Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài Cho tam giác ABC không cân P tam giác thỏa mãn ∠P AB = ∠P BC ∠P AC = ∠P CB Trung trực AP cắt BC Q Gọi O tâm ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh ∠AQP = 2∠OQB Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đường cao AE, trung tuyến AF G, H hình chiếu B, C lên phân giác A ABC Chứng minh E, F, G, H thuộc đường trịn có tâm thuộc đường tròn Euler tam giác ABC Bài Cho (Ia ), (Ib ), (Ic ) đường trịn bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC (Oa ), (Ob ), (Oc ) đối xứng với (Ia ), (Ib ), (Ic ) qua trung điểm BC, CA, AB Chứng minh trục đẳng phương (Ob ), (Oc ) chia đôi chu vi tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có đường cao AA0 , BB , CC Chứng minh đường đối trung ứng với H tam giác HAC đường đối trung ứng với B tam giác ABC cắt A0 C Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) A0 tiếp điểm (O) với đường tròn A-mixtillinear Chứng minh A-mixtillinear tam giác AA0 B tam giác AA0 C tiếp xúc _ Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D thuộc BC (O1 ) tiếp xúc với DA, DB AB (O1 ) tiếp _ xúc với DA, DC AC Chứng minh (O1 ) tiếp xúc (O2 ) AD phân giác ∠BAC Bài Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F D đối xứng D qua EF AD cắt BC A0 B , C định nghĩa tương tự Chứng minh A0 , B , C thuộc đường thẳng Euler tam giác DEF Bài Cho tam giác ABC Ký hiệu (Oa ), (Ob), (Oc ) đường trịn có đường kính trung tuyến A, B, C Chứng minh hai ba đường trịn tiếp xúc đường trịn nội tiếp (I) đường trịn cịn lại Bài Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F AD cắt (I) M MB, MC cắt (I) P, Q Chứng minh AD, P E, F Q đồng quy Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp có AC vng góc AB vng góc BD I M, N, P, Q hình chiếu I lên AB, BC, CA, DA Chứng minh M, N, P, Q thuộc đường trịn (ω) có tâm trung điểm OI Bài 11 (O1 ) ∩ (O2 ) = {A, D}, AO1 ∩ (O1 ) = {B}, AO2 ∩ (O2 ) = {C}, M ∈ [AD] BM ∩ AC = {E}, CM ∩ AB = {F }, DF ∩ (O1 ) = {L}, DF ∩ (O2 ) = {K} Chứng minh đường nối trung điểm EF, KL qua A Bài 12 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trung tuyến A cắt (O) A2 , A1 ∈ (O) AA1 k BC B1 , B2 , C1 , C2 định nghĩa tương tự Chứng minh A1 A2 , B1 B2 , C1C2 đồng quy Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 13 (I) nội tiếp tam giác ABC X, Y, Z thuộc (I) Giả sử (A, X, Z), (C, Y, Z), (B, X, Y ) thẳng hàng Chứng minh tam giác ABC tam giác XY Z Bài 14 Cho tam giác ABC A1 , B1 , C1 thuộc BC, CA, AB cho AA1 , BB1 , CC1 đồng quy M A2 , B2 , C2 đối xứng với M qua trung điểm B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 Chứng minh AA2 , BB2 , CC2 đồng quy MG với G trọng tâm tam giác ABC Bài 15 Tứ giác ABCD nội tiếp (O) M điểm X, Y, Z, T, U, V hình chiếu M lên AB, CD, AD, BC, BD E, F, G trung điểm XY, ZT, UV Chứng minh E, F, G thẳng hàng Bài 16 Cho tứ giác ABCD có ∠BAD = ∠BCD I trung điểm AC H, K, L hình chiếu D lên BC, CA, AB Chứng minh I, H, K, L đồng viên Bài 17 Tứ giác ABCD nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Chứng minh đường thẳng Gauss tứ giác ABCD MNP Q vng góc với Bài 18 Cho A, B cố định thuộc (∆) M di động đoạn AB Gọi (O), (O1), (O2) nửa đường tròn đường kính AB, AM, BM Gọi (I) đường trịn tiếp xúc với (O) tiếp xúc với (O1 ), (O2) a) Tìm M cho S(I) max b) Tìm quỹ tích điểm I c) Giải câu b) M đoạn AB −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ Bài 19 Tìm x biết BM = xBA biết BN = (AB, M)BA, BP = (AB, N)BA −→ −−→ −−→ Bài 20 A, B cố định (∆) Với M ∈ (∆) ta xác định N, P thỏa mãn BN = (AB, M)BA, BP = −→ (AB, N)BA Gọi (O1 ), (O2 ), (O3) nửa đường trịn đường kính MN, NP, P M Chứng minh đường tròn (I) nội tiếp tam giác cong MNP không phụ thuộc M Bài 21 Cho A1 , B1 , C1 thuộc BC, CA, AB cho AA1 , BB1 , CC1 đồng quy M A2 , B2 , C2 đối xứng M qua B1 C1 , C1A1 , A1 B1 Chứng minh AA2 , BB2 , CC2 đồng quy Bài 22 Gọi F điểm Fermat tam giác ABC da , db , dc đối xứng F A, F B, F C qua BC, CA, AB Chứng minh da , db , dc đồng quy Bài 23 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), (Ia ) bàng tiếp góc A, tiếp xúc với AC, AB B , C BB ∩ CC = {K} Chứng minh K ∈ (O) = R Bài 24 Cho I1 , I2 , I3 tiếp xúc (I) hai cạnh góc A1 , A2 , A3 tam giác giác A1 A2 A3 √ √ √ ngoại tiếp (I) Gọi r, ri bán kính (I) (Ii ), i = 1, Chứng minh r1 r2 + r2 r3 + r3 r1 = r Nếu thay tiếp xúc tiếp xúc ngoài, hệ thức thay đổi ? Bài 25 Cho (C, R) (∆) không cắt (C), cách (C) đoạn OC = d > R M, N chuyển động (∆) cho [MN] tiếp xúc với (C) Chứng minh tồn P cố định ln nhìn MN mộy góc Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 26 Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp (O, R) Chứng minh r(ABC) a) cos ∠BAC + cos ∠CBA + cos ACB = + R(ABC) b) Nếu r(ABC) = r(ADE) r(ABD) = r(ACE) hai tam giác ABC ADE Bài 27 Cho tam giác ABC cân C, (O) tiếp xúc CA, CB A, B Một đường tròn thay đổi qua C tiếp xúc với (O), cắt A0 B0 (A0 , B0 trung điểm CA, CB) M, N Chứng minh MN ln nhìn từ C với góc khơng đổi Bài 28 D nằm tam giác ABC nhọn cho DA.DB.AB + DB.DC.BC + DC.DA.AC đạt giá trị nhỏ Hãy tìm D Bài 29 Cho a, b, c > Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh a, b, c tồn a z x b x y c y z x, y, z ∈ R cho + = , + = , + = z y x x z y y x z Bài 30 P, Q thuộc cạnh AB tam giác ABC cho r(CAP ) = r(CBQ) Chứng minh r(CAQ) = r(CBP ) Bài 31 KL, KN tiếp xúc với (v) Trên phần kéo dài KN N, lấy M {P } = (v) ∩ (v1 ) với (v1 ) = (KLM) NQ ⊥ LM Chứng minh ∠MP Q = 2∠KML Bài 32 Tứ giác ABCD ngoại tiếp (I) Chứng minh (I) trọng tâm tứ giác IA.IC = IB.ID Bài 33 Tứ giác lồi ABCD có AB ∩ CD = {E}, AD ∩ BC = {F } Vẽ CH ⊥ EF H Gọi (I1 ), (I2 ) đường tròn nội tiếp tam giác EBC tam giác F CD Gọi αi (i = 1, 2) góc tiếp tuyến từ H đên (Ii ) Chứng minh ABCD tứ giác ngoại tiếp ⇔ α1 = α2 Bài 34 (O1) (O2 ) AB tiếp tuyến chung (A ∈ (O1 ), B ∈ (O2 )) C đối xứng với A qua O1 O2 , D trung điểm AC DB ∩ (O2 ) = {E} Chứng minh CE tiếp xúc với (O2 ) Bài 35 (O1) cắt (O2 ) A, P.B ∈ (O1 ), C ∈ (O2 ) cho BC qua P Q ∈ BC.B1 ∈ (O2 ), C1 ∈ (O2 ) cho QB1 k AB, QB2 k AC Chứng minh P, Q, B1 , C1 đồng viên Bài 36 Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H.DP ⊥ AB, DQ ⊥ AC, DP ∩ BE = R, DQ ∩ CF = S, BQ ∩ CP = M, P S ∩ RQ = N Chứng minh M, N, H thẳng hàng Bài 37 ABCD nội tiếp (O) (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) ngoại tiếp tam giác OAB, OBC, OCD, ODA Chứng minh O1 O3 , O2 O4 , OP đồng quy với P = AC ∩ BD Bài 38 ABCD nội tiếp (O), AC ∩ BD = P (O1 ) qua P, A (O2 ) qua P, B (O1 ) ∩ (O) = E1 , (O2 ) ∩ (O) = E2 , (O1 ) ∩ (O2 ) = Q Chứng minh P Q, CE1 , CE2 đồng qui Bài 39 Tứ giác ABCD nội tiếp (O) hai đường chéo AC, BD cắt P (O1 ), (O2), (O3 ), (O4) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, OBC, OCD, ODA Chứng minh O1 O3 , O2 O4 , OP đồng quy Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 40 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P di động tam giác ABC AP, BP, CP ∩ (O) = A1 , B1 , C1 A0 , B0 , C0 trung điểm BC, CA, AB A2 , B2 , C2 đối xứng với A1 , B1 , C1 qua A0 , B0 , C0 Chứng minh (A2 B2 C2 ) qua trực tâm H tam giác ABC Bài 41 P, Q, R nằm tam giác ABC cho (B, C, Q, R), (C, A, P, R), (A, B, P, Q) đồng viên Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC tâm đẳng phương ba đường tròn tâm đường trịn ngoại tiếp O tam giác ABC thuộc đường thẳng Euler tam giác P QR Bài 42 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P thuộc tia đối AO b, c đối xứng P B qua AB P C qua AC Tìm quỹ tích giao điểm b c Bài 43 Cho K cố định (O) (O ) di động quạ K có bán kính bằng (O) Tìm quỹ tích trung điểm dây cung chung (O) (O 0) Bài 44 Hình thang ABCD có AB k CD.AC ∩ BD = E Trung trực CD cắt AB F.(O1 ) ≡ (ADF ), (O2) ≡ (BCF ) Chứng minh O1 O2 ⊥ EF Bài 45 K, L, M, N trung điểm cạnh cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác lồi ABCD KM cắt AC, BD P, Q.LN cắt AC, BD R, S Chứng minh P A.P C = QB.QD ⇔ RA.RC = SB.SD Bài 46 Cho tam giác ABC cân C, (O) tiếp xúc CA, CB A, B Một đường tròn thay đổi qua C tiếp xúc với (O), cắt A0 B0 (A0 , B0 trung điểm CA, CB) M, N Chứng minh MN tiếp xúc với hình cố định Bài 47 Cho (ABCD) = −1 Chứng minh tồn đường tròn tiếp xúc với bốn đường trịn có đường kính AB, BC, CD, AD Bài 48 Cho hình thang ABCD(AB k CD) Giả sử có E ∈ (BC) Ngồi đoạn BC F đoạn AD cho ∠DAE = ∠CBF I, J giao EF với CD, AB K trung điểm EF (K 6∈ AB) Chứng minh I, A, B, K đồng viên ⇔ J, C, D, K đồng viên Bài 49 ABCD tứ giác lồi P, Q nằm tứ giác cho P QDA QP BC tứ giác nội tiếp Giả sủ có E ∈ P Q cho ∠P AE = ∠QDE, ∠P BE = ∠QCE Chứng minh A, B, C, D đồng viên Bài 50 BE, CF đường cao tam giác ABC Hai đường tròn qua A, E tiếp xúc với BC P, Q cho B ∈ [CQ] Chứng minh P E, QF cắt (AEF ) Bài 51 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh tồn P tứ giác cho ∠P AB +∠P DC = ∠P BC + ∠P AD = ∠P CD + ∠P BA = ∠P DA + ∠P CB = 90◦ ⇔ AC ⊥ BD Bài 52 P thuộc tia đối tia CA hình chữ nhật ABCD cho ∠P BC = ∠DP B Tính PB ? PC Bài 53 Cho tam giác ABC có ∠ABC = 2∠ACB AD phân giác ∠BAC M, N trung điểm AC, BD Giả sử A, M, D, N đồng viên Hãy tính ba góc tam giác ABC Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 54 Tam giác ABC có đường đối trung AA1 (A1 ∈ BC) Lấy Ba ∈ AC, Ca ∈ BA cho ABa A1 Ca hình bình hành a) Chứng minh B, C, Ba , Ca đồng viên b) Gọi Oa tâm (BCBa Ca ) Tương tự ta định nghĩa Ob , Oc Chứng minh AOa , BCb, COc đồng quy Bài 55 Tam giác ABC nội tiếp (O) Một đường thẳng qua A cắt tiếp tuyến B, C M, N cắt (O) E.BN ∩ CM = F Chứng minh EF qua điểm cố định Bài 56 Cho tam giác ABC có trực tâm H Một đường trịn (O) thay đổi qua H, cắt AH, BH, CH A1 , B1 , C1 HX đường kính (O) AX, BX, CX cắt (O) lần A2 , B2 , C2 Chứng minh A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy hay đội song song Bài 57 Cho tam giác ABC có A1 tiếp điểm (O) với mixitillinear excircle A, A2 trung điểm cung BAC Tương tự ta định nghĩa B1 , B2 , C1 , C2 Chứng minh A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy điểm thuộc đường thẳng Euler tam giác DEF với D, E, F tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 58 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) A1 , B1 , C1 ∈ (O) cho AA1 k BB1 BB1 k CC1 A2 , B2 , C2 đối xứng với A1 , B1 , C1 qua BC, CA, AB Chứng minh H, A2 , B2 , C2 đồng viên với H trực tâm tam giác ABC Bài 59 Cho đoạn thẳng AB d ⊥ AB H cố định M thay đổi (d).HE ⊥ MA, HF ⊥ MB, HK ⊥ EF Tìm quỹ tích K M di động d Bài 60 Cho ABC tam giác có cạnh M điểm mặt phẳng P, Q, R MP + MQ + MR hình chiếu M lên BC, CA, AB Tìm giá trị min, max biểu thức MA + MB + MC Bài 61 Giải phương pháp hình học bất đẳng thức sau (x2 + y )(y + z )(z + x2 )(xy + yz + zx)2 ≥ 8x2 y z (x2 + y + z )2 Trong x, y, z số thực dương ... không cắt (C), cách (C) đoạn OC = d > R M, N chuyển động (∆) cho [MN] tiếp xúc với (C) Chứng minh tồn P cố định nhìn MN mộy góc Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 26 Cho.. .Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 13 (I) nội tiếp tam giác ABC X, Y, Z thuộc (I) Giả sử (A, X, Z),... tiếp tam giác OAB, OBC, OCD, ODA Chứng minh O1 O3 , O2 O4 , OP đồng quy Các đề hình học tập huấn đội tuyển Việt Nam năm 2009 Bài 40 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P di động tam giác ABC AP, BP,