Các bài toán về hình thoi, hình vuông

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức hình thoi, hình vuông: tính chất dấu hiệu nhận biết * Vận dụng tính chất hình thoi hình vuông vào toán chứng minh đoạn thẳng, góc nhau, đường thẳng vuông góc, song song,… * Nâng cao kỹ chứng minh hình học cho HS B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Hệ thống kiến thức: Hình thoi Định Tứ giác có cạnh Hình vuoâng Tứ giác có cạnh góc nghĩa - Các cạnh đối song somg, - Các cạnh đối song somg, - góc đối - góc đối Tính - Hai đường chéo vuông góc với - Hai đường chéo nhau, vuông góc chất trung điểm đường, trục đói với trung điểm đường, trục xứng hình thoi đói xứng hình vuông - đường chéo phân giác hai - đường chéo phân giác hai góc góc đối đối - Tâm đối xứng giao điểm hai - Tâm đối xứng giao điểm hai đường đường chéo chéo - Đường trung bình trục đối xứng - Tứ giác có cạnh - Tứ giác có cạnh góc - Hbh có cạnh kề - hình thoi có góc vuông Dấu - Hbh có đường chéo vuông góc với - hình thoi có đường chéo hiệu - hình chữ nhật có cạnh kề nhận - hbh có đường chéo tia phân giác - hình chữ nhật có đường chéo vuông biết góc góc với - Hình chữ nhật có đường chéo tia phân giác góc II Hệ thống Bài tập Bài 1: HS ghi đề vẽ hình Cho hình thang cân ABCD AB // CD, AB < CD Gọi M, N, P , Q trung điểm CD, AB, DB, CA a) C/m: NM tia phân giác PNQ A N / b) Tính số đo góc tứ giác MPNQ C = D = 500 c) Hình thang ABCD thoã mãn điều kiện Q P biết góc nhọn hình thang ABCD D // B / M // C tứ giác MPNQ hình vuông? * Để C/m MN tia phân giác PNQ Ta cần C/m gì? Ta C/m tứ giác MPNQ hình thoi Để C/m MPNQ hình thoi ta C/m nào? C/m MPNQ hình bình hành có hai cạnh kề Hãy C/m MPNQ Hình bình hành Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa song Từ GT  NP đường trung bình  ADE song vừa nhau, hai cạnh nào? nên NP // AD NP = Hãy C/m NP //= MQ ? AD (1) MQ đường trung bình  ADC nên MQ // AD MQ = AD (2) C/m MP = MQ để suy H.b.h MPNQ Từ (1) (2)  NP // MQ NP = MQ suy hình thoi tứ giác MPNQ H.b.h MPNQ hình thoi ta suy điều ? Mặt khác MP = 1 CB = AD (Vì AD = CB) 2 Suy MP = MQ  MPNQ hình thoi (H.b.h CMQ góc nào? Vì sao? có cạnh kề nhau)  NM tia phân giác PNQ PMD góc nào? Vì sao? CMQ + PMD = ?  PNQ =? MPN = MQN = ? Hình thoi MPNQ hình vuông nào? b) MQ // AD  ADC = CMQ = 500 (3) MP // CE  ECD = PMD = 500 (4) Từ (3) (4)  CMQ + PMD = 1000  PMQ = 800  PNQ = 800  MPN = MQN = 1000 c) Hình thoi MPNQ hình vuông Bài 2:  PMQ = 900  CMQ + PMD = 900 Cho  ABC vuông cân B từ điểm D  C + D = 900  C = D = 45 thuộc cạnh AB vẽ DE  AC E, tia Vậy: Hình thang cân ABCD có C = D = 45 tứ ED cắt tia CB F Gọi M, N, P, Q lần giác MPNQ hình vuông lượt trung điểm AD, DF, FC, CA Chứng minh MNPQ hình vuông HS ghi đề vẽ A hình E M Để C/m tứ giác MNPQ hình vuông ta Q D cần C/m điều gì? N F B P C Để C/m tứ giác MNPQ hình chữ nhật ta cần C/m gì? Để C/m tứ giác MNPQ hình vuông ta cần C/m Hãy C/m tứ giác MNPQ hình bình MNPQ vừa hình chữ nhật vừa hình thoi hành? MNPQ hình bình hành có góc vuông Từ Gt  MN đường trung bình  FCA  MN // FA MN = FA (1) FA (2) Để C/m H.b.h MNPQ hình chữ nhật Tương tự ta có: PQ // FA PQ = ta C/m gì? Từ (1) (2) suy MNPQ H.b.h Hãy C/m MNP = 900 Mặt khác D giao điểm đường cao AB FE  FAC nên CD đường cao lại  FAC  CD  FA  PN  FA  PN  MN (Vì MN // FA)  MNP = 900 Nên tứ giác MNPQ hình chữ nhật (*)  FCE vuông E có C = 450 (  ABC vuông cân A)   FCE vuông cân E   DBF vuông cân B  BD = BF nên suy  ABF =  CBD  FA = CD Hãy C/m H.b.h MNPQ hình thoi Mặt khác NP đường trung bình  FCD, cách C/m NP = MN nên NP = 1 CD = FA = MN  hình bình hàn 2 MNPQ hình thoi (**) Từ (*) (**) suy MNPQ hình vuông Bài 3: Cho hình vuông ABCD, gọi I, K HS ghi đề vẽ trung điểm AD, DC; E giao hình A / _1 điểm BI AK a) chứng minh: BI  AK b) Chứng minh CE = AB c) So sánh AK, BI, BK d) C/m: BD phân giác IBK I F / M B / C E _ D / K * Để C/m BI  AK ta C/m gì? a) HS suy nghĩ, trả lời: C/m A1 + I1 = 900 Để C/m A1 + I1 = 900 ta C/m A1 góc B1 + I1 = 900  ABI vuông A nào? Vì sao? Ta cần C/m  AIB =  DKA Vì có AB = DA (ABCD hình vuông) AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD) Hãy C/m  AIB =  DKA? A = D = 900   AIB =  DKA(c.g.c)  B1 = A1 mà B1 + I1 = 900  A1 + I1 = 900 ta có A1 + I1 = 900  AEI = 900  BI  AK Để C/m CE = AB ta C/m gì? AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m CE = CB cách C/m hai tam giác nhau? Hay tam giác cân? b) Gọi F trung điểm AB  AKCF H.b.h có FA //= CK  AK // CF  CM  BE hay CM đường cao của  BCE (1) F trung điểm AB mà MF // AK nên M trung điển BE hay CM đường trung tuyến  BCE (2) Từ (1) (2) suy  BCE cân B suy CE = CB mà CB = AB nên CE = AB AK = BI? Vì sao? Ta cần C/m gì? (AK = BK BI = BK) c) BI = AK (do  AIB =  DKA(c.g.c)- C/m câu a)  IDB =  KDB (c.g.c) có: ID = KD (nửa cạnh hình vuông ABCD); IDB = KDB = 450 (đường chéo DB phân giác góc D); DB chung  BI = BK Vậy: AK = BI = BK IBD = KBD hay không? Vì sao? d)  IDB =  KDB (c.g.c) nên IBD = KBD hay BD tia phân giác IBK III Bài tập nhà: Bài 1:Cho hình vuông ABCD Từ điểm E cạnh BC dựng EAx  900 , tia Ax cắt CD F Gọi I trung điểm FE, AI cắt CD M Vẽ Ey // CD, Ey cắt AI K a) Tam giác AFE tam giác gì? Vì sao? b) Tứ giác KFME hình gì? Vì sao? c) Chứng minh chu vi CEM không đổi E chuyển động BC Bài 2: Cho ABCD hình vuông Gọi M, N, I, L trung điểm AB, BC, CD, DA; DN cắt AI, CM K P; BL cắt AI, CM H Q a) Chứng minh PA = DA b) Tứ giác KPQH hình gì? Vì sao?