ẵ ểềỉệ ỉểệ ẩệểơé ì ể ề ệ ể ề ệ ì ểệề ề ẵ ề ầéìỉá ỉ ặ ỉ ệé ề ì ệ ẹ ỉ ệ ỉ ỉ ểệ ỉ ệ í ệì ỉ é ẹ ềỉ ệí ì ểểé ề ỉ ề ểệ ì ĩ í ệì ỉ ể ỉ ểề é ì ểểé ểệ ệ éỉệ ìỉ ềỉì ỉ ề ỉ ì ể ẵắ ề ẵ ề ỉ ẹ ềỉ ẹ ế ệ ệỉ ỉ ì ề ỉ ẹ ỉ ì ề ề é ì ì ệ ế ệ ẹ ềỉ ểệ ỉ ề ỉ ỉ ì ểề ệí ì ểểé é é ề ẵ ẹẹ ệ ỉ ỉể ề ề ẹ ỉể é ệíá ệ ể ỉ ề ệ ỉỉ ề ệì ỉí ể é ệí ỉ ẹ ểệ ề ỉ ẹ ỉ ì ì ể ỉ ỉ ỉ ỉ ẹ ì ỉể ì ỉỉé ểề ìểẹ ệ íểề é ệí ểệ ẹểềỉểềá ìể ề ễ ề ệ ề ẩệ ệ ề ẵ ẳ ỉ ểềéí ễé ềề ỉể ìỉ í ểệ ỉ ẹểìỉ ểề í ệ ỉ ỉ ạểễ ề ìễ ì ể é ệỉ ỉ ệ ểề ỉỉệ ỉ ểề ĩ ễỉ ểệ ỉ ơệìỉ ì ĩ ì ỉ ề ểệ ì ểểéá ỉ ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ì ệểẹ ỉ ề ểề ỉ ỉ ệ ề ẩệ ệ ểẹễểì ỉ ậ ểểé ềỉ é ẵ ề ệ ỉệ ầ ệ ỉ ỉ ễ ệ ể ể ỉ ẹ ỉ ỉíì ễểễé ỉ ểề ề ệ ì ệểẹ ẵẳ ẳẳẳ ỉể ể ệ ẳ ẳẳẳ ệ ề ì ẹ ềí í ệì ỉ ề ạì ểểé ẹ ỉ ẹ ỉ ì ỉề ìì ế ỉ ệệ éẹ ề ìá ệểẹ ỉ ề ểỉ ễệể é ỉ ì ỉ ỉ ệểạ ề ề ệ ề ệ ì ệểẹ ì ệ ỉ ệ ìỉệ ỉ ểệ ệ ỉể ĩễé ề ỉể ỉ ìỉ ềỉìàá ỉể ĩễé ề ề ìỉ ỉ ìỉ ì ì ề ỉ ềểệẹ é ệ ẹểệ ặ éỉ ểề ễỉ ỉể ểề íá ề ể ỉ ề ỉ é ị ề ểềỉệ ỉ ể ề ì ệ ỉ é ể ỉ ệ ẹ ềỉ ểệ ỉ ề ỉểễ ẹ ệ éí ì ỉ ệ ễệ ì ềỉì ìểạ éé ễệ ỉ é ễễé ỉ ểềá ề ể ỉ ỉệ ệểì ễ ỉ ééì ể ệ ẹể ề ệ éạểệé ểềìỉệ ềỉì ệểẹ ệ éạểệé ễệể é ẹìá ì ì ẹể é ề ĩễểề ềỉ é ệểỉ ệ ỉ ì ểệ ỉ ệ ỉ ỉ ệ ềểỉ ééể ỉể ĩễ ệ ể ề ì íì ể ì ì ềểé ẹ ềỉ ỉ ễệể é ẹ ìểé ề ề ẹ ỉ ẹ ỉạ é ểệề éì ỉể ệệ í é ẹ ềá ể ểề ề ỉ ì ềỉ ì ì ìì ểề ỉ ỉ ệì ểề ềỉ ểề ề ệ ề ẩệ ệ ể ỉ ề ì ì ệ ễỉ ểề ỉể ỉ ẹ ệ ề ỉ ẹ ỉ é ểềỉ éí ề ỉ ệ ệ ì ểề ễệể é ẹ ể ệệ íì ệ ệ ề ề ề ế é ỉí ềểé ề ỉ ì ể ỉ ỉệ ệểềá ì é ỉể ìểé è ì ỉ ì ề íá ề ỉ ệ ìỉ ì ìỉểệí ì ì ế ềỉ ệ ệ ề ề ỉ ểềỉ éí é ẹ ỉể ệĩ ỉ ệệ ỉệề ì ểề ẹểệ ỉ ẹ ỉể ểệ ểề ẹ ỉ ẹ ỉ é ễệể é ẹì ề ẵ ỉ ỉ éễ ể ệễ ềỉ ệá éỉ ề ề ểề ậỉệ ểề ệ ì ỉì ệ ế ềỉéí ề ề ề ỉ ềỉ ệ ỉ ẹ ì ề ỉ ì ỉ ề ỉ ệ ẵ ậầ éí ề ề ể ặể ẵắ ềì ềì ề ẩé ì ì ề íểệ ìểéỉ ểềì ỉể ễệể é ẹì ề ỉ ì ậ ểé í ẵ ầ ỉá ắẳẵẳ ểễí ể ấ ỉ í ẹ éé ì ềỉ ỉể ểề ễệ ạề ệì ỉí ệ ệ ểì ề ì ề ìểéỉ ểềì ểệ ỉ éề è ì ểề ể ỉ ỉểệì ì ơề é è é ề ểệ ậ ểé ẵắ ìểéỉ ểềì ề ỉ ễệ ểì ìì ấ ỉ ẻểé ặể ì ẵ ậ ễỉá ắẳẵẳ ặầè ẵ éíá ắẳẵẳ ểệ ễểéể ì ầệ ểềỉ ìỉ ểệ ỉ ì ẹểềỉ ì ỉ ềạẽệỉỉ ẹ ệ ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉá ắẳẳ ầệ ỉ ề ì ể ỉể ỉ ề ì ỉỉ ệ ỉ ẹ ỉ ề ẽệỉỉ ẹ ệ ểệ ễệể ề ỉ ì ểềỉ ìỉ ề ểệ ễ ệẹ ìì ểề ỉể ễ é ì ỉ ệ ỉ ểề ìể ỉ ệ ẹ ệ ệ ấểéé ề ỉá ểéé ề ệì ỉ ệ ậ ềỉạ ểề ẽ ềề ễ ể ệ ỉệ ỉ ểề ểệì ểề ểệì ẹ ỉ ẹ ỉ ế ềạẽệỉỉ ẹ ệ ắẳẳ ỉ ệẹ ề ệ ỉểì é ì ềỉ ệì ề ỉệ éì n ỉ éì ế é ìểẹẹ ôệ ì ẹ ĩ ìỉ 2010 ẵ n ỉ ì ì ề ễểéí ểề ệ é ệ 18 ểỉ ì ìỉ ểễ ề ễ ềỉ ểề ì ểề ệìá ỉ é ế ééìỉệ ỉ ệẹ ề ệ é ì ề é ì ềỉ ệề ì ề ỉ é ễ ềỉ ểề ắ ềì é ệ ìể é ì ABE ìỉ AB BAC = 30 ỉ ACB = AF C = 90 ỉ ệẹ ề ệ é ệ ỉ ể ềỉệ é ìệ ESC ỉ é ìệ ABC C ệể ỉ A E S F B ẵ ễ ệỉ ệ ĩ ềểẹ ệ ì ềểề ềéì z1 ỉ z2 ìể ỉ zn é zzn1 ễểệ n2 n > éểệì z1 z2 z3 ểệẹ ềỉ ề ì ỉ ẹểềỉệ ệ ế ì ểề ẹéỉ ễé ề ẹễểệỉ ế éì 2009 ỉ ệẹ ì ểềì ỉ ì ỉỉ ì ỉ é ễệể ỉ ỉ é ẹ ẹ ễ ệỉ é ì ỉ ậể ỉ ABC ề ỉệ ề é ìể é ỉ é ế ACB = 90 ề ệ é ềỉệ C ểễ AC ề D ỉ BC ề E èệ ệ é é ề AE ễ ệễ ề é ệ AE ễ ìì ềỉ ễ ệ C ểễ é é ề AB ề F ỉ ề ì ế é ễ ệễ ề é ệ AE ễ ìì ềỉ ễ ệ D ểễ é é ề AB ề G ẹểềỉệ ệ ế é éểề ệ BF é é éểề ệ GF ề ẹ ề ể ì ỉ ề ì ì ệì ểì ẹ ì ị ìệ é ôệ ề ễểì ỉ ểề ề ỉ ệ ẹ ì ịạểì ềạẽệỉỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ì ệ ểềỉ ìỉ ắẳẳ ề éé ề ỉệ é ềẹ ệì n ì ỉ ỉ ỉ ì 2010 ẵ ểề é ỉể ệ ỉ ì ệ ậệ ế é ôệ 20092010 ìẹ ể n ề ỉ ỉ ìẹ ể ệ é ệ 18ạ ểề ề ỉ ềỉể ểề ệ ềỉ ễ ềỉ ểềì ì ề ỉ éể ỉ ệẹ ề ỉ ềỉ ệ ểệ ề é ì ể ì ễ ềỉ ểề ắ ệ ề ỉ ệ ểề ỉ ệ ỉá ABE ì ìểì é ì ỉ ì AB BAC = 30 ề ACB = AF C = 90 ề ỉ ệ ỉể ể ỉ ệ ể ESC ỉể ỉ ệ ể ABC C A E S F n B ẵ zn1 ề ỉể ềểềị ệể ềẹ ệì z1 ề z2 é ỉ zn ểệ n > è ề zn2 z1 z2 z3 ểệẹ ì ế ề ẩệể ỉ ỉ íể ẹéỉ ễéí ềí 2009 ểềạ ì ỉ ỉ ệẹì ể ỉ ì ế ề ỉ ề ỉ ễệể ỉ ì ỉì é ẹ ẹ ệ ể ỉ ì ế ề ỉ ABC ề ìểì é ì ỉệ ề é ì ỉ ỉ ACB = 90 ệ é ỉ ềỉệ C ỉì AC ỉ D ề BC ỉ E ệ ỉ é ề AE è ễ ệễ ề é ệ ỉể AE ỉ ệể C ỉì ỉ é ề AB ỉ F ề ỉ ễ ệễ ề é ệ ỉể AE ỉ ệể D ỉì ỉ é ề AB ỉ G ậ ể ỉ ỉ ỉ é ề ỉ ể BF ế éì ỉ é ề ỉ ể GF ểề ì ẹ ề ẹ ề ệ ề ểẹéí ì é ỉì ìểệ ể ỉ ẽ ỉ ì ểé íể ẹ é ểề 20092010 ề ìễé íì ỉì ặ ĩỉ ỉ ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ẽểệé ểỉ ỉ ẹ ỉ ì ềỉ ệạ ỉí ểẹễ ỉ ỉ ểềá ề é ểềỉ ìỉá ẩ ệỉ ắẳẳ ề ề ậ ểé ẵẵ ỉ ắẳẳ ò è ểệạ ẵ ìẹ ể ểệạ ỉ ềẹ ệ ỉ ềẹ ệ ề ỉì ểệ ỉì ì 2005 ẽ ỉ ì ỉ ì ậểéỉ ểề í ề ềá ìỉ ềỉá ềỉ ềề é ậ ểề ệí ậ ểểéá ểế ỉé ẹá ỉ n ềểỉ ỉ ì ệ ềẹ ệ ậệ éí n 2005 ậ ề ỉ ìẹ ể ỉ ệ ỉì ì ỉ ẹểìỉ 27á ỉ ỉ ìẹ ể n ì ỉ ẹểìỉ 29 è ệ ểệ n 1976 ỉ d ệ ễệ ì ềỉ ỉá ề é ỉ S ỉ ìẹ ể n ề ỉì ỉì n = 2000 + dá ỉ ề S = 2000 + + 2d ì ề ề ỉ ì ềềểỉ ế é 2005 n = 1990 + dá ỉ ề S = 2009 + 2d ì ỉểể é ệ n = 1980 + dá ỉ ề S = 1998 + 2d ì ề ề ỉ ì ềềểỉ ế é 2005 n = 1970 + dá ỉ ề S = 1987 + 2d ậểé ề S = 1987 + 2d = 2005 í é ì ỉ ỉ d = ề n = 1979 éìể ìểé í ặ ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá ặ ầá ìỉ ềỉá ểé ềỉ ề é ậ ểểéá ểế ỉé ẹá èầè ìỉ ềỉá ấ ẩ éẹ ệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ấ ẹểề ẻặ ặè ặ ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ẽ ặạèặ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ấậè ặ ặậ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ề ậ ẽ ặ ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá ề ỉệ ề é ABC AB = 10 ề ề ỉ é ề ỉ ệể M ễ ệ éé é ỉể ỉ ỉ é ề ỉ ể AD ắ AC = 18 M ì ỉ ẹ ễể ì ỉểệ ể CAB ỉì AC ềỉ ể BC ỉ D ề ẵ ậểéỉ ểề í ệ ìỉ ề ềì ềá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá A 18 D 10 B è L M C ỉ L ềểỉ ỉ ễể ềỉ ểề BC ì ỉ ỉ AL ì ỉ ì ỉểệ ể CAB BL 10 ậ ề ề ABL í é ì ỉ ỉ sin BAL = sin ALB ề ỉ ệ ểệ BL = 10 sin BAL sin ALB ì ì ề ỉ è ìá CL = 18 ậ ề ề ALC í é ì sin CAL sin ALC ALC = 180 ALB CL 18 = sin CAL sin ALC ỉ ỉ ì éìể ỉệ ỉ ỉ CAL = BAL ề sin BAL sin ALB sin BAL è ề BL = 10z sin ALB ìể CL = 18 ề CL = 18z ỉ z ềểỉ ỉ ệ ỉ ểề è ệ ểệ BC = 28z ề CM = 14z ì ACL ì ì ẹ é ệ ỉể DCM ỉ CM 14z ìể DC ìể DC = 14 ề AD = ểééểì ỉ ỉ DC = = AC CL 18 18z ỉ xá yá z ễểì ỉ ềẹ ệì ì ỉ ỉ x+y +xy = 8á y +z +yz = 15á ề z + x + zx = 35 ề ỉ é ể x + y + z + xy ậểéỉ ểề í ẻ ề ềỉ ệề íá ề ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá y ậ ề x + y + xy = 8á ỉ ểééểì ỉ ỉ x(1 + y) = yá ìể x = 8y +1 ì ì ề y + z + yz = 15á ỉ ểééểì ỉ ỉ z(1 + y) = 15 yá ìể 15 y z= ậ ìỉ ỉỉ ề ỉ ì ềỉể ỉ ỉ ệ ề ế ỉ ểề í é ì ỉ ỉ y+1 15 y y+1 ìể + 8y y+1 23 2y y+1 ề + + 15 y y+1 8y y+1 120 23y + y (y + 1)2 = 35 = 35 (23 2y)(y + 1) + 120 23y + y = 35(y + 1)2 è ệ ểệ 23y + 23 2y 2y + 120 23y + y = 35y + 70y + 35 ìể = 36y2 + 72y 108 = 36(y2 + 2y 3) = 36(y 1)(y + 3) è ìá y = y ểệ y = ậ ề y ì ề ỉể ễểì ỉ y = 1á ề ỉ ìá x = y8 = +1 ề z= 15 y = y+1 ề x + y + z + xy = 7 + + + ã = 15 2 ẵ éìể ìểé í ặ ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá ẽ é ểệ ìểé ệì ệỉ ểệ ìểéỉ ểề ì ểì ẹ ệ é ìỉ ẹ ề ẹểệ é ềỉ ìểéỉ ểề ì éìể ễểìì é x + y + xy = 8á ỉ ề x + y + xy + = 9á ề ềể ỉ é ỉạ ề ì ề ỉểệ (x + 1)(y + 1) = ậ ẹ é ệéí ỉ ểỉ ệ ỉể ề ế ỉ ểềì í é ỉ ỉ (y + 1)(z + 1) = 16 ề ỉ ỉ (z + 1)(x + 1) = 36 éỉ ễéí ề ỉ é ìỉ ỉể ể ỉ ì ế ỉ ểềì ề ề í ỉ ơệìỉ í é ì ỉ ỉ (y + 1)(z + 1)2 (x + 1) 16 ã 36 = (x + 1)(y + 1) ìể (z + 1)2 = 64á ìể z + = ềể ểééểì ệểẹ ỉ ơệìỉ ể ỉ 8á ìể z = ểệ z = ềá z ì ễểì ỉ ìể z = ỉ ề ế ỉ ểềì ỉ ỉ x + y + z + xy = + = 15 è ềẹ ệ ể ẹì ệểểẹì ỉ ệ í 11 ểíì ề ỉ ễ ệìểề ỉ ệ ề ĩ ỉéí ỉ ì ẹ ềẹ ệ ềỉ ệ n ậểéỉ ểề í ẽ ềạè ề ệề íá ềá ìỉ ềỉá ệéì ì n2 + 9n 2á ỉ ệẹ ề ỉ ễểì ỉ n ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ỉ ệ n n++9n11 ẹì ệểểẹì ặể n2 + 9n = (n + 11)(n 2) + 20á ìể ỉ ềẹ ệ ể ẹì ệểểẹì ì 20 n2+ è ì ẹìỉ ề ềỉ ệá ìể n + 11 ẹìỉ 20 ậ ề n n + 11 ì ềểềề ỉ n = ể ỉ n + 11 é ệ ề ẹìỉ éìể ìểé í ặ ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá èầè ìỉ ềỉá ấ ẩ éẹ ệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ấ ẹểề ẻặ ặè ặ ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ề ậ ẽ ặ ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá ầề ề ì ễểéíềểẹ é ì ểề ỉể ơề ỉ ỉ n2 + 9n = (n + 11)(n 2) + 20á ểệ íể ề ì ìì ề n2 + 9n = (n + 11)P + Rá ỉ ề P ẹìỉ ểềỉ ề ề n ỉể ỉ n2 ểề ỉ ểỉ ệ ì è ì n2 + 9n = (n + 11)(n+?) + R è ế ìỉ ểề ẹ ệ ẹìỉ ỉể ỉ 9n ểề ỉ ểỉ ệ ì ìể R = 20 ểééểì è ễểì ỉ ềỉ ệ x ì ì ỉ ỉ ểỉ ềỉ ệì ề ỉ ìẹ ể éé ì ềỉ ệì x x ề x + 99 ệ ìế ệ ì ể ậểéỉ ểề í éé ề ềá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ậ í x = n2 ề x + 99 = m2 è ề 99 = m2 n2 = (m + n)(m n)á ìể 99 ì ệ ỉỉ ề ì ỉ ễệể ỉ ể ỉể ềỉ ệì è ì ì ểềéí ễểìì é ề ỉ ệ íì m+n mn m 99 50 33 18 11 10 ậẹ n 49 15 x = n2 2401 225 2627 éìể ìểé í èầè ìỉ ềỉá ấ ẩ éẹ ệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ấ ẹểề ẽ ặạèặ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ấậè ặ ặậ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ề ậ ẽ ặ ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá ẵ è ì é ề ỉ ì ể ệ ỉ ỉệ ề é ệ éé ễểì ỉ ềỉ ệìá ề ỉ é ề ỉ ể ểề ể ỉ é ì ì ỉ ẹểìỉ 20 è ệ ỉ ể ể ỉ ệ ẹệ ì ỉể ỉ ềệ ì ể ỉ ì ỉệ ề é ì : ỉ ệẹ ề ỉ ẹ ĩ ẹẹ é ể ỉ ễ ệ ẹ ỉ ệ ể ỉ ì ỉệ ề é ậểéỉ ểề í ỉ ỉểệì ệìỉ é ỉ ì ệ ỉì ệểẹ ểẹ ỉệí è ề é ỉ ề ỉ ề ềỉ ỉể ệ é ề ỉ r x ệ ì ỉể ỉ ễể ềỉ ể ỉ ề ề í ì 90 è ệ ểệ íể ề ì ỉ ẩíỉ ểệ ề è ểệ ẹ ề ể ỉ ỉể ỉệ ề é ì ề ỉ ệ è ìế ệ ể ỉ é ề ỉ ể ỉ ểỉỉ é ề ế éì ểỉ x2 + r2 ề y r y + r è ệ ểệ x = y ỉ ỉ ìá ềỉ ệì ỉ ề ỉ ề ềỉì ệ ế é ểềì ệ ỉ ệ ỉạ ề é ỉệ ề é ABC A ỉ M ỉ ẹ ễể ềỉ ể AC ề é ỉ N ỉ ẹ ễể ềỉ ể AB è ề M N ì ễ ệ éé é M ỉể BC ìể AN M ì éìể ệ ỉạ ề é ìạ N ề ỉ ẩíỉ ểệ ề è ểệ ẹ ề AN M ề ề BN M ỉ ểééểì ỉ ỉ AM = BM è ì M ì B C ỉ ềỉệ ể ỉ ệ é ỉ ệể Aá B ề C ặể ề ỉỉ ỉ ễệể é ẹ ể ìỉ ì ề ỉ ỉ ì ề ỉ ỉệ ề é ì ệ ỉạ ề é ỉì íễểỉ ềì ì ẹ ỉ ệ ểệ ỉ ệ ẹì ệ ệ é ểì ệ ì ì ỉ ệ ểệ c/2 ỉ r ỉ ệ ì ể ỉ ềì ệ ệ é ặểỉ ỉ ỉ ỉể ể ỉ ệ ề ỉ ệ ỉể ỉ ệ ỉ ễ ệỉì ể ỉ é ỉ a c ề ểỉỉểẹ ì ì ể ỉ ỉệ ề é ểệẹ ìế ệ è ệ ểệ ỉ é ề ỉ ể ỉ ệ .r ẹ ề ề ễ ệỉ ể ỉ é ỉ ì ì ar ề ỉ é ề ỉ ể ỉ ệ ẹ ề ề ễ ệỉ ể ỉ ểỉỉểẹ b ì ì b r ậ ề ềỉ ệì ỉ ề ỉ ề ềỉì ệ ế éá ỉ ì ẹ ềì ỉ ỉ c = ar+br è ì r = (a + b c)/2 ậ ề ỉ ệ ỉ ể ể ỉ ệ ẹệ ì ỉể ỉ ềệ ì ì : 2á c/2 (a + b c)/2 è ệ ểệ c = a+bc ìể 2c = = 5a + 5b 5cá ìể c = (a + b) íỉ 25 ẩíỉ ểệ ề è ểệ ẹá a2 + b2 = c2 = 25 (a + b)2 = (a + 2ab + b2 ) 49 49 ề 49a2 + 49b2 = 25a2 + 50ab + 25b2 ìể 24a2 50ab + 24b2 = 0á ìể 2(4a 3b)(3a 4b) = è ì a : b = : ểệ a : b = : ỉ ệ í ỉ ề ỉệ ề é ì 3ò4ò5 ỉệ ề é ắẳẳ è ì ểệỉ ìỉ ì ì ề ỉể ỉ ẹểìỉ 20 è é ệ ìỉ ẹéỉ ễé ể é ìì ỉ ề ểệ ế é ỉể 20 ì 18 è ìá ỉ ì ì ệ 18á 24á ề 30á ề ỉ ẹ ĩ ẹẹ é ể ỉ ễ ệ ẹ ỉ ệ ì 72 ỉ ỉ é ệ ệ ệểểỉ ể (2004x)2 2003 ã 2005x = ề ỉ ìẹ éé ệ ệểểỉ ể x2 + 2003x 2004 = ỉ ệẹ ề ỉ é ể ậểéỉ ểề í è ẹểỉ í ìỉ ềỉá ấ ẩ éẹ ệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ấ ẹểề è ểềìỉ ềỉ ỉ ệẹ ể ế ệ ỉ ễểéíềểẹ é ì ỉ ễệể ỉ ể ỉì ệểểỉì ểỉ ễểéíềểẹ éì ề ỉ ểềìỉ ềỉ ỉ ệẹìá ìể ểỉ ẹìỉ ểề ễểìạ ỉ ề ểề ề ỉ ệểểỉ ậ ề 2003 ã 2005 = (2004 1)(2004 + 1) = 20042 ề 20042 (20042 1) = 0á ểề ể ỉ ệểểỉì ể ỉ ơệìỉ ễểéíềểẹ é ì ậ ề ỉ ểỉ ệ ệểểỉ ì ề ỉ = è ì ểề ễểéíềểạ ẹ é ì ì éí ỉểệ ì (x 1)(x + 2004)á ề = 2004 è ệ ểệ = 2005 éìể ìểé í ẽ ặạèặ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá èể ì ỉ ỉ ỉ ểềìỉ ềỉ ỉ ệẹ ể ế ệ ỉ ễểéíềểẹ é ì ề ỉ ễệể ỉ ể ỉì ệểểỉìá ệ ệ ểềì ệ ỉ ỉ (x a)(x b) = x2 (a + b)x + ab ì ẹ é ệ ễệểễ ệỉí ểé ì ểệ ễểéíềểẹ éì ầề íể ệ é ì ỉ ỉ 2003 ã 2005 = 20042 1á ỉ ơệìỉ ễểéíềểẹ é ì éìể ìí ỉể ỉểệ ì (20042 x + 1)(x 1) ễểì ỉ ềẹ ệ ì ỉ ỉ a2 + a12 ỉa ể a + a = ỉ ệẹ ề ỉ é ậểéỉ ểề í ỉ ậ ề a+ a a+ a ỉểệì a+ = 7á a ề a = = = a2 + + a ìể a + = ì a+ a a+ a3 + 2a + è ệ ểệ a3 + a13 = a+ a a ỉ ểééểì ệểẹ ỉ ề ì ễểì ỉ ậ ẹ é ệéíá a = a+ ề ỉ ệ ABCD ì ệ ỉ ề é ỉ AB = ì ỉ ỉ ỉ ì ẹ ệ é ỉ ẹ ỉ ệ AB ỉì CD ỉ ỉể ễể ềỉì ỉ ìỉ ề ệểẹ ểề ể ỉ ẹ ỉể A ì 4á ơề ỉ ệ ể ABCD a = a3 + a + a a2 + + +a+ + a a a ề ế ỉ ểề ỉ ỉ a a2 a+ + a3 = ( 7)3 = D C A B ắẳẵ ậểéỉ ểề í ề ể ìỉ ềỉá ểé ềỉ ề é ậ ểểéá ểế ỉé ẹá ậ ề AB ì ẹ ỉ ệ ề P ì ểề ỉ ệ é AP B = 90 ậ ề AP = ề AB = 5á ỉ ểééểì ỉ ỉ BP = D P C 3ã4 ề ỉ ệ ể ABP ì = íể ềìỉ ì AB ì ỉ ì ể ỉ ỉệ ề é ỉ ề ỉ ỉ ế éì ỉ é ề ỉ ể BC è ệ ểệ ỉ ệ ể ỉ ệ ỉ ềạ A B é ì ỉ ỉ ệ ể ỉ ỉệ ề é ìể ỉ ệ ể ỉ ệ ỉ ề é ì 12 éìể ìểé í ấậè ặ ặậ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá ầệ ìểé ệ ì ỉ ỉ ỉ P ì ểề ỉ ệ é ỉ ẹ ỉ ệ ABá ỉ ề AP B = 90 èể ễệể ỉ ì ỉá ệểỉ ỉ ỉ ỉệ ề é ệểề ỉ ềỉệ ể ỉ ệ é ỉể ể ỉ ề ỉ ểỉỉ ễ ệỉ ề ỉ ệ ểề ỉ ệ ỉ í ểềìỉệ ỉ ểềá ỉ ểệ ì ễểéí ểề ì ễ ệ éé éể ệ ẹ ậ ề ểỉ ểề éì ệ ẹ ỉ ệì ề ỉ ệ ểệ ế éá ỉ ễ ệ éé éể ệ ẹ ẹìỉ ệ ỉ ề é ề AP B = 90 ỉa ỉ n ẵẳ ễểì ỉ ềỉ ệ 10 a n ì ề ềỉ 10 ệá 10 10 ããã ỉ ệẹ ề ỉ n1 ệ ì n ẹ ĩ ẹẹ é ể a ậểéỉ ểề í ệ ìỉ ề ềì ềá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá è ìẹ ể ỉ ểẹ ỉệ ì ệ ì ì 10 1+ + 10 + ããã + 10 n1 = è ệ ểệ a = ểệ ỉ ì ỉể ề ỉểệ ểềỉ ì ị ệể í é ệ ệể ỉ n 10 n + 10 = 10 n n 10 n + = (n 9) 10 n = 9(n 9) + 81 ề ềỉ ệá ỉ ệ n = ểệ n = n > 1á ỉ ềì ỉểể ẹ ềí ểễ ì ể ĩ ễỉ ề n = ề é í ẹ ệ é n = 1á ỉ ề a = n = 9á ỉ ì ì 81á ì ỉ ẹ ĩ ẹẹ é ể a ề ỉểạ ỉ ềẹ ệá ỉ ỉ ềì ễệể ỉ ể ỉ ì ỉể ỉì ì ì é ềẹ ệ ẵẵ 10 n 10 ềỉ ềểẹạ ỉ ềẹ ệ ỉểệ ề a = 81 è ỉ ì ệ ỉ ệ ỉ ề ỉ ểề ì ỉ è í ỉ ệ ìẹ ẽ ỉ ì ỉ ì ỉểạ ỉ ắẳắ ậểéỉ ểề í é ề ìỉ ềỉá ẩểệỉ ểể í ậ ểề ệí ậ ểểéá ẩểệỉ ểể íá ềí ỉểạ ỉà ẹéỉ ễé ể ỉ ề ì ỉ ìơ ì ỉ ểề ỉ ểề ầỉ ệ ì ỉ ềẹ ệ ểềỉ ềì ỉ ỉ1 ề ỉ ỉ dá ỉ ểề ỉ ểề ì ỉ ỉ d ì ì é í d + ì ẹễểìì é è ì é ì ìỉ 28 ềẹ ệì ỉể ểềì ệ 32á 42á 43á 52á 53á 54á 62á 63á 64á 65á 72á 73á 74á 75á 76á 82á 83á 84á 85á 86á 87á 92á 93á 94á 95á 96á 97á ề 98 è ì ệ ì éí ểề í ểề ểềéí 63 ểệ ì ểỉ è ì ỉ ìểéỉ ểềì ệ 10á 20á 30á 40á 50á 60á 63á 70á 80á ề 90 éìể ìểé í èầè ìỉ ềỉá ấ ẩ éẹ ệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ấ ẹểề ề ỉ ệ P QRS ì ệ ỉ ề é ể ệ 10 A ì ễể ềỉ ểề RS ề B ì ễể ềỉ ểề P S ì ỉ ỉ ỉ ệ ể ỉệ ề é QAB ì ỉ ệẹ ề ỉ ìẹ éé ìỉ ễểìì é é ể P B + AR P B S ẵắ Q A R ậểéỉ ểề í ẻ ề ềỉ ề ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệềạ íá é ỉ é ề ỉ ì ì ề ỉ ệ ậ ề B xy P .y S ệ ì ể ỉ ệ ể QAB ì 4á ỉ 10 z ỉ ệ ẹ ề ề ỉ ệ ỉệ ề é ì ẹìỉ ễ x 10 ỉể è ỉ ìá ( 10 z)(x y) x éỉ ễéí ề + 10y í2 ề 10 2x + xz = ĩễ ề ề í é ì x Q x A z R 10y 10y xz + yz + + xz = 12 x x ìể yz = è ìẹ éé ìỉ ễểìì é é ể P B + AR = y + z ì ỉ ỉể ỉ ểềạ ìỉệ ềỉ ỉ ỉ yz= ì ể ỉ ề ề y = z è ề y = z = ề P B + AR = 2 éìể ìểé í ấậè ặ ặậ ặá ìỉ ềỉá ệề í ặểệỉ ậ ểề ệí ậ ểểéá ệề íá è ì ìì ì ễệ ị ể ểề ểễí ể ấ ỉ ểệ ỉ ìỉ ìểéỉ ểềì ể ì ỉể è ẹểỉ í ìỉ ềỉá ấ ẩ éẹ ệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ấ ẹểề ẽ ểề ệ ỉé ỉ ểệ ìểé ệì ểề ỉ ệ ì ìì ỉ ệ ỉ ệ ặ éỉ ểềạ ỉ ìỉ ề ểễ ỉ ỉ ỉ í ề ểỉ ệ ệ ệì éé ểềỉ ề ỉể ì ẹ ỉ ìểéỉ ểềì ỉể ểệ ễệể é ẹì ắ ắ ẩệểễểì í ậẹ ề éỉ ểẹẹ éá ỉ ặ ỉ ệé ề ì èệ ề é ABC ì ệ ẹ ềỉệ Oá ệ ẹệ ì Rá ểệỉ ể ềỉệ H ì é ề ỉ ì aá bá cá ề éỉ ỉ ì ADá BE CF ệ ễể ềỉì Dá E F é ểề é ệ é ề ể ỉệ ề é ABC ềỉ ệạ ỉ ì ì BC AC AB ệ ìễ ỉ éí è ì ỉì BC ề P ề HC ề Qá ề ỉ ế ệ é ỉ ệ é ABP Q ì ề ềì ệ ệ é ậ ể ỉ ỉ a2 + b2 = 6R2 ề ĩễệ ìì ỉ é ề ỉ ể P Q ề ỉ ệẹì ể aá bá c ẵ ắ ẩệểễểì í ểìẹ ề ẩể ể ỉ è ểệ ẻ ề ặ ỉ ểề é ểéé ệ ìỉá ấểẹ ề è ẹ ĩỉ é ề ệ ề ệ é ì ể ỉệ ề é ABC ệ ỉ ỉ ệ ệ é ì ỉ ề ềỉ ỉể ỉể ì ì ề ỉể ỉ ệ ẹ ệ é ềỉ ệề ééí ỉ ỉ ệ é ỉ ề ềỉ ỉể ể ỉ ì ỉ ệ ệ é ì ềỉ ệề ééí ẩệể ỉ ỉ ì ểệỉ ể ểề é ỉể ỉ ệ é ễ ìì ề ỉ ệể ỉ ề ềỉệ ề ỉ ìể íề ẹ ễể ềỉì ể ỉ ỉệ ề é ABC ỉ A ỉ ệ é ễ ìì ề ỉ ệể A ề ỉ ềỉ ệì ỉ ểề ễể ềỉì ể ỉ ềỉ ệề é ề ĩỉ ệề é ề é ì ỉểệì ỉ A ỉ ỉ é ề BC è ìể íề ẹ ễể ềỉì ệ ỉ ỉể ễể ềỉì ỉ ỉ A B ề C ề ểẹẹểề ẩệểễểì í ẹ ỉ ẹ ỉ ậ ềá ề ệ èệ í èệ ề é ABC ì ềệ ì rá ệ ẹệ ì Rá ề ề é ì ỉểệì [AD]á [BE]á [CF ]á ệ ễể ềỉì D E F é ểề ỉ ì ì BC AC AB ệ ìễ ỉ éí ỉ R ỉ ệ ẹệ ì ể ỉệ ề é DEF ẩệể ỉ ỉ R R4 16r ẩệểễểì í ẹ ỉ ậ ềá ề ệ èệ í èệ ề é ABC ì ĩ ềỉệ ì Ia Ib Ic ề Ha Hb Hc ệ ỉ ềỉệ ì ể ỉệ ề é ì Ia BC Ib CAá Ic AB ệ ìễ ỉ éí ẩệể ỉ ỉ ệ (Ha CHb AHc B) = ệ ểệỉ ểạ (ABC) ẩệểễểì í é ỉ éé ấể ềá ệ ề ề é ề ề ễể ềỉì A ề B ỉ A / ề B ơề ỉ éể ì ể ễể ềỉì P ề ỉ ệ ễé ề ì ỉ ỉ P A + QB = P Q ểệ ề ế ễể ềỉ Q ể ẩệểễểì í é ỉ éé ấể ềá ệ ề ỉn ễểì ỉ ềỉ ệ ẩệể ỉ ỉ (n2 ) < k=0 (1)k n+k nĂ k nn ắ ẩệểễểì í ểì ì ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ỉ ẩểé ỉ ề ỉ éềí ệ éểề ậễ ề èệ ề é ABC ì ễ ệ ẹ ỉ ệ ế é ỉể 1á ềệ ì rá ệ ẹệ ì ề ì é ề ỉ ì aá bá c ẩệể ỉ ỉ b a c + + 1a 1c 1b ẩệểễểì ẻ ỉề ẹ ỉ xá yá ề í ẩ ẹ ẻ ề è ềá ềể ề ệì ỉí ể ậ ề ềể ềểềề z ỉ ệ é ềẹ ệì ẩệể ỉ ỉ x2 + y + z xy yz zx x2 xy + y x + y + z + í é + 4r(r + 4R) Rá ẩệểễểì í ề ẩ ẹ ẹá ìỉ ềỉá ậỉ ề ểệ ề ệì ỉíá ẩ éể ậ ỉ aá bá ề cĂ ềểềề Ă ỉ ệ Ăé ềẹ ệì ì ỉ ỉ a + b + c = ẩệể ỉ ỉ + a2 b + b2 c + c2 a + 3abc éỉểá ẳ ẩệểễểì í ầ ệ ề ỉ ìẹ n+m n+m (1) n=1 m=1 ỉ ệ ểệ ẹễ èệị é ấểẹ ề ệ ểề ỉ ln i=1 n+m+i ệệ ềỉ ì ỉ ỉ ểề ệ ệ ề ệỉ é ì ề ấ ểệ ệ ểì ệ ìểềìá ềể ệỉ é ì ễễ ệ ề ỉ ơệìỉ ểệ ìì ì ể ỉ ì í ệá ề ỉ ệ ì ề éể ể ệỉ é ì ểệ é ềể ầề ệ ìểề ì ỉ ỉ ỉ ệ ì ềểỉ ẹ ìễ ểệ ệỉ é ì ề ấ ỉ ỉể ề ỉ ểệ ềìỉ ề ểềéí ề ề ệỉ é ì ễễ ệ ề éé ể ắẳẳ ểệ ỉểỉ é ể ểỉ ể ẵắ ễ ìá ì é ìì ỉ ề ể ỉ ỉểỉ é ễ ểềỉ ềểỉ ệ ệ ìểề ì ỉ ế ềỉẹ ề ỉệ ể ỉ ễ ểềỉá ì ỉ ệ ểệ ễ ì ễ ệ ìì ề ễệể ề ễ ìì ì ề ỉệ ééí ệ ệ ề ệỉ é ìà ệ ế ệ ì é ệ ệ ề ệ í ễ ỉ ỉể ẽ éé ẹ ề ỉể é ệ ỉ éể ề ỉ é ìỉ ểệ ìì ì ể ắẳẵẳ ề ệéí ề ắẳẵẵá ề ỉ ề ểệ ểềỉệ ỉểệì ểệ ỉ ệ ễ ỉ ề ề ỉ ệ ểềỉ ề ềỉ ệ ìỉ ề ềỉ ì ìẹ ểệ ệỉ é ì ề ấ ỉ ẻ é ẻ ịịà ề ắ ậầèầặậ ề ễệể é ẹ ề ìỉ ẹẹ é ỉ ệ ìỉ ỉể ểệì ệ ĩ ềạ ì ệ é ễ é ỉ ểề ềể éé ì ìểéỉ ểềì ể ềể éé ì ễ ệìễ ỉ ì ễểệỉ ềỉ ìệ ì ễệể é ẹ ì ềỉ ệ ệì ẳ ắẳẳ ắá ắ ẩệểễểì í ỉểì ề á ễ ề è ệ ệ N ể ềì ểề ỉ é éé ể ỉ ì ẹ ì ị è ì N ể ềì ề ệệ ề ề ìế ệ ề ỉ í ề éìể ệệ ề ềỉể ề ế é ỉ ệ é ỉệ ề é ề N ậểéỉ ểề í ể ề ềì ề ấ ậỉểề ểệ ậểỉ ệề ề ệì ỉíá ậỉ ỉ ì ểệểá ậ ẽ ệ ỉểé ỉ ỉ ỉ ềẹ ệ ể ể ềì ì ỉ ìơ ì N = s2 ểệ ìểẹ s 1á 1) ểệ é ỉ ỉ ì ẹ ỉ ẹ ỉ ì ỉệ ề é ệ ềẹ ệ ìể ỉ ỉ N = t(t + ìểẹ t ỉ ệ ìểẹ é ệ ơề ỉ ì ểề ỉ ểềì ỉể ế é ềỉ ỉể ỉ ĩ ìỉ ề ể ễểì ỉ ềỉ ệì x = 2t + ề y = 2s ểệ x2 2y = ẽ ệ ể ề ị ỉ ì ỉể ẩ éé ế ỉ ểề ì ề ỉ ỉ ẹ ể ệ ẹ ễỉ ề ỉ ì ềỉ ềỉệíá ỉ ì ề ềểề ỉ ỉ ì ề ế ỉ ểề ì ềí ìểéỉ ểềá ỉ ề ỉ ì ềơề ỉ éí ẹ ềí ìểéỉ ểềì è ìểéỉ ểề ỉể ỉ ì ẩ éé ế ỉ ểề ì ể ỉ ề ẵẵẳẳ í ệì ểệ ệ ẹ ễỉ í ỉ ẩíỉ ểệ ềì ề ệ ề ề ễ ề ềỉéí ệểề ỉ ỉ ỉ ẹ ề ề ểệ ề ỉể ỉ ỉ ểệíá ỉ ế ỉ ểề ề é é ỉ ệ ệì éíá ì ễ ệì (x, y) ỉ ỉ ì ỉ ì í ỉ ễểề ỉ ề ỉ é ìểéỉ ểề (x1 , y1 ) = (3, 2) ề ỉ ỉể ệ ệì ế ỉ ểềì xk+1 = 3xk + 4yk yk+1 = 2xk + 3yk ểệ k è ệ ểệ ểệ ểệ ễệể é ẹá ỉ ễ ệì (s, t) ề éìể é é ỉ ệ ệì éí sk+1 tk+1 ẽ é ìỉ ỉ = = ơệìỉ ìểéỉ ểềì ể ỉ x ẵ y ắ ẵắ ẳ ẳ ắ ẵ ẳẵ ẵ ẳ s= ẵ y ắẳ ẵẵ ẳ 2tk + 3sk + 3tk + 4sk + ẩ éé ế ỉ ểềá éìể ề t= x1 ẵ ắ ẵ ẵ ẳẳ N = s2 = sá tá t(t + 1) ẵ ẵắắ ẵ ẵ ẵ ẵ ắẵ ẳắ ẳẳ ề N ắ éìể ìểé í ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề è ấể ềá ệ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ặ ầ ấ ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ề ể ệ ấểẹ ề ẩ è ấ ấè ểéẹ ểéé ẻ ề ể ệá ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ẻ ẻ ầặ ặ ấ ễ ìá ậ è ặ ẽậá ậặ ầì ểá ầì ểá ặ ậ ầấ ậ ề ệá ềểề ậậầấ ậè è ặẻ ấậè ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ậễệ ề é ầá ậ ấậèặ ầấè ẻ é ề ệì ỉí ể è ệ ể ìỉ ấểẹ ề ặ ấ ậ ĩ ệệ ệ ề ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ặ ậẽ ặá ấ ỉ ẩ ặầậ èậ ầậậầ ầá ỉ ềìá ệ ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ èè ẻầặ ấá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ề ỉ ễệểễểì ệ è ễệểễểì ệ ểề ỉ ễệể é ẹ ề ìẹ éé ẹ ềì ệ ễỉ ỉ ỉ ỉ ỉé í ậ ềễểá ểệ ìỉ ệễ ể ỉ ẹ ỉ ìá ệ ỉỉ ề í ẹ ặ ểềể ẵ ắạẵ ề ỉ í ểề ể ì ìỉ ềỉì ề ẵ ỉ ỉ ỉ ì ẹ ỉ ẹ ề ệểễ ề ề ễ ề ềỉéíá ì ễ ề ì ỉ ề ề ỉ ẹ ìỉ ể ỉì éểề ễ ệ ể ể ìểé ỉ ểềà é ệ ềì ệ ỉ ì ế ìỉ ểề ề ẹểệ ề ẵ ễ ễ ệ è ệ ì ềể ìỉ é ỉ ệ ỉệ ểề ỉ ì ìế ệ ỉệ ề é ệ ềẹ ệì ỉ ỉể ễ ì é ìỉ éể ểềỉ ề ệỉ ệ ểệẹé ì ề ệ ệ ề ì ểệ ĩ ẹễé ỉ ểệẹé ểệ ỉ nỉ ìế ệ ỉệ ề é ềẹ ệ ì Nn = (1 + 2n 2) (1 2)2n 2 éẹểìỉ éé ì ẹ ìì ểềì ììẹ ỉ ỉ ểệí ể ẩ éé ế ỉ ểềì ỉể ể ệá ì ỉ ệ ệì ểệẹé ểệ Nn ỉ ỉ ì ìỉ é ì ề ễ Nn+1 = Nn ễ Nn1 éé ềểề ỉ éé éìểá ệỉ ì ìểéỉ ểề ìễé í ềểỉ ểệỉ í ề ề ỉí ể ỉ ề ề ỉ ìểéỉ ểề í ẹ ề ễé ỉạ ề ệ ẹì ậ éểì ệ ệ ìì ỉ ế ìỉ ểề ể ỉ ế ềỉ ỉí ể ể ềì ểé ề ỉá ệệ ề ỉể ơỉ ểề ỉ é è ìẹ éé ìỉ ặểệỉ ẹ ệ ề ể ề ì ẹ ỉ ệ ể ểỉ 1.8 ẹ ỉ ậ ẹ ẹ ìệ ì 1.791 ẹ ệểìì é ỉ ề ề ẹ ẹ ìệ ì 1.803 ẹà ề ế é ỉ ệ é ỉệ ề é ểềì ìỉ ề ể 1225 ẹ ìá 49 éểề ì ểé ơỉ ểề ỉ é 88 ẹ ì 76 ẹá ì ệ ìểề é ì ị ểệ ỉ é ỉ ể ểé ôểệ ỉ ỉ ẹ ềí ẹ ì ậ ệểể ỉ ểệé ì ệ ìỉ ềỉ ỉể ệệ ề ìế ệ ể 41616 ẹ ì ỉ 204 ễ ệ ì àá ểé ề ỉ é ểì ỉ ì ểỉ 3.7 ẹ è ì ểẹễỉ ỉ ểề ì ìỉì ỉ ỉ ỉ ễệ ỉ é ềì ệ ỉể 1á 36á ểệ 1225 ểề ềí ềỉ ìỉ ễ ệỉ ệ ề ỉể ỉ ế ìỉ ểề ì ỉ ỉ N ểé ì ềỉ ì ễ ỉệ ể ệ ìỉẹ ì ỉệ ểì ỉệề ểềì ìỉì ể ìế ệ ể 36 ễ ềề ìá ỉểễễ í ề ế é ỉ ệ é ỉệ ề é ể 36 ễ ềề ì ỉ ỉ ỉ ểé ệì ề ỉ ệ ìỉẹ ì ì ìểề ỉ ỉể ệ ễệể ì ễ ỉệ ề ểệ í ìì ấ ệ ề ì ẵ ắ http://mathworld.wolfram.com/SquareTriangularNumber.html http://en.wikipedia.org/wiki/Square_triangular_number ééá ậế ệ ạỉệ ề é ệ ềẹ ệì ỉ ị ỉỉ éí ắẳẳẳàá ắ ắạắ ẵ ắẳẳ ắá ắ ẩệểễểì í ầ ệ ẹễ èệị é ấểẹ ề ỉ ABCD ểề ĩ ế ệ é ỉ ệ é ề é ỉ P ễể ềỉ ề ỉ ềỉ ệ ểệ AB BC CD ể ABCD ì ỉ ỉ P A = P B = P C = ề P D = DA 2 2 ẩệể ểệ ìễệể ỉ ỉ ABCD ì ìế ệ ắ ậểéỉ ểề í ììểệ ậỉ ỉ ề ệì ỉí ẩệể é ẹ ậểé ề ệểễá ậễệ ề é ầá ậ ề ề ẻ ệìỉ ệá ềỉé ề ề ệì ỉí ểéé ẽ ì éé ì ể ỉ ỉ ABCD ề ềểỉ ìế ệ ểệ ểềỉ ệ ĩ ẹễé ơề P ỉể ỉ ẹ ễể ềỉ ể ì ẹ ềỉ AC ềí ể é ề ỉ 2á ề é ỉ B ễể ềỉ ể ỉ ệ é ỉ ềỉệ A ề ệ ì ỉ ỉ ì ềểỉ ểề ỉ é ề AC è ẹ ề ệểẹ B ề ỉệ ề é ABC ì ỉ ìơ ì 4P B = 2AB + 2BC AC = + 2BC = 2BC è ìá ì éệ ễể ềỉ ểề ỉ í ểỉ AB PA = ệ é ỉ ềỉệ C BC ề PB = ì 2á ề ệ ậ ẹ é ệéíá D CD PC = ề P D = DA ểề ỉ ểề ỉ ỉ ABCD ểề ĩá ẹìỉ èể ì ỉ ì í ỉ ệ ìỉệ ỉ D ỉể ỉ ỉ ễểệỉ ểề ể ỉì ệ é ề ỉ ềỉ ệ ểệ ể ABC ề ề ỉ ĩỉ ệ ểệ ể ABC ểệ ìễ ĩ ẹễé ểểì D ỉể é ểề ỉ é ề BP ỉ ềá ì ề P ì ỉ ẹ ễể ềỉ ể ểỉ AC ề BDá ABCD ì ễ ệ éé éể ệ ẹ ề ỉ ệ ểệ ểề ĩ ỉ éé ềểỉ ìế ệ ểệ ềí B ỉ ỉ ể ì ỉ ễ ệễ ề é ệ ì ỉểệ ể AC éìể ìểé í ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ặ ầ ấ ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ề ể ệ ấểẹ ề ẻ ẻ ầặ ặ ấ ễ ìá ậ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ặ ậẽ ặá ấ ỉ ề ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ắ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì í íểề éé ề ìỉ ềỉá ềíạ ểề ểệ ề ề ậ ểểéá ậ ểéá ậểỉ ểệ ề ậề ậểể ẹá ềí ề ề ệì ỉíá ậ ểéá ậểỉ ểệ ỉC ệ ỉ ệ é ệ ểề ề é ỉ D ì ể ơĩ ệ ì éí ề ỉ ềỉ ì ể ỉ ểề C ẩệể ỉ ỉ A ì ỉ ệ ể ỉ ỉ ễ ệỉ ể ỉ ểề éí ề ệ ỉéí ể Dá ỉ ề A ì ề ễ ề ềỉ ể ỉ ễểì ỉ ểề ể ỉ ì D ậểéỉ ểề í é ệỉ ậỉ é ệá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ẽ ỉ ểỉ éểìì ể ề ệ é ỉí ề ììẹ ỉ ỉ ỉ ỉ ề ỉ ệ é ề ỉ ỉ ỉ ế ỉ ểề ể ỉ ểề ì z = f (u, v) = a ễ u2 + v è ề fu = fv = au u2 + v av u2 + v á ì ể ỉ ểề ì ắ ề ỉ ệ ể ỉ ỉ ễ ệỉ ể ỉ ỉ ề ỉ ề ỉ ệ é ì ểề éí ề ể ệ ểề D ề ễé ề ề + (fu )2 + (fv )2 du dv A = D = 1+ D ễ a2 u2 u2 + v + a2 v u2 + v + a2 du dv = = D í é ìỉ ìệ ệ du dv ễ (D) a2 + ểề éì ểề éìể ìểé í ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ậậầấ ậè è ặẻ ấậè ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ậễệ ề é ầá ậ ề ỉ ễệểễểì ệì ỉ ỉ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì í ể ề ẫ ề ặ í ề ề ẹ ậ ểểéá ẻ ề ểề ẻ ỉề ẹ ỉ aá bá ề c ễểì ỉ ệ é ềẹ ệì ì ỉ ỉ a + b + c = ẩệể í é ậểéỉ ểề í ệ ẽ í é a2 (b + 1) a + b + ab a2 (b + 1) a + b + ab í éỉá ậ ề ểì = í é = í é = í é ậ a2 (b + 1) a+1 a + b + ab a+b a + b + ab a+b í é a+b+ (a + b)2 4 = ã (4 + a + b) 4+a+b 18 í é 4+a+b í é ã = 2á 18 ệ ì ỉ ỉ ỉ ỉ (x + y + z)( x1 + y1 ẩ ềẹ ệì xá yá z ề ỉ ỉ (4 + a + b) = 18 + )9 z ểệ ễểì ỉ ệ é í é éìể ìểé í ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ầặ ẻ ấá ệ ề ẩệ ệ ầ ầẽ ấ ẩểệỉ é ìá ặá ậ ặ ầ ấ ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ề ể ệ ắ ấểẹ ề ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ạẽ ểề ểề ề è ặầậ ầậá ệ ậ ểểé ể ểị ề ểị ề ệ ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ặ ặ ặ ặá ậỉ ềỉá ềể ề ệì ỉí ể è ềểéể íá ềể ẻ ỉề ẹ ấ ầ ầậ ẻ ểệề é ềể ậ ệ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ẩ ặầậ èậ ầậậầ ầá ỉ ềìá ệ ậè ặ ẽ ầặá é ìỉ ệ ểéé ậỉ ẩ éá ặá ậ èè ẻầặ ấá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ề ỉ ễệểễểì ệ é ỉ éé ấể ềá ệ ề ễể ềỉ ểỉ ỉ ỉ ỉ ì ễệể é ẹ ễễ ệ ì ẩệể é ẹ ặể ắắ ề ỉ ĩ é ệá ẻểé ẵ ặể ẵá í ỉ ì ẹ ễệểễểì ệá ỉ ìểéỉ ểề ễễ ệ ề ề ẻểé ẵ ặể ắ è ìểéỉ ểề ễệ ì ềỉ ệ ì ô ệ ềỉ ệểẹ ỉ ỉ ểề ỉ ỉ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì í ể ề ẫ ề ặ í ề ề ẹ ậ ểểéá ẻ ề ểề ẻ ỉề ẹ ỉ aá bá ề c ễểì ỉ ệ é ềẹ ệì ì ỉ ỉ a + b + c = ẩệể í é ậểéỉ ểề í ầé ệ è ab 3a2 + 2b + 12 ễ éá ệ éá ặấẽá ệẹ ềí x(1 x) ì ểề 3x + 20 f (x) = ìề (3x + 2)2 ề ỉ ểề f (x) = ểệ ì ểề ệ ỉ ềì ềì ề ế é ỉíá f (a) + f (b) + f (c) 3f ẽ x 1á 3a2 ab + 2b + = í é = = = ễệểể ì ểẹễé ỉ 3 í é (3a = 1)2 ab + 6a + (6b + 8) ab 6a + (6b + 8) ab (3a + 2) + (3b + 2) í é í é 8 ab 3a + + ab 3b + a(b + c) í é í é ì ỉì ỉ ề ỉ ì ệ ề ề í í é è 3a + f (a) ã = 12 ắ éìể ìểé í ấ èá ậ ề ểì á ậ ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề è ấể ềá ệ ề ầ ầẽ ấ ẩểệỉ é ìá ặá ậ ặ ầ ấ ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ề ể ệ ấểẹ ề ẩ è ấ ấè ểéẹ ểéé ẻ ề ể ệá ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ạẽ ểề ểề ề è ặầậ ầậá ệ ậ ểểé ể ểị ề ểị ề ệ ặ ặ ặ ặá ậỉ ềỉá ềể ề ệì ỉí ể è ềểéể íá ềể ẻ ỉề ẹ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề èè ẻầặ ấá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ề ỉ ễệểễểì ệ ậỉ ề ẽ ểềá é ìỉ ệ ểéé ậỉ ẩ éá ặá ậ ì Mathematica ỉể ỉ ệẹ ề ỉ ỉ ỉ ề ế é ỉí ì ỉệ ề ỉ ỉ ế é ỉí ểé ì ểệ a = b = c = 1/3 ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì íậ ỉ ệìé ề ề ệì ỉí ể ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ề ẹ ẹểệí ể ệệ í ậé ẹ ề ỉ aá bá ề c ềểềề ỉ ệ é ềẹ ệì ì ỉ ỉ ab + bc + ac = ẩệể ỉ ỉ ậ ệ a í é + bc 3 í é ậểéỉ ểề í ẩ ỉ ệ ệỉ ểéẹ íỉ ò ề ế é ỉíá ểéé 2a + b + c ì ề ỉ ì ề ế é ỉ ìá a + bc abc a + bc a abc 4 a2 b3 c3 a 16 + ca c + ab ì ề ỉ ééạ ềểề ề a2 b3 c3 a2 bc 8 abc = a 2a + b + c b ề = ậ ẹ é ệéíá 3+1 1+a ẻ ề ể ệá ab + bc + ca + bc ề a2 b c ab + bc + ca + bc a2 bc = a = 16 16 a c a 16 16 16 b a b ìí ỉể ễệể ề ế é ỉí (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) 16 c ắ ẳ ề ỉ ểề ỉ ểề ab + bc + ca = 1á ể ỉ ề a + b + c í é ì é ẹ íỉ a 3 (a + b + c) + bc 4 3á ề ỉ ề ò ề ế é ỉíá a+1 í é a+b+c+3 ìể ỉ ỉ í é a2 1+a = í é a1+ 1+a = a+b+c3+ í é a+b+c3+ 1+a a+b+c3 ẽ ì ểề ề ễ ệỉ ỉ ỉ a + b + c éìểá ỉ ì ìí ỉể ỉ ỉ ỉ ề ỉ ểề f (x) = x + x + ì ề ệ ì ề ểề ỉ ềỉ ệ é [ 3, ) ề í é a2 1+a a+b+c3+ a+b+c3 33+ 3+3 = 3+1 ểẹễé ỉ ì ỉ ễệểể éìể ìểé í ấ èá ậ ề ểì á ậ ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ è ấể ềá ệ ề ầ ặ ẫ ặ ặ í ề ề ẹ ậ ểểéá ẻ ề ểề ẻ ỉề ẹ ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ầ ầẽ ấ ẩểệỉ é ìá ặá ậ ặ ầ ấ ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ề ể ệ ấểẹ ề ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ạẽ ểề ểề ề è ặầậ ầậá ệ ậ ểểé ể ểị ề ểị ề ệ ễ ệỉ ểềéíà ặ ặ ặ ặá ậỉ ềỉá ềể ề ệì ỉí ể è ềểéể íá ềể ẻ ỉề ẹ ấ ầ ầậ ẻ ểệề é ềể ậ ệ ấậèặ ầấè ẻ é ề ệì ỉí ể è ệ ể ìỉ ấểẹ ề ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ẩ ặầậ èậ ầậậầ ầá ỉ ềìá ệ ậè ặ ẽ ầặá é ìỉ ệ ểéé ậỉ ẩ éá ặá ậ ễ ệỉ ểềéíà ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệạ ì ỉíá ệ á ậ èè ẻầặ ấá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ề ỉ ễệểễểì ệ ắ ẵ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì í éí ểệ ềí ễểì ỉ ềỉ ệ n ễệể ỉ ỉ ờễ ễ n2 n + + ờễ = ệ ềểỉ ì ỉ x n2 + n + 4n2 + + + ệ ỉ ìỉ ềỉ ề ị ệ ìểá ấểẹ ề ờễ n2 + n + ễ n2 + 3n + ờễ 4n2 + 8n + ệ ềểỉ ĩ ề x ậểéỉ ểề í é ỉ éé ấể ềá ệ ề ẽ éé ì ể ỉ ểééể ề ỉể ềì ể ề ế é ỉ ì ễ ễ 4n2 + < 2n < ễ n2 2n + < +n+ è ề ệểẹ ẵàá ờễ 4n2 + ễ n2 = n2 n + + + 3n + < ờễ n2 n + + ề ệểẹ ắàá ờễ n2 + n + ễ n2 + 3n + = ễ n2 + n + < 2n + ễ 4n2 + 8n + < 2n + ễ n2 + n + ờễ ớ 4n2 + 8n + = 2n = 2n + ìể ỉ ỉ ểỉ ì ì ể ỉ ệ ế ệ ế é ỉí ế é 4n + èể ễệể ẵà ơệìỉ ể ì ệ ỉ ỉ ễ 4n2 < 4n2 + 2n = ề ễ n2 n + + í ìế ệ ề ỉ ẹ ễ n2 + n + < é ề ế é ỉí ể ẵà ễ 2n2 + < ễ n2 + n2 + 2n + = 2n + ểé ì ì ề ìế ệ ề ểẹ ì ế é ềỉ ỉể ễ n2 n + ềá ỉ n2 + n + ểẹ ì ế é ềỉ ỉể 4n4 + 4n2 + < 4n4 + 4n2 + ặể ỉể ễệể ắàá ơệìỉ ể ì ệ ỉ ỉ ễ ễ ễ n2 + n2 + 2n + < n2 + n + n2 + 3n + 2n + = ề ễ í ìế ệ ề ỉ 4n2 + 8n + < ẹ ễ ễ 4n2 + 8n + = 2n + é ề ế é ỉí ể ắà n2 + n ễ ểẹ ì ế é ềỉ ỉể n2 + 3n + < 2n2 + 4n + ẵà ắà ắ ắ ểé ì ì ề ìế ệ ề ềá ỉ ểẹ ì ế é ềỉ ỉể 4n4 + 16n3 + 20n2 + 8n < 4n4 + 16n3 + 20n2 + 8n + éìể ìểé í ấ èá ậ ề ểì á ậ ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ấậèặ ầấè ẻ é ề ệì ỉí ể è ệ ể ìỉ ấểẹ ề ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ề ỉ ễệểễểì ệ è ệ ì ểề ề ểẹễé ỉ ìểéỉ ểề ì ẹ ỉỉ ắẳẳ ỉn ắ ắ ẩệểễểì í éí ễểì ỉ ềỉ ệ ẩệể ỉ ỉ < n!(n + 2)! ệ n k+1 k=1 k+1 k ậểéỉ ểề í ề ể ệ ẩệể é ẹ ậểé ề ỉ Hk = Hk = ề n ẫ k+1 n ẫ Hk < k=1 ểỉ ệ Hk n ẫ k=1 Hk > ề ệ = n ẫ k=1 è ì ểẹễé ỉ ì ỉ (n + 1)(n!)2 < ệểễá ề ể ệ ấểẹ ề ò ề ế é ỉíá k+1 +k k k+1 = k(k + 1) 1 = = k(k + 1) n!(n + 1)! (n + 1)(n!)2 = ề íỉ k+1 ã 1k < k k+1 k=1 ầề ỉ k+1 k ề ị ệ ìểá ấểẹ ề k+1 íỉ k+1 k (k + 1)2 k2 + 2k ò ề ế é ỉíá k+1 ã 1k > = k +k k+1 k(k + 2) = k(k + 2) n!(n + 2)! ễệểể éìể ìểé í ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ ấ èá ậ ề ểì á ậ ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề è ấể ềá ệ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ạẽ ểề ểề ề ấậèặ ầấè ẻ é ề ệì ỉí ể è ệ ể ìỉ ấểẹ ề ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ ắ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì í ểì ì ịạ ệệ ệể ề ế é ệ ạậ ề ịá ề ệì ỉ ỉ ẩểé ỉ ề ỉ éềí ệ éểề ậễ ề ểề ềẹ ệá ỉ ỉ ìá F0 = 0á F1 = 1á ề ỉ Fn ỉ nỉ Fn = Fn1 + Fn2 ểệ n ẩệể ỉ ỉ 1/2 n+2 2 a Fn + b Fn+1 + c Fn+2 4S ểé ì ểệ ềí ỉệ ề é ABC ệ ệ ể ỉ ỉệ ề é ệ ìễ ỉ éí aá bá cá Fk2 k=1 ề S Fn+1 ệ ỉ ì é ề ỉ ì ề ậ ẹ é ệ ìểéỉ ểềì í è ềểì ểìá ệ ậ ểểé ể ểị ề ểị ề ệ ề ề ặ í ề ề ậỉ ềỉá ềể ề ệì ỉí ể è ềểéể íá ềể ẻ ỉề ẹ ẽ ẹ ì ể ề ề ế é ỉí ể ầễễ ề ẹ ặ ẹ éíá xá yá z ệ ễểì ỉ ệ é ềẹ ệì ề ABC ì ỉệ ề é ỉ ì é ề ỉ ì aá bá c ề ệ Sá ỉ ề ễ xa2 + yb2 + zc2 4S xy + yz + zx ì ỉ x = Fn y = Fn+1 z = Fn+2 ỉ ề ể ỉ ề a2 Fn + b2 Fn+1 + c2 Fn+2 4S ẽ ểẹễé ỉ ỉ Fn Fn+1 + Fn+1 Fn+2 + Fn+2 Fn ễệểể í ì ể ề ỉ ỉ n+2 Fk2 Fn Fn+1 + Fn+1 Fn+2 + Fn+2 Fn = k=1 ẽ Fn+1 Fn Fn+1 + Fn+1 Fn+2 + Fn+2 Fn + Fn+1 = Fn+1 (Fn + Fn+1 + Fn+2 ) + Fn Fn+2 = 2Fn+1 Fn+2 + Fn Fn+2 = Fn+2 (Fn + 2Fn+1 ) = Fn+1 (Fn + Fn+1 + Fn+1 ) = Fn+2 (Fn+2 + Fn+1 ) = Fn+2 + Fn+1 Fn+2 ặểá ỉ ệ ẹ ềì ỉể ễệể ỉ ỉ ệơ í ề ỉ ểề n+1 ẩ k=1 Fk2 = Fn+1 Fn+2 ì ì éí éìể ìểé í è ấể ềá ệ ề ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ấè ậè ấá ệệé ệ ậ ỉị ệé ề ề ỉ ễệểễểì ệ ềểì éể ỉ ỉ ì ễ ệỉ é ệ ề ế é ỉí ề ẹểệ ề ề ểềé ề ễ ễ ệ í ỉ ễệểễểì ệ ỉ http://rgmia.org/papers/v7n2/Triangle.pdf ắ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì í ề ềểềíẹểì ễệểễểì ệ ỉ ABCD ề ỉ ìế ệ M ỉ ẹ ễể ềỉ ể AB ề N ỉ ẹ ễể ềỉ ể CD ì ỉ ệ ễể ềỉ P ểề M N ì ỉ ỉ ỉ é ề ỉ ì ể AP ề P C ệ ểỉ ệ ỉ ểề é ềẹ ệì ậểéỉ ểề í ỉ ễệểễểì ệ è ềì ệ ì ề ỉ ẽ ơệìỉ ìỉ é ì ỉ ì ỉ ể ệ ỉ ểề é ềẹ ệì é ẹẹ ề ẹẹ ỉ Q ì ỉ ỉ + = = ểệ ìểẹ Q {0} ẩệểể ỉ =1 2 = è ề 1+ = = ềểỉ ì = è ề ệểẹ = + ể ỉ ề ề Q 2 = ặể ìễễểì P ì ễể ềỉ ểề M N ì ỉ ỉ a = AP ề b = P C ệ ễểì ỉ ệ ỉ ểề é ềẹ ệì ỉ x = M P è ề x [0, 1]á ề N P = x a = bá ỉ ề x = x ểệ x = 21 ẹễé ì ỉ ỉ a = b = 22 ểềỉệ ỉ ểề ề a = b ặểỉ ỉ ỉ a2 = x2 + b2 = (1 x)2 + ẵà = x2 2x + 4 ắà ệểẹ ẵà ề ắà ể ỉ ề a2 b2 + = 2x ề 4a2 = (2x)2 + = (a2 b2 + 1)2 + 1á ì ế é ềỉ ỉể ỉ ế ỉ ểề 2(a2 + b2 ) + (a2 b2 )2 = ỉ a2 + b2 = ề 2 (a b ) = è ề Q ề + = = 2á ỉ ề a2 b2 = 2á ểềỉệ ỉ ểềá ề ỉ ì = ì ề ỉ ẹẹ ể ỉ ề 2 = ểệ ìểẹ Q {0} è ỉ ìá (a2 + b2 )2 2(a2 b2 )2 = ểệ 6a2 b2 a4 b4 = í ìỉệ ỉ ểệ ệ ểẹễỉ ỉ ểềì ơề ỉ ỉ (a2 + b2 )4 = (a2 + b2 )4 (6a2 b2 a4 b4 )2 = a8 + 4a6 b2 + 6a4 b4 + 4a2 b6 + b8 36a4 b4 a8 b8 + 12a6 b2 + 12a2 b6 2a4 b4 = 16a6 b2 32a4 b4 + 16a2 b6 = 16a2 b2 (a4 2a2 b2 + b4 ) = ọ ỗ2 4ab(a2 b2 ) è ỉ ìá a2 +b2 ề 4ab(a2 b2 ) ệ ềểềị ệể ệ ỉ ểề é ềẹ ệì ì ỉìíỉ ểễ ềỉ ề ế ỉ ểề X Y = Z ỉ ỉ ề ểééểì ì éí ỉ ỉ ỉ ì ế ỉ ểề ì ềểềị ệể ềỉ ệ ìểéỉ ểềì ắ è ì ểềỉệ ỉì ỉ ềểề ệ ìéỉì ể ệẹ ỉá ề ểệ ễệểể ì ểẹễé ỉ ỉ ì éé ềểề ỉ ỉ ỉ ế ỉ ểề + Y = Z2 ì ềể ềểềị ệể ềỉ ệ ìểéỉ ểềì è ễệểể ể ỉ ì ệ ìéỉ í ệẹ ỉ ì ì ểề ì ẹ ỉ ể ể ềơề ỉ ì ềỉ ì ề ĩ ỉéí ỉ ì ẹ ệ ẹ ềỉá ỉ ề ì ểề ỉ ỉ ỉ ế ỉ ểề X4 Y = Z2 ì ềể ềểềị ệể ềỉ ệ ìểéỉ ểềì ểệ ĩ ẹễé ì è ểệ ẹ ẵ ểề ễ ì ắẳạ ắắ ề ĩ ệ ì ặể ểề ễ ắ ể ỉ ểể é ẹ ềỉ ệí ặẹ ệ è ểệí ề ỉì ễễé ỉ ểềìá ỉ ỉ ểềá í ềề ỉ ấểì ề X4 ẳ ắẳẳ ắ ắ ẩệểễểì é ềể ậ ệ ỉ ABC ềệ ì rá ĩệ ẩệể ỉ ỉ í ệ ểé éểì ểệề rb rc ề éỉ ỉ ì hb hc hb + 2rb hc + 2rc 27 + 2ra + + r + r + rb r + rc ậểéỉ ểề í ệ í éỉá ậ ề ểì á ậ ề ặ í ề ề ậỉ ềỉá ềể ề ệì ỉí ể è ềểéể íá ềể ẻ ỉề ẹ è ềểì ểìá ệ ậ ểểé ể ểị ề ểị ề ệ ề ẩ ềểì èì ểììể éểá ỉ ềìá ệ ề ễ ề ềỉéí ỉ aá bá c ỉ ì ìá A ỉ ệ ề sỉ ì ẹễ ệẹ ỉ ệể ỉ ỉệ ề é ABC ẽ í é + 2ra r + = í é = í é ì ề ỉ ề ỉ 2A 2A + a sa A A + s sa ééạ ềểề ề 2s2 = a(2s a) í é (a + b + c)2 2a(b + c) ìí ỉể ễệể ề ế é ỉí (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) íòậ ệị ề ế é ỉíá ể ỉ ề (a + b + c)2 í é 2a(b + c) = = ì é ẹ 3(ab + bc + ca) í é 2a(b + c) í é 4 (ab + bc + ca) a(b + c) a(b + c) í é (1 + + 1)2 = í é 27 a(b + c) ắ éìể ìểé í ầấ ẩầậèầầẩầầậá ììểéểề ệ ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề è ấể ềá ệ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ầẻ ấ ẩ ệ éá ặấẽá ệẹ ềí ầ ầẽ ấ ẩểệỉ é ìá ặá ậ ặ ầ ấ ẩấầ ậầẻặ ấầẩá ề ể ệ ấểẹ ề ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ẽ ầặ ẽ ẻể ỉ ểề é ểéé ẽ ậ ề ểề ẩệể ề ề ạẽ ểề ểề ề ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ấậèặ ầấè ẻ é ề ệì ỉí ể è ệ ể ìỉ ấểẹ ề ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ èè ẻầặ ấá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ề ỉ ễệểễểì ệ ệĩ ỉ ẹ ỉ ểệẹ ỉ ỉ ẹ ỉ é í ẹ ểệẹ ệ ỉểệì ằ ề ềì ấ ỉ ệì ệ ấ ậ í ệá ẹ ì èểỉỉ ề ệĩ ỉ ẹ ỉ ểệẹ ểề ề ỉểệì ằ ấ ỉ ệìạ ểề ỉ ệì ểễểé ậ ệ ệ ì éé ểệẹ ệ ỉểệì ằ ề ềì ấ ỉ ệì ẽ ậ ề ìá ấ ẽểể ệểá ệ ấ ậ í ệ ỉ ẹ ỉ é í ẹ ểề ề ỉểệì ằ ấ ỉ ệìạ ểề ỉ ệì ẩ ỉệ ậệệí ấ ẻ é ểệẹ ệ ỉểệì ằ ề ềì ấ ỉ ệì ẩ é ễ ểề ô ẹá ẩ ệểììẹ ềá ề ệ ề ặ ể ậ ỉểá íệì ì ậ ề ể ềá ô ểểễ ệ