BÀI TẬP ĐSTT Ngày 30 tháng năm 2013 Bài 1.1: Chứng minh ánh xạ ϕ : R3 [x] → M22 (R) với a0 + a1 a0 − 2a2 ϕ(a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a3 a1 − a3 axtt Chứng minh ϕ đẳng cấu Bài 1.2: Chứng minh ánh xạ ϕ : Rn [x] → Rn+1 [x] với ϕ(a0 + a1 x + + an xn ) = a0 x + a1 x an xn+1 + 2! (n + 1)! n ánh xạ tuyến tính Tìm ma trận ϕ cặp sở (u) = 1, (x − c), (x−c) , , (x−c) 2! n! (x−c)2 (x−c)n+1 (v) = 1, (x − c), 2! , , (n+1)! Bài 1.3: Cho u1 = (2, 3, 5), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 0, 0) v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, −1), v3 = (2, 1, 2) Chưng minh tồn tự đồng cấu f : R3 → R3 thỏa f (ui ) = vi , i = 1, 2, Tìm ma trận f sở tắc Bài 1.4: Tự đồng cấu f sở tắc có ma trận −1 a) Tìm Imf, Kerf, rank(f ), def (f ) b) Tìm ma trận f sở {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} c) Có tồn sở để ma trận f sở ma trận chéo không? Bài 1.5: Cho tự đồng cấu f có ma trận −18 15 −1 −22 20 −25 22 sở u1 = (8, −6, 7), u2 = (−16, 7, −13), u3 = (9, −3, 7) a) Tìm ma trận f cở sở v1 = (1, −2, 1), v2 = (3, −1, 2), v3 = (2, 1, 2) b) Tìm cơng thức f c) Có tồn sở để ma trận f sở ma trận chéo khơng? Bài 1.6: Tìm GTR va VTR ma trận sau: a) −2 −2 −4 12 −2 −4 −4 10 b) 1 1 1 1 1 Bài 1.7: Chéo hóa ma trận sau: a) 19 13 −33 −1 −9 −21 21 −4 12 21 −36 −14 −28 b) Bài 1.8: Cho 0 0 0 0 19 13 −33 −1 −9 −21 A= 21 −4 12 21 −36 −14 −28 Tính A2013 Bài 1.9: Cho ma trận 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 Tìm ma trận C thỏa C t AC ma trận chéo Bài 1.10: Cho C[0,2π] không gian vector Euclide với tích vơ hướng Z 2π < f, g >= f (t)g(t)dt a) Chứng minh hệ vector {1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx, sinnx} độc lập tuyến tính b) Trực chuẩn hóa hệ vector Bài 1.11: Bổ sung vector vào hệ sau để sở trực chuẩn: ( 21 , 12 , 12 , 12 ), ( 12 , 12 , − 21 , − 12 ) Bài 1.12: Trực chuẩn hóa hệ vector sau: (2, 2, 3, −1), (7, 4, 3, 3), (1, 1, −6, 0), (5, 7, 7, 8) Bài 1.13: Tìm sở trực giao cho phần bù trực giao U =< (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 3), (0, 1, −2, 1) >