Mở rộng hai đề hình chọn đội tuyển việt nam năm 2013

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Đề hình chọn đội tuyển Việt Nam mở rộng Trần Quang Hùng Bài (VNTST-Ngày 1) Cho tứ giác ABCD có cạnh khơng song song nội tiếp (O, R) Gọi E giao điểm hai đường chéo đường phân giác góc AEB cắt đường thẳng AB, BC, CD, DA M, N, P, Q a) Chứng minh đường tròn (AQM), (BMN), (CNP ), (DP Q) qua điểm Gọi điểm K 2R2 b) Đặt min{AC, BD} = m Chứng minh OK ≤ √ 4R2 − m2 Bài (Mở rộng 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AC giao BD E Một đường thẳng d qua E cắt AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Gọi giao điểm đường tròn (AQM) ∩ (BMN) = {M, X}, (BMN) ∩ (CNP ) = {N, Y }, (CNP ) ∩ (DP Q) = {P, Z}, (DP Q) ∩ (AQM) = {Q, T } a) Chứng minh X, Y, Z, T thuộc đường tròn (K) b) Chứng minh (K) ln qua điểm cố định d di quay quanh E Bài (VNTST-Ngày 2) Cho tam giác ABC nhọn không cân có góc ∠BAC = 45◦ Các đường cao AD, BE, CF đồng quy trực tâm H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC P I trung điểm BC, IF cắt P H Q a) Chứng minh góc ∠IQH = ∠AIE b) Gọi K trực tâm tam giác AEF , (J) đường tròn ngoại tiếp tam giác KP D CK cắt đường tròn (J) G, IG cắt (J) M, JC cắt đường tròn đường kính BC N Chứng minh G, N, M, C thuộc đường tròn Thực góc 45◦ khơng cần thiết toán Bài (Mở rộng 3) Cho tam giác ABC đường cao AD, BE, CF đồng quy H, EF giao BC G Gọi (K) đường tròn đường kính BC Trung trực BC cắt (K) điểm L cho A, L phía BC Gọi (N) đường tròn ngoại tiếp tam giác GDL CL cắt (N) M khác L MK cắt (N) P khác M CN cắt (K) Q khác C Chứng minh M, Q, P, C thuộc đường tròn Từ mở rộng ∠A = 45◦ ta có tốn TST Nếu thay đường tròn đường kính BC tốn ta mở rộng sau Bài Cho tứ giác lồi BF EC nội tiếp đường tròn (K) BE giao CF H D hình chiếu H lên BC Trung trực BC cắt (K) L cho H, L phía BC (N) đường tròn qua D, L tiếp xúc KL L CL cắt (N) M khác L CN cắt (K) Q khác C Gọi CX đường kính (K) XQ cắt BC Y Gọi Z trung điểm CY MZ cắt (N) P khác M Chứng minh M, Q, P, C thuộc đường tròn Nếu K trung điểm BC Y trùng B, Z trùng K ta thu tốn Thực ta thấy vai trò hàng điểm điều hòa (BC, DG) đường tròn (K) khơng thiết phải gắn liền với yếu tố đường trung trực cắt nửa đường tròn điểm L khơng cần thiết ta mở rộng tốn sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài Cho tam giác ABC với D, G thuộc BC cho (BC, DG) = −1 (K) đường tròn qua B, C L điểm thuộc (K) CL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác LGD điểm M khác L Gọi I, J trung điểm BC, GD MI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác LGD P khác M MJ cắt đường thẳng qua L song song BC N CN cắt (K) Q khác C Chứng minh M, Q, P, C thuộc đường tròn