Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Tích phân tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...
TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HÀ NỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com PHẦN I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến. !"#$"%"%%&'( )*+,-"#". /Xác định trực tiếp:01%#23"%"%45#.6478 69 /Xác định gián tiếp::;<='7' BÀI TẬP HT 1. :&%=3>! ,Oxyz % ( ) : 2 3 1 0P x y z+ − + = * (2; 1;1)A − 7 &;$?(2@"%"%$( Giải :. ( )/ /( )Q P A7&;$?(BC. ( ) : 2 3 0, ( 1)Q x y z D D+ − + = ≠ :.$?(2@A"&. 3D = D47&; ( ) : 2 3 3 0Q x y x+ − + = HT 2. :&% = 3 > ! ,Oxyz % 78 1 1 2 : 1 2 1 x y z d − + − = = − * (1;0; 1)A − 7&;$(2@ d Giải :4 ( )P d⊥ A7&;$(BC. 2 0x y z D− + + = =4$(2@A"& 0D = D47&; 2 0x y z− + = HT 3. :&% = 3 > ! ,Oxyz % E * = (1;2; 1), ( 1; 0;2), (2; 1;1)A B C− − − 7&;$@FG( Giải :. ( 2; 2; 3), (1; 3;2)AB AC= − − = − $@FG(!. [ ]; (5; 7;8)n AB AC= = D47&; ( ) : 5( 1) 7( 2) 8( 1) 0ABC x y z− + − + + = 5 7 8 11 0x y z⇔ + + − = HT 4. :&%=3>! ,Oxyz 4%*@$<HIH(4F$6HHE($(. – 3 2 – 5 0x y z+ = 7&;$?(2*@4F$( Giải :. ( 3; 3;2)AB = − − J> , P Q n n K7L$($?( (1; 3;2) P n = − :. , ( ) ( ) ( ) Q Q P AB n A B Q Q P n n ⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⊥ M&4$?(!. , (0; 8; 12) 0 Q P n n AB = = − − ≠ D47&; ( ) : 2 3 11 0Q y z+ − = . GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN< HT 5. :&%=3>!N+O47&; $(2* (2;1;3), (1; 2;1)A B − "%"%78 1 : 2 3 2 x t d y t z t = − + = = − − Giải : (1;3;2)BA = 4B:G (1;2; 2)u = − J> n :PQRSJ:TUSP$(⇒ n BA n u ⊥ ⊥ ⇒$(! , ( 10;4; 1)n BA u = = − − ⇒7&;$(. 10 4 19 0x y z− + − = HT 6. :&% = Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – TÍCH PHÂN Chuyên đề 4: Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu tích phân 1/ b b a a k.f(x)dx k f(x)dx b c b a a c 2/ b b b a a a f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx 3/ f(x)dx f(x)dx f(x)dx BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (u = u(x)) dx x c; x dx kdx kx c x1 c, ( 1) 1 dx ln x c x ex dx ex c ax dx ax c (0 a 1) ln a u u'dx u1 c ; ( 1) 1 u' u dx ln u c eu u'dx eu c au u'dx au c (0 a 1) ln a u'cos udx sin u c cosxdx sin x c u'sin udx cos u c sin xdx cosx c cos2 udx tan u c sin2 u dx cot u c dx cos2 x tan x c dx sin2 x cot x c 10 tan xdx ln cosx c 11 cot xdx ln sin x c 124 u' u' u'tan udx ln cos u c 10 u'cot udx ln sin u c TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Đặc biệt: u(x) = ax + b; f(x)dx F(x) c (ax b) dx dx (ax b)1 c a 1 ax b a ln ax b c dx cos2 (ax b) a tan(ax b) c 8. eax b dx eax b a axdx ln x c cos(ax b)dx sin(ax b) c a sin(ax b)dx cos(ax b) c a f(ax b)dx a F(ax b) c dx cot(ax b) c a sin (ax b) 1 ln cos(ax b) c a 10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c a dx xa 11 ln c 2a x a x a 9. tan(ax b)dx B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Tính tích phân I 2x dx x(x 1) Giải I= (x 1) x x(x 1) dx = 1 x x dx = ln x(x 1)1 ln ln3 Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 2x dx x 1 Tính tích phân: I Giải 1 2x dx = dx = 2x 3ln x = – 3ln2 x 1 x 1 0 I Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính tích phân sau: I x4 x3 3x2 2x x2 x dx Giải Chia tử cho mẫu, ta được: 125 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4 x3 3x2 2x x2 x x 2 I x2 dx x 1 x 1 x2 x x = x2 x 1 x x3 3x ln x ln x 1 16 ln I= Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân: I(x) x dt , với x > Từ tìm lim I(x) x t(t 1) Giải I(x) = x x x dt t 1 t t 1 t t dt = ln t ln t 1 ln t 1 1 = ln x x ln x 1 x 1 lim I x lim ln ln ln x x x 2 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 tan x e Tính tích phân: sin x cos x dx Giải 0 ln e I tan x esin x cos x dx tan xdx sin x 'esin x dx = ln cosx + e sin x 2 1 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I dx x x3 Giải I 126 dx x x3 1 x x x(1 x2 ) dx 1 1 2x x x dx 1 x 2 dx x 1 x 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ln x ln(x2 1) ln x ln x2 1 x ln 1 x ln ln 2 ln Bài 7: Tính tích phân : I = x x dx Giải 0 Tính I x2 x dx x2 x dx x2 x dx Do : x 1 x x + 21 22 I x x x x 0 1 Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ a Cho hàm số: f(x) = x 1 bxex Tìm a b biết f’(0) = 22 f(x)dx Giải Ta có: f(x) f (x) a (x 1)3 3a (x 1) bx.ex bex (x 1) f (0) 3a b 22 (1) 1 a 3a x x f(x)dx a(x 1) dx b xe 2(x 1)2 b(xe e ) b (2) 0 0 3 x 3a b 22 a (1) (2) ta có hệ: 3a b5 b 8 127 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I Sử dụng công thức: b a f[u(x)].u(x)dx f(u)du b Phương pháp: Xét tích phân I f(x)du a - Đặt t = u(x) dt = u'(x)dx Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2 Suy ra: I t2 t2 g(t)dt g(t) t t1 (g(t) f[u(x)].u(x)) Thường đặt ẩn phụ t thức, mũ e, mẫu số, biểu thức ngoặc dx có sinxdx đặt t = cosx, có cosxdx đặt t = sinx, có đặt t = lnx x ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II b a / f((t)) (t)dt f(x)dx ; x (t); () a, () b Công thức: b Tính: I f(x)dx a Đặt x (t) dx (t)dt Đổi cận: x (t); () a, () b b Khi đó: I f((t)).(t)dt f(x)dx a Các dạng thường gặp: b a2 x2 dx đặ t x asin t a b a dx a2 x2 đặ t x asin t b dx a2 x2 a B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 128 đặ t x a tan t TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Tính tích phân : I xsin x x 1 cos x xsin x cos x dx Giải xsin x cos x x cos x x cos x dx dx xsin x cos x x sin x cos x 0 Ta có: I x 04 x cos x x cos x dx dx xsin x cos x xsin x cos x 0 Đặt t = xsinx + cosx dt = xcosxdx Khi x = t = 1, x = Suy ra: I 2 t = 1 4 2 1 4 dt ln t t 2 1 4 2 ln 1 4 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tính tích phân: I 4x 2x dx Giải Đặt: t 2x 2x t 2x t 4t t 4t ...Lớp luyện thi Z153-ĐA-HN Thầy Lương: 0985913234 TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề: Điểm - Đường thẳng trong mặt phẳng Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác cân ABC, BC = BA, với A(1; -1), C(3; 5), đỉnh B nằm trên đường thẳng d: 2x – y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB và BC. Bài 2. Tìm toạ độ các đỉnh B, C của tam giác ABC biết A(-1; -3), trọng tâm G(4; -2), đường thẳng trung trực của AB có phương trình: 3x + 2y – 4 = 0. Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d 1 : 2x – y + 5 = 0, d 2 : 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d 1 và d 2 . Bài 4. Cho đường thẳng d: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A(0; 1), B(3; 4). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 2MA 2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhất. Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB: y = 2x, Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: y = -0,25x + 2,25, trọng tâm G( 8 7 ; 3 3 ). Tính diện tích tam giác ABC. Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; -1) và đường thẳng d: x – 2y -1 = 0. Tìm C thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A thuộc d: x – 4y – 2 = 0, BC song song với d. Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy có A(2; -1), B(1; -2), trọng tâm G thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0 Tìm toạ độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng 3/2. Bài 9. Cho tam giác ABC với A(1; 5), B(-4; -5), C(4; -1). Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(-2; 0), B(2; 0) và khoảng cách từ trọng tâm G đến trục hoành bằng 1/3. Tìm toạ độ đỉnh C. Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x – 4y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d 1 : 2x – 3y + 1 = 0, d 2 : 4x + y – 5 = 0. A là giao điểm của d 1 và d 2 . Tìm điểm B thuộc d 1 , điểm C thuộc d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5). Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác biết phương trình đường cao kẻ từ B và C tương ứng là: 9x – 3y – 4 = 0 và x + y – 2 = 0. Chuyên đề luyện thi năm 2009 - 2010 Lớp luyện thi Z153-ĐA-HN Thầy Lương: 0985913234 Bài 14. Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2). Trung tuyến CM: 5x + 7y – 20 = 0 và đường cao BK: 5x – 2y – 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và BC. Bài 15. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4; 3), đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0. Bài 16. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC qua M(0; -1), AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài 17. Cho A(2; 1). Vẽ hình chữ nhật OABC thoả mãn OC = 2 OA và y B > 0. Tìm tọa độ B và C. (O là gốc toạ độ). Bài 18. Cho đường tròn (C). x 2 + y 2 + 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(3; 5). Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn. Giả sử các tiếp điểm là M, N. Tính độ dài đoạn MN. Bài 19. Cho đường thẳng (d): (1 – m 2 )x + 2my + m 2 – 4m + 1 = 0. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (d) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 20. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A với B(-3; 0), C(7; 0), bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 10 -5. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết I có tung độ dương. Bài 21. Cho tam giác ABC, A(1;3), B(0;1), C(-4;-1). a) Tìm toạ độ chân H của đường cao kẻ từ đỉnh A. b) Tính diện tích, chu vi của tam giác ABC. Bài 22. Cho tam giác ABC, B(3;5), C(4;-3). Đường phân giác trong của góc A có phương trình: x + 2y – 8 = 0 a) Viết phương trình các cạnh của tam giác. b) Tính diện tích của tam giác. Bài 23. Cho đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 và PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM *)Các quy tắc đạo hàm Quy tắc cộng: (u ± v)’ = u’ ± v’ Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số (u.v)’ = u’v +uv’; (u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’ Quy tắc chia: 2 u u'v uv' ' v v − = ÷ DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1.Nhị thức bậc nhất : có dạng f(x)= ax+b ( 0a ≠ ). 2.Xét dấu nhị thức bậc nhất : + Tìm nghiệm nhị thức: ax+b=0 b x a − ⇒ = + Lập BXD +Dựa vào BXD kết luận Chú ý: TRƯỚC TRÁI, SAU CÙNG. thatle1602@gmail.com 1 0977.991.861 Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm hợp (C ) ’ = 0 (x)’ =1 ( ) , 1 x .x ; R α α− = α α∈ ( ) 1 u ' .u .u'; R α α − = α α ∈ 2 1 1 ' x x − = ÷ 2 1 u' ' u u − = ÷ 1 ( x)' 2 x = u' ( u)' 2 u = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = -u’.sinu (tanx)’ = 2 1 cos x = 1+tan 2 x (tanu)’ = 2 u' cos u = u’(1+tan 2 u) (cotx)’ = 2 1 sin x − = -(1+cot 2 x) (cotu)’ = 2 u sin u − = -u’(1+cot 2 u) ( )' ( )' .ln x x x x e e a a a = = ( )' ' ( )' '. .ln u u u u e u e a u a a = = 1 (ln )' 1 (log )' .ln a x x x x a = = ' (ln )' ' (log )' .ln a u u u u u u a = = x −∞ b a − −∞ f(x) Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1.Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng 2 ( 0)ax bx c a + + ≠ 2.Xét dấu tam thức bậc hai : + Tìm nghiệm tam thức: 2 0ax bx c + + = tính 2 4b ac ∆ = − *Nếu 0 ∆ < thì tam thức vô nghiệm ( f(x) cùng dấu a, x R ∀ ∈ ) * Nếu 0 ∆ = thì tam thức có nghiệm kép 2 b x a − = ( f(x) cùng dấu a, 2 b x a − ∀ ≠ ) * Nếu 0 ∆ > thì tam thức có 2 nghiệm 1 2 , 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = ( 1 x < 2 x ) (Trong trái , ngoài cùng) + Dựa vào BXD kết luận. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC BA tam thức bậc ba: có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3: SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC 2 VỚI CÁC SỐ: Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) VỚI α, β là 2 số thực x 1 < α < x 2 x 2 > x 1 > α x 1 < x 2 < α x 1 < α < β < x 2 x 1 < α < x 2 <β α < x 1 < x 2 <β af(x) < 0 >− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af <− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af < < 0)( 0)( β α af af > < 0)( 0)( β α af af << > > >∆ βα β α 2 0)( 0)( 0 S af af Muốn có <<< <<< 21 21 xx xx βα βα ta phải có 0)()( < βα ff SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC 2 VỚI Số 0: x 1 < 0 < x 2 x 2 > x 1 > 0 x 1 < x 2 < 0 P < 0 > > >∆ 0 0 0 S P < > >∆ 0 0 0 S P Định lý Vi –et: với tổng là S, tích là P, ta có: thatle1602@gmail.com 2 0977.991.861 x −∞ −∞ f(x) Cùng dấu với a x −∞ 2 b a − −∞ (x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a x −∞ 1 x 2 x −∞ f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a x −∞ 1 x 2 x −∞ f(x) Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 3 x 0 23 =+++ dcxbxax a b xxS − =+= 21 a c xxP == 21 . Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DẤU CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ ĐẠO HÀM BÀI 1) Giải các bất phương trình sau 1) 034 2 >+− xx 2) 03323 2 ≤−+− xx 3) 0 32 2 ≥ + − x x 4) 0)34)(2( 2 >+−− xxx 5) 0)65)(12( 2 ≤+−− xxx 6) 0)45)(107( 22 ≤−+−+− xxxx 7) 0)76)(13112( 22 ≥+−−−− xxxx 8) 0 12 65 2 ≤ − +− x xx 9) 0 23 152 2 > − −+ x xx 10) 0 1073 107 2 2 > ++− +− xx xx 11) 0 54 752 2 2 ≤ −+ +−− xx xx 12) 0)76)(1)(72( 2 ≥+−−−− xxxx 13) 0)189)(25)(17( 2 ≤+−−−− xxxx 14) 0 1610 )2)(752( 2 2 ≤ +− −+−− xx xxx BÀI 2) Tìm tập xác định: 1) )189)(86( 22 +−+− xxxx 2) )1)(963( 2 −+−− xxx 3) 76 2 +−− xx 4) 1 8113 2 − ++ x xx 5) 1610 )86( 2 2 +− +− xx xx 6) 13103 )3)(1275( 2 2 +−− −+ xx xxx 7) 1610 )2)(75( 2 +− −+ xx xx 8) )5)(2( 107 2 −− +− xx xx BÀI 3) Tính đạo hàm Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 124 Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản 1/ bb aa k.f(x)dx k f(x)dx 2/ b b b a a a f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx 3/ b c b a a c f(x)dx f(x)dx f(x)dx BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp 1. dx x c; kdx kx c 2. 1 x x dx c, ( 1) 1 3. dx ln x c x 4. xx e dx e c 5. x x a a dx c (0 a 1) lna 6. cosxdx sinx c 7. sinxdx cosx c 8. 2 dx tanx c cos x 9. 2 dx cotx c sin x 10. tanxdx ln cosx c 11. cotxdx ln sinx c (u = u(x)) 1. 1 u u u'dx c ; ( 1) 1 2. u' dx ln u c u 3. uu e u'dx e c 4. u u a a u'dx c (0 a 1) lna 5. u'cosudx sinu c 6. u'sinudx cosu c 7. 2 u' dx tanu c cos u 8. 2 u' dx cot u c sin u 9. u'tanudx ln cosu c 10. u'cotudx ln sinu c TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 125 Đặc biệt: u(x) = ax + b; 1 f(x)dx F(x) c f(ax b)dx F(ax b) c a 1. 1 1 (ax b) (ax b) dx c a1 2. dx 1 ln ax b c ax b a 3. ax b ax b 1 e dx e a 4. x 1 a dx ln x c 5. 1 cos(ax b)dx sin(ax b) c a 6. 1 sin(ax b)dx cos(ax b) c a 7. 2 dx 1 tan(ax b) c a cos (ax b) 2 dx 1 8. cot(ax b) c a sin (ax b) 1 9. tan(ax b)dx ln cos(ax b) c a 1 10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c a 11. 22 dx 1 x a ln c 2a x a xa B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Tính tích phân 2 1 2x 1 I dx x(x 1) Giải I = 2 1 (x 1) x dx x(x 1) = 2 1 11 dx x 1 x = 2 1 6 lnx(x 1) ln ln3 2 . Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Tính tích phân: 1 0 2x 1 I dx x1 Giải 1 0 2x 1 I dx x1 = 1 0 3 2 dx x1 = 1 0 2x 3ln x 1 = 2 – 3ln2. Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính các tích phân sau: 2 4 3 2 2 1 x x 3x 2x 2 I dx xx Giải Chia tử cho mẫu, ta được: Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 126 4 3 2 2 22 x x 3x 2x 2 x 2 x3 x x x x = 2 12 x3 x 1 x 2 2 1 12 I x 3 dx x 1 x 2 3 1 x 3x ln x 1 2ln x 3 I = 16 3 ln 38 Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân: x 1 dt I(x) t(t 1) , với x > 1. Từ đó tìm x lim I(x) Giải I(x) = xx 11 dt 1 1 dt t t 1 t t 1 = x x 1 1 t lnt ln t 1 ln t1 = x1 ln ln x 1 2 xx x1 lim I x lim ln ln ln2 x 1 2 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Tính tích phân: 4 sinx 0 tanx e cosx dx Giải 4 4 4 sinx sinx 0 0 0 I tanx e .cosx dx tanxdx sinx 'e dx = sinx 4 4 0 0 ln cosx + e 2 2 ln 2 e 1 . Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân: 3 3 1 dx I xx Giải 22 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 dx 1 x x 1 x 1 1 2x I dx dx dx x x 2 x x x(1 x ) x 1 x 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 127 22 1 33 ln ln(x 1) lnx ln x 1 x 2 11 2 x 3 1 6 3 ln ln ln ln 22 12 1x Bài 7: Tính tích phân : I = 2 2 0 x xdx . Giải Tính 2 1 2 2 2 2 0 0 1 I x x dx x x dx x x dx Do : x 0 1 2 x 2 x 0 + Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x Hệ quả: ® = x0 x lim1 sinx ® = u(x)0 sinu(x) lim1 u(x) ® = u(x)0 u(x) lim1 sinu(x) b) x x 1 lim1e,xR x ®¥ ỉư +=Ỵ ç÷ èø Hệ quả: 1 x x0 lim(1x)e. ® += x0 ln(1x) lim1 x ® + = x x0 e1 lim1 x ® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1 (x)'x aa- =a 1 (u)'uu' aa- =a 2 11 ' xx ỉư =- ç÷ èø 2 1u' ' uu ỉư =- ç÷ èø ( ) 1 x' 2x = ( ) u' u' 2u = xx (e)'e = uu (e)'u'.e = xx (a)'a.lna = uu (a)'a.lna.u' = 1 (lnx)' x = u' (lnu)' u = a 1 (logx') x.lna = a u' (logu)' u.lna = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1 (tgx)'1tgx cosx ==+ 2 2 u' (tgu)'(1tgu).u' cosu ==+ 2 2 1 (cotgx)'(1cotgx) sinx - ==-+ 2 2 u' (cotgu)'(1cotgu).u' sinu - ==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b) Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b) +DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b) +- == 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C =+ ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( ) f(x)dx'f(x) = ò · af(x)dxaf(x)dx(a0) =¹ òò · [ ] f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx +=+ òòò · [ ] [ ] f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x) ) =+Þ=+=+= òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. § Bài 1 : NGUYÊN HÀM Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC =+ ò duuC =+ ò 1 x xdxC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò 1 u uduC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò dx lnxC(x0) x =+¹ ò du lnuC(uu(x)0) u =+=¹ ò xx edxeC =+ ò uu edueC =+ ò x x a adxC(0a1) lna =+<¹ ò u u a aduC(0a1) lna =+<¹ ò cosxdxsinxC =+ ò cosudusinuC =+ ò sinxdxcosxC =-+ ò sinuducosuC =-+ ò 2 2 dx (1tgx)dxtgxC cosx =+=+ òò 2 2 du (1tgu)dutguC cosu =+=+ òò 2 2 dx (1cotgx)dxcotgxC sinx =+=-+ òò 2 2 du (1cotgu)ducotguC sinu =+=-+ òò dx xC(x0) 2x =+> ò du uC(u0) 2u =+> ò 1 cos(axb)dxsin(axb)C(a0) a +=++¹ ò 1 sin(axb)dxcos(axb)C(a0) a +=-++¹ ò dx1 lnaxbC axba =++ + ò axbaxb 1 edxeC(a0) a ++ =+¹ ò dx2 axbC(a0) a axb =++¹ + ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b) ="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2 F(x)ln(xxa) =++ với a > 0 là một nguyên hàm [...]... 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 2 Tính tích phân: I 1 ln x x3 dx Giải 2 Tính tích phân: I 1 I u ln x dx 1 dx Đặt: , chọn v 2 dx du 3 x 2x x dv 3 x ln x 2 2 1 1 1 2 1 3 3 2 ln 2 ln x 3 dx = ln 2 2 ln 2 2 1 1 2x 8 8 16 16 2x 4x 1 1 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 e Tính tích phân: I x3 ln2 xdx 1 Giải 141 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tính tích. .. 1 e dx = 1 e2x 20 2 4 1 0 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 2 Tính tích phân: I = (x 1)sin 2x dx 0 Giải u x 1 1 Đặt du dx, chọ n v cos2x 2 dv sin 2xdx I x 1 cos2x 02 2 2 1 cos2xdx 1 2 0 4 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 142 5 3e2 4 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 Tính tích phân: I = (x 2)ln xdx 1 Giải 1 x2 u ln x Đặt...Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 2 sin2x Tính tích phân: I 2 cos x 4sin2 x 0 dx Giải 2 Ta có: I 0 2 sin2x sin2x dx = cos2 x 4sin2 x 1 3sin2 x 0 dx Đặt t = 1 + 3sin2x dt = 3sin2xdx Với x = 0 thì t = 1, với x = 4 4 1 dt 2 2 thì t = 4 I t 31 t 3 1 3 2 Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Tính tích phân: I ln 5 dx ln 3 e x 2e... 2 2 x cos2x Vậy: I = 2 0 2 1 s in2x 2 cos2xdx 20 4 2 2 0 4 Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HP A.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 1 Tính tích phân : I 0 x2 (1 2ex ) ex 1 2ex dx 145 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Giải 1 I x2 (1 2ex ) ex 1 x3 I1 x dx 3 0 1 2 1 I2 e x 0 1 2e Vậy I = x 0 dx = 1 0 0 1 ... 2 cos tdt 2t cos t 03 2sin t 03 = 0 3 3 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 2 Tính tích phân I 2 esin x cos x cos xdx 0 Giải 2 2 1 cos2x dx 2esin x 2 0 I 2 esin x d sin x 2 0 148 2 0 2 1 1 x sin 2x 2 2 e 0 1 2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân: I 2 x sin xdx 0 Giải I 2 0 x t2 = x 2tdt = dx... ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG 4 Tính tích phân: 0 1 sin 2x cos2 x dx Giải I = 4 0 1 sin 2x 2 cos x tan x 4 0 dx = 4 1 0 sin 2x cos2 x dx cos2 x dx 0 4 4 d(cos2 x) cos2 x 0 dx = tan x 4 ln(cos2 x) 4 = 1 + ln2 0 0 150 x 1 0 t 0 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục... CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 21: 2 3 Tính tích phân: I 5 dx x x2 4 Giải Tính tích phân I 2 3 dx 2 x x 4 5 Ta có I 2 3 5 dx 2 x x 4 2 3 5 xdx x 2 x2 4 xdx Đặt t x2 4 t 2 4 x2 dt = x2 4 x 2 3 t = 4 Đổi cận x 5 t = 3 4 dt Vậy I 3t 2 4 1 t 2 4 1 1 1 1 5 ln ln ln ln 4 t 2 3 4 3 5 4 3 Bài 22: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tính tích phân: I ln3 ... 13 91 7 0 Bài 26: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM 2 Tính tích phân: I x sin 2xdx 0 Giải du dx u x cos2x dv sin2xdx v 2 2 2 1 s in2x 2 x cos2x cos2xdx Vậy: I = 20 4 2 2 0 4 2 0 139 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI b u(x).v(x)dx u(x).v(x)... Tính tích phân: I Giải 4 4 u x du dx x 1 xdx I dx Đặt du 2 1 cos2x 2 0 cos x chọ n v tan x dv 0 cos2 x 4 4 1 1 1 1 I x tan x tan xdx x tan x ln cos x 4 ln 2 0 2 20 2 8 4 0 Bài 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I 3 ln x Tính tích phân: I dx 1 (x 1)2 144 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Đặt u = lnx du dx x dv = (x + 1 )-2 dx,... Tính tích phân x4 2 ln x dx; dv = x3dx v x 4 Đặt u = ln2x du Ta có: I e x4 dx , dv = x3dx, chọn v Ta có x 4 Đặt u = lnx du e e x4 2 e 1 3 e4 1 3 ln x x ln xdx x ln xdx 1 4 21 4 2 1 e e x4 1 3 e4 1 4 x ln xdx ln x x dx x 4 4 1 4 16 1 3 1 Vậy I e 1 3e4 1 16 5e4 1 32 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 1 Tính tích phân: I (x 2)e2x dx 0 Giải Tính tích phân 1