vn to an HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Nguyễn Anh Dũng12 uy en Đồng biến, nghịch biến khái hiệm hàm số Sử dụng khảo sát biến thiên hàm số, giúp giải lớp rộng toán Sau số vấn đề dạng toán thường gặp chương trình phổ thông Lý thuyết Ta có mệnh đề liên quan đến hàm đồng biến: • Hàm số y = y(x) đồng biến khoảng (a, b) y (x) 0, ∀x ∈ (a, b), tập hợp giá trị x khoảng (a, b) thỏa mãn y (x) = hữu hạn nl • Nếu hàm số y = y(x) xác định R, y (x) 0, ∀x ∈ R tập hợp giá trị x khoảng (a, b) thỏa mãn y (x) = hữu hạn hàm số đồng biến R Đối với hàm số nghịch biến, ta có mệnh đề tương tự Các dạng toán có liên quan /o 2.1 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng dddd.cho trước :/ Ví dụ Cho hàm số y = 31 x3 − 12 (2m + 1)x2 + (3m + 2)x − 5m + (a) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0, 1) (b) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn Lời giải (a) Ta có y = x2 − (2m + 1)x + 3m + Hàm số nghịch biến khoảng (0, 1) ht y = f (x) = x2 − (2m + 1)x + 3m + 0, ∀x ∈ (0, 1) Bài viết trích từ báo tạp chí Toán học Tuổi trẻ Onluyentoan.vn xin phép đăng Diễn đàn lại để giúp bạn ôn thi tốt Bài viết trình bày lại chương trình soạn thảo LaTeX can_hang2007 Đề nghị bạn ghi rõ nguồn http://onluyentoan.vn đăng tải trang web khác Nguyễn Anh Dũng Điều xảy f (x) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 ⇔ 3m + ⇔m m+2 −2 ye nt oa n x1 x2 (1 − x1 )(1 − x2 ) 0 ⇔ m < 2−2 11 ∨ m > 2+2 11 y ⇔ x1 x x2 , hàm số cho nghịch biến khoảng (x1 , x2 ) Để hàm số cho nghịch biến khoảng có độ dài lớn ta phải có |x1 − x2 | > ⇔ (x1 − x2 )2 > ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 > (1) Theo định lý Viette, ta có x1 + x2 = 2m + x1 x2 = 3m + Thay vào (1), ta √ √ (2m + 1)2 − 4(3m + 2) > ⇔ m2 − 2m − > ⇔ m < − ∨ m > + √ √ Kết hợp với điều kiện để ∆ > 0, ta có m ∈ −∞, − ∪ + 3, +∞ √ √ Vậy tập hợp giá trị m thỏa mãn yêu cầu m ∈ −∞, − ∪ + 3, +∞ Lưu ý Nếu a > tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c 0 /o nl u f (α) f (β) 0, ∀x ∈ (α, β) Bài toán tổng quát Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a > 0) Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn k Cách giải Tính y Điều kiện toán thỏa mãn phương trình y = có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt (∆ > 0) cho |x1 − x2 | > k ⇔ (x1 − x2 )2 > k ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 > k :/ Sử dụng định lý Viette suy kết Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − (3m − 1)x2 + (m + 3)x + 4m − 3 đồng biến khoảng (1, +∞) Lời giải Ta có y = x2 − 2(3m − 1)x + m + ht Hàm số đồng biến khoảng (1, +∞) y = f (x) = x2 − 2(3m − 1)x + m + 0, Điều kiện đề thỏa mãn hai trường hợp sau: ∀x ∈ (1, +∞) Hàm số đồng biến, nghịch biến số dạng toán liên quan (vì y 0, ∀x ∈ R, hàm số đồng biến R) Ta có ⇔ 9m2 − 7m − ∆ 0⇔− m (1) ∆ Lưu ý Giả sử a số thực dương hàm số y = ax2 + bx + c trường hợp sau: (1) ∆ Khi ye nt oa n (2) Phương trình y = f (x) = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 < x2 ∆>0 9m − 7m − > af (1) ⇔ − 5m + ⇔m 0) suy v − u = x2 − 3x + Phương trình cho tương đương với u log3 = v − u ⇔ log3 u − log3 v = v − u ⇔ log3 u + u = log3 v + v (4) v Xét hàm số f (t) = log3 t + t, có f (t) = t ln1 + > 0, ∀t > nên hàm số đồng biến t > Từ (4) có f (u) = f (v), suy u = v hay v − u = 0, tức x2 − 3x + = ⇔ x = ∨ x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {1, 2} Lưu ý • Với phương trình dạng loga u v = u − v với u, v dương a > 1, ta thường biến đổi: loga u − loga v = v − u ⇔ loga u + u = loga v + v /o nl u Vì hàm số f (t) = loga t + t đồng biến t > 0, suy v = u • Với điều kiện trên, ta có bất phương trình loga u v < v − u ⇔ f (u) < f (v) ⇔ u < v Ví dụ Giải bất phương trình log5 + √ x > log4 x Lời giải Điều kiện: x > Đặt t = log4 x ⇔ x = 4t , bất phương trình trở thành log5 (3 + ) > t ⇔ + > ⇔ t + t Xét hàm số f (t) = t + t :/ f (t) = t t t > có t ln + 5 t ln < 0, ∀t ∈ R Vậy hàm số f (t) nghịch biến R f (1) = Bất phương trình trở thành f (t) > f (1) ⇔ t < Từ đây, ta log4 x < ⇔ < x < Lưu ý ht • Với bất phương trình dạng loga u < logb v, ta thường giải sau: Đặt t = loga u (hoặc t = logb v); đưa bất phương trình mũ; sử dụng chiều biến thiên hàm số để suy nghiệm • Với phương trình dạng loga u = logb v, ta giải sau: Đặt t = loga u = logb v ⇒ u = at , v = bt ; sử dụng phương pháp thể để đưa phương trình mũ; tìm t (thông thường phương trình có nghiệm t nhất); suy x Hàm số đồng biến, nghịch biến số dạng toán liên quan 2.3 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để chứng minh dddd bất đẳng thức Ví dụ Chứng minh với x dương, ta có bất đẳng thức x2 ye nt oa n ex > + x + Lời giải Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với x > ln + x + Xét hàm số f (x) = x − ln + x + f (x) = − x2 x2 , có 1+x x2 = 2 + 2x + x2 + x + x2 0, ∀x ∈ R Vậy hàm số f (x) đồng biến R Do với x > 0, ta có f (x) > f (0) = Bất đẳng thức chứng minh Lưu ý Với x dương n ∈ N∗ , ta có bất đẳng thức tổng quát sau: xn x2 xn x2 + ··· + ⇔ ln + x + + ··· + 2! n! 2! n! /o nl u ex > + x + < x Cách chứng minh tương tự ví dụ Ví dụ Chứng minh với x ∈ 0, π , ta có sin x + tan x > 2x Lời giải Xét hàm số f (x) = sin x + tan x − 2x Để ý với x ∈ 0, suy cos x > cos2 x, nên 1 f (x) = cos x + − > cos2 x + −2= cos x cos2 x :/ Vậy hàm số f (x) đồng biến khoảng 0, f (x) > f (0) = 0, suy sin x + tan x > 2x π a2 sin x + b2 tan x > 2abx, π , ta có ∀a2 + b2 > Bài tập tự luyện ht Bài tập Giải phương trình, bất phương trình sau: (a) log2 (sin x) = log3 (tan x); (b) log2 x2 + 3x + < x2 − x − 2x2 + 2x + cos x − cos x liên tục 0, Lưu ý Chứng minh tương tự trên, với x ∈ 0, π π < cos x < 1, nên với x ∈ 0, π có Bài tập Chứng minh bất đẳng thức sau: x3 < sin x < x, ∀x > 0; (b) cos x + ex b x2 , ∀x ∈ R; 2 + b a b ,a b > ht :/ /o nl u (c) + a a 2+x− ye nt oa n (a) x − Nguyễn Anh Dũng