CÁC DẠNG bài tập tự LUẬN môn TOÁN (2017)

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x)  với x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)  với x  K  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K]  [ f '(x)  với x  K ] [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) không đổi K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) không đổi K  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có f '  x   3ax  2bx  c a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến R  f '  x   3ax  2bx  c  x  R b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến R  f '  x   3ax  2bx  c  x  R NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) ta có:  f ( x) x  f ( x) x a 0 a B Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: y đồng biến X y' 0, x X y nghịch biến X y' 0, x X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y' có hữu hạn nghiệm, phương trình y ' có vô hạn nghiệm điều kiện dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  m) x  2mx  3x  Tìm m để hàm số đồng biến R Bài giải: ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  (m  m) x  4mx  ♣ Hàm số đồng biến R  y '  x  R m  m  ♥ Trường hợp 1: Xét m2  m    + Với m  , ta có y '   0, x  R , suy m  thỏa + Với m  , ta có y '  x    x   , suy m  không thỏa NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 m  , đó: m  ♥ Trường hợp 2: Xét m2  m     '  m2  3m  ♣ y '  x  R    m  m  3  m     3  m  m   m  ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m   Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3(m2  1)x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;  Bài giải ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  3x  6mx  3(m  1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng 1;   y '  x  1;  Ta có  '  9m2  9(m2  1)   0, m Suy y ' có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 ) x  m   Do đó: y '  x  1;   x1    x2      1 m  m   x    ♦ Vậy giá trị m cần tìm  m   Bài tập tương tự Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  2;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Bài giải ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  3x  x  m ♣ Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (có dấu bằng) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3x  x  m  , x   0;    x  x  m , x   0;   (*) ♣ Xét hàm số f ( x) 3x x , x   0;   , ta có: f '( x) 6x ; f '( x) x Bảng biến thiên: x f '( x ) f ( x) ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3  Bài tập tương tự Cho hàm số y   x  3x  3mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng  0;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  xm Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định Bài giải ♦ Tập xác định: D  R \ m ♦ Đạo hàm: y '  m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định y '  , x  D (không có dấu bằng) m2  7m   m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Xác định m để hàm số sau đồng biến khoảng (0; +∞): y xm x2  + TXĐ: D = R mx  + y’ = ( x  1) x  Hàm số ĐB (0; +∞) y’ ≥ x  (0; +∞) -mx + ≥ x  (0; +∞) (1) m = (1) m > 0: -mx + ≥ x ≤ 1/m Vậy (1) không thỏa mãn m < 0: -mx + ≥ x ≥ 1/m Khi (1) 1/m ≤ t/m Giá trị cần tìm là: m ≤ Câu Tìm m để hàm số nghịch biến: y   x3  (3  m) x  2mx  12 + Tập xác định: D  R + Đạo hàm: y '  3x  2(3  m) x  2m + Để hàm số nghịch biến y '  x 3  a     '  9  m  6m  (3)(2m)   m  12m     3  m   3 Câu Tìm m để hàm số nghịch biến + Tập xác định: D  R + Đạo hàm: y '  3mx  x  + Để hàm số nghịch biến x y '  x : y  mx  3x  3x  x  3mx  x   x 1 + TH : m0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số (1)  6 x   FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  x  3  x + TH : ( không thỏa x ) m0 a  3m  m  m  (1)       m  1   9  9m  9m  9 m  1 + Vậy m  1 hàm số thỏa đề NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  1) x  (m  1) x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x  2(m  1) x  y' (m  1) x  2(m  1) x   ♣ Hàm số có hai điểm cực trị y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m (m 1)2 m m m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3(m2 1) 2m 2m 1 m m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  x.(2mx  m2  9) y' x 0 2mx m2 (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị y' m có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m2 9) m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 m m m 3 m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1)x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x   m  m   x  (3m  1) x  m  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x   m2  m   x  3m2  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x x , y ' x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m không thỏa ♣ Với m , ta có: y ' x 16 x 28 , y ' x 14 x Bảng biến thiên 14 x y' y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  3x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Đáp số: m 15 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN x  mx   x  (1) Lời giải  Do x  nghiệm phương trình (1) nên    3x  x  1  3x  x   mx  m (2)  x     x         x  mx   x  x   x   x       3x  x  1 Xét hàm số y  f  x   D    ;   x   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x   ;    đường thẳng y  m có hai điểm chung khác với   thị hàm số y  f  x  vẽ  ;     3x  1 Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   , x    ;   \ 0 x   3x  x  f ( x)  lim   Giới hạn: xlim  x  x đồ Bảng biến thiên x  f ' x  + +  f  x    Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m   MINH HỌA ĐỒ THỊ Thí dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2x  2x   x   x  m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0; 6  Xét hàm số y  f  x   2x  2x   x   x  0;  Phương trình 1 có nghiệm  0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  x  D Ta có: f ' x  2x  1    2x 6  x 6 x   1 1      , x   0;6       x 3   x 3   x 6 x    1 1 Đặt u  x   Ta thấy u    v    nên  , v  x   3 2x 6 x  2x 6  x f '  2  Mặt khác u  x  , v  x  dương  0;  , âm  2;  nên ta có Bảng biến thiên x f’(x) f(x) + 63 2  24 12   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình 1 có nghiệm  0;     m    MINH HỌA ĐỒ THỊ Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm 6 x2   x  x    m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  x  2x   (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1; 4  Đặt ẩn phụ t   x  x  với x  1; 4 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1; 4 1  2x    x , x  1;    4 x 2x  2  x 2x  t '    x  2x     x   2x   x  t' Ta có: Bảng biến thiên x t' + t 3 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   3;3 t  4t   m (2)  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4  Phương trình (2) có nghiệm t   3;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  với t   3;3 Phương trình   có nghiệm t   3;3  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  3;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  ; f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  f t  74 3 +  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4   m   Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị ẩn phụ chuyển phương trình sang phương trình theo ẩn phụ với tập xác định tập giá trị ẩn phụ tìm Cụ thể  Khi đặt t  u  x  , x  D , ta tìm t  D ' phương trình f  x; m   (1) trở thành g  t ; m   (2) Khi (1) có nghiệm x  D  (2) có nghiệm t  D '  Để tìm miền giá trị t ta nên lập BBT hàm số t  u  x  D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá tính chất hàm số) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN  Nếu toán yêu cầu xác định số nghiệm ta phải tìm tương ứng x t Tức giá trị t  D ' phương trình u  x   t có nghiệm x  D ? (có thể xem toán nhỏ xét tương giao) Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm  x  x  3x  m  x   3 x  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2;3  Đặt t  x    x với x   2;3 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2;3 3 x  x    x  2  x x   x t '    x  x    x   x    x  1 t' Ta có: Bảng biến thiên x t' -2 + t -1 5 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   5;5 14 m (2) t nghiệm t   5;5  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: t  14t  mt  t  Phương trình (1) có nghiệm x   2;3  Phương trình (2) có  Xét hàm số y  f  t   t  14 t với t   5;5 Phương trình   có nghiệm t   5;5  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  5;5  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t    14  , t   5;5   t2 Bảng biến thiên t f 't  + f t  11   5 Dựa vào BBT ta suy ra: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Phương trình (1) có nghiệm x   2;3   11 m  5 Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm m    x2   x2    x4   x2   x2 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   1;1  Đặt t   x   x x   1;1 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   1;1 Ta có: t' x  x2   1  x  2 1 x  x2  1 x x  ,  t'0 x 0 Bảng biến thiên x -1 0 t' t + 2 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '  0;   Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: m  t    t  t   t  t  m t2 (2) Phương trình (1) có nghiệm x   1;1  Phương trình (2) có nghiệm t  0;  t  t   Xét hàm số y  f  t   với t  0;  t2 Phương trình   có nghiệm t  0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 0;   Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   t  4t t  2  , t  0;  Bảng biến thiên t f t  f 't  2 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x   1;1  1  m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm     x  x 1  m x   x  x  1   x 1   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0;    Khi đó: 1   x  x    m x     x  x  1   x 1   x  x  1  x  x  x 1  x 1   x  x  1  1  m  x x 1 m x x x 1 (2) 4  1 m x x 1 x 1 x 1    t  Tập giá trị t là: D '   0;1  Đặt t  , x  nên  x x 1  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành:  t   m  m    t  t t  (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  t  với t   0;1 t2 nghiệm t   0;   đường thẳng y  m  Xét hàm số y  f  t    Phương trình   có phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   có điểm chung với   0, t   0;1 t2 Bảng biến thiên t f 't  + f t  1   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    m  1  Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 1  m x   4 x2 1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;    Khi đó: 1  x 1 x 1 x 1 x2 1 3  m  24  m  24 x 1 x 1 x 1  x  1 x 1 x 1    t  Tập giá trị t là: D '   0;1 , x  nên  x 1 x 1  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: 3t  2t  m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  Đặt t   Xét hàm số y  f  t   3t  2t với t   0;1 Phương trình   có nghiệm t   0;1  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ t   0;1  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   6t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  + f t  1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    1  m   Thí dụ 10 Tìm m để phương trình sau nghiệm x  1;3  log32 x  log32 x   2m   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;3   Đặt t  log32 x  với x  1;3  Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1;3  x  1;3    x      log32 x     log32 x     t   t  1; 2 Tập giá trị ẩn phụ t x  1;3  D '  1; 2  Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: t  t   2m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;3   phương trình (2) có nghiệm t  1; 2  Xét hàm số y  f  t   t  t  với t  1; 2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Phương trình (2) có nghiệm t  1; 2  đường thẳng y  2m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 1;  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t   , t  1; 2 Bảng biến thiên t f 't  + f t   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;3    m   Thí dụ 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x  x5  m (1) Lời giải  Tập xác định bất phương trình : D   5; 4  Xét hàm số y  f  x    x  x   5; 4 Bất phương trình (1) có nghiệm x   5; 4  có điểm thuộc đường thẳng y  m nằm phía đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  5; 4  Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   1 4 x  x5    x x    x  x   f ' x    x  x   x   x  -5 + t' 2 t 3  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm x   5; 4  m   Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x   m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D  3;   1  m  Khi đó: x  1 x 1 (2) x  1 3;   x 1 Bất phương trình (2) có nghiệm x  3;    có điểm thuộc đường thẳng y  m  Xét hàm số y  f  x   nằm phía đồ thị hàm số y  f  x  vẽ 3;    Lập BBT hàm số D Ta có: f '  x   5 x  x 3 x   x  1 f ' x   x    x  x  x  1 0 x 1 Giới hạn xlim f ( x)  lim  x  Bảng biến thiên x f ' x  + f  x  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm 3;    m   Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   2; 4 4   x   x   x2  2x  m  18 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2; 4  Đặt t   x  x  với x   2; 4 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2; 4 Ta có: t' x 1  x2  x  t '   x 1 , Bảng biến thiên x t' -2 + NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN t 0 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   0;3  Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: m  t  4t  10 (2) Bất phương trình (1) nghiệm với x   2; 4  Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  10 với t   0;3 Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  f t  0 + 10  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x   2; 4  m  10  Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  m.4 x   m  1 x   m   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   Đặt t  x với x  Tập giá trị ẩn phụ t x   Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: 4t  t  4t  x   2; 4  mt   m  1 t  m   m  Bất phương trình (1) nghiệm với nghiệm với t   0;    Xét hàm số y  f  t   4t  t  4t  D '   0;   (2) Bất phương trình (2) với t   0;   Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;    đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;    Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 4t  2t   t  4t   , t   0;   , SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Giới hạn: lim f  t   t  Bảng biến thiên t f t  f 't    Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x   m   Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x   y   x  xy  m   x  x  y   2m Lời giải      (1)    x2  x  2x  y   m Ta có : 1    x  x   x  y    2m u  x  x Đặt  Điều kiện u u   v  x  y  uv  m u   2m  1 u  m  Hệ phương trình trở thành:    u  v   2m v   m  u Hệ phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm thỏa mãn u    Với u   , ta có:    m  2u  1  u  u  m   2 u  u 2u  u  u với u   ;   2u    Phương trình   có nghiệm u   ;    đường thẳng y  m có điểm chung   với phần đồ thị hàm số f  u  vẽ  ;      Xét hàm số f  u    Lập BBT hàm số D Ta có: f ' u    2u  2u   2u  1 ; f ' u    u  1  Bảng biến thiên NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN u  f 'u  1  + f u  + 2    Dựa vào BBT ta suy ra: 2  Hệ phương trình (1) có nghiệm  m  BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x  3x   m ĐS: m  2) x   x  m ĐS:  m  4) x x  x  12  m   x   x  ĐS:  Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x2   m  2 x    m  1 x3  x  ĐS: m  ĐS: 1  m  2) x   m x   x   ĐS: m  12 4) x   x   x  x  m ĐS:  3)    m  12 ĐS: m   3) x  13x  m  x     x  x 1  m x   16 x  x  1   x 1   5)  x   x  3  x   x   m 6) m   x   x2   x   x2  ĐS: 37 m3 9 m3 ĐS: m  Bài tập rèn luyện 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm  x   m ĐS: m  x 1  m  2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   4;6  x  4  x   x2  x  m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ĐS: m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN 3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x2   x   m ĐS: m  4) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x  0;1   m   x2  x    x   x   ĐS: m  5) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  x   m  1 3x  2m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ĐS: m   SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT Giả sử f  x  hàm số liên tục miền D đạt GTLN, GTNN miền Ký M  Max f  x  xD hiệu: m  f x  xD Khi ta có kết luận sau: 1) Phương trình f  x   a có nghiệm x  D  m  a  M Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2 x  4x  a x  m   x2   x  3 x 1  x   3;0 4x  x  2m    2x    m  1  x  2x   m   2) Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  M Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  m Ví dụ : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x    x  a 3) Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  m Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  M Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   2; 2 x  m   x2  B Bài tập Bài 1: Cho phương trình  x   x    x   x   m (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 2: Cho phương trình   x   x     x   x   3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 3: Cho phương trình  x  1  2x  x  3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 4: Cho phương trình x   x  x  x  5m 1  (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm   Bài 5: Cho phương trình m  x   x    x   x   x (1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GTLN – GTNN FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 6: Cho phương trình  sin x  cos x   cos 4x  2s in2x  m  (1)  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  0;   2 Bài 7: Cho bất phương trình  x  4  x   x  2x  m (1) Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm nghiệm với 4  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ