Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Năm 2011-2012 Bài 1.1 (KHTN vòng năm 2011-2012 ngày thứ nhất) Cho tam giác ABC P điểm tam giác P A, P B, P C cắt BC, CA, AB A0 , B , C a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C , BC A0 , CA0 B có chung điểm Gọi điểm Q b) Giả sử Q không thuộc đường thẳng AA0 , BB , CC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AQA0 , BQB , CQC có chung điểm khác Q Bài 1.2 (KHTN vòng năm 2011-2012 ngày thứ hai) Cho tam giác ABC nhọn điểm P nằm tam giác ABC Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu P lên BC, CA, AB A2 , B2 , C2 trung điểm P A, P B, P C O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 Giả sử OA1 , OB1 , OC1 cắt B2 C2 , C2 A2 , A2 B2 A3 , B3 , C3 Chứng minh A2 A3 , B2 B3 , C2 C3 đồng quy Bài 1.3 (KHTN vòng năm 2011-2012 ngày thứ nhất) Cho tam giác không cân ABC Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F AD giao EF J M, N di chuyển đường tròn (I) cho M, J, N thẳng hàng M nằm phía nửa mặt phẳng chứa C bờ AD, N nằm phía nửa mặt phẳng chứa B bờ AD Giả sử DM, DN cắt AC, AB P, Q a) Giả sử MN giao P Q T Chứng minh T thuộc đường thẳng d cố định b) Giả sử tiếp tuyến M, N (I) cắt S Chứng minh S thuộc d c) Giả sử SJ giao BC K Chứng minh IK vng góc T D Bài 1.4 (KHTN vòng năm 2011-2012 ngày thứ hai) Cho tứ giác lồi ABCD khơng có hai đường _ chéo vng góc nội tiếp đường tròn (O) P điểm di chuyển cung AB không chứa C, D P D cắt AC M, P C cắt BD N Đường tròn ngoại tiếp tam giác AP M, BP N cắt điểm Q khác P a) Chứng minh P Q qua điểm T cố định b) Gọi AC giao BD E, I trung điểm CD Chứng minh E, I, T thẳng hàng Bài 1.5 (KHTN vòng năm 2011-2012 ngày thứ nhất) Cho tam giác ABC M điểm di chuyển đoạn thẳng BC B thuộc đoạn thẳng AC, C thuộc đoạn thẳng AB cho MB k AB, MC k AC Gọi Nb , Nc tâm đường tròn Euler tam giác MBC MCB T trung điểm Nb Nc Chứng minh MT qua điểm cố định Bài 1.6 (KHTN vòng năm 2011-2012 ngày thứ hai) Cho tứ giác lồi ABCD không hình thang nội tiếp đường trịn (O) AD giao BC E I trung điểm CD EI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB M khác E AC giao BD F EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB N khác E Chứng minh bốn điểm C, D, N, M thuộc đường tròn Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Năm 2012-2013 Bài 2.1 (KHTN vòng năm 2012-2013 ngày thứ nhất) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) _ với AB khơng đường kính (O) P điểm di chuyển cung CD không chứa A, B (O) P A cắt DB, DC E, F P B cắt CA, CD G, H GF giao EH Q Chứng minh P Q qua điểm cố định P di chuyển Bài 2.2 (KHTN vòng năm 2012-2013 ngày thứ hai) Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn (O) P điểm nằm tam giác ABC AP cắt (O) D khác A DE, AF đường kính (O) EP, F P cắt (O) G, H khác E, F AH giao DG K L hình chiếu K lên đường thẳng OP a) Chứng minh bốn điểm A, L, K, D thuộc đường tròn, gọi đường tròn (S) b) Chứng minh OP cắt EF điểm T thuộc (S) Bài 2.3 (KHTN vòng năm 2012-2013 ngày thứ nhất) Cho tam giác nhọn ABC D điểm thuộc đoạn AC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn thẳng BC E khác B Tiếp tuyến B, D đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt T AT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD F khác A CF giao DE G AG giao BC H M trung điểm AF AE giao MD N Chứng minh HN k AT Bài 2.4 (KHTN vòng năm 2012-2013 ngày thứ hai) Cho tam giác ABC cân A ABC tam giác nhọn D điểm thuộc đoạn thẳng BC cho ∠ADB < 90◦ Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (M, N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD) Gọi P, Q trung điểm CM, CN Giả sử P Q cắt đoạn thẳng BC E Lấy điểm F đoạn thẳng AE cho ∠EF C = ∠DAC Chứng minh ∠BF E = ∠BAC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Năm 2013-2014 Bài 3.1 (KHTN vòng năm 2013-2014 ngày thứ nhất) Cho tam giác ABC nhọn, không cân Dựng hình chữ nhật MNP Q cho M thuộc đoạn AB, N thuộc đoạn AC, P, Q thuộc đoạn BC với P ∠BAC nằm Q, C ∠MNQ = Đường thẳng qua A vng góc AB cắt NP K Đường thẳng qua A vng góc AC cắt MQ L CL cắt NP E BK cắt MQ F Chứng minh AE = AF Bài 3.2 (KHTN vòng năm 2013-2014 ngày thứ hai) Cho tam giác ABC với AC > AB Phân giác AC − AB ED = Gọi K, L góc ∠BAC cắt BC D E điểm nằm B, D cho EA AC + AB tâm đường tròn nội tiếp tam giác EAB, EAC Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KAB, LAC Chứng minh P Q song song KL Bài 3.3 (KHTN vòng năm 2013-2014 ngày thứ nhất) Cho tam giác ABC cố định, nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) D điểm thuộc đoạn BC cho AD phân giác ∠BAC P điểm di chuyển đoạn thẳng AD Q điểm thuộc đoạn thẳng AD cho ∠P BC = ∠QBA R hình chiếu Q lên đoạn BC Gọi d đường thẳng qua R vng góc với OP Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định P di chuyển Bài 3.4 (KHTN vòng năm 2013-2014 ngày thứ hai) Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Gọi K, L, N tâm đường tròn Euler tam giác DEC, BCA, F AE Gọi X, Y, Z hình chiếu K, L, N theo thứ tự lên AD, BE, CF Chứng minh trung trực AX, EY, CZ đồng quy ... ∠BF E = ∠BAC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Năm 2013-2014 Bài 3.1 (KHTN vòng năm 2013-2014 ngày thứ nhất) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân Dựng hình chữ nhật MNP Q cho M thuộc đoạn AB, N... F AH giao DG K L hình chiếu K lên đường thẳng OP a) Chứng minh bốn điểm A, L, K, D thuộc đường tròn, gọi đường tròn (S) b) Chứng minh OP cắt EF điểm T thuộc (S) Bài 2.3 (KHTN vòng năm 2012-2013...Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Năm 2012-2013 Bài 2.1 (KHTN vòng năm 2012-2013 ngày thứ nhất) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) _