SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016 2017 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 a) Giải hệ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu x 1 2y a) Giải hệ phương trình x y 1 b) Giải phương trình x 2x 6x 9x Câu Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: x 1 x2 x m x Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC N điểm thuộc đoạn thẳng AC cho AC 4AN Đường thẳng 3 DM có phương trình y N ; Xác định tọa độ điểm A 2 Câu a) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AA1 , BB1 , CC1 đồng quy H (A1 BC, B1 AC, C1 AB) Biết AA1 2, CC1 HB 5HB1 Tính tích cot A.cot C diện tích tam giác ABC b) Cho a, b,c số thực khơng âm có tổng Chứng minh a b c abc Câu Tập hợp X có n n * phần tử chia thành tập đôi không giao Xét quy tắc chuyển phần tử tập sau: A, B tập X số phần tử A không nhỏ số phần tử B ta phép chuyển từ tập A vào tập B số phần tử số phần tử tập B Chứng minh sau số hữu hạn bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận tập X HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016-2017- MÔN TOÁN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm trang) Lưu ý: Mọi cách giải khác gọn cho điểm tương ứng Câu Câu 1a điểm Nội dung Điểm 1 2y x Nhận xét: x không thoả mãn Với x , ta có hệ y3 x 2 y t y yt t (1) 1 2y t Đặt t , hệ trở thành 3 x (2) 1 2t y 1 2t y Do y2 yt t >0, suy từ (1) ta có y t y 1 Thay vào (2) ta có y 2y y 1 y y 1 y 1 Với y 1 , suy x 1 1 1 , suy x ; 2 1 1 Với y , suy x 2 Câu 1b Điều kiện 1 x 6x 3x 6x điểm x 2x x 2x 9x 9x Với y x 2x 9x 2 3x 2 3 x x x 2x 9x (2) 1 x 9x (3) 9x 2 1 x x Nhân hai vế (3) với 2 1 x x , ta suy ra: 9x 8 2 1 x x 4.2 1 x x 9x 8 2 1 x x 4 Do 1 x , suy 2 x x , từ ta có 9x x Thay vào phương trình (3) ta thấy x 2 2 thỏa mãn Kết luận: Tập nghiệm phương trình S ; 2 3 Câu Điều kiện x Chia hai vế phương trình cho x , điểm x 1 x 1 x 1 x 1 24 m0 m 24 ta có x x x x Đặt t x 1 , Ta có bất phương trình m t 2t x Do x , suy t Ta có t f t x 1 , suy t , t 0;1 x x Xét hàm số f t t 2t 0;1 Từ bảng biến thiên suy m Nếu HS thiếu t mà kết luận m trừ 1,0 điểm câu HS đặt g(t) t 2t m , xét m TH1 , suy m , g t vô nghiệm TH2 , suy m , gọi t1 , t nghiệm, g t t1 t t Nhận xét t , suy g t có nghiệm thuộc 0;1 Câu 3 điểm t1 m m Suy m M C E hình chiếu N MD, suy đường thẳng B 1 NE : x , suy E ;1 2 I H E Gọi a độ dài cạnh hình vng N Suy MD MC2 CD A AC 2a , AN a2 5a a2 (1) D 3 2a AC NC AC 4 Ta có MN MC2 NC2 2MC.NC.cos 450 10a a 10 (2) MN 16 a 10 (3) Từ (1), (2) (3) suy tam giác NMD vuông cân N d3 5 Gọi tọa độ điểm D d;1 , ta có ED EN d 2 d 2 Tương tự ta có ND Suy D 3;1 D 2;1 Trường hợp D 3;1 Do E trung điểm MD, suy ta M 2;1 , Ta có 1 MI MD ; I ;1 3 5 1 Chứng minh AN NI ; Ta có NI ; AN ; A 1; 3 2 2 Trường hợp D 2;1 , E trung điểm MD, suy ta M 3;1 5 4 Ta có MI MD ; I ;1 3 5 Từ AN NI mà NI ; AN ; A 0; 3 6 2 2 2 A Câu 4a điểm C1 Ta có B1 HB BB1 5 6 HB1 HB1 BB1 B1C ; tan A tan B 1HC B1C HB1 BB1 B1C BB1 tan A.tan C 6 B1C HB1 HB1 B C A1 Suy cot A.cot C (1) AA1 2 AB 2 sin C 2 sin C CC1 BC sin A sin A 9 1 cot A 1 cot C cot A 8cot C (2) sin A sin C cot A cot A.cot C Từ (1) (2) ta có 9 cot A 8cot C cot C H Mặt khác tan C 1 AA1 cot C sin C AC 2 10 sin C sin C 1 Ta có AB1 BB1.cot A BB1 ; CB1 BB1.cot C BB1 6 10 AC AB1 B1C BB1 BB1 AC 5 1 10 10 6 Suy SABC AC.BB1 2 Câu 4b Trong ba số a 1, b 1, c ln có số có tích khơng âm, giả sử điểm a 1 b 1 ab a b ab a b c Suy abc c c Do cot C a b2 a b a b c 2 2 3 c 3 c abc 3 c 2 c2 c c c 1 Dấu = xảy a b c 2 Câu Do tập X có số phần tử chẵn nên số tập có phần tử lẻ chẵn điểm Giả sử có 2k k * tập có số phần tử lẻ, chia 2k tập thành k cặp, thực Ta chứng minh c2 c c quy tắc chuyển ta đưa tập có số phần tử chẵn Khi ta đưa trường hợp tập có số phần tử chẵn Nếu n , toán chứng minh Xét n Do n , suy số tập có số phần tử chẵn không chia hết cho phải chẵn Giả sử có 2m m * tập có số phần tử chẵn khơng chia hết cho Chia chúng thành m cặp thực phép chuyển phần tử theo quy tắc ta thu tập có số phần tử chia hết cho Thực tương tự trên, sau hữu hạn bước ta tập có số phần tử chia hết cho n , ta nhận tập X Học sinh chứng minh phương pháp quy nạp theo n ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016- 2017- MƠN TỐN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm trang) Lưu ý: Mọi... , từ ta có 9x x Thay vào phương trình (3) ta thấy x 2 2 thỏa mãn Kết luận: Tập nghiệm phương trình S ; 2 3 Câu Điều kiện x Chia hai vế phương trình cho x ,... 1 , suy t , t 0;1 x x Xét hàm số f t t 2t 0;1 Từ bảng biến thi? ?n suy m Nếu HS thi? ??u t mà kết luận m trừ 1,0 điểm câu HS đặt g(t) t 2t m , xét m TH1