www.MATHVN.com § : CÁC ĐỊNH NGHĨA A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: TRƯỜNG THPT GÒ CÔNG ĐÔNG TÀI LIỆU HỌC TẬP • Vectơ đoạn thẳng có hướng Ký hiệu : AB ; CD a ; b • • • • • Vectơ – không vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Ký hiệu Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Hai vectơ phương hướng ngược hướng Hai vecto hướng phương • Độ dài vecto AB độ dài đoạn thẳng AB Kí hiệu: AB = AB • Hai vectơ chúng hướng độ dài a = b Vậy: a = b ⇔ a, b cïng h−íng Các phương pháp chứng minh: CHƯƠNG I: VECTƠ • Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB, AC phương • Chứng minh AB = DC ⇔ ABCD hình bình hành B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xác định vectơ, phương hướng hai vectơ Phương pháp giải: • Để xác định vectơ ta cần biết độ dài hướng vectơ, biết điểm đầu điểm cuối vectơ Ví dụ điểm phân biệt A, B ta có vectơ khác AB BA • Vectơ a vectơ-không a = a = AA với A điểm Bài tập: Bài 1: Cho ∆ABC Có vectơ lập từ cạnh tam giác Bài 2: Cho điểm phân biệt A, B, C, D Có vectơ lập từ điểm cho Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE a) Có vectơ lập từ cạnh đường chéo ngũ giác b) Có vectơ lập từ dỉnh ngũ giác Dạng 2: Khảo sát vectơ Phương pháp giải: Để chứng minh vectơ có cách: GV: Trần Duy Thái • Hình Học 10 -1- Gv : Trần Duy Thái ⇒ a = b a b cïng h−íng a=b Hình Học 10 -2- Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com • ABCD hbh ⇒ AB = DC BC = AD • Nếu a = b , b = c a = c Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, CA, AB Tìm vectơ chứng minh b) MN phương với a có độ dài a Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O Liệt kê tất vectơ (khác ) nhận đỉnh tâm hình vuông làm điểm đầu điểm cuối Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Chứng minh MN = AB MN = DC , ABCD hình bình hành Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh AB = DC AD = BC Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với C qua D Chứng tỏ: AE = BD Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M đoạn AB điểm N đoạn CD cho AM=CN Chứng minh: AN = MC MD = BN Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AB CD AN CM cắt BD E F Chứng ming rằng: DE = EF = FB Bài 9: Cho tam giác ABC điểm M tam giác Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB M, N, P điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’ Chứng minh: a) AQ = CN AM = PC b) AN, BP, CQ đồng quy Bài 10: Cho lục giác ABCDEF có tâm O a) Tìm vecto khác phương với OA b) Tìm vecto vecto AB, OE Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm O.Tìm vectơ từ điểm A,B,C,D,O: a) Bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB Bài 12: Cho tam giác ABC Các đẳng thức sau hay sai? a) AB = BC b) AB = − AC c) AB = AC Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ Bài 14: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Gọi I giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN CMR: AM = NC , DK = NI Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH = B ' C Hình Học 10 -3- A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: * Định nghĩa: Cho AB = a ; BC = b Khi AC = a + b Bài 2: Cho điểm M a Dựng điểm N cho: a) MN = a § : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ * Tính chất : * Giao hoán : a + b = b + a * Kết hợp : ( a + b ) + c = a + (b + c ) * Tính chất vectơ –không : a + = a * Quy tắc điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : • • AB = AO + OB (phép cộng) AB = OB − OA (phép trừ) * Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AC = AB + AD * Vecto đối: Vecto đối vecto a vecto có độ dài ngược hướng Kí hiệu: − a Vậy a + ( − a) = Chú ý: AB = − BA * Tính chất trung điểm tính chất trọng tâm: • I trung điểm AB ⇔ IA + IB = • G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ tổng nhiều vectơ Phương pháp giải: Dùng định nghĩa tổng vectơ, quy tắc điểm, quy tắc hbh tính chất tổng vectơ Bài tập: Bài 1: Cho hbh ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD a) Tìm tổng vectơ NC MC ; AM CD ; AD NC b) Chứng minh AM + AN = AB + AD Bài 2: Cho lục giác ABCDEFF tâm O Chứng minh OA + OB + OC + OD + OE + OF = Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E Hãy tính tổng AB + BC + CD + DE Dạng 2: Tìm vectơ đối hiệu vectơ Phương pháp giải: • Theo định nghĩa, tìm hiệu a - b , ta làm hai bước sau: - Tìm vectơ đối b Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 -4- Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Tính tổng a + ( − b) a) CO − OB = BA • Vận dụng quy tắc OA − OB = BA với ba điểm O, A, B Bài Tập: Bài 1: Cho tam giac ABC Các điểm M, N P trung điểm AB, AC BC a) Tìm hiệu AM − AN , MN − NC , MN − PN , BP − CP b) Phân tích AM theo vectơ MN MP Bài 2: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh AB − CD = AC − BD Bài 3: Cho điểm phân biệt A B Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện sau: a) MA − MB = BA b) MA − MB = AB c) MA + MB = Bài 4: Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA = − IB Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp giải: + Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm + Vận dụng các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP ngược lại; biến đổi hai vế thành đẳng thức; biến đổi đẳng thức cho thành đẳng thức Bài tập: Bài 1: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh đẳng thức sau: a) AC + BD = AD + BC b) AB + CD = AD + CB c) AB − CD = AC − BD Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: AC + BD + EF = AF + BC + ED Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh: BD − BA = OC − OB BC − BD + BA = Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tùy ý Chứng minh: AB + OA = OB MA + MC = MB + MD Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AD BC Chứng minh rằng: a) AD + MB + NA = b) CD − CA + CB = Bài 6: Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau) a) AB + CD = AD + CB b) AB − CD = AC + DB c) AB − AD = CB − CD d) AB + BC + CD + DA = e) AD + BE + CF = AE + BF + CD f) AC + DE − DC − CE + CB = AB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý Cm: MA + MC = MB + MD Bài 8: ∆ ABC có G trọng tâm, điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh GM + GN + GP = Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O CMR: Hình Học 10 -5- Gv : Trần Duy Thái b) AB − BC = DB c) DA − DB = OD − OC d) DA − DB + DC = Bài 10: Cho ∆ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ + IQ + PS = Bài 11: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR : a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = b) OA + OC + OE = c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 12: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh : a) AB + CD + EA = CB + ED b) AD + BE + CF = AE + BF + CD c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm AB, AC, BC CMR: với điểm O bất kì: OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài 14 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C Với điểm O bất kỳ, CMR: OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC ' Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh HB + HC = HD b) Gọi H’ đối xứng H qua O Chứng minh HA + HB + HC = HH ' Bài 16: CMR: AB = CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a b Bài 18: Cho tam giác ABC Xác định điểm M cho MA − MB + MC = Dạng 4: Tính độ dài vectơ: Phương pháp giải: Đưa tổng hiệu vectơ vectơ có độ dài cạnh đa giác Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A biết AB=a, AC=2a Tính: AB + AC AB − AC Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a Tính: AB + BC CA − CB Hình Học 10 -6- Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A biết AB=a B = 60 Tính: AB + BC • b phương a ( a ≠ ) có số k thỏa b =k a • Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho AB =k AC • Tính chất trung điểm tính chất trọng tâm: AB − AC Bài 4: Cho tam giác ABC cạnh a đường cao AH Tính: AB + AC ; AB + BH ; AB − AC I trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ: MA + MB = MI G trọng tâm ∆ABC , với điểm M bất kỳ: MA + MB + MC = MG • Phân tích vecto theo hai vecto không phương: Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính BC + AB ; AB - AC theo a Cho b , a hai vecto không phương, với x tùy ý, đó: Bài 6: Cho hình thoi ABCD có BAD = 60 cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính: x = ma + nb a AB + AD b BA − BC c OB − DC Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Tính a OA − CB b AB + DC c CD − DA Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a Với M tùy ý, Hãy chứng minh MA + MC = MB + MD b Chứng minh rằng: AB + AD = AB − AD Bài 9: Cho véc tơ a b khác Khi thì: a) a + b = a + b ; b) a + b = a − b ; C) a−b = a − b Bài 10: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA + CB = CA - CB § TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Cmr: AB + AC + AD = AC Bài 2: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến, D trung điểm AM Cm: a) DA + DB + DC = b) 2OA + OB + OC = 4OD ( với O tùy ý) Bài 3: Cho tam giác ABC có G trọng tâm CMR: MA + MB + MC = MG , với M Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm đường chéo AC BD CMR: AB + CD = MI Bài 5: Gọi I, J trung điểm đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: IJ = AC + BD = AD + BC Bài 6: CMR G G' trọng tâm ∆ ABC ∆ A'B'C' 3GG ' = AA ' + BB ' + CC ' Bài 7: Cho tứ giác ABCD Gọi E,F trung điểm AB, CD O trung điểm EF CMR: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: ( m, n ) ( ) AC + BD b) OA + OB + OC + OD = c) MA + MB + MC + MD = MO (M điểm bất kỳ) a) EF = Bài 8: Gọi M,N trung điểm AB CD tứ giác ABCD Cmr: * Cho số thực k ≠ , a ≠ Tích số thực k vecto a vectơ, kí hiệu: ka xác định: Nếu k > k a hướng với a ; k < k a ngược hướng với a Độ dài: k a = k . a CMR: AM + BN + CP = Bài 10: CMR: G G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’ AA' + BB ' + CC ' = 3GG ' Suy điều kiện để hai tam giác có trọng tâm Bài 11: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Tính chất : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + k b d) k a = ⇔ k = a = Hình Học 10 2MN = AC + BD = BC + AD Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm BC, CA, AB -7- Gv : Trần Duy Thái G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ MA + MB + MC = MG Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H trực tâm tam giác, D điểm đối xứng A qua O Hình Học 10 -8- Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com a) Chứng minh tứ giác HCDB hình bình hành Bài Tập: b) Chứng minh: HA + HD = HO , HA + HB + HC = HO , OA + OB + OC = OH c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC CMR: OH = 3OG ( a) Gọi M,N trung điểm AD, BC, chứng minh: MN = AB + DC ) b) Gọi O điểm nằm đoạn MN OM = 2ON CMR: OA − 2OB − 2OC + OD = Bài 14: Cho tam giác A, B, C G trọng tâm tam giác M điểm tuỳ ý mặt phẳng CMR: a) GB + GB + GC = b) MB + MB + MC = 3MG Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I AO = a; BO = b a) Chứng minh rằng: AB + AD = AI b) Tính AC ; BD; AB; BC ; CD; DA theo a; b Bài 16: Cho điểm A, B, C, D; M, N trung điểm AB, CD Chứng minh rằng: AD + BD + AC + BC = 4MN Bài 17: Gọi O; H; G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC = HO b) HG = 2GO Bài 18: Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác; D, E, F hình chiếu BC, CA, AB Chứng minh rằng: MD + ME + MF = MO Bài 19: Cho điểm A, B, C, D; I, F trung điểm BC, CD CM: ) AB + AI + FA + DA = 3DB Bài 20: Cho tam giác ABC với G trọng tâm; H điểm đối xứng với B qua G CM: 1 a) AH = AC − AB ; CH = − AB + AC 3 b) M trung điểm BC CM: MH = AC − AB 6 Dạng 2: Tìm điểm thỏa đẳng thức vecto cho trước ( ) * Phương pháp tìm điểm M thỏa đẳng thức vecto cho trước: • a) Tìm điểm I cho IA + IB = b) Tìm điểm O cho OA + OB + OC = Từ có kết luận điểm O,H,G Bài 13: Cho tứ giác ABCD ( Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A B tìm điểm K cho: 3KA + KB = Bài 2: Cho tam giác ABC B1: Biến đổi đẳng thức cho dạng: AM = u , A điểm cố định, c) Tìm điểm K cho KA + KB = CB d) Tìm điểm M cho MA + MB + MC = Bài 3: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm O cho OA + OB + OC + OD = Bài 4: Cho tam giác ABC a) Tìm điểm I cho IB + 3IC = b) Tìm điểm J cho JA − JB − JC = c) Tìm điểm K cho KA + KB + KC = BC d) Tìm điểm K cho KA + KB + KC = BC e) Tìm điểm L cho 3LA − LB + LC = HD: c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, với K ta có: KA + KB + KC = 3KG e) 3LA − LB + LC = ( LA − LB ) + 2( LA + LC ) Sau áp dụng quy tắc điểm hệ thức trung điểm Bài 5: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: MA − 3MB = Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC=2NA a) Xác định điểm K cho: AB + AC − 12 AK = b) Xác định điểm D cho: AB + AC − 12 KD = Bài 7: Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho: a ).OA + 2OB + 3OC = b).IA + IB + IC + ID = c).KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = Bài 8: Cho tam giác ABC Xác định điểm M, N cho: a) MA + 2MB = b) NA + NB = CB Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn: AM = AB + AC + AD Bài 10: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả mãn: OA + OB + OC + OD = u cố định • B2: Dựng điểm M thỏa AM = u Hình Học 10 -9- Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 10 - Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com Dạng 3: Phân tích vecto theo hai vecto không phương a Phân tích vecto AK theo AB, AC * Phương pháp: Áp dụng kiến thức: b Gọi D trung điểm BC Cm: KD = * Quy tắc điểm: AB = AO + OB (phép cộng) AB = OB − OA (phép trừ) * Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AC = AB + AD ⇔ MA + MB = MI (M bất kỳ) * Tính chất trọng tâm: G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ MA + MB + MC = MG (M bất kỳ) Bài Tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho điểm D,E,F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Hãy phân tích vecto AI , AG, DE , DC theo hai vecto AE , AF Bài 2: Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho MB = MC Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto AB, AC Bài 3: Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto AB, AC Bài 4: Cho AK BM hai trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vecto AB, BC , CA theo hai vecto AK , BM Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn AG, K AB Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo CA, CB Bài 10: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm BC,CA,AB Tính vecto AB, BC , CA theo vecto BN , CP vecto AD, AB Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G trọng tâm H điểm đối xứng B qua G AC − AB , 3 ( ) AB + AC b) Gọi M trung điểm BC, chứng minh: MH = AC − AB 6 Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O đặt AB = a, AD = b Hãy tính vecto a) Chứng minh: AH = BH = − sau theo a, b a) AI (I trung điểm BO) b) BG (G trọng tâm tam giác OCD) * ĐS: AI = a+ b 4 BG = − a + b Bài 14: Cho tam giác ABC G trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M trung điểm BC Hãy biểu diễn véc tơ AM , AG, BC , CB1 , AB1 , MB1 qua hai véc tơ AB, AC Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J thuộc BC kéo dài cho 5JB = 2JC a) Tính AI , AJ theo hai véc tơ AB, AC Từ biểu diễn AB, AC theo AI , AJ b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI , AJ Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Bài 6: Cho lục giác ABCDEF tâm O cạnh a a Phân tích vecto AD theo hai vecto AB, AF b Tính độ dài u = 1 AB + AC Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E trung điểm CD Hãy phân tích AE theo hai * Tính chất trung điểm: I trung điểm AB ⇔ IA + IB = điểm cạnh AB cho AK = Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN 1 AB + BC theo a 2 Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Phân tích AM theo hai vecto AB, AC Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AC cho * Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = k AC Để chứng minh điều ta áp dụng hai phương pháp: + Cách 1: Áp dụng quy tắc biến đổi véctơ + Cách 2: Xác định hai véctơ thông qua tổ hợp trung gian NA = 2NC Gọi K trung điểm MN Phân tích vecto AK theo AB, AC Hình Học 10 - 11 - Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 12 - Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com Bài Tập: Bài : Cho điểm O, A, B, C cho 3OA − 2OB − OC = CMR: A, B, C thẳng hàng Bài : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = AC a) Phân tích vecto BK , BI theo hai vecto BA, BC b) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài 3: Cho ∆ ABC I điểm cạnh AC cho CI = BJ = AC , J điểm mà AC − AB a) Chứng minh BI = AC − AB a) Chứng minh: AB + AC = AD + AE b) Tính véctơ: AS = AB + AD + AC + AE theo AI c) Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC Đặt AB = u; AC = v a) Gọi P điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u; v ? AC ; AR = AB Tính RP; RQ theo u; v c) Suy P, Q, R thẳng hàng Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: IA + 3IC = , JA + JB + 3JC = a) CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC b) CMR: J trung điểm BI Bài 7: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J thoả mãn: IA = IB ; 3JA + JC = Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 8: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P thoả mãn: MA + MB = AN − AC = 0; PB = PC Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm I, J thoả mãn: 3JA + JC − JD = JA − JB + JC = Hình Học 10 AN = 3NC , PA + PB = Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 11: Cho tam giác ABC điểm M thỏa AM = AB − AC Chứng minh B,M,C thẳng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC Gọi M, N điểm thuộc cạnh AB, AC cho AM= MB , AN= 3NC điểm P xác định hệ thức PB + PC = Gọi K trung điểm MN a) Chứng minh: AK = AB + AC b) Chứng minh : Ba điểm A, K, P thẳng hàng Bài 13 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC; D E hai điểm cho: BD = DE = EC b) Qọi Q R hai điểm định bởi: AQ = Chứng minh : I, J, O thẳng hàng với O giao điểm AC BD Bài 10: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho: MB − 3MC = , BC + MA = O; AB − NA − AC = O Chứng minh MN // AC Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau: * Phương pháp : Để chứng minh M M' trùng nhau, ta lựa chọn hai hướng: + Cách 1: Chứng minh MM ' = + Cách 2: Chứng minh OM = OM ' với O điểm tuỳ ý Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Bài 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi M,N,P,Q,R,S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Cmr hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA Cmr hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I,J trung điểm AB CD a) CMR: AC + BD = AD + BC = IJ b) Gọi G trung điểm IJ Cm: GA + GB + GC + GD = c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD, M N trung điểm AD BC CMR: Ba đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Dạng 5: Quỹ tích điểm *Phương pháp: Đối với toán quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau: - Nếu MA = MB với A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB - Nếu MC = k AB với A, B, C cho trước M thuộc đường tròn tâm C, bán kính k AB - Nếu MA = k BC - 13 - Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 14 - Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC k ∈ R + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC hướng BC k ∈ R + + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC k ∈ R − * Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) MA + MB + MC = MB + MC b) MA + 3MB − MC = 2MA − MB − MC AB : AB = ( x B − x A ; yB − y A ) * Nếu M N có tọa độ a, b MN = b − a Bài tập: Bài 1: Trên trục (O, i ) cho hai điểm M N có tọa độ -5; tìm tọa độ Bài 2: Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý mặt phẳng a) CMR: véctơ v = 3MA − 5MB + 2MC không đổi điểm P trục cho b) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: 3MA + 2MB − MC = MB − MC § HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: PM = PN Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 chiều cao ứng với cạnh AD=3, góc BAD=600, chọn hệ trục (A; i, j ) cho i AD hướng Tìm tọa độ vectơ AB, BC , CD , AC Bài 3: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 → Định nghĩa tọa độ vectơ, độ dài đại số vectơ trục • a = (a1 ; a2 ) ⇔ a = a1 i + a2 j • M có tọa độ (x; y) ⇔ OM = x.i + y j • A( x A ; y A ) B( xB ; yB ) ⇒ AB = ( x B − x A ; yB − y A ) a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB → d) Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = −1 Bài 4: Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB → → → b) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB − MC = * Cho a = ( a1 ; a2 ), b = ( b1 ; b2 ), k ∈ R → Ta có: a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ) ; a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ) ; ka = ( ka1 ; ka2 ) b1 = ka1 b2 = ka2 * Hai vectơ a b ( a ≠ ) phương ⇔ ∃k ∈ » : x A + xB x I = 3.+ I trung điểm đoạn thẳng AB ta có: y = yA + y B I x A + x B + xC x G = + G trọng tâm tam giác ABC ta có: y + y B + yC y = A G - 15 - → c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB = Tọa độ a + b, a − b, k a Hình Học 10 B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng1: Xác định tọa độ véctơ điểm mp tọa độ Oxy: Phương pháp giải: Căn vào định nghĩa tọa độ vectơ tọa độ điểm trêm mp tọa độ Oxy * Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính tọa độ Gv : Trần Duy Thái → → c) Tìm tọa độ điểm N cho NA − NB = NC Bài 5: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −3 a) Tìm tọa độ điểm M cho MA − MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB Bài 6: Trên trục x'Ox cho điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 1 + = a) CMR : AC AD AB b) Gọi I trung điểm AB CMR: IC ID = IA c) Gọi J trung điểm CD CMR: AC AD = AB AJ Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D Bài 8: Cho ∆ ABC, điểm M(1;0); N(2;2) P(-1;3) trung điểm cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài 9: Cho ∆ ABC, điểm M(1;1); N(2;3) P(0;4) trung điểm cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác Hình Học 10 - 16 - Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com Bài 10: Cho ∆ ABC, điểm A(-5;6); B(-4;-1) C(4;3) Tìm tọa độ trung điểm I AC Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 11: Cho điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3) a) Tìm tọa độ điểm D cho AD = AB − AC b) Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác ABCE hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm Oy trọng tâm G nằm Ox Tìm tọa độ C Dạng 2: Tìm tọa độ vectơ u + v; u − v; ku Phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ u + v; u − v; ku Bài tập: Bài 1: Cho a = (2;1); b = (3;4); c = (7;2) a).Tìm tọa độ vectơ u = a − 3b + c b).Tìm tọa độ vectơ x + a = b − c c).Tìm hai số j; k cho c = ka + lb Bài 2: Cho a = (1;2); b = (−3;1); c = (−4; −2) 1 b − c ; u = 3a + b + c xem vectơ vectơ phương với véctơ i phương với j a) Tìm tọa độ vectơ u = a − b + c ; v = − a + b) Tìm số m, n cho a = mb + nc Bài 3: Tìm x để cặp vectơ sau phương a) a = (2;3) vµ b = (4; x ) b) u = (0;5) vµ b = ( x;7) c) m = ( x; −3) vµ n = (−2;2 x ) Bài 4: Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a; b biết: a) a (2; −1); b(−3; 4); c(−4;7) b) a (1;1); b(2; −3); c(−1;3) Bài 5: Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo véc tơ AB ; AC Bài 6: Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a; b biết: a) a (−4;3); b(−2; −1); c(0;5) b) a (4; 2); b(5;3); c(2;0) Bài 7: Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo véc tơ AB ; AC Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng: Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần đủ sau: * Hai vectơ a, b ≠ 0) phương có số k để a = kb * Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k để AB = k AC Bài tập: Bài 1: Cho điểm A(-1;1); B(1;3) C(-2;0) Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng Bài 2: Cho điểm M( ; ); N(2;1) P(1;3) Chứng minh điểm M; N; P 3 thẳng hàng Bài 3: Cho điểm A(3; 4); B(2; 5) C(1; 5) Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB Bài 4: Cho điểm A(-3; 4); B(1; 1) C(9; -5) a) Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D cho A trung điểm BD c) Tìm tọa độ điểm E trục Ox cho A; B; E thẳng hàng Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ: a) Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng c) Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA = Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ: a) Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng c) Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA = Bài 7: Tìm điểm P đường thẳng (d): x+y=0 cho tổng khoảng cách từ P tới A B nhỏ nhất, biết: a) A(1;1) B(-2;-4) b) A(1;1) B(3;-2) Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, độ dài: Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a) Xác định toạ độ điểm E cho AE = BC b) Xác định toạ độ điểm F cho AF=CF=5 Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ: a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Điểm D cho ABCD hình bình hành Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t) Hãy tìm điểm M cho xM2 + yM2 nhỏ Bài 4: Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; ) Hình Học 10 - 17 - Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 18 - Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com www.MATHVN.com a) CM: ∆ABC vuông b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của: a) Trọng tâm G tam giác b) Vectơ trung tuyến ứng với cạnh BC c) Điểm D cho ABCD hình bình hành d) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC e) Điểm M biết: CM = AB − AC c) Tìm toạ độ điểm C cho O trọng tâm tam giác ABC Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), C(0; -2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh hai tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2) Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox B thuộc Oy cho G trọng tâm tam giác OAB f) Điểm N biết: AN + BN − 4CN = Bài 6: Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành Bài 8: Trong hệ trục a) Tìm toạ độ véctơ Bài Tập Tổng Hợp: Bài 1: Trong hệ trục Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) a) Tìm tọa độ AB + BC − AC b) Tìm tọa độ trung điểm M BC c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Biểu diễn AG theo AB, AC e) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành f) Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox cho ABCE hình thang Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo hình thang Bài 2: Trong hệ trục toạ độ oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a) Tính chu vi tam giác ABC b) Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC c) Tìm toạ độ điểm I biết AI + 3BI + 2CI = Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) a) Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác b) Tìm D để BCGD hình bình hành Biểu diễn AG theo hai AB, AD c) Tìm tọa độ M thỏa AM + AG + 2MB + CM = −5BC d) Tìm N thuộc cạnh BC cho diện tích tam giác ANB gấp lần diện tích tam giác ANC Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;2); B(2;3) C(1; -4) a) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành b) Tìm tọa độ điểm N trục hoành cho ba điểm A, B, N thẳng hàng c) Tìm tọa độ M thuộc BC thỏa S∆AMB = S∆ABC Oxy cho véctơ a = (2; −1), b = (−1; −3), c = (3;1) b) Biểu diễn véctơ u = a + b, v = a − b + c, w = 2a − 3b + 4c c theo hai véctơ a b c) Tìm toạ độ véctơ d cho a + 2d = b − 3c Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; ) a) Xác định toạ độ điểm M cho AB − AC + AM = b) Xác định toạ độ điểm P trục tung cho P thẳng hàng với A B Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) a) Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác b) Tìm D để BCGD hình bình hành Biểu diễn AG theo hai AB, AD c) Tìm tọa độ M thỏa AM + AG + 2MB + CM = −5BC Hết “Trên bước đường thành công, dấu chân kẻ lười biếng” d) Gọi M, P trung điểm cuả AB BC Phân tích AC theo hai vectơ AP CM Bài 5: : Cho hai điểm A(3 , 4) ; B(2 ; ) a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua B b) Tìm toạ độ điểm D Ox cho điểm A , B , D thẳng hàng Hình Học 10 - 19 - Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 20 - Gv : Trần Duy Thái www.MATHVN.com