PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI TỈNH LỚP NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P = x xy + y + y xy − x − a) Rút gọn biểu thức x x+ y xy x +1 b) Chứng minh P có giá trị không đổi y = y + Bài : (2 điểm) Cho ba số x; y; z thoả mãn đồng thời x2 + y + = y2 + 2z + = z2 + 2x + = Tính giá trị biểu thức: A = x 2009 + y 2010 + z 2011 Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình sau: z + = xy x − = yz − xy Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x + y Biết x; y số thực thoã mãn: x + y − xy = Bài 5: (6 điểm) Cho điểm M cố định nằm ngồi đường trịn (0;R).Một đường thẳng thay đổi ln qua M cắt đường trịn (0;R) A B Các tiếp tuyến (0;R) A B cắt điểm P Kẻ PH vuông góc với 0M a) Chứng minh điểm 0; A; P; B; H nằm đường tròn b) Khi đường thẳng MBA thay đổi chứng minh điểm P nằm đường thẳng cố định c) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB, K giao điểm PH với AB Chứng minh MA.MB = MI.MK Bài 6: (2 điểm) Cho a, b, c số thuộc đoạn -1; thoả mãn 2 a + b + c = Chứng minh: a + b + c ≤ Họ, tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI TỈNH LỚP Bài Bài (4 điểm) NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN: TỐN Đáp án a) ĐKXĐ biểu thức P là: xy > x ≠ y y x + y x( xy − x) + y ( xy + y ) x + y x + − − P= = xy + y xy − x xy ( xy + y )( xy − x) xy P= ( x + y )( xy + y − x) − x+ y = ( x + y )( xy + y − x) − Điểm 0.5 0.75 ( x + y )( y − x) ( y − x) xy xy ( y − x) xy ( y − x) xy x+ y P= y−x x+ y x x +1 6x = khơng đổi b) Vì = Nên y = x Thay y = x vào P = ta được: P = y y+5 y−x 4x Cộng vế đẳng thức với ta được: ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 0.75 Thay x = −1; y = −1; z = −1 vào biểu thức A = x 2009 + y 2010 + z 2011 Ta được: A = (−1) 2009 + (−1) 2010 + (−1) 2011 = −1 + − = −1 0.5 0.5 (*) Điều kiện để phương trình thứ hai hệ tồn là: − xy ≥ ⇒ xy ≤ Từ (*) (**) Suy xy = 4 ⇔ ⇔ Ta có hệ z +1=1 x − = yz − xy x2 −1= Từ x = ⇒ x = x = −1 Với x = ⇒ y = ; z = −1 ;z =0 Với x = −1 ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là: −1 ( x = 1; y = ; z = 0) ( x = −1; y = ; z = 0) 4 Ta có: x + y − xy = ⇔ x + y − xy = z + = xy Bài (3điểm) 1.0 x + = x = −1 ⇔ y + = ⇔ y = −1 z + = z = −1 Từ phương trình đầu hệ suy xy ≥ ⇒ xy ≥ Bài (3điểm) 0.75 0.25 0.5 ( x + y + 1) + ( y + z + 1) + ( z + x + 1) = Bài (2điểm) 1.0 xy = xy = ( **) 0.25 0.25 z=0 0.75 x2 =1 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 ⇔ ( x + y ) + ( x − y) = ⇔ A + ( x − y) = ⇔ A = − ( x − y) ≤ ⇒ Max A = x = y Mặt khác ta có: x + y − xy = ⇔ 3( x + y ) = + ( x + xy + y ) ⇔ A = + ( x + y) ≥ 8 ⇒ A ≥ ⇔ A ≥ ⇒ MinA = x = − y 3 0.5 0.5 P - Vẽ hình A Bài (6điểm) I K 0.5 B M D O H C a) Vì PA tiếp tuyến đường tròn (0; R) Nên PA ⊥ OA A (định lý) Vậy tam giác OAP vuông A suy điểm A thuộc đường trịn đường kính OP (1) Chứng minh tương tự ta có điểm B thuộc đường trịn đường kính OP (2) Mặt khác tam giác OHP vng H Nên điểm H thuộc đường trịn đường kính OP (3) Từ (1); (2) (3) Suy điểm O; A; P; B; H nằm đường trịn đường kính OP b) Gọi C; D giao điểm đường thẳng MO với đường tròn (0; R) Xét ∆ MBC ∆ MDA Ta thấy ∠M chung ∠ DAM = ∠ BCM ( bù với góc DCB ) MB MC = ⇒ MA.MB = MC.MD (4) Vậy ∆ MBC MDA ∆ (g.g) Suy MD MA Chứng minh tương tự ta ∆ MBH ∆ MOA (g.g) MB MH = ⇒ MA.MB = MO.MH (5) Suy MO MA MC.MD Từ (4) (5) ta có: MC.MD = MO.MH ⇒ MH = khơng đổi Vì M cố định nên MO H cố định Từ suy P nằm đường thẳng (d) cố định, vng góc với OM qua điểm H ∆MIO ( Vì có ∠M chung; ∠MHK = ∠MIO = 90 ) c) ∆MHK MH MK = ⇒ MI MK = MH MO (6) Từ (5) (6) Ta có: MA.MB = MI MK Suy MI MO Ta có: − ≤ a, b, c ≤ ⇒ (a + 1) ≥ (a − 2) ≤ ⇒ (a + 1)(a − 2) ≤ ⇔ a − a − ≤ Suy a ≤ a + Tương tự ta có: b ≤ b + c ≤ c + Bài (2 điểm) Cộng vế bất đẳng thức lại ta được: a + b + c ≤ ( a + b + c) + = Vậy a + b + c ≤ Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 1.0 0.5 1.0 0.5 1.0 0.25 0.25 - Bài học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm điểm ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI TỈNH LỚP Bài Bài (4 điểm) NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN: TỐN Đáp án a) ĐKXĐ biểu