Chương 1 lượng giác

Giải các phương trình lượng giác sau 1.. Giải các phương trình lượng giác trên các khoảng đã chỉ ra.. Giải và biện luận các phương trình sau... Giải các phương trình lượng giác sau.. Giả

Trang 1

Chương 1

LƯỢNG GIÁC

Biên soạn: Thân Văn Cương - Gv: THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang ĐT: 0983.515825

1.1 Một số dạng phương trình thường gặp

1.1.1 Phương trình cơ bản

.1.1 Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin(x −π

6) =1

) = −√3 3

3 sin(2x −π

4) = 1

3) =√3 2

5 cos(3x +π

6) = −1

4)

7 sin3x = −sin(x +π

6) 8 cos4x + cos(x +π

6) = 0

9 tan(x + π

4) =√

) = −√3 11.tan(3x −π

4) = cotx 12 tan(2x +π

3) = −tan(3x +π

4)

13 tan2x + cot3x = 0 14 sin(3x +π

4) − cos(x + 2π3 ) = 0

15 cos(3x −π

6) = −cos(x +π

3) 16 sin(πcosx) = 1

17 cos(8sinx) = 1 18 sin(x − π6) =1

2

.1.2 Giải các phương trình lượng giác trên các khoảng đã chỉ ra.

1 sin(x +π

4) − sin2x = 0 trên [−π

4;3π

2 ] 2 cos(2x +π

6) = cos3x trên [−π

3; 2π]

3 tan(2x +π

4) =

√

3 trên [−π

4; 2π] 4.tan(2x +π

6) = tanx trên [−π

4;

3π

2 ]

5 sin(3x − 300) =

√ 3

2 trên [0; 1800] 6 cot(450

− x) =

√ 3

3 trên [−2000; 1800]

.1.3 Tìm a > 0 nhỏ nhất thỏa mãn phương trình: cos[π(a2

+ 2a − 1

2)] − sinπ.a2= 0

.1.4 Giải và biện luận các phương trình sau.

a (4m − 1)sinx + 2 = msinx − 3

b (2m + 3)cosx − 1 = mcosx − 2(m − 1)

Trang 2

1.1.2 Phương trình bậc hai, bậc ba với một hàm số lượng giác

.1.5 Giải các phương trình lượng giác sau.

1) 9cos2

x− 5sin2

x− 5cosx + 4 = 0 2) cos2x + sin2

x+ 2cosx + 1 = 0 3) sin4

x+ cos4

x= sin2x −1

2x + cos4

2x = sin2x.cos2x 5) 6cos2

x+ 5sinx − 7 = 0 6) 5(1 + cosx) = 2 + sin4

x− cos4

x 7) cos2x + sin2

x− 2cosx + 1 = 0 8) cos42x+ tanx = 7 9) cos2x − 4cosx +5

x+ cos4

x= cos2x 11) 3cos4

x+ 8cos2x.sin2x − 4 = 0 12) sin4

x+ cos4

x= 1

2sin2x 13) 4tan2

sin2x+ 2tan2

x+ 5(tanx + cotx) + 4 = 0 15) sinx +√3cosx + 2

sinx+√

3cosx = 3 16) cotx − cot2x = tanx + 1 17) 2( 4

cos2x+ cos2x) + 9( 2

cosx− cosx) = 1 18) cosx +1

2cos2x + tan

2

x+ 1 cosx =5

2 1.6 Cho phương trình: cos2

x+ 2(1 − m)cosx + 2m − 1 = 0

a Giải phương trình với m =1

2

b Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [0; 2π]

.1.7 Cho phương trình: cos2x − (2m + 1).cosx + m + 1 = 0

a Giải phương trình khi m =3

2

b Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [π

2;3π

2 ] 1.8 Giải các phương trình sau.

a 4sin3

x− 8sin2

x+ sinx + 3 = 0

b 4(sin3x − cos2x) = 5(sinx − 1)

c cos3x + 3cos2x = 2(1 + cosx)

d 6tan3

x+ (3 − 2√3)tan2

x− (3 +√3)tanx +√

3 = 0 1.9 Cho phương trình (cosx + 1)(cos2x − mcosx) = m.sin2

x

a Giải phương trình khi m = −2

b Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [0;2π

3]

1.1.3 Phương trình dạng acosx + bsinx = c

1)√3sinx − cosx +√2 = 0 2) 3sinx − 1 = 4sin3

x+√ 3cos3x 3) 2(cos4

x+ sin4x) +√

3sin4x = 2 4) 3cosx + 2√3sinx = 9

2 5) cos5x − sin3x =√3(cos3x − sin5x) 6) tanx − 3cotx = 4(sinx +√3cosx)

7) 2sin3x +√3cos7x + sin7x = 0 8) 1 + cosx + sin3x + cos3x − sin2x − sinx

9) 3sin3x −√3cos9x = 1 + 4sin33x 10) cos7x.cos5x −√3sin2x = 1 − sin7x.sin5x

11) 4(sin4x+ cos4x) +√

3sin4x = 2 12) 4sin3x− 1 = 3sinx −√3cos3x 13) cos2

x−√3sin2x = 1 + sin2

x 14) sinx(1 − sinx) = cosx(cosx − 1) 1.11 Giải và biện luận phương trình 2m(sinx + cosx) = 2m2

+ cosx − sinx +32

1.1.4 Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba

1) 2sin2

x− 5sinxcox − cos2

x− cosx − sinx = 0 3) sin3

(x − π4) =√

x+ 2sinx.cosx + 3cos2

x− 3 = 0 5)√3sinx + cosx = 1

x− sinx.cosx − cos2

x= 3 7) 6sinx − 2cos3

x= 5cosxsin2x 8) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 9) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3

x 11) 4sin3

x+ 3cos3

x− 3sinx − sin2

x.cosx= 0 12) cos3

x− 4sin3

x− 3cosx.sin2

x+ sinx = 0 13) cos3

x+ sinx − 3sin2

x− sin3

x= sinx − cosx 15) sinx + cosx − 4sin3

(1 + tanx) = 3sinx(cosx − sinx) + 3 17) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 18) sinx − 4sin3

x+ cosx = 0

Trang 3

19) 4sinx.cos(π

2 − x) + 4sin(x + π).cosx + 2sin(3π2 − x)cos(x + π) = 1

20) 2sinx.cos(3π

2 + x) − 3sin(π − x).cosx + sin(π

2 + x).cosx = 0 1.13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [−π

4;π

4]

2sin2

x− sinx.cosx − cos2

x= m

1.1.5 Phương trình đối xứng với sinx và cosx

.1.14 Giải các phương trình sau.

1) sinx.cosx + 2(sinx + cosx) = 2 2) sin3

x+ cos3

x=

√ 2 2 3) (1 +√2)(sinx − cosx) + 2sinx.cosx = 1 +√2 4) sin2x +√2sin(x −π

4) = 1 5) 1 − sin2x = cosx − sinx 6) 6(sinx − cosx) − sinx.cosx = 6

7) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 8) 1 + sin3

x+ cos3

x= 3

2sin2x

x+ cos3

x= cos2x 1.15 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2x + 4(cosx − sinx) = m

.1.16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sinx.cosx + 6(sinx + cosx + m) = 0

1.1.6 Phương trình đối xứng với tanx và cotx

1) 3(tanx + cotx) − 2(tan2

x+ cot2

x) − 2 = 0 2) tanx + cotx + tan2

x+ cot2

x+ tan3

x+ cot3

x= 6 3) 3(tanx − cotx) + tan2

x+ cot2

x= 6 4) tan7

x+ cot7

x= tanx + cotx

5) 9(tanx + cotx)4= 48(tan2

x+ cot2x) + 96 6) 3(tanx + cotx)4

− 8(tan2

x+ cot2x) = 32

.1.18 Cho phương trình: tan2

x+ cot2

x+ 2(m + 2)(tanx + cotx) = m − m2Tìm m để phương trình trên

có nghiệm

1.1.7 Phương trình có chứa sin2nx + cos2nx

Trong dạng này ta thường sử dụng hai công thức lượng giác sau

sin4

x+ cos4

x= 1 −12sin22x và sin6

x+ cos6

x= 1 − 34sin22x

a sin4

x+ cos4

x= cos2x

b sin6

x+ cos6

x=1

4.sin22x

c 16(sin6

x+ cos6

x− 1) + 3sin6x = 0

d sin6x+cos6x

cos 2 x−sin 2 x = m.tan2x Tìm m để phương trình có nghiệm

e 4sin3x.cos3x + 4cos3xsin3x + 3√

3cos4x = 3 1.20 Cho phương trình: 4(sin4

x+ cos4

x) − 4(sin6

x+ cos6

x) − sin24x = m

Tìm m để phương trình có nghiệm

.1.21 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.

a cos 6

x+sin 6 x

cos 2 x−sin 2 x= m.tan2x

b sin6

x+ cos6

x= m.sin2x

c sin4

x+ cos4

x− cos2x +1

4sin22x + m = 0

d 4(sin4

x+ cos4

x) − 4(sin6

x+ cos6

x) − sin24x = m

Trang 4

1.1.8 Sử dụng công thức hạ bậc

a cos2

x+ cos2

2x + cos2

3x = 3 2

b sin2

3x − sin2

2x − sin2

x= 0

c sin2

x= cos2

2x + cos2

3x

d sin22x + sin24x = sin26x

e sin2

x= cos22x + cos23x

1.1.9 Sử dụng công thức nhân đôi

.1.23 Giải các phương trình

a cos4

x+ sin6

x= cos2x

b 2sin3

x− cos2x + cosx = 0

c.cos4

x− cos2x + 2sin6

x= 0

d sin3

x+ cos3

x= cos2x

e sin3

x+ cos3

x= 2(sin5

x+ cos5x) f.sin8

x+ cos8

x= 2(sin10

x+ cos10x) +5

4coss2x

1.1.10 Sử dụng công thức biến đổi tổng, tích

a sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x

b.1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

c.cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

d.cos11x.cos3x = cos17x.cos9x

e.4cosx.sin(π

6 + x).sin(

π

6 − x) = cos2x

f sin6x.sin2x = sin5x.sin3x

g sin5x.cos6x + sinx = sin7x.cos4x

1.1.11 Mũ+lượng giác

a.5(1

25)sin2x

+ 4.5cos2x= 25sinx.cosx

b.2cos2x= 3.2cos 2 x

− 4 c.9sin 2 x

+ 9cos 2 x

= 10 d.(p

7 + 4√

3)cosx

+ (p7 − 4√3)cosx

= 4

e (3 + 2√2)tanx

+ ((3 − 2√2)tanx

= 6

a (3 + 2√2)tanx

+ ((3 − 2√2)tanx

= m có 2 nghiệm x ∈ (−π

2 ,

π

2)

b (5 + 2√6)tanx

+ (5 − 2√6)tanx

= m Giải và biện luận theo m

c 2sin 2 x

+ 3cos 2 x

≥ m.3sin 2 xcó nghiệm

1.1.12 Phương pháp tổng bình phương

a 4cosx

+ 3tan2

x− 4√3cosx + 2√

3tanx + 4 = 0

b sin2

x+1

4sin23x = sinx.sin23x

HD: Pt⇔ sin2

x− sinx.sin23x +1

4sin

4

3x −14sin43x +1

4sin

23x = 0

c cos2x − cos6x + 4(3sinx − 4sin3

x+ 1) = 0 HD: pt ⇔ (1 − cos2x) + (1 − cos6x) + 4sin3x + 2 = 0

d x2

+ 2xsinx − 2cosx + 2 = 0

Trang 5

e sin2x− sinx +17

4 + cos

2x−√3cosx +39

4 = 5

f.r 1

2 +

√

2cosx − cos2x+r 1

2 +

√ 2sinx − sin2x= 2

g x2+ 4xcosxy + 4 = 0

h.√3sin2x − 2sin2

x− 4cosx + 6 = 0

i 2sin2x + cos2x + 2√2sinx − 4 = 0

k cos2x −√3sin2x + 4sin2

x− 2sinx + 4 = 2√3cosx

a cos3x +√2 − cos23x = 2(1 + sin22x)

b sinx +√2 − sin2x+ sinx.√

2 − sin2x= 3

c.r 3

4+ cos

2x+r 1

4 + cos

2x= 2

| siny

xcos

y

x | = 9 + 2x − x

2

1.1.13 Đặt ẩn phụ

.1.29 Giải các phương trình.

a sin3(x +π

4) =

√ 2sinx

b sin3

(x −π4) =√

2sinx

c 8cos3(x + π

3) = cos3x

d tanx = tan3(π

4 −x

2)

e sin(3x

2 +

π

10) = 3sin(

3π

10 −x2)

f sin(3π

5 + x) = 2sin(

π

5 −x

5)

a sin

42x + cos42x

tan(π

4 − x).tan(π

4 + x) = cos

44x

b Tìm b để phương trình sau có nghiệm cos2x + sin2

x+ bcosx + 1 = 0

c sin3

x+ cos3

x= 1 −1

2sin2x

d sin4

x+ cos4

x= 2cos(2x +π

4).cos(2x −π4)

e sinx + 3sin2x = sin3x

f 1 + tan2x = 1 − sin2x

cos22x

g cosx.sin2x.cos3x = sin4x

4

1.2 Các bài tập tổng hợp

Phần này là tổng hợp các bài toán lượng giác có trong các đề thi ĐH, CĐ cũng như các đề thi thử ĐH,

CĐ của các trường THPT các năm

Trang 6

1) cos2

x−√3sin2x = 1 + sin2

x− 4sin3

x− 3cosxsin2

x+ sinx = 0 3) cotx − 1 =1 + tanxcos2x + sin2

x−12sin2x 4) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 5) sinx − 4sin3

7) tanxsin2

x− 2sin2

x= 3(cos2x + sinxcosx) 8) sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x

cosx+ cos2x + cos3x =

√ 3 11) sinx.sin4x = 2cos(π

6 − x) −√3cosxsin4x 12) 1 + sin3x = sinx + cos2x 13) 1 + sinx

2sinx− cosx

2sin2

x= 2cos2(π

4−x

2) 14) cos3x + cos2x − cosx − 1 = 0 15) 2cos2x − sin2x = 2(sinx + cosx) 16) cosx − cos2x + cos3x = 1

2 17) sin3(x +π

4) =√

19) 5(sinx +cosx+ sin3x

1 + 2sin2x ) = cos2x + 3 20) cos3x − 4cos2x + 3cosx − 4 = 0 21) cotx − tanx + 4sin2x = 2

(x

2−π

4)tan2

x− cos2 x

2 = 0 23) (sinx

2+ cosx

2)2

+√

25) cotx − 1 = cos2x

1 + tanx+ sin

2

x−12sin2x 26) (2cosx − 1)(2sinx + cosx) = sin2x − sinx 27) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 28) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1

16 29) 2(tanx − sinx) + 3(cotx − cosx) + 5 = 0 30) sinx+ sin2x + sin3x

cosx+ cos2x + cos3x =

√ 3 31) sinx.sin4x = 2cos(π

6 − x) −√3cosx.sin4x 32) 1 + sin3x = sinx + cos2x 33) 1 + sinx

2sinx− cosx

2sin2

x= 2cos2(π

4−x

x+ cos4(x +π

4) = 1 4 35) sin4

x+ cos4

x=7

8cot(x +

π

3).cot(π

6 − x) 36)√2sin3(x + 9π

4) = 2cos(π

2 − x) 37) (sinx + sin2x + sin3x)3

= sin3

x+ sin3

2x + sin3

3x 38) cot

2

x− tan2

x cos2x = 16(1 + cos4x) 39) sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x 40) cos(1 − tanx)(sinx + cosx) = sinx

x+(1 + cos2x)

2

2sin2x = 2cos2x 43) cotx − tanx + 4sin2x = sin2x2 44) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 45) cotx − sinx(1 + tanxtanx

1.3 Các bài toán phương trình lượng giác trong đề thi

Phần này là tuyển chọn các đề thi thử Đại học phần lượng giác của các trường chuyên trong toàn quốc năm 2012.

.1.32 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình sau.

(1 − tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx Gợi ý.Đặt t = tanx và biến đổi sin2x theo t

.1.33 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: sinx − 4sin3

x+ cosx = 0

Gợi ý.Phương trình đẳng cấp bậc 3

.1.34 (TT vn.math.com) Giải phương trình: sin2x − (sinx + cosx + 1)(2sinx − 3) = 0.

Gợi ý.Biến đổi về phương trình tích (sinx + cosx + 1)(−sinx + cosx + 2) = 0

.1.35 (THPT Nguyễn Đức Mậu) Giải phương trình: cotx −2cos4x

sin2x = tanx

Gợi ý.Chú ý cotx − tanx = 2cos2x

sin2x 1.36 (THTT) Giải phương trình: 16cos4

(x + π

4) = 4

1 − tan2

x

1 + tan2x− 2sin4x

Gợi ý.Chú ý rằng cosx − sinx =√2cos(x +π

4) và 1 − sin2x = (cosx − sinx)2 Biến đổi về phương trình tích

Trang 7

.1.37 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình

3sin2

x.cos(3π

2 + x) − sin2

(π

2 + x).cosx = sinx.cos

2

x− 3sin2

x.cosx Gợi ý.Có thể chuyển về phương trình đẳng cấp bậc 3, hoặc chuyển về phương trình tích

.1.38 (Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình p2(1 − sin2x).sin(x + 3π4 ) + cos2x = 0

Gợi ý.Chú ý sin(x + 3π

4 ) =

1

√

2(cosx − sinx)

.1.39 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình 1 + sinx + cosx = 2cos(x

2 −π4) Gợi ý.Phương trình tương đương với (sin(x

2) + cos(

x

2))

2+ cos2x

2 − sin2x

2 − 2cos(x2 −π4) = 0 1.40 Giải phương trình:√2(2sinx − 1) = 4(sinx − 1) − cos(2x + π

4) − sin(2x +π

4).

Gợi ý.Chú ý công thức sinx + cosx =√2sin(x +π

4) 1.41 Giải phương trình: cos10x + 2cos2

4x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos2

3x 1.42 Giải phương trình: 5(sinx + cosx) + sin3x − cos3x = 2√2(2 + sin2x)

Gợi ý.Chuyển về phương trình tích

* Các bài toán sau đây dùng hàm số để khảo sát hàm f(t), tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm

.1.43 Biện luận số nghiệm của phương trình sau them tham số m

cos2

x+ (1 − m)cosx + m − 1 = 0 Với 0 < x < π

.1.44 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ (0;π2)

sinx+ cosx + 1 +1

2(tanx + cotx +

1 sinx+ 1

cosx) = m Gợi ý.Đặt t = sinx + cosx

.1.45 Biện luận phương trình sau theo m

a sin2x + 4(cosx − sinx) = m

b sin6

x+ cos6

x= m(sin4

x+ cos4x)

c cos4

x+ (m − 2)sin2

x+ 4 = 0

d mcos2x − 4(m − 2)cosx + 3(m − 2) = 0 có đúng 2 nghiệm x ∈ (−π

2 ;

π

2) 1.46 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ (0;π2)

sinx+ cosx + 1 +1

2(tanx + cotx +

1 sinx+ 1

cosx) = m Gợi ý.Đặt t = sinx + cosx

.1.47 Cho phương trình 2

sin2x+ 2tan2

x+ (2m + 3)(tanx + cotx) + 4 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

.1.48 Cho phương trình 1

cos2x+ cot2

x+ m(tanx + cotx) + 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = 5

2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm

.1.49 Cho phương trình sin6x+ cos6x

tan(x +π

4).tan(x −π4) = m a) Giải phương trình khi m = −1

4

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	93,65 KB