TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC KHỐI 10 (Đề thi có trang, gồm câu) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề ) Câu ( điểm) Giải hệ phương trình (2 x − 3).( x + y ) = −1 2 ( x + y ) [4(x + xy + y ) − 7] = −3 Câu ( điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Một đường thẳng qua O cắt AC, AB D, E Gọi M, N, P trung điểm đoạn BD, CE, DE Chứng minh bốn điểm M, N, P, O nằm đường tròn Câu ( điểm) Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh rằng: xy + z + x + y ≥ + xy Câu ( điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên Câu ( điểm) Tìm số x, y, z nguyên dương cho xy − = z ( x − 1)( y − 1) HẾT Hán Văn Sơn – ĐT 0912822566 TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN Bài HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC KHỐI 10 (Gồm trang) Nội dung ĐK x + y ≠ Hệ cho có dạng 4( x + y ) + xy + ( x + y )2 = 7(1) 2 x + = 3(2) x+ y 3( x + y ) + + + ( x − y ) = 13 ( x + y) ⇔ 3 x + y + + ( x − y) = 13 (*) ÷ x+ y Từ phương trình thứ hai ta suy 1.0 1.0 = − 2x , vào phương x+ y 3( x + y + − x) + ( x − y ) = 13 trình (*) ta Điểm ⇔ 4( x − y ) − 18( x − y ) + 14 = 1.0 x − y =1 ⇒ x − y = Thế vào ta (x ;y)=(1 ;0) ; + −9 + − −9 − ( x, y ) = ( ; );( x, y ) = ( ; ) 2 2 1.0 1.0 Ta có: PN, PM theo thứ tự đường trung bình tam giác ECD, DEB nên Suy ra: (1) Gọi K, L điểm đối xứng B, C qua tâm O LE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Áp dụng định lý Pascal cho điểm A, L, B, F, C, K ta có giao điểm LF AB, KF AC, BK LC thẳng hàng Mà E, O, D thẳng hàng nên D giao điểm FK AC Do BK, CL đường kính đường tròn (O) nên hay đường tròn đường kính BD, đường kính CE (O) qua F Suy Từ suy ra: (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 1.0 1.0 1.0 Cần chứng minh xy + z ( x + y + z ) + x + y ≥1 x + y + z + xy ⇔ ( x + z) ( y + z) + 1,0 x + y ≥ x + y + z + xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x + y = ( x + y ) − xy ≥ ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) 2 2 1,0 ⇒ x2 + y ≥ x + y Cần chứng minh: ( z + x) ( z + y) ≥ z + xy ⇔ z + xy + z ( x + y ) ≥ z + xy + z xy ⇔ z 2 ( x− y ) 1,0 ≥ (Đúng) x = y = Đẳng thức xảy ⇔ z = 1,0 Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, (xi; yi) rơi vào trường hợp sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ ∈ Z 1.5 Do đa giác có đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có đỉnh có tọa độ thuộc bốn kiểu 1.5 Khi trung điểm đoạn nối đỉnh có tọa độ nguyên Do ngũ giác lồi nên điểm miền cạnh ngũ giác 1.0 x, y, z ∈ N , xy − số lẽ ⇒ z ( x − 1)( y − 1) số lẻ ⇒ x, y số chẵn, z số lẻ 1.0 Không tính tổng quát, coi rằng: x ≥ y ( a, b lẻ a ≥ b) 2 + + ∈ N* a b ab (2) Đặt: a = x − ; b = y − PT (1) trở thành: 2( a + 1)( b + 1) − = zab ⇒ Nếu a = b ⇒ 4a + 4a + a * ∈ N ⇒ = 4+ ∈ N* 2 a a a ∈ N* ⇒ a =1 a 1.0 ( b = 1) Tìm ( x, y, z ) = ( 2;2;7 ) Nếu a ≥ b ≥ a b * Xét: b ≥ ⇒ a ≥ ⇒ ≤ + + ⇒ 2 19 ≤ + + = ab 20 20 1.0 2 + + ∉ N* a b ab Vậy, b < , b lẻ nên b ∈ {1;3} a * Xét b = ⇒ ∈ N * (do: (2)) a > đó: a = Tìm ( x, y, z ) = ( 2;4;5) * Xét b = , từ (2) ⇒ + ∈N* ; a > 3⇒ a = 3a Tìm được: ( x; y; z ) = ( 4,8,3) Do vai trò x, y nên pt (1) có nghiệm ( x; y; z ) ∈ { ( 2;2;7 ); ( 2;4;5); ( 4;2;5); ( 4;8;3); ( 8;4;3)} 1.0