PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2I.
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2
I PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG :
1 Định nghĩa: là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a
0 )
2 Phương pháp giải :
Đặt t = x2 , điều kiện : t 0
Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x4 4x2 + 3
= 0
Đặt t = x2 , điều kiện : t
0
PT thành t2 4t + 3 = 0
nhận)
nhận) (
3 t
( 1 t
Với t = 1 x2 = 1 x = 1
Với t = 3 x2 = 3 x =
3
Vậy phương trình có 4 nghiệm : x = 1, x
=
3
Trang 2II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
1) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối :
Phương pháp giải :
Cách 1 : Khử giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa
0
0
A khi A
A khi
A A
Xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối
Cách 2 : Đưa về các dạng có công thức
B A
B
A B
B A
B A
B B
0
Trang 3Ví dụ 1: Giải phương trình x2 4 2x x 2 1
Giải
Xét dấu hai biểu thức nằm trong trị tuyệt đối :
x2 4 = 0 x = 2
x + 2 = 0 x = 2
Bảng xét dấu :
x 4 + 0 - 0 +
2
Trang 4x < 2 :
PT x2 4 + 2x = (x + 2) + 1
x2 + 3x 3 = 0
(loại)
(nhận)
2
21 3
2
21 3
x x
2 x 2 :
PT (x2 4) + 2x = x + 2 + 1
x2 x 1 = 0
) (loại
(nhận)
5 1
5
1
x x
Trang 5x 2 :
PT x2 4 + 2x = x + 2 + 1
x2 + x 7 = 0
(nhận)
(loại)
2
29 1
2
29 1
x x
2
29 1
x 5
1
x 2
21 3
x
Trang 6Ví dụ 2: Giải phương trình | 2x + 8x 15 | = 4x + 1
2
1
7 ,
1
2 ,
4 4 1
1 4
15 8
2
1 4
15 8
2
0 1
4
2
2
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x PT
Nghiệm của phương trình là x = 1 , x = 2
Trang 72) Bất phương trình chứa trị tuyệt đối :
Phương pháp :
Cách 1 : Khử giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa
0
0
A khi A
A khi
A A
Cách 2 : Đưa về các dạng
0 ) )(
(
2 2
B A B A B A B A
B A
B
A B
A B
B A
B A
B
A B
A
Trang 8Ví dụ 4: Giải BPT x | 4x 5 | < 0
Giải (Ta dùng cách 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt
đối
5
Lập bảng : x 5/4 +
4x 5 0 +
* TH1: x <
4
5
BPT x2 + (4x 5) < 0 x2 + 4x 5 < 0 5 < x < 1
giao với x < 5/4 , ta được nghiệm trong TH này là 5 < x < 1
4
5
BPT x2 (4x 5) < 0 x2 4x + 5 < 0 VN ( vì < 0 và a > 0 )
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 5 < x < 1
Trang 9Ví dụ 5: Giải BPT | x2 3x + 4 | x2
+ 3x
Ta dùng cách 2 :
3
2 3
2 0
2
4
6 )
3 (
4 3
3 4
3
2 2
2
2 2
bptvn
x x
x x
x x
x
x x
x x
BPT
Trang 10III PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ : 1.Phương trình vô tỷ :
Phương pháp giải :
+ Cách 1 : Sử dụng cho các dạng có công thức
B A
B B
A
B A
B
A B
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Cách 3: Dùng phép biến đổi tương đương để làm mất căn
n n
n n
B A
B
A B
A
B A
B A
2 2
1 2 1
2
dấu) cùng
vế (2
0
Trang 11Ví dụ : Giải các phương trình
7 2
4
Giải a)
4 4
2
7 0
16 8
2
7 )
7 2
( 4
1
0 7
2
2 2
x x
x x
x
x x
x x
x
a)
Trang 12Ví dụ : Giải các phương trình
Giải b)
b) 2x 5 x 1 4
16 1
) 1 )(
5 2
( 2 5
2x x x x
x x
x 3 5 12 3 2
2 2
ĐK : x 5/2 và x 1 x 1
Bình phương hai vế phương trình :
82 x
, 2
4 0
164 84
4 )
3 12 ( ) 5 3
2 (
4
0 3
12
2 2
x x
x
x x
x x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
Trang 13Ví dụ : Giải các phương trình
Giải c)
c) 3 x2 4x 4x x2 10 0
Đặt t = x2 4 x
Ta có t2 = x2 4x 4x x2 = t2 , PT thành
3t t2 + 10 = 0 t2 3t 10 = 0 t = 5, t = 2 (loại)
, t 0
Trang 142) Bất phương trình vô tỷ :
Phương pháp giải :
Cách 1 : Dùng phép biến đổi tương đương để làm mất căn
n n
n n
B
A B
A
B A
B A
B A
2 2
1 2 1
2
0
Cách 2 : Sử dụng các dạng có công thức
2
0 0
B A
B
A B
A
2
0 0 0
B A
B A
B B
A
B A
B
A 0 A B A B 0
Trang 15Ví dụ : Giải các bất phương trình
x x
x2 12 8
a)
Giải a)
2 2
2
16 64
12
0 12
0 8
x x
x
x
x
x
x
17 76
3 4
8
x
x x
x
x < 4 V 3 < x <
17 76
Trang 16Ví dụ : Giải các bất phương trình
c)
Giải c)
0 )
3 )(
4 (
) 2 )(
1 (
3 x x x x
0 12
2
Đặt t = x2 x 2 , t 0 t2 = x2 + x 2 x2 + x = t2 + 2 Thay vào bpt thành : 3t + t + 2 12 0 t + 3t 10 02 2
t 5 V t 2 Nhận t 2
x 3 V x 2
