Giải tích toán học 12 sơn đoàn

Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày PHẦN I GIẢI TÍCH Tài liệu xây dựng, biên soạn cung cấp Sơn Đoàn – người sáng lập “20’ học TOÁN ngày” Tài liệu bao quát toàn chương trình Giải Tích lớp 12, gồm: Tóm tắt lý thuyết cần biết, Các dạng tập Các toán luyện tập Ngoài ra, tác giả đưa vào nhiều toán xuất đề thi vào Đại Học để học sinh rút hướng học phù hợp cho thân Chúc em học tốt ! Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: Sơn Đoàn – Gmail: ngocsonbkit@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/SonDoan106 Một số kênh học TOÁN hiệu quả: Group 20’ học TOÁN ngày: https://www.facebook.com/groups/20phuthoctoanmoingaylop12 FanPage 20’ học TOÁN ngày: https://www.facebook.com/20phuthocToan Kênh youtube Sơn Đoàn: https://www.youtube.com/c/mrSơnĐoàn Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D, với D khoảng, đoạn nửa khoảng 1.Hàm số y  f ( x) gọi đồng biến D x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 2.Hàm số y  f ( x) gọi nghịch biến D x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến D f '( x)  0, x  D 2.Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến D f '( x)  0, x  D III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: 1.Định lý Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a, b có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c  (a, b) cho: f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) 2.Định lý Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu f '( x)  0, x  D f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc D hàm số đồng biến D 2.Nếu f '( x)  0, x  D f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc D hàm số nghịch biến D 3.Nếu f '( x)  0, x  D hàm số không đổi D PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1.Xét chiều biến thiên hàm số y  f ( x) *Phƣơng pháp : Xét chiều biến thiên hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số y  f ( x) 2.Tính y '  f '( x) xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = ) 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Xét tính biến thiên hàm số sau: 3 x  1.y = -x3+3x2-3x+1 y= 2x 1   3.y= x.tanx khoảng (  ; ) 4.y = -6sinx +4tanx -13x (0;  ) 2 Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trƣớc 1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến R x2  x  m 2.Tìm m để hàm số y= đồng biến R mx  1 Tìm m để hàm số y  f ( x)  mx   m  1 x   m   x  tăng  2,   3 2 x   m  1 x  4m  4m  Tìm m để hàm số y  f ( x )  đồng biến  0,   x   m  1 Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT 1.Giải phương trình x3  3x   x  x  ( ĐK x3+3x   x  ) 2.Giải phương trình x5+x3-  3x +4=0 Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày  y3  sin y x   z3  3.Giải hệ phương trình  y   sin z   x3 z   sin x   Chủ đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D  x0  D x0 gọi điểm cực đại hàm số y  f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b)  D f ( x)  f ( x0 ), x  (a, b) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi già trị cực đại hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại hàm số x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y  f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b)  D f ( x)  f ( x0 ), x  (a, b) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi già trị cực tiểu hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực tiểu hàm số 3.Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y  f ( x) có cực trị x0 Khi đó, y  f ( x) có đạo hàm điểm x0 f '( x0 )  III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : 1.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục khoảng (a,b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a, x0 ) ( x0 , b) Khi : + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0 2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 )  f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phƣơng pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Dùng quy tắc tìm cực trị hàm số 1 y = x3+x2-3x+2 2.y = x4+2x2-3 3 y  ( x  2)2 ( x  2)2 y  15x5  15x3  Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày *Phƣơng pháp (Quy tắc 2)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm xi (i  1, 2,3 ) thuộc tập xác định 3.Tính f ''( x) f ''( xi ) 4.Kết luận +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực đại điểm xi +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị hàm số 1.y= 3x5-20x3+1 y = x  x  y  sinx  cos x, x    ,   Dạng 2.Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trƣớc Tìm điều kiện m cho : y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại x= -1 x  mx  y= đạt cực tiểu x=2 xm y=  x  mx  2m2 đạt cực đại x= Dạng Một số toán liên quan đến điểm cực trị đồ thị hàm số Cho hàm số y= x3+mx2-x a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với m b Xác định m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x x  (m  1) x  m  2.Cho hàm số y  f ( x)  (Cm) CMR với m (Cm) có cực đại cực tiểu x 1 khoảng cách hai điểm cực trị 20 ( B – 2005) Cho hàm số y  f ( x)  x3  (2m  1) x  (2  m) x  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị có hoành độ dương ( CĐ – D – 2009) Cho hàm số y  x  2(m  1) x  m (1) m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C cho OA=BC; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B,C hai điểm cực trị lại ( B – 2011) Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D  1.Nếu tồn điểm x0  D cho f ( x)  f ( x0 ), x  D số M  f ( x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f(x) D, ký hiệu M  Max f ( x) xD  x  D , f ( x )  M Như M  Max f ( x )   xD x0  D, f ( x0 )  M Nếu tồn điểm x0  D cho f ( x)  f ( x0 ), x  D số m  f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D, ký hiệu m  Min f ( x) xD  x  D, f ( x )  m Như m  Min f ( x )   xD x0  D, f ( x0 )  m Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN hàm số : Cho hàm số y  f ( x) xác định D  Bài toán 1.Nếu D  (a, b) ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Bài toán Nếu D   a, b ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm x1 , x2 thuộc tập xác định 3.Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ) f (b) 4.Kết luận: Số lớn M  Max f ( x) số nhỏ m  Min f ( x) x a ,b x a ,b  Bài toán 3.Sử dụng bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki, … Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình, tập giá trị hàm số PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( có ) hàm số sau: 3x  1 y  f ( x)  x  x 2 y  f ( x)   0; 2 x3 y  x3  3x  2, 4 y  sin x  cos3 x  3sin x Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN hàm số có chứa tham số Cho hàm số y  x  x  a  Tìm a để giá trị lớn hàm số  2,1 đạt GTLN 2.Cho hàm số y  f ( x)  x  x  2a  với 3  x  Xác định a để giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Dạng 3.Ứng dụng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Một tôn hình vuông cạnh a Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bốn góc để gò thành bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt bể tích lớn a ĐS Cạnh hình vuông cắt 2 2.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  2( x3  y )  3xy ( CĐ Khối A – 2008) 2( x  xy ) Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn x  y  1.Tìm GTLN, GTNN biểu thức P   xy  y ( ĐH Khối B – 2008) 4.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi thõa điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  (4 x  y)(4 y  3x)  25xy ( ĐH Khối D – 2009) Chủ đề ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lim f ( x)   lim f ( x)   x  x0 x  x0 Hoặc lim f ( x)   lim f ( x)   x  x0 x  x0 Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày 2.Đường tiệm cận ngang Đường thẳng (d): y  y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lim f ( x)  y0 lim f ( x)  y0 x  x  3.Đường tiệm cận xiên Đường thẳng (d) y  ax  b(a  0) gọi tiệm cận xiên đồ thị (C) đồ thị hàm số y  f ( x) lim  f ( x)  (ax  b)   lim  f ( x)  (ax  b)   x  x  Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) Đường thẳng (d) y  ax  b(a  0) tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) f ( x) f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  x  x  x  x  x x PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: x2  x  2x  y  f ( x)  y  f ( x)  x2  x 1 3x y  f ( x)  y  f ( x)  x  27 5 x Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: 3 x  x  2 y  f ( x)  x   y  f ( x)  3x  x 1 2 x  5x 1 2 x  x  y  f ( x )  y  f ( x)  x2  x  2x  Dạng Tìm tiệm cận đồ thị hàm số có chứa tham số Ví dụ 1.Tìm giá trị tham số m cho: x  2m  có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1) xm x  3mx  m  2.Đồ thị hàm số y  f ( x)  có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x 1 x 1 Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Tìm M  (C ) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai tiệm x 1 cận nhỏ ? 1.Đồ thị hàm số y  f ( x)  Chủ đề PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( x0 , y0 )  (C ) có dang : y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Trong f '( x0 ) gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 , y0 ) 2.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước 1.Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M  (C )  y0  f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày 2.Vì hệ số góc tiếp tuyến k nên f '( x0 )  k , giải PT f '( x0 )  k tìm x0  y0 3.Kết luận Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song hai hệ số góc Nếu hai đường thẳng vuông góc tích hai hệ số góc -1 3.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) qua điểm A( xA , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y  k ( x  xA )  y A (1) 2.d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương tình có nghiệm  f ( x)  k ( x  xA )  y A (I)   f '( x )  k 3.Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  x  có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) A có hoành độ b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) x  y   c.Chứng minh (C) không tồn hai tiếp tuyến vuông góc với 3x  Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x)  biết : x 1 b Tung độ tiếp điểm c Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : x  y   d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x  y  10  e Tiếp tuyến qua điểm M(2,0) Dạng2 Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trƣớc m Ví dụ Gọi (Cm ) đồ thị hàm số y  f ( x)  x  x  ( m tham số ) Gọi M điểm thuộc (Cm ) có 3 hoành độ -1.Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng x  y  ( Khối D – 2005) 2x 1 Ví dụ 14 Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) điểm M thuộc (C) Gọi I giao điểm hai tiệm x 1 cận đồ thị (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B a Chứng minh M trung điểm đoạn AB b Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ x 1 Ví dụ 15 Cho hàm số y  2x 1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Chứng minh với m đường thẳng y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( C) A B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn ( Khối A – 2011) Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm Phƣơng pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) qua A( xA , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y  k ( x  xA )  y A (1) 2.d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương tình có nghiệm Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày  f ( x)  k ( x  xA )  y A (I)   f '( x )  k 3.Số nghiệm hệ phương trình số tiếp tuyến qua điểm A Ví dụ 1.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x (C) Tìm đường thẳng x = điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số xm Ví dụ 11 Cho hàm số y  f ( x)  Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị x2 hàm số cho ABC ( Với B, C hai tiếp điểm ) Ví dụ 12.Cho hàm số y  f ( x)  x3   m( x  1) có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến  giao điểm (C) trục Oy b.Tìm m để  chắn hai trục Ox, Oy tam giác có diện tích Chủ đề SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C1 ) hàm số y  g ( x) có đồ thị (C2 ) + Hai đồ thị (C1 ) (C2 ) cắt điểm M ( x0 ; y0 )  ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình  y  f ( x)   y  g ( x) +Hoành độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) (C2 ) nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) (1) +Phương trình (1) gọi phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) (C2 ) +Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1 ) (C2 ) 2.Sự tiếp xúc hai đường cong Cho hai hàm số y  f ( x) y  g ( x) có đồ thị (C1 ) (C2 ) có đạo hàm điểm x0 +Hai đồ thị (C1 ) (C2 ) tiếp xúc với điểm chung M ( x0 , y0 ) điểm chúng có chung tiếp tuyến Khi điểm M gọi tiếp điểm +Hai đồ thị (C1 ) (C2 ) tiếp xúc với hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x)  g ( x)   f '( x )  g '( x ) Nghiệm hệ phương trình hoành độ tiếp điểm PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN 2x 1 Ví dụ 1.Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) đường thẳng (d) : y   x  m x 1 f Chứng minh với m, (d) (C) cắt hai điểm phân biệt g Giả sử (d) (C) cắt hai điểm A B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ Ví dụ 2.Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  x  (C) Định m để đường thẳng (d): y  mx  2m  cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 2x 1 Ví dụ 13 Cho hàm số y  x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành ( Khối D – 2011) Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày Chủ đề KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I PHƢƠNG PHÁP Các bước tiến hành khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y  f ( x) Tìm tập xác định hàm số Tính giới hạn tìm tiệm cận đồ thị hàm số (Nếu có) Tính đạo hàm y’ giải phương trình y’ = Lập bảng biến thiên Nêu kết luận tính biến thiên cực trị hàm số Tìm điểm uốn đồ thị hàm số (Đối với hàm bậc ba hàm trùng phương ) Tìm điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm số nhận xét PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau: a y  f ( x)  x3  3x  b y  f ( x)  x3  3x  12 x  13 1 e y  f ( x)  x  x f y  f ( x)  x  5x  2 Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau: x2  x 1  x2  x  a y  f ( x)  b y  f ( x)  x2 x 1 x2  x  x  3x  c y  f ( x)  d y  f ( x)  x2 x 1 2 x  x 1 x  2x  e y  f ( x)  f y  f ( x)  x 1 2x  Dạng Một số toán liên quan đến khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 1.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3  3x  k   Ví dụ 6.Cho hàm số y  f ( x)   x3  3mx  3(1  m2 ) x  m3  m2 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = (C1) b Tìm k để phương trình  x3  3x  k  3k  có ba nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị đồ thị hàm số (C1) CHỦ ĐỀ 8: PHƢƠNG TRÌNH MŨ&LOGARIT PHƢƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Phƣơng pháp đƣa số Dùng phép biến đổi để đưa phương trình cho dạng : a f ( x )  a g ( x ) (1) Nếu số a số dương khác (1)  f ( x)  g ( x)  a  Nếu số a thay đổi (có chứa biến chứa tham số) (1)   (ít gặp) ( a  1)  f ( x )  g ( x )   Page Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày Bài : Giải phương trình sau 2 x  x8  413 x ĐS : 2; 3 5x 5 x 6  Bài : Giải phương trình sau ( x2  1) x 2 x  ( x2  1)3 ĐS :  2; 3 2 8.3  3.2  24  x x   ĐS : 1;3 (ĐH Quốc Gia HN-2000) x 2x  x  4.2x x  22 x   (ĐH D-2006) ĐS : 0;1 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t  a f ( x ) , t  với a f ( x) thích hợp để đưa phương trình biến số x cho phương trình với biến t, giải phương trình tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) từ tìm x Bài : Giải phương trình sau 9x  4.3x  45  ĐS : 2x x 2    3.42 x  2.34 x  5.36x ĐS : 0; 1/2 x x 3 x (3  5)  16.(3  5)  ĐS : log 3 2 ( 32 x 6 x9  4.15x 3 x5  3.52 x 6 x9 Bài : Giải phương trình sau 3.8x  4.12x  18x  2.27 x  2 2x  x  22 x x  3 (  1) x  (  1) x  2  2 2 ) ĐS : 1; -4 (ĐH A-2006) (ĐH D-2003) (ĐH B-2007) ĐS : ĐS : -1; ĐS : 1; -1 x 4.3x  9.2 x  5.6 (ĐH Hàng Hải-1999) Dạng : Phƣơng pháp lôgarit hóa Biến đổi phương trình cho dạng sau :  a f ( x )  b  f ( x)  log a b  ĐS : a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x) log a b  a f ( x ) b g ( x )  c  f ( x)  g ( x) log a b  log a c Chú ý : Phương pháp thường áp dụng cho phương trình chứa phép nhân, chia hàm số mũ VD Giải phương trình sau 2 3x 2x  ĐS : 0;  log3 ĐS : 2;log3  2 2x 4  3x2 x1 9.xlog9 x  x2 ĐS : ĐS : 3;  log5 10 5x.8 x  500 Dạng : Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm chứng minh nghiệm nghiệm nhất) Đưa phương trình cho dạng f ( x)  g ( x) (*)  Bước : Chỉ x0 nghiệm phương trình (*)  Bước : Chứng minh f ( x) hàm đồng biến, g ( x) hàm nghịch biến f ( x) hàm đồng biến, g ( x) hàm f ( x) hàm nghịch biến, g ( x) hàm Từ suy tính nghiệm Cách : Đưa phương trình cho dạng f (u)  f (v) , chứng minh f hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến D) Từ suy f (u)  f (v)  u  v Ví dụ 1: Giải phương trình 3x  x   Page 10 Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày B2: Đổi cận: Khi :x=a   =u(a); x=b   =u(b) B3: Tính: b   a    f  x  dx   f u t  u ' t  dt   g t dt  G t    *Chú ý: Cách giải vận dụng để tính dạng tích phân sau:      a  x dx,  a   Cách giải: Đặt: x=asint ;với  t    ;     2  a  Dạng 1: VD: Tính tích phân sau:   x dx ;   2x dx ; Dạng 2:   (1  x )3 dx a 3    x  x  3dx ;  x  x  dx      dx,  a   Cách giải: Đặt: x=asint ;với  t    ;   a2  x2   2  VD: Tính tích phân sau: 2  2 x dx ;  x 2 x  dx ; x 2 x dx ;  x 2 4 x dx ; x2  (1  x ) dx      dx Cách giải: Đặt: x=a.tant ,với t  ;  0 x2  a   2  a Dạng 3: a Chú ý: Khi gặp tích phân dạng: a  x  a dx 2  x a 2 dx Cách giải: Đặt x=a.tant CYQT: Khi gặp tích phân dạng trên, ta đổi biến mà cận giá trị đặt biệt ta biến đổi biểu thức dƣới dấu tích phân áp dụng phƣơng pháp đổi biến dạng II để giải tích phân dạng VD: Tính tích phân sau: 1 dx ;  x  2a Dạng 4:  x 1  x dx ; 0 x  dx ; x  a dx,  a   a 2a  3a x2  a2 x2 1  x dx ;  1 dx ; x (3  x )  x x 4 dx dx,  a   a a (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung đưa x2 ngoài, đặt t  tích phân sin t x trở lại dạng dạng 2) Cách giải: Đặt: x  VD: Tính tích phân sau: Page 17 Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày  dx x x 1 (ĐS:  ) ;2 12  x 4x 1 dx (ĐS: 8 ) 3 x2  dx ;4 x 2  x2  dx ;5 x2 2  3  x  1dx  ax  b  R x ,  dx Dạng :   cx  d a   b Cách giải: Đặt : t  ax  b , lấy vi phân đổi cận ta tính tích phân dạng cx  d VD: Tính tích phân sau: dx   x  1 x ;   x  1 x  1 b II Phƣơng pháp tích phân phần: 2 dx ;  dx x 1 1 x ; x  3x    x  1 b  udv  uv   vdu b a a a * Chú ý: Vận dụng để tính dạng tích phân sau: u  P  x   dv  hs lg dx b Dạng 1:  P  x  hs lg dx ( P(x): hs đa thức) Đặt:  a VD: Tính tích phân sau:     x  1 cos xdx ;  x(2cos   0 x  1)dx ;  ( x  cos x)sinxdx ;  ( x  cosx)sin xdx * Chú ý: Nếu tích phân mà P(x) có bậc n ta phải tính tích phân n lần b Dạng 2:  P  x  hsmudx ( P(x): hs đa thức a u  P  x  Đặt:   dv  hsmudx VD: Tính tích phân sau: 1  (2 x  1)e 2x dx ;  xe x 1 dx ; 0  (1  3x)e 2 x dx ;  (x  x)e  x dx * Chú ý: Nếu tích phân mà P(x) có bậc n ta phải tính tích phân n lần u  hs log arit dv  P ( x)dx b Dạng 3:  P  x  hs log aritdx ( P(x): hs đa thức) Đặt :  a VD: Tính tích phân sau: e  ln xdx ;  ln( x  x )dx ;3 e 2  x ln( x  x)dx ;4 e  ( x  1) ln xdx ;  (2 x  1) ln( x  1)dx 1 * Chú ý: Nếu tích phân trên, ta đặt ngƣợc lại tính không đƣợc (vì hàm số logarit Page 18 dx Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày nguyên hàm) u  hsmu hsmu lg dx Dạng 4:  ( P(x): hs đa thức) Đặt :   dv  hs lg dx a b VD: Tính tích phân sau:    e x s inxdx ; e   ;  e3 x cos2xdx x 1 cosxdx  ;  e3 x sin(3x+ ) dx 0 * Chú ý: Khi gặp tích phân dạng ta phải tính tích phân phần hai lần (với cách đặt) III TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ: b Dạng: P( x)  Q( x) dx Với P(x), Q(x) hàm đa thức, ta có trường hợp sau: a + Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) ta lấy P(x) chia cho Q(x) + Nếu bậc P(x) 0, f(x) hàm chẵn, liên tục R, Với số thực  ta có :   3) Nếu f(x) liên tục [0;  ] i/  xf (sin x)dx    a  f ( x ) dx  f ( x ) dx a x    f (sin x)dx 2   2i/ T f ( x )dx   f ( x )dx   xf (cos x ) dx     f (cos x ) dx   4) Nếu f(x) liên tục [ 0; ] a)   0  f (sin x)dx   f (cos x)dx b)   0  f (cot x)dx   f (tan x)dx  VD 7: Tính tích phân: Giải: Đặt  x sin x dx  cos x x    t   t     dx  dt        t  sin   t    sin t dt  t sin t dt   sin x dx  x sin x dx x sin x Khi dx   dt 2  cos t  cos t  cos x  cos x  cos x  cos   t   0 0         x sin x  sin x 2 dx  dx 2  cos x  cos x 0     x sin x  sin x 2 Vậy dx  dx  2  cos x  cos x 0   BT: Tính tích phân sau:   ln 2  x   x dx ; 1 x  sinx ; x cos x dx dx ; 2  x  x 1 1   Page 27    cos x dx x  e   Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY Lý thuyết b 1.Miền (D) giới hạn đường : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b có diên tích:S D=  f ( x)  g ( x) dx a 2.Miền (D) giới hạn đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b quay quanh trục Ox tạo vật trể tròn xoay có b thể tích : VOx =   f ( x ) dx a 3.Miền (D) giới hạn đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b quay quanh trục Oy tạo vật trể tròn xoay có b thể tích : VOy =   f ( y ) dy a Bài tập áp dụng Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 1) y= x  x  ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)); 2) y= x  ; y  x  (ĐS: 73 ( đvdt)) Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay miền (D) giới hạn đường: 1.y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16  ) ; y=x2 ; x=y2 quanh Ox VII BÀI TẬP ÔN TẬP:  4 A   (cos x  sin x)dx( KQ : A  ) ; B   x  x dx ( KQ : B  6) 24 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bỡi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bỡi trục Ox đường y= x s inx   x    25 CĐ2003  KQ: V  3 x4  x   16 17 dx  KQ :   ln  x 4  e 27 ĐH 2004B  1  3ln x ln x  116  dx  KQ :  x 135     ;26 ĐH 2004D  ln  x  x dx  KQ : 3ln    ;28 ĐH 2004A  1 Bài tập rèn luyện Bài 1.Tính tích phân sau: Page 28 11   dx  KQ :  ln  x 1   x Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày  sin x  cos x 1)   sin x  x  2x 5)  x 1  cos x dx (sin x  cos x  3)3 dx ; 6)  2x 1 1 2x 1 9)  x x  1dx ; 10)    15)  dx x e x dx 17)  ; 18)  x ( x  2)  e 0 e 21)  x(e x  x  1)dx ; 22)  (esin x  cos x) cos x.dx ; 1 23)  dx x  x3 ;16) x  x dx ; 24) 2  e 1 e   e2 2  sin x dx   x 2 e2  cos 0 2 32)  sin(ln x ) dx ;33)  cos x ln(1  cos x)dx ;34)  xe dx ;35) 1  ln x ln x sin xdx 25)  ; 26)  dx ; 27) 1 x  cos x  cos(ln x)dx ; 30)  ln x dx ; 31)  x.tan xdx 29) dx x e e  26)  x e x dx ; 28)  e sin x sin x cos x dx ln(1  x) 1 x2 dx 1  1 1 x2 1  x  dx x3  19)  ln x.dx ; 20)  ln( x  x).dx x  ;12) 1 dx 11)  2 x ( x  1) x 13)   x   x   dx ; 14) ( x  1)e dx 3 dx ; 8)  x tan x.dx cos x  cos x  x x2   tan x 7)  dx dx x dx  cos x 3)  (2 x  1) cos x.dx ; 4)  dx ; 2)    2 xdx   sin (ln x ) dx ; 36) x   3 37)  sin x ln( tgx )dx ; 38)    x sin x dx ; 39) cos x     2   sin x dx ;40)   2 2005  sin xdx ;42) 41) 2004    cos x dx ; 43)   2 x  cos x dx ;44)  cos x ln( x  x  1)dx  sin x   dx 1 (e x  1)( x  1) 45)  49)  x sin x cos xdx ; 50) ;46)      x  3x  x  x  dx cos x x sin x 2x 1 ;47) dx x sin x 0  cos x dx ; 51)    sin x sin x cos x dx ;48) ex 1   0  x cos x sin xdx ; 52) Page 29 x sin x   cos x dx   sin x  cos x dx 6x 1 Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày    2 0 sin n x 0 sin n x  cos n x dx ; b 53) CMR :  sin n xdx   cos n xdx 54)Tính: a) Bài 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bỡi đường sau: D   y  xe x , y  0, x  1, x  2 ; D   y  xe x , y  0, x  1, x  2 ln x   D   y  , y  0, x  1, x   x   ln x   , y  0, x  1, x  e  ; D   y  x   11 Tìm a cho diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đường sau    x2 D  y  , y  1, x  0, x  a  x 1     3 x    , ox, oy  ;13 D   y  x 1   12 D  y  x  x , y  0, x  Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bỡi đường sau quay quanh trục Ox:1  y  t anx, x  0, x  , y  ; y  x ln x, x  1, x  e, y  CHỦ ĐỀ 13 : SỐ PHỨC I Bài tập rèn luyện: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:  1  6  11 A     i     4i   i  5  5  1  i   i   1  i   i  1  i   i  1  i   i  B ; Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a (7+2i)x-4+5i = -2+8i ;b (3+2i)x-6ix=(1-2i)[x-(1+5i)] Bài 3: Biết x1 , x2 hai nghiệm PT: x  3x   Hãy tính: a A= x1  x2 2 ; b B= x1  x2 ; c C= x1  x2 3 4 ; d D= x1 x2  x2 x1 ; e E= 1  x12 x22 Bài 4: Tìm số a, b để có phân tích sau: a 2z3-9z2+14z-5=(2z-1)(z2+az+b)=0 giải PT tập C: 2z3-9z2+14z-5=0 b x4-4x2-16x-16=(x2-2x-4)(x2+ax+b) giải PT tập C: x4-4x2-16x-16=0 Bài 7:Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thõa điều kiện sau:  1 ; ;b z  z   ; c z  z   i   2  a z  phần ảo z thuộc đoạn   II Các đề thi tốt nghiệp đại học: 7  i ; x2   i 4 4 TN 2007 lần Giải PT: x2-4x+7=0 tập số phức KQ: x1   i 3; x2   i TN 2006 Giải PT: 2x2-5x+4=0 tập số phức KQ: x1  TN 2007 lần Giải PT: x2-6x+25=0 tập số phức KQ: x1   4i; x2   4i    TN 2008 lần Tìm giá trị biểu thức: A=  3i   3i  KQ: A=-4 TN 2008 lần Giải PT: x2-2x+2=0 tập số phức KQ: x1   i; x2   i Page 30 Giải Tích 12 – Sơn Đoàn – Facebook: 20’ học TOÁN ngày 1 1  i; x2   i 4 4 TN 2009(NC) Giải PT: 2z2-iz+1=0 tập số phức KQ: x1  i; x2   i 3 TN 2010(GDTX) Giải PT: 2z2+6z+5=0 tập số phức KQ: x1    i; x2    i 2 2 TN 2010(CB) Cho hai số phức z1   2i; z2   3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1  z2 KQ: Phần thực: -3; phần ảo: 10 TN 2010(NC) Cho hai số phức z1   5i; z2   4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1.z2 KQ: Phần thực: 26; phần ảo: TN 2009(CB) Giải PT: 8z2-4z+1=0 tập số phức KQ: x1  11 ĐH 2009A(CB) Gọi z1 , z2 hai nghiệm PT z2+2z+10 = Tính giá trị biểu thức A= z1  z2 KQ:A=20 12 ĐH 2009B(CB) Tìm số phức z thõa mãn z    i   10 Z Z =25 KQ: z=3+4i ; z=5 13 ĐH 2009D Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn diều kiện KQ: Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R=2 z    4i   14 CĐ 2009A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: (1+i) 2(2-i)z=8+i(1+2i)z Xác định phần thực phần ảo z KQ: phần thực: -2; phần ảo: z   7i 15 CĐ 2009A,B,D (NC) Giải PT:  z  2i tập số phức KQ: z1   2i; z2   i z i  3i  16 ĐH 2010A(CB) Tìm phần ảo số phức z, biết: Z  1  17 ĐH 2010A(NC) Cho số phức z thõa mãn: Z  i  1  2i  KQ:  Tìm môđun Z  iZ KQ: 1 i 18 ĐH 2010B Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn diều kiện KQ: Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R= z  i  1  i  z Page 31