đồ thị... biến thi n: X −∞ − -1 Y’ - 2 2 2 2 0 + 0 1 +∞ - 2 2 -2 Y -2 Pmin = −2 2 khi m = 2 2 − 2 2 Lời bình: Có lẽ các bạn đang thắc mắc: “Tại sao lại có những lời giải ngắn gọn và dễ dàng như vậy?” Bí quyết nằm ở biểu thức y’ và dấu của nó Lúc này, tất cả yêu cầu bài toán (ycbt) liên quan đến cực trị đều nằm ẩn dưới những dấu + - của y’ Và trực quan hơn nữa, ta thấy được hướng đi của mình qua bảng biến thi n... CT tại điểm có hoành độ nằm trong [-2;3] - Để có cực đại và cực tiểu y’=0 có hai nghiệm ⇒ ∆ ' > 0 - Vẽ bảng biến thi n: 19 WWW.MATHVN.COM −∞ X -2 Y’ + X1 0 CĐ S 2 X2 - 0 +∞ 3 + Y CT  y ' ( −2 ) ≥ 0 Vậy là điều kiện thứ 2 đã được biểu hiện rất rõ ràng trên bảng biến   y ' ( 3) ≥ 0 thi n Đây thực ra là xét quan hệ về dấu của hệ số a: af (α ) nhưng ở đây khi ta đã biết rõ dấu Từ đó ta có của a thì... 3   ⇒ ⇔ 2 x = 3 y ⇔ 2 2 x y x y + − = 25 ( )  2 x = 3 y ( ) 2   x y x y + − = 25 ( ) ( )   x=3   25 y 2  1 y  = 25 ⇔     4 2  y = 2 Lời bình: Làm sao ta có thể phân tích nhanh ( −12 x 2 + 26 xy − 12 y 2 ) thành nhân tử ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) ?? Lúc này, công cụ của chúng ta chính là máy tính bỏ túi! Các bạn hãy làm như sau: Coi như ta không thấy ẩn y vậy nên ta có phương... phương trình cuối biến đổi về dạng công thức cộng Nhìn chung phương pháp giải dạng toán này là các em học thuộc các công thức trên đây và rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử… GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI TIÊU BIỂU:   1 Giải phương trình: 2 sin  2 x − π  + 4 sin x + 1 = 0 (1) 6 Giải: 3 sin 2 x − cos 2 x + 4sin x + 1 = 0 (1) 2sin x ( ) 3 cos x − sin x + 2 = 0 2sin x ( ) 3 cos 2 x + 2 − 2sin 2 x...  2  3 ( 3 2 ) 2 NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Biến đổi: Đặt t Phân tích thành tích Nguyên tắc : Lũy thừa Hạ bậc Tích Tổng Tổng Tích Biến đổi không được thì đổi biến GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI TIÊU BIỂU: Bài 1 cot x − 1 = cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x 1 + tan x 2 Giải: Đặt t=tanx, pt trở thành:  1− t2    1+ t2  1 t2 1 2t  −1 = + − ( t ≠ 0; t ≠ −1) 2 t 1+ t 1+ t 2 1+ t2 ⇔ 2t 3 − 3t... 3t + 2t 2 − 1 − t − 1 = 0 5 WWW.MATHVN.COM π 4 + kπ cos x = ±1  x = kπ  t = ±1   ⇔ ⇔ ⇔ cos x = cos 2π  x = ± 2π + 2kπ t = −1 3 3 2    Bài 3 Giải phương trình: 1 − sin x + 1 − cos x = 1 (đề thi dự bị2 A – 2004) (1) Giải: (1) 1 − sin x − cos x + 2 (1 − sin x)(1 − cos x) = 0 Đặt t=sinx +cosx ⇔ sin xcosx = t 2 −1 2 t 2 −1 − t = 0 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 4 + 2t 2 − 2 − 4t ⇔ (t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1 2 π... có thể rút ra dễ dàng từ 2 2a phương trình gốc nên ta chọn giá trị trung bình này làm điều kiện Nút thắt thứ 3 được gỡ bỏ - Lời khuyên đó là: khi gặp những dạng toán như trên học sinh hãy vẽ bảng biến thi n như trên ra giấy nháp sau đó tùy theo câu hỏi mà điền các thông số thích hợp vào bảng từ đó mọi hướng giải đều được phơi bày! Tôi có tham khảo qua một vài tài liệu của các thầy cô giáo thì thấy phần