TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG * ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (MẬT) ĐỀ THI MÔN:TOÁN LỚP:10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình x y + + y x + = xy x x + + y y + = + x + y Câu (4 điểm) Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: Khi A, H không thay đổi B, C thay đổi a) Tứ giác BCFE nội tiếp; b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE qua điểm cố định Câu (4 điểm) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh x +1 y +1 z +1 x y z + + ≤ + + y +1 z +1 x +1 y z x Câu (4 điểm) Gọi p2014 số nguyên tố thứ 2014 Chứng minh p2014 < 22 2014 Câu (4 điểm) Bên đường tròn bán kính n đặt 4n đoạn thẳng có có độ dài Chứng minh kẻ đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng (d) cho trước cắt hai đoạn thẳng cho - Hết(Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay làm bài) Họ tên người đề: Lê Thiếu Tráng Số điện thoại: 0912.504 010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 (Hướng dẫn có 04 trang) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình x y + + y x + = xy 2 2 x x + + y y + = + x + y Dễ thấy x = y = nghiệm hệ Xét x ≠ y ≠ 0, hệ biến đổi dạng: x2 + y2 + x2 + + =7 y +6 x y + =7 x y ⇔ + = 2 y2 + x x + − x + y y + − y = x + + +1 x y u + v = y2 + x + Đặt u = , ta hệ: ; v= x y u + + v + = ( ) ( ) 0,5đ 1,0đ 1,0đ u = u = 2 Giải hệ được: v = v = u = Với , thay ẩn ban đầu giải v = x = y = 0,5đ u = Với , thay ẩn ban đầu giải v = 15 x = 15 y = 30 15 0,5đ 15 30 ; ÷ 15 15 Vậy hệ có nghiệm là: 1; ÷ ; 0,5đ Câu (4 điểm) Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: Khi A, H không thay đổi B, C thay đổi a) Tứ giác BCFE nội tiếp; b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE qua điểm cố định a) Theo gỉa thiết, tam giác vuông AHB AHC ta có: AE AB = AH AF AC = AH Do đó: AE AB = AF AC Suy tứ giác BECF nội tiếp 1,0đ b) Gọi P, Q giao điểm AH với đường tròn (BEFC) Do tứ giác BPCQ nội tiếp nên: HP.HQ = HB.HC Trong tam giác vuông ABC có: HB.HC = AH 1,5đ Vậy: HP.HQ = HB.HC = AH Mặt khác: AP AQ = AE AB = AH Suy ( AH − HP)( AH + HQ) = AH ⇒ AH + AH ( HQ − HP ) − HP.HQ = AH ⇒ AH = HQ − HP 0,5đ HP − HQ = AH HP.HQ = AH Do đó: −1 AH HP = ⇒ P, Q cố định Giải hệ ta được: HQ = + AH 1,0đ Vậy đường tròn (BEFC) qua điểm cố định P, Q Câu (4 điểm) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh x +1 y +1 z +1 x y z + + ≤ + + y +1 z +1 x +1 y z x Bất đẳng thức cho biến đổi dạng: y−x z−y x−z x +1 x y +1 y z +1 z + + ≤ − + − + − ≤ 0⇔ y ( y + 1) z ( z + 1) x ( x + 1) y +1 y z +1 z x +1 x 1,0đ Không tổng quát giả sử x = max{x; y; z} Nếu y > z x− y x− y y−z y−z ≤ ≤ Suy x ( x + 1) y ( y + 1) x ( x + 1) z ( z + 1) 1,5đ x−z x− y y−z y−x z−y x−z ≤ + + + ≤ (đpcm) ⇔ x ( x + 1) y ( y + 1) z ( z + 1) y ( y + 1) z ( z + 1) x ( x + 1) Nếu y < z z−y z−y x−z x−z ≤ ≤ Suy z ( z + 1) y ( y + 1) x ( x + 1) y ( y + 1) 1,5đ z−y x−z x− y y−x z−y x−z + ≤ + + ≤ (đpcm) ⇔ z ( z + 1) x ( x + 1) y ( y + 1) y ( y + 1) z ( z + 1) x ( x + 1) Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Câu (4 điểm) Gọi p2014 số nguyên tố thứ 2014 Chứng minh rằng: p2014 < 222014 Ta chứng minh toán tổng quát: “Nếu pn số nguyên tố thứ n, ta cần chứng minh: p n < 22n , ∀n∈N*” phương pháp quy nạp 0,5đ Với n = < 221 = (n = p1 số nguyên tố thứ nhất) Giả sử toán với n = 1, 2, , k Nghĩa ta có: p1 < 221 , p2 < 222 , , pk < 22k Ta cần chứng minh toán với n = k + 1, nghĩa cần chứng minh: 0,5đ pk+1 < 22k +1 Xét tích A = p1.p2 pk + ⇒ A > pk Gọi d ước số nguyên tố A, d < A +) Nếu d < pk d | p1.p2 pk ⇒ d |1 không xảy 1,0đ +) Nếu d > pk d > pk+1, tức 1,0đ pk+1 < d < A = p1.p2 pk + = 221 222 22k +1 Suy ra: pk+1 < 221 222 22k = 221 + 22 + + 2k = 22k +1 − < 22k +1 (đpcm) 1,0đ Câu (4 điểm) Bên đường tròn bán kính n đặt 4n đoạn thẳng có có độ dài Chứng minh kẻ đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng (d) cho trước cắt hai đoạn thẳng cho Giả sử (d1) đoạn thẳng vuông góc với (d) Kí hiệu độ dài hình chiếu đoạn thẳng thứ i lên đường thẳng (d) (d 1) bi tương ứng Vì độ dài đoạn thẳng nên + bi ≥ Do 1,5đ (a1 + a2 + + a4 n ) + (b1 + b2 + + b4 n ) ≥ 4n Không tổng quát giả sử a1 + a2 + + a4 n ≥ b1 + b2 + + b4 n Khi a1 + a2 + + a4 n ≥ 2n Tất đoạn thẳng cho chiếu xuống đoạn thẳng có độ dài 2n chúng nằm đường tròn bán kính n 1,0đ Nếu hình chiếu đoạn thẳng cho lên đường thẳng (d) điểm chung có a1 + a2 + + a4 n < 2n , vô lí Do (d) phải có điểm bị điểm số đoạn thẳng cho chiếu lên 1,5đ Khi đó, đường vuông góc với d điểm cắt hai đoạn thẳng cho - Hết -