SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT Năm học2015 - 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề gồm 01 trang) Bài1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x 2x −1 y= x − biết d có hệ số Bài (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số góc −1 Bài3 (1,0 điểm) 1) Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực số phức ω = z − z 2) Tính giá trị biểu thức P = log + log 27 π Bài4(1,0 điểm).Tính tích phân I = ∫ ( x + cos x) cos xdx Bài5(1,0 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; −1), B(3;0; −5) mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, cắt trục Ox song song với mặt phẳng (P) Bài6(1,0 điểm) π sin x + cos x = 2sin x + ÷ 3 1) Giải phương trình 2) Hội đồng coi thi THPT Quốc gia gồm có 30 cán coi thi đến từ ba trường THPT trongđó có 12 giáo viên trường A, 10 giáo viên trường B, giáo viên trường C Chủ tịch Hội đồng coi thi chọn cán coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng bì đề thi Tính xác suất để cán coi thi chọn giáo viên hai trường THPT khác Bài7(1,0 điểm).Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2a , · BAC = 600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng SB, CM H ( 5;5 ) Bài8(1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chotam giác ABC vuông A Gọi hình chiếu vuông góc đỉnh A cạnh BC , đường phân giác góc A tam giác ABC nằm đường thẳng x − y + 20 = Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC qua điểm K ( −10;5 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm B có tung độ dương ( ) x + y − + x = − xy (2 x − xy ) x − − x + 3xy = Bài9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) 2 Bài10(1,0 điểm).Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xy + xz + 10 yz , tìm giá trị 3x3 P = xyz − y + z2 nhỏ biểu thức -Hết Giám thị không giải thích thêm Họ tên học sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT Năm học 2015-2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn: TOÁN (Đáp án – Thang điểm gồm 04 trang) CÂU ĐI Ể M ĐÁP ÁN • TXĐ: D = ¡ lim y = +∞; lim y = +∞ x →+∞ • Giới hạn: x→−∞ , x = ⇒ y (0) = y ' = ⇔ x = ±1 ⇒ y ( ±1) = −1 • Sự biến thiên: y ' = x − x ⇒ • Bảng biến thiên: −∞ –1 – + +∞ – + 0,25 −1 • Hàm số đồng biến khoảng (−1;0) (1; +∞) (1,0 Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (0;1) điểm) • Hàm số đạt cực đại điểm x = ⇒ yC® = Hàm số đạt cực tiểu điểm x = ±1 ⇒ yCT = −1 0,25 • Đồ thị: 0,25 (1,0 điểm ) TXĐ: D = ¡ \{1} Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến d với đồ thị (C) Khi y’(x ) = –1 0,25 Ta có phương trình x0 = −1 = −1 ⇔ ( x0 − 1) = ⇔ ( x0 − 1) x0 = Phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm (0;1) y = − x + Phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm (2;3) y = − x + 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm ) a) ω = 3(3 + 2i) − (3 − 2i) = + 8i 0,25 Phần thực số phức ω =6+8i 0,25 b) log = 7 15 = log 27 = ⇒ P = + = log 27 4 0,25 π I = ∫ ( x + cos x) cos xdx = (1,0 điểm ) I1 = π ∫ x cos xdx ⇒ I1 = π −1 π (1,0 điểm ) π π ∫ x cos xdx + ∫ cos 0,25 0,25 xdx u = x ⇒ du = dx ⇒ I1 = dv = cos xdx ⇒ v = sin x Đặt π x sin x 02 π − ∫ sin xdx 0,25 0,25 π π 2 π I = ∫ cos xdx = ∫ (1 + cos x) dx = x + sin x ÷ = ⇒ I = I1 + I = π − 0 Tính uuur I (2;1; − 3), AB = (2; −2; −4) Trung điểm AB uuur Mặt phẳng trung trực AB qua I nhận vectơ AB VTPT có phương trình x − y − z − = Giả sử d cắt trục Ox M(m;0;0) qua A(1; 2; −1) r uuuur d : VTCP u = AM = (m − 1; −2;1) d Khi A(1;2; −1) ∉ ( P) 4 ≠ r ⇔ r ⇔ r r ⇔ 2m − = ⇔ m = u d ⊥ n( P ) u d n( P ) = d // (P) x −1 y − z +1 d: = = −2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Giải phương trình (1,0 điểm ) π π π sin x + cos x = sin x + ÷ ⇔ sin x + ÷ = sin x + ÷ 3 6 3 PT ⇔ π π π 3 x + = x + + k 2π x = + k 2π ⇔ (k ∈ ¢ ) 3 x + π = π − x − π + k 2π x = π + k 2π 10 ⇔ 0,25 0,25 b) Gọi A biến cố : “chọn cán coi thi giáo viên hai trường THPT khác nhau.” Ω = C302 = 435 Số phần tử không gian mẫu: 1 1 A = C12 C10 + C12 C81 + C10 C81 = 296 0,25 P( A) = (1,0 Vậy xác suất để cán coi thi hai trường THPT khác BC = AB tan 600 = 2a ⇒ S ∆ABC = 2a Xét tam giác ABC có 1 VS ABCD = SA.S ∆ABC = a 3.2a = a3 3 296 435 0,25 0,25 0,25 - Gọi N trung điểm cạnh SA Do SB // (CMN) nên d ( SB, CM ) = d ( SB, (CMN )) = d ( B, (CMN )) = d ( A, (CMN )) - Kẻ AE ⊥ MC , E ∈ MC kẻ AH ⊥ NE , H ∈ NE Chứng minh AH ⊥ (CMN ) ⇒ d ( A, (CMN )) = AH Tính AE = 2S∆AMC MC đó: · AM AC sin CAM = a2 MC = a 13 S∆AMC = điểm ) ⇒ AE = 0,25 2a 13 Tính AH = d ( A, (CMN )) = 2a 29 2a 2a ⇒ d ( SB, CM ) = 29 29 · · Ta có ACB = BAH (do phụ với góc ·ABC ) · · Hơn nữa, MA=MB=MC nên MAC = MCA ⇒ · · BAH = MAC Suy đường phân giác AD góc A phân giác góc · HAM Gọi K’ điểm đối xứng với K qua AD K’ thuộc AH Viết phương trình KK’: x + y + 65 = (1,0 điểm ) 19 ⇒ I − ; ÷ 2 KK '∩ AD = I ⇒ K ' ( −9; −2 ) AH: x − y + = , Vậy 0,25 0,25 AH ∩ AD = A ⇒ A ( 1;3) ⇒ BC : x + y − 15 = 13 M ; ÷ 2 Đường thẳngn AM qua A K nên AM : x + 11 y − 35 = Vậy B ( b;15 − 2b ) Vì B thuộc đường thẳngBC nên b = MA = MB ⇒ 5b − 65b + 180 = ⇔ b = Do (1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 B ( 4;7 ) , C ( 9; −3) x ≥ x + 3xy ≥ ĐK: 0,25 ( 1) ⇔ + y2 − + Xét hàm số 1 1 = − y ⇔ y + + y = + + ( 3) x x2 x x2 Do 1 ( 3) ⇔ f ( y ) = f ÷ ⇔ y = x x Do Khi đó, f '( t ) > ⇒ f ( t ) = t + 1+ t2 , t ∈ ¡ ( ) ⇔ (2 x − 7) ( hàm số f đồng biến ¡ ) 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + − =0 2x − 7 x= không nghiệm ) (vì ) Xét hàm số g ( x) = x − − x + − g '( x) = Ta có 2 7 x ∈ ; +∞ ÷\ 3 2 x − với 10 − + 3x − 2 x + ( x − ) 2 7 x + − x − > ∀x ∈ ; +∞ ÷\ 3 2 Vì 10 ⇒ g '( x) = − + >0 3x − 2 x + ( x − ) 0,25 2 7 x ∈ ; +∞ ÷\ 3 2 với 2 7 ; ÷ ; +∞ ÷ Suy g(x) đồng biến Mà g (1) = g (6) = nên phương trình có hai nghiệm x=1;x=6 Vậy hệ có nghiệm ( 1;1) ; 6; 0,25 0,25 1 ÷ 6 3x x ⇔ − ( y + z) ÷ = 12 yz − 2 2 Ta có x + y + z = xy + xz + 10 yz 0,25 Suy 16 yz ≥ x ⇒ 16 xyz ≥ x x2 3x y + z ≥ yz ≥ ⇒− ≥ −24 x y + z2 Mặt khác ta có x3 x3 P = xyz − ≥ − 24 x y + z2 Khi 10 (1,0 điểm ) x3 − 24 x Xét hàm số với x ∈ (0; +∞ ) f ( x ) = −64 Suy x∈( 0;+∞ ) x = ⇒ y = z = Vậy P = −64 x = 4, y = z = f ( x) = 0,25 0,25 0,25