Chương Số Nguyên Tố 2.1 2.2 2.3 2.4 Một số kiến thức số nguyên tố Một số toán số nguyên tố 13 Bài tập 19 Phụ lục: Bạn nên biết 24 n v h Nguyễn Trung Hiếu (nguyentrunghieua) Phạm Quang Toàn (Phạm Quang Toàn) 2.1 2.1.1 c o h Một số kiến thức số nguyên tố i u Định nghĩa, định lý Định nghĩa 2.1 Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số V Định nghĩa 2.2 Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Nhận xét Các số số nguyên tố hợp số Bất kỳ số tự nhiên lớn có ước số nguyên tố Định lý 2.1– Dãy số nguyên tố dãy số vô hạn 10 2.1 Một số kiến thức số nguyên tố Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1 ; p2 ; p3 ; ; pn ; pn số lớn nguyên tố Xét số N = p1 p2 pn + N chia cho số nguyên tố pi (i = 1, n) dư (*) Mặt khác N hợp số (vì lớn số nguyên tố lớn pn ) N phải có ước nguyên tố đó, tức N chia hết cho số pi (**) Ta thấy (**) mâu thuẫn (*) Vậy có hữu hạn số nguyên tố n v Định lý 2.2– Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) Chứng minh * Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định với số m thoả mãn: < m < n ta chứng minh điều đến n Nếu n nguyên tố, ta có điều phải chứng minh Nếu n hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a b tích thừa số nhỏ n nên n tích cuả thừa số nguyên tố * Sự phân tích nhất: Giả sử số m < n phân tích thừa số nguyên tố cách nhất, ta chứng minh điều đến n: Nếu n số nguyên tố ta điều phải chứng minh Nếu n hợp số: Giả sử có cách phân tích n thừa số nguyên tố khác nhau: h c o h i u V n = p.q.r n = p q r Trong p, q, r p , q , r số nguyên tố số nguyên tố có mặt hai phân tích (vì có số thoả mãn điều kiện trên, ta chia n cho số lúc thường nhỏ n, thương có hai cách phân tích thừa số nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết quy nạp) Không tính tổng quát, ta giả thiết p p số nguyên tố nhỏ phân tích thứ thứ hai Vì n hợp số nên n > p2 n > p Do p = p ⇒ n > p.p Diễn đàn Toán học Chuyên đề Số học 2.1 Một số kiến thức số nguyên tố 11 Xét m = n − pp < n phân tích thừa số nguyên tố cách ta thấy: p|n ⇒ p|n − pp hay p|m Khi phân tích thừa số nguyên tố ta có: m = n − pp = p p.P.Q với P, Q ∈ P ( P tập số nguyên tố) ⇒ pp |n ⇒ pp |p.q.r ⇒ p|q.r ⇒ p ước nguyên tố q.r Mà p không trùng với thừa số q, r (điều trái với gỉa thiết quy nạp số nhỏ n phân tích thừa số nguyên tố cách nhất) Vậy, điều giả sử không Định lý chứng minh 2.1.2 n v h Cách nhận biết số nguyên tố Cách c Chia số cho nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; Nếu có phép chia hết số không nguyên tố o h Nếu thực phép chia lúc thương số nhỏ số chia mà phép chia có số dư số nguyên tố i u Cách Một số có hai ước số lớn số số nguyên tố V Cho học sinh lớp học cách nhận biết số nguyên tố phương pháp thứ (nêu trên), dựa vào định lý bản: Ước √ số nguyên tố nhỏ hợp số A số không vượt A Với quy tắc khoản thời gian ngắn, với dấu hiệu chia hết ta nhanh chóng trả lời số có hai chữ số Chuyên đề Số học Diễn đàn Toán học 12 2.1 Một số kiến thức số nguyên tố nguyên tố hay không Hệ √ 2.1– Nếu có số A > ước số nguyên tố từ đến A A nguyên tố 2.1.3 Số ước số tổng ước số số Giả sử: A = px1 px2 pn xn ; đó: pi ∈ P; xi ∈ N; i = 1, n n v Tính chất 2.1– Số ước số A tính công thức: T (A) = (x1 + 1)(x2 + 1) (xn + 1) h Ví dụ 2.1 30 = 2.3.5 T (A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Kiểm tra: (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} nên (30) có phân tử c Tính chất 2.2– Tổng ước số A tính công thức: n i=1 2.1.4 pxi i +1 − pi − o h σ (A) = i u Hai số nguyên tố Định nghĩa 2.3 Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn (ƯCLN) V Tính chất 2.3– Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố Tính chất 2.4– Hai số nguyên tố khác nguyên tố Tính chất 2.5– Các số a, b, c nguyên tố (a, b, c) = Định nghĩa 2.4 Nhiều số tự nhiên gọi nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố Diễn đàn Toán học Chuyên đề Số học 2.2 Một số toán số nguyên tố 2.1.5 13 Một số định lý đặc biệt Định lý 2.3 (Dirichlet)– Tồn vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x, a, b ∈ N, a, b số nguyên tố nhau) Việc chứng minh định lý phức tạp, trừ số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn có vô số số nguyên tố dạng: 2x − 1; 3x − 1; 4x + 3; 6x + 5; Định lý 2.4 (Tchebycheff-Betrand)– Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số nguyên tố (n > 2) n v Định lý 2.5 (Vinogradow)– Mọi số lẻ lớn 33 tổng số nguyên tố 2.2 2.2.1 h Một số toán số nguyên tố c Có số nguyên tố dạng ax + b Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng 3x − Lời giải Mọi số tự nhiên không nhỏ có dạng: 3x; 3x+1 3x − o h i u • Những số có dạng 3x (với x > 1) hợp số • Xét số có dạng 3x + 1: số 3m + số 3n + V Xét tích (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + Tích có dạng: 3x + • Lấy số nguyên tố p bất có dạng 3x − 1, ta lập tích p với tất số nguyên tố nhỏ p trừ ta có: M = 2.3.5.7 p − = 3(2.5.7 p) − M có dạng 3x − Có khả xảy ra: Khả 1: M số nguyên tố, số nguyên tố có dạng 3x − > p, toán chứng minh Chuyên đề Số học Diễn đàn Toán học 14 2.2 Một số toán số nguyên tố Khả 2: M hợp số: Ta chia M cho 2, 3, 5, , p tồn số dư khác nên ước nguyên tố M lớn p, ước số có dạng 3x + (đã chứng minh trên) Do ước nguyên tố M phải có dạng 3x (hợp số) 3x + Vì tất có dạng 3x + M phải có dạng 3x + (đã chứng minh trên) Do đó, ước nguyên tố M phải có dạng 3x − 1, ước lớn p n v Vậy: Có vô số số nguyên tố dạng 3x − Ví dụ 2.3 Chứng minh rằng: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x + h Lời giải Nhận xét Các số nguyên tố lẻ có dạng 4x 4x + Vậy chúng tồn dạng 4x + 4x + Ta chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x + c • Xét tích số có dạng 4x + là: 4m + 4n + Ta có: (4m+1)(4n+1) = 16mn+4m+4n+1 = 4(4mn+m+n)+1 o h Vậy tích số có dạng 4x + số có dạng 4x + i u • Lấy số nguyên tố p có dạng 4x + 3, ta lập tích 4p với tất số nguyên tố nhỏ p trừ ta có: N = 4(2.3.5.7 p) − Có khả xảy N số nguyên tố ⇒ N = 4(2.3.5.7 p) − có dạng 4x − Những số nguyên tố có dạng 4x − số có dạng 4x + toán chứng minh V N hợp số Chia N cho 2, 3, 5, , p số dư khác Suy ước nguyên tố N lớn p Các ước có dạng 4x 4x + (vì hợp số) Cũng toàn ước có dạng 4x + N phải có dạng 4x + Như ước nguyên tố N có ước có dạng 4x − mà ước hiển nhiên lớn p Diễn đàn Toán học Chuyên đề Số học 2.2 Một số toán số nguyên tố 15 Vậy: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x − (hay có dạng 4x + 3) Trên số toán chứng minh đơn giản định lý Dirichlet: Có vô số số nguyên tố dạng ax + b a, b, x ∈ N, (a, b) = 2.2.2 Chứng minh số nguyên tố Ví dụ 2.4 Chứng minh rằng: (p − 1)! chia hết cho p p hợp số, không chia hết cho p p số nguyên tố n v Lời giải • Xét trường hợp p hợp số: Nếu p hợp số p tích thừa số nguyên tố nhỏ p số mũ luỹ thừa lớn số mũ luỹ thừa chứa (p − 1)! Vậy: (p − 1)! p (đpcm) h • Xét trường hợp p số nguyên tố: Vì p ∈ P ⇒ p nguyên tố với thừa số (p − 1)! (đpcm) c Ví dụ 2.5 Cho 2m − số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố o h Lời giải Giả sử m hợp số ⇒ m = p.q (p, q ∈ N; p, q > 1) Khi đó: 2m −1 = 2pq −1 = (2p )q −1 = (2p −1)((2p )q−1 +(2p )q−2 + +1) p > ⇒ 2p − > (2p )q−1 + (2p )q−2 + + > Dẫn đến 2m − hợp số :trái với giả thiết 2m ˘1 số nguyên tố Vậy m phải số nguyên tố (đpcm) i u Ví dụ 2.6 Chứng minh rằng: ước nguyên tố 1994! − lớn 1994 V Lời giải Gọi p ước số nguyên tố 1994! − Giả sử p ≤ 1994 ⇒ 1994.1993 3.2.1 p ⇒ 1994! p Mà 1994! − p ⇒ p (vô lý) Vậy: p > 1994 (đpcm) Ví dụ 2.7 Chứng minh rằng: n >2 n n! có số nguyên tố (từ suy có vô số số nguyên tố) Chuyên đề Số học Diễn đàn Toán học