TỔNG HỢP CÁC BÀI TÍCH PHÂN SƯU TẦM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HAY NHẤT Tích phân hàm phân thức dạng Các trường hợp đơn giản có: I.1 = I.2 = với n tự nhiên khác I.3 = I.4 = với a > Nguyên hàm I.1, I.2 tính dễ dàng cách áp dụng công thức có bảng Nguyên hàm hàm số hợp (SGK trg 116) Nguyên hàm I.3 tập 3d (SGK trg 118) – nguyên hàm dạng (với I.4 tập 4a (SGK trg 142) Để tính tích phân ta đổi biến: đặt x = atgt Trường hợp tổng quát Nếu P có bậc lớn bậc Q phân thức viết thành P/Q = T + R/Q (T, R thương dư phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui tính tích phân đa thức T tích phân hàm hửu tỉ R/Q Việc tính tích phân đa thức T khó khăn Sau ta xét cách tính tích phân phân thức R/Q R đa thức có bậc nhỏ bậc đa thức Q Trừong hợp Q tam thức bậc hai: Q = Có ba khả năng: (i) Q có hai nghiệm phân biệt Khi có Q = Biến đổi: , m, n hai số Bài toán qui tính tích phân dạng I.1 (ii) Q có nghiệm kép Khi có Q = Biến đổi: Bài toán qui tính tích phân dạng I.1 I.2 (iii) Q vô nghiệm Khi Q = (k số) Biến đổi: Q’ đạo hàm Q Bài toán qui tính tích phân dạng I.3 I.4 Trường hợp Q đa thức có bậc lớn Việc tính tích phân phân thức R/Q với Q đa thức có bậc lớn trường hợp tổng quát vượt kiến thức PT Thường ta xét trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q phân tích thành nhân tử nhị thức bậc hay tam thức bậc hai vô nghiệm Từ ta biến đổi phân thức R/Q thành phân thức đơn giản hơn, có mẫu nhị thức, tam thức nói trên; toán qui tính tích phân có dạng I.1-4 Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân dạng quen thuộc dđơn giản Cuối lưu { cách đổi biến, nhiều tích phân hàm lượng giác, tích phân hàm vô tỉ đưa dang tích phân (ví dụ 1c Kummer cho trên) Nhưng ta trở lại vấn đề sau Các bạn thử làm tập sau để nắm rõ phần lí thuyết nghe trừu tượng Bài tập: Tính tích phân: A= B= C= D= với a > E= F= G= HD A dạng I.3 ĐS: B Biến đổi: f(x) = Ta đưa tích phân dạng I.1 Chú ý nguyên hàm nguyên hàm thường gặp, nên ý (a khác 0) dạng C tương tự ĐS D f(x) = + ĐS: + E f(x) = ĐS: ln2+ F f(x) = + G đặt t = Thêm trích từ đề thi TS ĐH & CĐ năm gần để bạn làm quen H= I= J= K= 2.Tích phân hàm lượng giác Các dạng thường gặp J.1 = J.2 = J.3 = J.4 = Trên nguyên hàm lượng giác học (có Bảng nguyên hàm SGK) Từ nguyên hàm ta dễ dàng tính , … Các nguyên hàm sau thường gặp, cách tính chúng điển hình cho cách tính tích phân hàm lượng giác, nên cần nắm vững: J.5 = J.6 = J.7 = J.8 = J.9 = J.10 = J.11 = Tính J.5: tgx = sinx/cosx Đặt u = cosx, đưa tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u Trình bày gọn: = -ln|cosx| + C Hoàn toàn tương tự với J.6: biến đổi , đưa tính nguyên hàm dạng J.1 Tương tự với ( Nói chung, ta phát biểu toán với sin, tang Bài toán với cos, cotg tương tự, từ không nhắc lại J.7: biến đổi J.8: , đưa hai nguyên hàm , đặt u = cosx, đưa nguyên hàm hàm hửu tỉ Cũng đặt t = tg(x/2), dẫn đến J.9: hàm = ln|t| + C = ln|tg(x/2)| + C , đưa tính hai nguyên Cũng biến đổi: , đưa hai nguyên hàm J.10: đựoc nguyên hàm I.5 J.11: đặt u = 1/sinx, dv = I= , , qui tính = J.11 + J.8 Từ toán trên, ta thấy để tính tích phân hàm lượng giác cách thường dùng Biến đổi đưa tích phân Ví dụ I.6, I.7, I.9 Ta xét thêm vài thí dụ: J.12 J.13 J.14 J.15 Giải phương trinh f(t) = Đổi biến đưa tích phân =0 Ví dụ J.5, J.8, J.10 Sau số ví dụ khác: J.16 = J.17 = J.18 = J.19 = Phương pháp tích phân phần ví dụ với J.11 Một số ví dụ khác: J.20 = J.21 = Hướng dẫn giải ví dụ J.12: Mẫu = 1+cosx = Chú ý dạng tổng quát thường gặp: J.13: f(x) = J.14: f(x) = J.15: biến đổi hàm dấu tích phân g(x) = Suy f(t) = sin2t J.16: đặt t = tg(x/2) = – 2cos2x