CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Bài tập 1.13: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh MC = NA = PB góc tạo hai đường thẳng 600, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy Giải: Bước 1: Phân tích tốn – Tìm tịi lời giải: GT: Tam giác ABC, MAB, NBC, PAC tam giác Kl: a) MC = NA = PB b) ( AM MC ) = ( MC , BP ) = ( BP, NA ) = 60 c) MC, NA, PB đồng quy Đầu cho ta tam giác nên ta phải tận dụng triệt để đoạn thẳng nhau, góc 60 việc dựng tam giác để chứng minh toán - Để chứng minh đoạn thẳng MC, NA, PB có nhiều cách ta gắn đoạn thẳng vào tam giác để chứng minh tam giác Từ suy đoạn thẳng cần chứng minh - Để chứng minh đường thẳng đồng quy ta sử dụng số phương pháp chứng minh đồng quy thường dùng như: đường thẳng đặc biệt tam giác, đường thẳng thứ qua giao điểm đường thẳng lại Ở ta thấy đường thẳng đường thẳng đặc biệt tam giác nên ta sử dụng số phương pháp khác như: đường thẳng thứ qua giao điểm đường thẳng lại, phép quay Trình bày lời giải: 2.1:Cách 1: Xét tam giác * Chứng minh AN = MC = BP Xét hai tam giác ABN MBC có: AB = MB; BC = BN (Các cạnh tam giác đều) ·ABN = MBC · ( 600 + ·ABC ) ⇒ ABN = MBC (c.g.c) ⇒ AN = MC (*) Tương tự: AB = AM; ABP = AMC (c.g.c) BC = BN (Các cạnh tam giác đều) · · BAP = MAC ( · ) 600 + BAC ⇒ BP = MC (**) Từ (*) (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm) · · = CKN = 600 * Chứng minh ·AKP = PKC ) ) ) ) ) ) Trong APC có A1 + C2 + P1 + P2 = 1800 mà P1 = C1 ) ) ) ) Trong PCK có C1 + C2 + P2 + K = 1800 ) ) ) ¶ = 1800 ⇒ K ¶ = 600 ⇒ 600 + (C1 + P2 ) + K = 1800 ⇒ 600 + 600 + K 2 (1) Tương tự: ABN = MBC ¶ =C ¶ mà ⇒ N ¶ +N ¶ = 600 N ¶ +C ¶ = 600 mà C ¶ = 600 ⇒ N ¶ +C ¶ +C ¶ +K ¶ = 1800 ⇒ NKC có N ¶ = 600 (2) K =A ả m P µ +P µ = 600 Tương tự: AC N = PCB ⇒ P 2 µ +A ¶ = 600 mà µ ¶ = 600 (3) A1 = 600 ⇒ Trong AKP có K ⇒ P Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh * Chứng minh AN MC, BP đồng quy Giả sử MC ∩ BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng ¶ = 600 , K ¶ = 600 , K ¶ = 600 ⇒ K ¶ +K ¶ +K ¶ = 1800 Theo chứng minh ta có: K 1 ⇒ A,K,N thẳng hàng Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm) 2.2.Cách 2: Dùng phương pháp biến hình * Chứng minh MC = NA = BP Do tam giác thuộc miền cua tam giác ABC tam giác nên ta dùng phép quay Q (A, 600 ): MB CP ⇒ MC BP ⇒ MC = BP Q (B, 600): (1) NC AM ⇒ NA CM ⇒ NA = CM (2) Từ (1) (2) ta có: MC = NA = BP (đpcm) * Chứng minh ( AM MC ) = ( MC , BP ) = ( BP, NA) = 60 Do phép quay Q ( A, 600 ) : MC BP ⇒ ( MC , BP ) = 60 Q (B, 600) : NA CM ⇒ ( , ) = 600 Tương tự: Q (C, 600) : BP NA ⇒ ( , ) = 600 góc tạo đường thẳng AN, MC, BP 600 (Đpcm) * Chứng minh ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy Gọi K = MC ∩ BP (1) ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng ⇒ · · MKB = 600 mà MAB = 600 ⇒ ▼ MAKB nội tiếp ·AKB = ·ABM AM ) = 600 ( chắn cung ¼ Tương tự ta có tứ giác BKCN nội tiếp » ) · · ⇒ BKN = BCN = 600 (cùng chắn cung CN 0 · · ⇒ ·AKN = ·AKB + MKB + BKN = 600 + 60 + 60 = 180 Do A, K, N thẳng hàng (2) Từ (1) (2) ta có MC ∩ BP ∩ NA = K Vậy MC, NA, BP đồng quy (đpcm) 2.3 Cách 3: Dùng đường tròn ngoại tiếp * Chứng minh AN, MC, BP góc tạo hai đoạn thẳng 600 Gọi O, I, H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB, BNC, CPA Ta có (AMB) (BNC) có điểm chung B nên hai đường trịn có điểm chung Gọi K điểm chung thứ (K trùng với B) ⇒ { AMBK { BNCK nội tiếp · · ⇒ ·AMB + ·AKB =1800 BKC + BNC = 1800 · · Mà ·AMB = BNC = 600 ⇒ ·AKB = BKC = 1800 − 600 = 1200 · · » ) Mặt khác : BKN = BCN = 600 (cùng chắn cung CN · ⇒ ·AKN = ·AKB + BKN = 1200 + 600 = 1800 Do A, K, N thẳng hàng (1) · · » ) Tương tự: CKB = CAP = 600 ( chắn cung CP · · · ⇒ BKP = BKC + CKP = 1200 + 600 = 1800 Do B, K, P thẳng hàng · Do ·AKB = BKC = 1200 (2) ⇒ ·AKC = 1200 mà ·APC = 600 nên { AKCP nội tiếp đường tròn tâm H ·AKB = ·ABM AM ) = 600 ( chắn cung ¼ · · ⇒ MKC = MKA + ·AKP = 1200 + 600 = 1800 M, K, C thẳng hàng (3) Từ (1), (2), (3) ta co AM, NC, BP đồng quy K (đpcm) · · Và ·AKM = MKB = BKC = 600 ( Các góc tạo hai ba đường thẳng AN, MC, BP) * Chứng minh AN = MC = BP Xét hai tam giác ABN MBC có: AB = MB; BC = BN (Các cạnh tam giác đều) ·ABN = MBC · ( 600 + ·ABC ) ⇒ ABN = MBC (c.g.c) ⇒ AN = MC (*) Tương tự: ABP = AMC (c.g.c) ⇒ BP = MC (**) Từ (*) (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm) 2.4:Cách : Dùng tứ giác nội tiếp đường tròn * Chứng minh AN = MC = BP Xét hai tam giác ABN MBC có: AB = MB; BC = BN (Các cạnh tam giác đều) · ·ABM = MBC (cùng 600 + ·ABC ) ⇒ ABN = MBC (c.g.c) ⇒ AN = MC (*) Tương tự: ABP = AMC (c.g.c) AB = AM; BC = BN (Các cạnh tam giác đều) · · · = MAC (cùng 600 + BAC ) BAP ⇒ BP = MC (**) Từ (*) (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm) *Chứng minh AN, MC, BP đồng quy góc tạo hai đoạn thẳng 600 Gọi O = AN ∩ MC ) ) Ta có C1 = N (do ABN = MBC ) ⇒ { BNCK nội tiếp ( Hai đỉnh nhìn đoạn thẳng góc khơng đổi) ) ) ⇒ O1 = B2 = 600 ( góc nội tiếp chắn cung NC) ) ) O2 = C2 = 600 ( góc nội tiếp chắn cung BN) ) Vì O1 = 600 nên góc tạo AN MC 600 (1) Tương tự: ta có tứ giác AOBM AOCP nội tiếp ) ) ) ) ) ) ⇒ O1 = O2 = O3 = O4 = O5 = O6 = 600 ( góc nội tiếp chắn cung có số đo 600) ) ) ) · ⇒ O1 + O2 + O6 =1800 = BOP ⇒ B, O, P thẳng hàng Vậy AN, MC, BP đồng quy (, )=( , ) = ( , )= 600 4) Nhìn lại tốn lời giải - Khai thác toán Qua cách giải số số ta thấy việc chứng minh MC = NA = PB góc tạo hai đoạn thẳng 60 để gợi ý cho việc chứng minh đường thẳng đồng quy ⇒ Ta rút ngắn tốn sau: Bài 1: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh MC, NA, PB đồng quy Qua cách giải số ta đưa toán khác với cách giải vậy: Bài 2: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC có tâm O1, O2, O3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy điểm MỘT SỐ BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐỒNG QUY I Một số phương pháp chứng minh đường thẳng đồng quy Chứng minh đường thẳng đường đặc biệt tam giác: đường cao; đường trung tuyến; đường phân giác; đường trung trực; đường phân giác góc ngồi đường phân giác góc không kề; 2.Chứng minh giao điểm đường thẳng nằm đường thẳng thứ 3 Dựa vào định lí Cé va Định lí Céva Trên đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB ∆ABC, lấy điểm P, Q, R Khi đó: AP, BQ, CR đồng quy ⇔ PB QC RA = PC QA RB II Một số tập chứng minh đồng quy * Chứng minh đường thẳng đường đặc biệt tam giác Bài1: Vẽ phía ngồi ∆ABC hình vng ABDE ACFK Chứng minh rằng: a) EK vng góc với trung tuyến AM ∆ABC EK = 2AM b) Nếu I đỉnh thứ tư hình bình hành EAKI I thuộc đường cao AH ∆ABC c) CD = BI CD ⊥ BI; BF = CI BF ⊥ CI d) CD, BF, AH đồng quy Hướng dẫn: Chứng minh CD, BF, AH đường cao ∆IBC Suy CD, BF,AH đồng quy *Sử dụng tứ giác nội tiếp Bài 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Gọi A', B', C' điểm đối xứng H qua BC, CA, AB Qua H, vẽ đường thẳng d Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng d qua cạnh ∆ABC đồng quy điểm (O) Hướng dẫn: Gọi I giao d1 d2 Chứng minh tứ giác A'B'C'I tứ giác nội tiếp Suy A'B'C'I nội tiếp (O) Chứng minh I thuộc d3 *Áp dụng định lí Céva Bài 3: Gọi A', B', C' tiếp điểm đường tròn nội tiếp ∆ABC với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy Hướng dẫn: Chứng minh A 'B B'C C'A = ⇔ AA', BB', A 'C B'A C'B CC' đồng quy * Các phương pháp khác Bài Cho hình thang ABCD (AB > CD) Gọi E giao điểm hai cạnh bên AD BC; F trung điểm AB Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy Hướng dẫn: Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BK, CL cắt I Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC Chứng minh PD, QE, RF đồng quy Gọi J điểm đồng quy, chứng minh I trung điểm đường Hướng dẫn: Chứng minh PEDQ, PRDF hình chữ nhật ⇒ PD, QE, RF đường chéo hình chữ nhật ⇒ đpcm 10 ... tâm O1, O2, O3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy điểm MỘT SỐ BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐỒNG QUY I Một số phương pháp chứng minh đường thẳng đồng quy Chứng minh đường thẳng đường đặc biệt... tam giác: đường cao; đường trung tuyến; đường phân giác; đường trung trực; đường phân giác góc ngồi đường phân giác góc không kề; 2.Chứng minh giao điểm đường thẳng nằm đường thẳng thứ 3 Dựa vào... lí Céva Trên đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB ∆ABC, lấy điểm P, Q, R Khi đó: AP, BQ, CR đồng quy ⇔ PB QC RA = PC QA RB II Một số tập chứng minh đồng quy * Chứng minh đường thẳng đường đặc biệt