Trờng thpt lơng vinh Hà nội đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán - Lần thứ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày 16.5.2015 Năm học 2014 - 2015 3x x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C ) ca hm s ó cho m Cõu (2,0 im) Cho hm s y = co b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ng thng d : y = x + m ct th ( C ) ti hai im phõn bit Cõu (1,0 im) v tan = Tớnh M = sin + sin + + sin 2 2+i b) Cho s phc z tha h thc: (i + 3) z + = (2 i ) z Tỡm mụun ca s phc w = z i i N a) Cho gúc tha món: < < Cõu (0,5 im) Gii bt phng trỡnh: log ( x 2) + log 0,5 x < HV Cõu (1,0 im) Gii bt phng trỡnh: x x > x3 x + x x3 x + Cõu (1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = x ( x + cos x ) dx AT Cõu (1,0 im) Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA ( ABCD ) Gúc gia mt phng ( SCD) v mt phng ( ABCD) bng 450 Gi M l trung im AD Tớnh theo a th tớch chúp S MCD v khong cỏch gia hai ng thng SM v BD Cõu (1,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú phng trỡnh ng phõn giỏc gúc A l d : x + y = Hỡnh chiu vuụng gúc ca tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC lờn ng thng AC l im E (1;4) ng thng BC cú h s gúc õm v to vi ng thng AC gúc 450 ng thng AB tip xỳc vi ng trũn (C ) : ( x + ) + y = Tỡm phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC M Cõu (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A (1; 1;0 ) v ng thng x +1 y z = = Lp phng trỡnh mt phng ( P ) cha A v d Tỡm ta im B thuc trc Ox cho khong cỏch t im B n mt phng ( P ) bng w d: Cõu (0,5 im) Trong t xột tuyn vo lp 6A ca mt trng THCS nm 2015 cú 300 hc sinh ng ww ký Bit rng 300 hc sinh ú cú 50 hc sinh t yờu cu vo lp 6A Tuy nhiờn, m bo quyn li mi hc sinh l nh nhau, nh trng quyt nh bc thm ngu nhiờn 30 hc sinh t 300 hc sinh núi trờn Tỡm xỏc sut s 30 hc sinh chn trờn cú ỳng 90% s hc sinh t yờu cu vo lp 6A Cõu 10 (1,0 im) Cho cỏc s thc a, b dng v tha ab 1 32 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc T= + 1+ a 1+ b 2a(1 + a) + 2b(1 + b) + HT -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: Trờng thpt lơng vinh Hà nội đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 m Môn thi: Toán Lần thứ - ỏp ỏn cú 06 trang Nm hc 2014 2015 co Cõu ỏp ỏn 3x (2,0) a) (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = im x Tp xỏc nh: D = R \ {1} lim y = 3; lim y = suy tim cn ngang y = x x + x x o hm: y ' = ( x 1) < x Bng bin thiờn: x y' y 0,25 0,25 HV Hm s luụn nghch bin trờn khong ( ;1) v (1;+ ) Hm s khụng cú cc tr N lim+ y = +; lim y = suy tim cn ng ca th hm s l ng thng x = + + - 0,25 th: (Hs cú th ly im (2; 4); (0; 2) ) b) (1,0 im) Tỡm cỏc giỏ tr ca m d : y = x + m ct th ( C ) ti hai im phõn bit AT 0,25 3x = x + m ( x 1) x f ( x ) = x + (2 m) x + m = (1) > K: (1) cú nghim phõn bit khỏc f (1) 0,25 0,25 M Phng trỡnh tng giao: m 4m 12 > m > 6; m < 0,25 0,25 w Tớnh M = sin + sin + + sin (1,0) a) (0,5 im) Cho tan = < < ww 1 Ta cú = + tan = + = cos = cos = < x < cos 1 M = sin + cos + cos = sin + cos + 2cos = cos + cos = 5 b) (0,5 im) Cho (i + 3) z + 0,25 0,25 2+i = (2 i ) z Tỡm mụun ca s phc w = z i i 1/6 ( a , b R, i Gi z = a + ib = 1) T gi thit ta cú: (i + 3)(a + bi ) + 2i = (2 i )(a bi ) Bpt log ( x ) log x < log x < x x > x2 x2 x ( x ) + ( x 2) ( x + 1) ) m (loi) AT x > : (1) ( x 2) + x + > x + ( x ) + 1 1 Chia v cho x ( x 2) > ta c: (1) + 1+ > + 1+ x x2 x ( x 2) Xột hm f (t ) = t + + t , t > f '(t ) = + 1 > x x2 t 1+ t2 0,25 > t > f (t ) ng bin t > M (1) 0,25 0,25 ( 0,25 ( x 0) ( x 2)+ | x | x + > x + ( x ) + (1) x = : (1) > 2 (loi) x = : (1) > 0,25 x3 x + x x x + HV (1,0) Gii bt phng trỡnh: x x > co iu kin: x > 0,25 N (0,5) a = a + = (a + 1) + (2a + 5b 2)i = z = + i 2a + 5b = b = 26 1 T ú: | z i |=| i |= + = 5 25 Gii bt phng trỡnh: log ( x 2) + log 0,5 x < 0,25 w x > x x x + > x > 4; x < Kt hp x > x > < x < 2: (1) ( x 2) x + > x + ( x ) + 1 1 Chia v cho x ( x 2) < ta c: (1) 1+ < 1+ x x2 x x ( ) ww ( ) Xột hm f (t ) = t + t , t R f '(t ) = T ú (1) t 1+ t2 = 1+ t2 t 1+ t2 0,25 > t f (t ) ng bin t 1 Trng hp ny vụ nghim vỡ < < x2 x x2 ỏp s: x > 2/6 Cỏch 2: K x (mi du + ng vi ẳ im) x = khụng l nghim Xột x > : )( ) x +1 > x2 5x + x x + x + x3 x + x > x3 x + x + x3 3x + x x +1 f ( x) = ( x ) + x +2 x +1 + Xột g ( x ) = + x +2 x3 x + x + x x + Nu x thỡ g ( x ) > x3 3x + = x + > Ta cú: ( x + 1)( x ) x +1 x +1 > = x +2 x +2 (1) N + Nu < x < 1: x + > m ( x co + (1) = x x +1 > x = x Tớnh tớch phõn: I = x ( x + cos x ) dx 2 AT (1,0) HV x3 x + x + x3 3x + > x x x x x < = < = x3 x + x + x3 3x + x x + x x x 1 > (2) T (1) v (2) suy g ( x ) > x > x3 x + x + x3 3x + + f ( x) > x > x > Kt hp K suy ỏp s: x > I = x dx + x cos xdx Ta cú A = x dx = x = 24 0 M B = x cos xdx t u = x u ' = v ' = cos x v = sin x 0,25 12 x sin x 02 sin xdx 20 w B= 0,25 1 = cos x = ( 1) = 2 ( I 0,792) 24 ww I = A+ B = (1,0) 0,25 0,25 S ABCD ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA ( ABCD) Gúc gia ( SCD) v ( ABCD) bng 450 M l trung im AD Tớnh th tớch S MCD , d ( SM , BD ) Ta cú ( SCD) ( ABCD) = CD CD SA, AC CD ( SAC ) SC CD SCA = 450 0,25 3/6 1 VS MCD = SA.S MCD SA = AC = a 2; S MCD = a 3 a 1 Suy VS MCD = a a = Gi N l trung im AB BD //( SMN ) m 0,25 S Suy ra: H A M 0,25 D N P HV AH ( SMN ) d ( A,( SMN )) = AH 1 Tam giỏc vuụng SAP cú = + 2 AH AS AP 1 1 1 11 = + + = 2+ + = 2 2 a AS AN AM 2a a 2a a 22 a 22 Suy AH = d ( SM , BD ) = 11 11 N K 0,25 co d ( SM , BD) = d ( BD,( SMN )) = d ( D,( SMN )) = d ( A, ( SMN )) AP MN ( P MN ) , AH SP ( H SP ) B C Tam giỏc ABC cú phõn giỏc gúc A l d : x + y = Hỡnh chiu ca tõm ng trũn ni (1,0) tip tam giỏc ABC lờn AC l E (1; 4) BC cú h s gúc õm v to vi ng thng AC gúc 450 ng thng AB tip xỳc vi (C ) : ( x + ) + y = Tỡm phng trỡnh cỏc cnh AT Gi F l im i xng vi E qua d F (1; 2) Nhn xột: (C ) cú tõm I (2;0), bỏn kớnh R = v F (C ) T ú AB qua F v vuụng gúc vi IF nờn cú phng trỡnh AB : x + y = AB d = A(3;0) AC : x + y = Gi J l tõm ng trũn ni tip ABC ng thng qua M 10 E , AC : x y + = d = J ; 3 Gi vtpt ca ng thng BC l n = (a; b), a + b Ta cú: | 2a + b | cos 450 = a + b ( 2a + b ) = ( a + b 2 ) 3a w 2 + 8ab 3b = 0,25 A E H a = : suy b = (loi) a : chn a = b = (tha h s gúc õm), b = (loi) Suy phng trỡnh BC : x + y + C = I 0,25 F J B D C ww 0,25 4/6 Do J l tõm ng trũn ni tip ABC nờn d ( J , AC ) = d ( J , BC ) x +1 y z Lp ( P) cha A v d Tỡm B Ox : d ( B, Ox ) = = = ng thng d qua M ( 1;1;0 ) v cú vtcp u = (2;1; 3) Ta cú MA = (2; 2;0) N A (1; 1;0 ) , d : ( P) qua A (1; 1;0 ) v cú vtpt n = MA, u = ( 6;6;6 ) Chn n = (1;1;1) 0,25 Phng trỡnh tng quỏt ca ( P) l: 1( x 1) + 1( y + 1) + 1( z 0) = x + y + z = 0,25 Gi B(b;0;0) Ox; d ( B, ( P )) = |b| = 3 | b |= b = B(3;0;0) ỏp s: ( P ) : x + y + z = ; B(3;0;0) HV (1,0) 0,25 co m 10 | + | | + 10 + C | 29 + 10 29 10 3 Suy (tha món); C = (loi vỡ = C = 3 10 29 + 10 ú A, J nm phớa BC ) T ú: BC : x + y = 29 + 10 = ỏp s: AB : x + y = ; AC : x + y = ; BC : x + y 0,25 0,25 AT Cú 300 hc sinh ng ký Cú 50 hc sinh t yờu cu vo lp 6A Bc thm ngu nhiờn 30 hc sinh t (0,5) 300 hc sinh núi trờn Tỡm xỏc sut cú ỳng 90% s hc sinh t yờu cu Gi A l bin c: Chn c 90% hc sinh t yờu cu 30 Chn ngu nhiờn 30 hc sinh t 300 hc sinh cú C300 cỏch chn 27 Chn c 90% hc sinh t yờu cu, tc l chn c 27 em Chn 27 hc sinh t 50 hc sinh cú C50 cỏch Chn nt em t 250 em cũn li cú C250 cỏch 0,25 27 S cỏch chn hc sinh t yờu cu l: C50 C250 C5027 C250 1,6.1021 30 C300 M Xỏc sut ca bin c A l P ( A) = 10 (1,0) Cho a, b > : ab Tỡm GTNN ca T = 1 + , + a + b + ab 1 32 + 1+ a 1+ b 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + ( ab 1) w Ta cú: Tht vy: Quy ng, chuyn v, bt trờn tng ng vi = ww Li cú: + ab 0,25 ( a b )( ) ab (ỳng) 0,25 1 2 Suy ra: + = + a + b ab + + ab.1 + ab + ab + 5/6 ( ) Ta cú: a (1 + a ) + b(1 + b) = a + b + ( a + b + ) ( 2ab ) + ab + ab + Suy ra: 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + ab + 12 16 m 1 32 32 = 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + ab + ab + 12 16 T ab + ab + ( N 0,25 co 16 = f (t ) t +3 t +3 8t (t + 3) t (t + 3) t + f '(t ) = + = (t + 3) (t + 3) t + (t + 3) (t + 3) t + t t = ab T ab + ) 0,25 t + > t t + t + 6t + > t + 3t (t t ) + 3t + > (ỳng t ) Suy f '(t ) > t f (t ) ng bin t T ú: MinT = f (1) = t = a = b = 0,25 t HV Xột M = (t + 3) t (t + 3) t + > (t + 3) t + t t + > Cỏch 2: Cú th dn bin v u = a + b ab nh sau: 1 4 + = 1+ a 1+ b 1+ a +1+ b u + a (1 + a ) + b(1 + b) = a + b + a + b a + b + a 2b a + b + = u + 1 Suy ra: 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + 2u + 12 2a (1 + a ) + 2b(1 + b) + 2u + 12 32 T = f (u ), u Chng minh f '(u ) > u tng t cỏch u+2 2u + 12 Kt lun: MinT = f (2) = u = a = b = M u2 AT ww w Ht 6/6