Một vài nét kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU Những toán trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu tích phân Kĩ thuật tách tích phân có khoảng cách bậc tử mẫu lớn thành tích phân có khoảng cách bậc nhỏ mô tả theo sơ đồ: ∫x dx n +a = 2b ∫ [ u ( x ) + b] − [ u ( x ) − b ] x +a n dx = ⎡ u ( x) + b u ( x) − b ⎤ dx − dx ⎥ ⎢ n 2b ⎣ x + a xn + a ⎦ ∫ ∫ Một số học sinh giáo viên chưa hiểu biết đầy đủ cho tên gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" câu chữ để tạo cảm xúc giảng họ chưa biết điều quan trọng kĩ thuật nghệ thuật chọn hàm u(x) Ví dụ nguyên tắc tính ∫x dx +1 phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng trang giấy, giải biến đổi dấu với khoảng dòng lại đẳng cấp khác… ∫ VD 1: I = dx = x +1 ∫ ( x + 1) − ( x − 1) x4 + ⎡ ⎛ ⎞ + 12 1− ⎢ ⎜ ⎟ x dx − x dx ⎟ = ⎢ = ⎜ ⎜ x2 + ⎟ 2⎢ x2 + 2 ⎜ ⎟ ⎢ x x ⎝ ⎠ ⎣ ∫ ∫ ∫ ( dx = ( ⎛ x2 + dx − ⎜ ⎝ x4 + d x−1 x x−1 x ) x2 − ⎞ dx ⎟ x4 + ⎠ ∫ ∫ ) 1⎞ ⎛ d⎜x + ⎟ x⎠ ⎝ + ( 2) − ∫⎛ 1⎞ ⎜x + ⎟ − ( x⎠ ⎝ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 2) ⎥ ⎦ 1⎛ x2 − 1 x2 − x + ⎞ arctg ln = ⎜⎜ − ⎟+c 2⎝ x 2 x + x + ⎟⎠ VD 2: I = = ∫ t (t ∫ dt dx dx d ( x − 1) = = ( x − ) ( x + x + 1) x -1 ( x − 1) ⎡⎣( x − 1)2 + ( x − 1) + ⎤⎦ ∫ + 3t + 3) = ∫ ( t + 3t + 3) − ( t + 3t ) ( t + 3) dt ⎞ ⎛ dt ∫ t ( t + 3t + 3) dt = ⎜⎝ ∫ t − ∫ t + 3t + ⎟⎠ ⎞ ⎛ dt d ( t + 3t + 3) ⎛ dt ( 2t + 3) dt dt = ⎜ − − − − ⎟= ⎜ ⎝ t t + 3t + t + 3t + ⎠ ⎜ t t + 3t + ⎜ ⎝ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎞ ⎟ t + + ⎟⎟ 4⎠ dt ( ) 1⎛ t2 2t + ⎞ x2 − 2x + 1 2x + arctg = ⎜ ln − 3arctg − +c ⎟ + c = ln ⎝ t + 3t + x + x +1 3 ⎠ 11 Tuyển tập chuyên đề kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương VD 3: I = = ∫ t (t ∫ dx dx d ( x + 1) = = ( x + 1) ( x − x + 1) x3 + ( x + 1) ⎡⎣( x + 1)2 − ( x + 1) + ⎤⎦ ∫ dt − 3t + 3) = ∫ ( t − 3t + 3) − ( t − 3t ) ( t − 3) dt ⎞ ⎛ dt ∫ t ( t − 3t + 3) dt = ⎜⎝ ∫ t − ∫ t − 3t + ⎟⎠ ⎞ ⎛ dt d ( t2 − 3t + 3) ⎛ dt ( 2t − 3) dt dt = ⎜ − + − + ⎟= ⎜ ⎝ t t2 − 3t + t2 − 3t + ⎠ ⎜ t t2 − 3t + ⎜ ⎝ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎞ ⎟ t − + ⎟⎟ 4⎠ dt ( ) x + 2x + 1 2x − 1⎛1 t2 2t − ⎞ + +c arctg = ⎜ ln + 3arctg ⎟ + c = ln ⎝ t − 3t + x − x +1 3 ⎠ VD 4: I = ∫x dx = -1 ∫ (x dx − 1)( x + 1) = ⎡ dx dx ⎤ − = ( I2 − I3 ) ⎢ ⎣ x −1 x + ⎥⎦ ∫ ∫ = ⎡⎛ x − 2x + 1 2x + ⎞ ⎛ x + 2x + 1 2x − ⎞⎤ arctg arctg − + ⎢⎜⎜ ln ⎟⎟ − ⎜⎜ ln ⎟⎟⎥ ⎢⎣⎝ x + x +1 x − x +1 3 ⎠ ⎝6 ⎠⎥⎦ = ( x − 2x + 1)( x − x + 1) ⎛ 2x + 2x − ⎞ ln − arctg + arctg ⎟+c 12 ( x + 2x + 1)( x + x + 1) ⎜⎝ 3 ⎠ VD 5: I5 = ∫ dx = x +1 ∫ ( x4 + 1) − ( x4 − 1) x6 + dx = ( x4 − x2 + 1) + x2 − ( x2 + 1)( x2 − 1) dx ∫ ( x2 + 1)( x4 − x2 + 1) ⎡ ⎛1 − ⎞ dx ⎤ ⎜ ⎟ 2 3) ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ( ) ( dx x dx x − dx dx d x ⎝ x2 ⎠ = ⎢ + − = + − ⎢ ⎥= ⎥ ⎣ x +1 ⎛ x + ⎞ − 1⎥ x +1 x − x + 1⎦ ⎢ x + x + ⎜ ⎟ x ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎣⎢ ∫ ∫ ∫ ⎡ 1⎢ arctg ( x3 ) arctgx + − 2⎢ ⎢ ⎣ VD 6: I = dx ∫ cos x ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) = ⎤ d x+ x2 − x + ⎥ 3arctgx + arctg ( x ) x = − ln +c 2 2⎥ x + x + 1 ( ) x+ − ⎥ x ⎦ ∫ cos x dx cos x = d ( sin x ) ∫ (1 − sin x) = d ( sin x ) ∫ [(1 + sin x ) (1 − sin x )] ⎡ (1 + sin x ) + (1 − sin x ) ⎤ ⎛ 1 ⎞ ( = + d ( sin x ) = ⎜ ⎟ d sin x ) ⎢ ⎥ ⎣ (1 + sin x ) (1 − sin x ) ⎦ ⎝ − sin x + sin x ⎠ ∫ = 12 ∫ ⎡ 1 sin x 1 + sin x ⎤ ( + + d sin x ) = + ln +c ⎢ 2 ⎥ ⎣ (1 − sin x ) (1 + sin x ) − sin x ⎦ cos x − sin x ∫