tài liệu ôn tập xác xuất thống kê full

TL từ chương 2> chương 5 (cả lý thuyết + bài tập ứng dụng). Rất đầy đủ Xem Thêm: Tài liệu ôn tập xác suất thống kê (full) Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Tài liệu ôn tập xác suất thống kê (full) sẽ giúp ích cho bạn, tài liệu ôn tập xác xuất thống kê full, tài liệu xác xuất thống kê, bài tập xác xuất thống kê, bài tập xác xuất thống kê full , tài liệu ôn thi xác xuất thống kê, bài tập có đáp án xác xuất thống kê

Chu’ ong ’ ˆ˜ NHIEN ˆ VA ` PHAN ˆ PHOI ˆ´ XAC ´ SUAT ˆ´ NGAU ¯DA.I LU’ONG ’ ˜ NHIEN ˆ ˆ ¯DA I LU’ O ’ NG NGAU 1.1 a˜u nhiˆ en Kh´ niˆ e.m d ¯a.i lu’ o.’ng ngˆ ’ ✷ ¯Di.nh nghi˜a ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen l`a d¯a.i lu’o.’ng biˆe´n d¯ˆ o’i biˆe’u thi gı´ a tri kˆe´t qua ’ mˆ cua o.t ph´ep thu’’ ngaˆ˜u nhiˆen Ta d` ung c´ac chu˜’ c´ai hoa nhu’ X, Y, Z, d¯ˆe’ k´ı hiˆe.u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen • V´ı du Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c Go.i X l`a sˆ o´ chˆ a´m xuˆ a´t hiˆe.n trˆen m˘ a.t x´ uc xa˘´c th`ı X l` a mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nhˆ a.n c´ ac gi´ a tri c´ o thˆe’ l`a 1, 2, 3, 4, 5, 1.2 `’ ra.c a˜u nhiˆ en roi ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ `’ ra.c a) ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ a˜u nhiˆ en roi `’ ra.c nˆe´u n´o chi’ nhˆa.n mˆo.t sˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a roi o´ ˜’ ha.n ho˘ huu a.c mˆo.t sˆo´ vˆo ha.n d¯ˆe´m d¯u’o.’c c´ ac gi´ a tri `’ ra.c x1 , x2 , , xn ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi Ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri cua Ta k´ı hiˆe.u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X nhˆa.n gi´a tri xn l`a X = xn v`a x´ac suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri xn l`a P (X = xn ) • V´ı du Sˆo´ chˆa´m xuˆa´t hiˆe.n trˆen m˘ a.t x´ uc xa˘´c, sˆ o´ ho.c sinh va˘´ng m˘ a.t mˆo.t `’ ra.c buˆ o’i ho.c l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ’ b) Bang phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ ’ d¯a.i lu’o.’ng Bang phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t d` ung d¯ˆe’ thiˆe´t lˆa.p luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua ’ ´ ´ ˜ ` `’ ra.c, n´o gˆom h`ang: h`ang thu’ nhˆat liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri c´o thˆe x1 , x2 , , xn ngˆau nhiˆen roi ´’ p1 , p2 , , pn ’ cua d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a h`ang thu´’ hai liˆe.t kˆe c´ac x´ac suˆa´t tu’ong ’ ung ’ c´ac gi´a tri c´o thˆe’ d¯o´ cua 27 Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 28 x2 p2 X x1 P p1 xn pn ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X gˆo`m h˜ Nˆe´u c´ac gi´a tri c´o thˆe’ cua uu ha.n sˆo´ x1 , x2 , , xn th`ı c´ac biˆe´n cˆo´ X = x1 , X = x2 , , X = xn lˆa.p th`anh mˆo.t nh´om c´ac biˆe´n cˆo´ d¯ˆa`y d¯u’ xung `’ d¯ˆoi kha˘´c tung n Do d¯´o pi = i=1 • V´ı du Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c d¯ˆo`ng chˆ a´t Go.i X l`a sˆ o´ chˆ a´m xuˆ a´t hiˆe.n trˆen m˘ a.t ´ ´ ´ ˜ ’ `’ ra.c c´ x´ uc xa˘c th`ı X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen roi o phˆ an phˆ oi x´ac suˆ at cho boi: ’ X P 6 6 6 a˜u nhiˆ en liˆ en tu.c v` a h` am mˆ a.t d ¯ˆ o x´ ac suˆ a´t ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ 1.3 a) ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ a˜u nhiˆ en liˆ en tu.c ’ ✷ ¯Di.nh nghi˜a ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a liˆen tu.c nˆe´u c´ac gi´a tri c´ o thˆe’ cua ’ trˆen tru.c sˆo´ n´ o lˆ a´p d¯aˆ`y mˆo.t khoang • V´ı du `’ d¯iˆe’m n`ao d¯´ - Nhiˆe.t d¯ˆo khˆong kh´ı o’’ mˆo˜i thoi o `’ mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng vˆ - Sai so ˆ´ khi d¯o lu’ong a.t l´y ´’ cua `’ gian giua ˜’ hai ca cˆa´p cuu ’ mˆ ’ thoi o.t bˆe.nh viˆe.n - Khoang b) H` am mˆ a.t d ¯ˆ o x´ ac suˆ a´t ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a H`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆ a´t cua a˜u nhiˆen liˆen tu.c X l`a h`am ´’ mo.i x ∈ (−∞, +∞) thoa ’ m˜ khˆ ong ˆam f(x), x´ac d¯.inh voi an P (X ∈ B) = f (x)dx B ´’ mo.i tˆa.p sˆo´ thu.’c B voi ✸ T´ınh chˆ a´t H`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞) +∞ ii) f (x)dx = −∞ ´ nghi˜a cua ’ h` Y am mˆ a.t d ¯ˆ o `’ d¯.inh nghi˜a cua ’ h`am mˆa.t d¯ˆo ta c´o P (x ≤ X ≤ x + x) ∼ f (x) x Tu Do d¯o´ ta thˆa´y x´ac suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri thuˆo.c lˆan cˆa.n kh´a b´e (x, x + x) gˆa`n nhu’ ´’ f(x) ti’ lˆe voi ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ 1.4 29 H` am phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a H`am phˆan phˆ o´i x´ac suˆ a´t cua a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u F(x), l` a h`am d¯u’o.’c x´ac d¯.inh nhu’ sau F (x) = P (X < x) `’ ra.c nhˆ * Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi a.n c´ ac gi´ a tri c´ o thˆe’ x1 , x2 , , xn th`ı ´’ pi = P (X = xi )) F (x) = P (X = xi ) = pi (voi xi th`ı x F (x) = f (t)dt = −∞    Vˆa.y F (x) =   2.1 0 x − 5x23 tdt + x dt = + − 5t 5t x =1− 5x3 ; x1 ˜ ´ THAM SO ˆ´ ¯DA ˆ ’ ¯DA ˘ C TRUNG ’ CAC CUA I LU’ O ’ NG NGAU ˆ NHIEN K` y vo.ng (Expectation) ✷ ¯Di.nh nghi˜a `’ ra.c c´o thˆe’ nhˆa.n c´ac gi´a tri x1 , x2 , , xn * Gia’ su’’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´’ c´ac x´ax suˆa´t tu’ong ´’ p1 , p2 , , pn K`y vo.ng cua ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ voi a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u ’ ung ’’ E(X) (hay M(X)), l`a sˆo´ d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi ’ d ˘c trung C´ ac tham sˆ o´ d ¯a cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 31 n E(X) = xi pi i=1 * Gia’ su’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t d¯ˆ o x´ ac suˆ a´t f (x) K`y vo.ng ˜ ’ ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X d¯u’o.’c x´ cua ac d¯.inh boi ’ ∞ E(X) = xf (x)dx −∞ ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ’ phˆ • V´ı du T`ım k`y vo.ng cua a˜u nhiˆen c´o bang an phˆ o´i x´ac suˆ a´t sau X P 10 11 12 12 12 12 12 12 12 Ta c´o 2 1 + 12 + 12 + 12 + 12 + 10 12 + 11 12 = E(X) = 12 93 12 = 31 = 7, 75 • V´ı du Cho X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen liˆen tu.c c´ o h` am mˆ a.t d¯ˆ o f (x) = 2.e−2x nˆe´u < x < nˆe´u x ∈ / (0, 2) T`ım E(X) ’ Giai ∞ E(X) = xf (x)dx = −∞ x3 x.( x)dx = = ✸ T´ınh chˆ a´t i) E(C) = C, C l`a ha˘`ng ii) E(cX) = c.E(X) iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) iv) Nˆe´u X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p th`ı E(XY ) = E(X).E(Y ) ´ nghi˜a cua ’ k` Y y vo.ng ’’ Gia’ su’’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nhˆa.n c´ac gi´a tri c´o thˆe’ Tiˆe´n h`anh n ph´ep thu ´’ sˆo´ lˆa`n nhˆa.n k1 , k2 , , kn x1 , x2 , , xn voi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X n ph´ep thu’’ l`a Gi´a tri trung b`ınh cua x= k1 k2 kn k1 x1 + k2 x2 + + kn xn = x1 + x2 + + xn = f1 x1 + f2 x2 + + fn kn n x n n ´’ fi = voi ki n l`a tˆa`n suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri xi Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 32 ´’ n d¯u’ lon ´’ Theo d¯.inh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i thˆo´ng kˆe ta c´o n→∞ lim fi = pi V`ı vˆa.y voi ta c´o x ≈ p1 x1 + p2 x2 + + pn xn = E(X) ´’ trung b`ınh sˆo´ ho.c c´ac gi´a tri ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen xˆa´p xi’ voi Ta thˆa´y k` y vo.ng cua ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen quan s´at cua ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ Do d¯o´ c´o thˆe’ n´oi k`y vo.ng cua a˜u nhiˆen ch´ınh l`a gi´a tri trung b`ınh (theo ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen N´o phan ’ ´anh gi´a tri trung tˆam cua ’ phˆan phˆ x´ ac suˆ a´t) cua o´i x´ac suˆ a´t 2.2 Phu’ ong sai (Variance) ’ ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Phu’ong dˆo lˆe.ch b`ınh phu’ong a˜u ’ sai (¯ ’ trung b`ınh) cua ` ´ ˜ nhiˆen X, k´ı hiˆe.u Var(X) hay D(X), d¯u’o.’c d¯.inh nghia ba˘ng cˆ ong thuc ’ V ar(X) = E{[X − E(X)]2 } ´’ `’ ra.c nhˆa.n c´ac gi´a tri c´ * Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi o thˆe’ x1 , x2 , , xn voi ´’ p1 , p2 , , pn th`ı c´ ac x´ac suˆ a´t tu’ong ’ ung n V ar(X) = i=1 [xi − E(X)]2 pi * Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´ o h` am mˆ a.t d¯ˆ o x´ ac suˆ a´t f(x) th`ı +∞ V ar(X) = −∞ [x − E(X)]2 f (x)dx ´’ `’ t´ınh phu’ong Ch´ uy ´ Trong thu.’c tˆe´ ta thu’ong ’ sai ba˘`ng cˆong thuc V ar(X) = E(X ) − [E(X)]2 Thˆa.t vˆa.y, ta c´o V ar(X) = = = = E{X − E(X)]2 } E{X − 2X.E(X) + [E(X)]2 } E(X ) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2 E(X ) − [E(X)]2 `’ ra.c X c´o bang ’ phˆ • V´ı du Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi an phˆ o´i x´ac suˆ a´t sau X P 0,1 0,4 0,5 ’ X T`ım phu’ong ’ sai cua ’ Giai E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8 E(X ) = 12 0, + 32 0, + 52 0, = 16, Do d¯´o V ar(X) = E(X ) − [E(X)]2 = 16, − 14, 44 = 1, 76 ’ d ˘c trung C´ ac tham sˆ o´ d ¯a cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 33 • V´ı du 10 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆ a˜unhiˆen X c´o h`am mˆa.t d¯ˆ o ´’ ≤ x ≤ cx3 voi ´’ x ∈ [0, 3] voi f (x) = H˜ ay t`ım i) Ha˘`ng sˆo´ c ii) K`y vo.ng iii) Phu’ong ’ sai ’ Giai cx3 dx = c i) Ta c´o = x4 = Suy c = 81 4 x5 ii) E(X) = x x dx = 81 81 iii) Ta c´o ∞ E(X ) = 81 c = 2, x2 x f (x)dx = −∞ 4 x6 x dx = 81 81 =6 Vˆa.y V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = − (2, 4)2 = 0, 24 ✸ T´ınh chˆ a´t i) Var(C)=0; (C khˆong d¯ˆo’i) ii) V ar(cX) = c2 V ar(X) iii) Nˆe´u X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p th`ı * V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ); * Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y); * Var(C+X)=Var(X) ´ nghi˜a cua ’ phu’ ong Y sai ’ ’ gi´a tri trung b`ınh nˆen V ar(X) = E{[X − E(X)]2 } Ta thˆa´y X − E(X) l`a d¯oˆ lˆe.ch khoi ´’ d¯oˆ phˆan t´an c´ac ’ ´anh muc l`a d¯ˆo lˆe.ch b`ınh phu’ong ’ trung b`ınh Do d¯o´ phu’ong ’ sai phan ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen chung quanh gi´a tri trung b`ınh gi´a tri cua 2.3 o lˆ e.ch tiˆ eu chuˆ a’n ¯Dˆ ’ phu’ong ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen ’ vi d¯o cua ’ sai ba˘`ng b`ınh phu’ong ’ d¯on ’ vi d¯o cua ¯Don ´ ` ’ d¯a.i lu’ong ’ Khi cˆan d¯a´nh gi´a muc ’ ngˆa˜u nhiˆen theo d¯on ’ vi cua ’ d¯ˆo phˆan t´an c´ac gi´a tri cua ’ ´ `’ ta d` n´o, ngu’oi ung mˆo.t d¯a˘ c trung m oi d ¯ ´ o l` a d ¯ ˆ o lˆ e ch tiˆ e u chu ˆ a n ’ ’ Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 34 ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a ¯Dˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u l`a σ(X), ˜ d¯u’o.’c d¯.inh nghia nhu’ sau: σ(X) = 2.4 V ar(X) Mode ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Mod(X) l`a gi´a tri cua a˜u nhiˆen X c´o kha’ n˘ ang xuˆ a´t hiˆe.n ´ ´ ’ n´ lon at mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d¯´o cua o ’ nhˆ ´’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´’ voi ´’ x´ac suˆ ´’ `’ ra.c mod(X) l`a gi´a tri cua ’ X ung o´i voi a´t lon ¯Dˆ ´ ´ ´ ˜ ’ X ta.i d¯´ nhˆ at, c`on d¯ˆ oi voi o h`am ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen liˆen tu.c th`ı mod(X) l`a gi´a tri cua mˆ a.t d¯ˆ o d¯a.t gi´a tri cu.’c d¯a.i Ch´ uy ´ Mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o thˆe’ c´o mˆo.t mode ho˘ a.c nhiˆe`u mode `’ th`ı mod(X) l`a ’ sinh viˆen tru’ong • V´ı du 11 Gia’ su’’ X l`a d¯iˆe’m trung b`ınh cua ’ ´ ` d¯iˆem m`a nhiˆeu sinh viˆen d¯a.t d¯u’o.’c nhˆat • V´ı du 12 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen d¯ˆ o   f (x) =  x − x2 e ´’ h`am mˆa.t tu.c c´o phˆan phˆ o´i Vˆay−bun voi nˆe´u x ≤ nˆe´u x > H˜ ay x´ac d¯.inh mod(X) ’ Giai ’ phu’ong mod(X) l`a nghiˆe.m cua ’ tr`ınh x2 x2 x2 f (x) = e− − e− = x2 ’ phu’ong Suy mod(X) l`a nghiˆe.m cua = Do mod(X) > nˆen ’ tr`ınh − √ mod(X) = = 1, 414 2.5 Trung vi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ’ X chia phˆan ✷ ¯Di.nh nghi˜a 10 Trung vi cua a˜u nhiˆen X l` a gi´a tri cua ´ ´ ´ ´ ` phˆ oi x´ac suˆat th`anh hai phˆan c´o x´ac suˆ at giˆ ong K´ı hiˆe.u med(X) Ta c´ o P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) = `’ d¯.inh nghi˜a ta thˆa´y d¯ˆe’ t`ım trung vi chi’ cˆa`n giai ’ phu’ong ⊕ Nhˆ a.n x´ et Tu ’ tr`ınh F (x) = 12 ´’ du.ng, trung vi l`a d¯a˘ c trung Trong ung y vo.ng, ’ ca’ k` ’ vi tr´ı tˆo´t nhˆa´t, nhiˆe`u tˆo´t hon ’ nhˆa´t l`a sˆo´ liˆe.u c´o nhiˆe`u sai s´ot Trung vi c`on d¯u’o.’c go.i l`a phˆ an vi 50% cua ´ phˆ an phoˆi ’ d ˘c trung C´ ac tham sˆ o´ d ¯a cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 35 • V´ı du 13 T`ım med(X) v´ı du (12) ’ Giai ’ phu’ong med(X) l`a nghiˆe.m cua ’ tr`ınh med(X) f (x)dx = 0, hay − e− [med(X)]2 = 0, Suy med(X) = 1, 665 Ch´ uy ´ N´oi chung, ba sˆo´ d¯a˘ c trung y vo.ng, mode v`a trung vi khˆong tr` ung ’ k` ’ `’ c´ac v´ı du (12), (13) v`a t´ınh thˆem k` Cha˘ng ha.n, tu y vo.ng ta c´o E(X) = 1, 772; mod(X) = ´ ´’ v`a chi’ c´o mˆo.t mode th`ı 1, 414 v`a med(X) = 1, 665 Tuy nhiˆen nˆeu phˆan phˆo´i d¯ˆo´i xung ca’ ba d¯a˘ c trung ung ’ d¯´o tr` 2.6 Moment ✷ ¯Di.nh nghi˜a 11 ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ * Moment cˆa´p k cua a˜u nhiˆen X l` a sˆ o´ mk = E(X k ) ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X l`a sˆ * Moment qui tˆam cˆa´p k cua o´ αk = E{[X − E(X)]k } ⊕ Nhˆ a.n x´ et ’ X l`a k` ’ X (m1 = E(X)) i) Moment cˆa´p cua y vo.ng cua ’ X l`a phu’ong ’ X (α2 = m2 − m21 = V ar(X)) ii) Moment qui tˆam cˆa´p hai cua ’ sai cua iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m31 2.7 H` am moment sinh ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a 12 H`am moment sinh cua a˜u nhiˆen X l` a h`am x´ac d¯.inh ’’ (−∞, +∞) cho boi tX     φ(t) = E(e ) =    etx p(x) x +∞ −∞ `’ ra.c nˆe´u X roi etx p(x)dx nˆe´u X liˆen tu.c ✸ T´ınh chˆ a´t i) φ (0) = E(X) ii) φ (0) = E(X ) iii) Tˆo’ng qu´at: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 36 ´’ Chung minh i) φ (t) = d d tX E(etX ) = E (e ) = E(XetX ) dt dt Suy φ (0) = E(X) ii) φ (t) = d d d φ (t) = E(XetX ) = E (XetX ) = E(X etX ) dt dt dt Suy φ (0) = E(X ) ✷ Ch´ uy ´ i) Gia’ su’’ X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p c´o h`am moment sinh tu’ong ’ ´’ l`a φX (t) v`a φY (t) Khi d¯´o h`am moment sinh cua ’’ ’ X + Y cho boi ung φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t) ´’ gˆa`n cuˆo´i c´o d¯u’o.’c etX v`a etY d¯oˆ c lˆa.p) (¯ da˘’ ng thuc ´’ 1−1 giua ˜’ h`am moment sinh v`a h`am phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua ’ d¯a.i ii) C´o tu’ong ’ ung ˜ lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X ˆ T SO ˆ´ QUI LUA ˆ T PHAN ˆ PHOI ˆ´ XAC ´ SUAT ˆ´ MO 3.1 ´’ (Binomial Distribution) Phˆ an phˆ o´i nhi thuc `’ ra.c X nhˆa.n mˆot c´ac gi´a tri 0,1,2, ,n ✷ ¯Di.nh nghi˜a 13 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´ ´ ´ ´’ Bernoulli voi ac x´ ac suˆat tu’ong ’ c´ ’ ung ’ d¯u’o.’c t´ınh theo cˆong thuc Px = P (X = x) = Cnx px q n−x (2.1) ´’ tham sˆ ´’ voi o´ n v`a p K´ı hiˆe.u X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)) go.i l`a c´o phˆan phˆo´i nhi thuc ´’ Cˆ ong thuc ´’ h nguyˆen du’ong Voi ’ v`a h ≤ n − x, ta c´o P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + + Px+h (2.2) ’ phˆ ’ phˆ • V´ı du 14 Ty’ lˆe phˆe´ phˆa’m lˆo san a’m l`a 3% Lˆ a´y ngˆ a˜u nhiˆen 100 san a’m d¯ˆe’ kiˆe’m tra T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ d¯´ o ’ ´ i) C´ o phˆe phˆam ii) C´ o khˆong qu´a phˆe´ phˆa’m ’ Giai ’’ Do d¯´o ta c´o ’ phˆa’m l`a thu.’c hiˆe.n mˆo.t ph´ep thu Ta thˆa´y mˆo˜i lˆa`n kiˆe’m tra mˆo.t san ’’ n=100 ph´ep thu 98 Chu’ong ’ Kiˆ e’m d ¯.inh gia’ thiˆ e´t thˆ o´ng kˆ e ´’ d¯aˆy l`a 1135 gram ’’ mˆo.t m´ay tru’oc ’ g´oi h`ang d¯u’o.’c d¯o´ng bao boi 10 Tro.ng lu’o.’ng cua ’ ´’ d¯oˆ lˆe.ch tiˆeu chuˆan l`a 7,1 gram Nghi ngo`’ m´ay hoa.t d¯oˆ ng khˆong tˆo´t, ngu’oi `’ ta voi ’ ’ ´ ´ ´’ tiˆen h`anh kiˆem tra 20 g´oi h`ang th`ı thˆay d¯oˆ lˆe.ch tiˆeu chuˆan l`a 9,1 gram Voi’ muc ´’ gia’ thiˆe´t d¯ˆo´i y ´ nghi˜a α = 0, 05, h˜ ay kiˆe’m tra gia’ thiˆe´t (H0 : σ = 7, gram) voi (H1 : σ > 7, gram) ’’ ’’ I: ’ hai phˆan xu’ong, 11 Theo d˜ oi sˆo´ tai na.n lao d¯oˆ ng cua ta c´o sˆo´ liˆe.u sau: phˆan xu’ong ´ ´ ˜ ’ 20/200 cˆong nhˆan, phˆan xu’ong ´ nghia α = 0, 005 ’ II: 120/800 cˆong nhˆan Voi’ muc ’ y ’ ´ ` ’ ’ hoi c´o su.’ kh´ac d¯´ang kˆe vˆe chˆat lu’o.’ng cˆong t´ac bao hˆo lao d¯ˆo.ng o’’ hai phˆan ’’ trˆen hay khˆong? xu’ong ´’ anh ’’ cua `’ ta cho 10 bˆe.nh nhˆan uˆo´ng ’ ’ mˆo.t loa.i thuˆo´c, ngu’oi 12 ¯Dˆe’ nghiˆen cuu hu’ong ´ ´ ` thuˆoc Lˆan kh´ac ho c˜ ung cho bˆe.nh nhˆan uˆong thuˆo´c nhung ’ l`a thuˆo´c gia’ (thuˆo´c khˆong c´o t´ac du.ng) Kˆe´t qua’ th´ı nghiˆe.m thu d¯u’o.’c nhu’ sau: Bˆe.nh nhˆan ´ Sˆo gio`’ ngu’ c´o thuˆ o´c ´’ thuˆ Sˆo´ gio`’ ngu’ voi o´c gia’ 10 6,1 5,2 7,0 7,9 8,2 3,9 7,6 4,7 6,5 5,3 8,4 5,4 6,9 4,2 6,7 6,1 7,4 3,8 5,8 6,3 ´’ muc ´’ y ’ c´ac bˆe.nh nhˆan c´o qui luˆa.t chuˆa’n Voi ´ nghi˜a α = 0, 05, Gia’ su’’ sˆo´ gio`’ ngu’ cua ´ ´ ’’ cua ’ hu’ong ’ loa.i thuˆoc ngu’ trˆen? h˜ ay kˆet luˆa.n vˆe`anh `’ BAI ` TA ˆ P • TRA’ LOI ✷ ’ tiˆe´n k˜ ’ u0 = 14 > 1, 645 nˆen viˆe.c cai y thuˆa.t l`a c´o hiˆe.u qua V`ı u0 = < 3, 25 nˆen d¯iˆe`u nghi ngo`’ trˆen l`a sai t0 = 3, 37 ¯Diˆe`u nghi ngo`’ l`a d¯u ´ng ´’ c´o t´ac du.ng l`am t˘ ’ to`an Biˆe.n ph´ap k˜ y thuˆa.t moi ang n˘ ang suˆa´t l´ ua trung b`ınh cua v` ung V`ı u0 = −2, < −1, 645 nˆen b´ac bo’ H0 `’ tuyˆen bˆo´ khˆong d¯u u0 = 4, 73 Loi ´ng `’ tuyˆen bˆo´ l`a sai Loi `’ Nghi ngo`’ sai M´ay l`am viˆe.c b`ınh thu’ong 10 χ20 = 32, 86 > 30, nˆen b´ac bo’ H0 11 Do 1, 82 < 1, 96 nˆen khˆong c´o co’ so’’ cho ra˘`ng su.’ kh´ac biˆe.t d¯a´ng kˆe’ vˆe`chˆa´t lu’o.’ng ’’ ’ hˆo lao d¯ˆo.ng o’’ hai phˆan xu’ong cˆong t´ac bao 12 Loa.i thuˆo´c ngu’ trˆen c´o t´ac du.ng Chu’ ong ’ ´ THUYET ˆ´ TU’ONG ` HAM ` HOI ˆ` QUI ’ LY QUAN VA ˜ NHIEN ˜’ HAI DAI LU’ONG ˆ´ QUAN HE ˆ GIUA ˆ ˆ MOI NGAU ¯ ’ ˜’ ch´ ’ s´at hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X, Y ta thˆa´y giua ung c´o thˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ Khi khao quan hˆe sau: ´’ nhau, tuc ´’ l`a viˆe.c nhˆa.n gi´a tri cua ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen n`ay i) X v`a Y d¯ˆo.c lˆa.p voi ´ ˜ ’ ’ hu’ong ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen khˆong anh ’ d¯ˆen viˆe.c nhˆa.n gi´a tri cua ii) X v`a Y c´o mˆo´i phu thuˆo.c h`am sˆo´ Y = ϕ(X) iii) X v`a Y c´o su.’ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan v`a phu thuˆo.c khˆong tu’ong ’ quan ˆ SO ˆ´ TU’ONG ’ HE QUAN 2.1 Moment tu’ ong quan (Covarian) ’ ✷ ¯Di.nh nghi˜a ’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆ * Moment tu’ong a˜u nhiˆen X v`a Y, k´ı ’ quan (hiˆe.p phu’ong ’ sai) cua ´ hiˆe.u cov(X, Y ) hay µXY , l`a sˆo d¯u’o.’c x´ ac d¯.inh nhu’ sau cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} * Nˆe´u cov(X, Y ) = th`ı ta n´oi hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen X v`a Y khˆong tu’ong ’ quan Ch´ uy ´ cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) Thˆa.t vˆa.y, ta c´o cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) 99 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 100 ⊕ Nhˆ a.n x´ et `’ ra.c th`ı * Nˆe´u (X, Y ) roi n m cov(X, Y ) = i=1 j=1 xi yj P (xi , yj ) − E(X)E(Y ) * Nˆe´u (X, Y ) liˆen tu.c th`ı +∞ +∞ cov(X, Y ) = −∞ −∞ xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y ) ⊕ Nhˆ a.n x´ et i) Nˆe´u X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p th`ı ch´ ung khˆong tu’ong ’ quan ii) Cov(X,X)=Var(X) 2.2 Hˆ e sˆ o´ tu’ ong quan ’ ’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Hˆe sˆo´ tu’ong a˜u nhiˆen X v`a Y, k´ı hiˆe.u rXY , ’ quan cua l` a sˆ o´ d¯u’o.’c x´ac d¯.inh nhu’ sau rXY = cov(X, Y ) SX SY ´’ Sx , SY l`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua ’ X, Y voi ´ nghi˜a cua ’ hˆ •Y e sˆ o´ tu’ ong quan ’ ´’ d¯oˆ phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh giua ˜’ X v`a Y Khi |rXY | c`ang Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan d¯o muc gˆa`n th`ı mˆo´i quan hˆe tuyˆe´n t´ınh c`ang ch˘ a.t, |rXY | c`ang gˆa`n th`ı quan hˆe tuyˆe´n ’ ’ t´ınh c`ang ”long leo” 2.3 ´’ lu’ o.’ng hˆ U’ oc e sˆ o´ tu’ ong quan ’ Lˆa.p mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WXY = [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ) (Xn , Yn )] E(XY ) − E(X).E(Y ) ’ ´’ lu’o’ng hˆe sˆo´ tu’ong ta d` ung thˆo´ng kˆe ’ quan rXY = ¯Dˆe u’oc SX SY R= XY − X.Y SX SY Y = n Yi , n i=1 d¯´o X= n Xi , n i=1 SX = n (Xi − X)2 , n i=1 SY2 = XY = n Xi Yi n i=1 n (Yi − Y )2 n i=1 Hˆ e sˆ o´ tu’ong quan ’ 101 ´’ mˆa˜u cu thˆe’, ta t´ınh d¯u’o.’c gi´a tri cua ’ R l`a Voi rXY = xy − x.y sx sy d¯´o n x= xi , n i=1 s2x = n y= yi , n i=1 n x − (x)2 , n i=1 i n xy = xi yi n i=1 s2y = n y − (y)2 n i=1 i Ta c´o n rXY = 2.4 n( xy − ( x2 ) − ( x)( x)2 n( y) y2) − ( y)2 ’ a hˆ T´ınh chˆ a´t cu e sˆ o´ tu’ ong quan ’ xy − x.y ´’ d¯ˆo ch˘ ’ su.’ a.t che’ cua d¯u’o.’c d` ung d¯ˆe’ d¯a´nh gi´a muc sx sy ˜’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y , n´o c´o c´ac t´ınh phu thuˆo.c tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh giua chˆa´t sau d¯ˆay: Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan r = i) |r| ≤ ’ che ii) Nˆe´u |r| = th`ı X v`a Y c´o quan hˆe tuyˆe´n t´ınh ´’ th`ı su.’ phu thuˆo.c tu’ong ˜’ X v`a Y c`ang ch˘ iii) Nˆe´r |r| c`ang lon a.t ’ quan tuyˆe´n t´ınh giua ˜’ X v`a Y khˆong c´o phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh tu’ong iv) Nˆe´u |r| = th`ı giua ’ quan v) Nˆe´u r > th`ı X v`a Y c´o tu’ong ang th`ı Y t˘ ang) Nˆe´u r < th`ı ’ quan thuˆa.n (X t˘ ’ th`ı Y giam) ’ X v`a Y c´o tu’ong ’ quan nghi.ch (X giam ’’ bang ’ sau, h˜ ’ Y v`a • V´ı du Tu`’ sˆo´ liˆe.u d¯u’o.’c cho boi ay x´ac d¯.inh hˆe sˆ o´ tu’ong ’ quan cua X X Y 4 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang 11 14 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 102 xi 11 14 x = 56 x2i 16 36 64 81 121 196 x = 524 yi 4 y = 40 xi yi 16 24 40 63 88 126 xy = 364 yi2 16 16 25 49 64 81 y = 256 ’ X v`a Y l`a Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan cua rXY = = 2.5 n n( xy − ( x2 ) − ( x)( x)2 n( 8.364 − (56).(40) 8.524 − (56)2 8.256 − (40)2 = y) y2) − ( y)2 672 = 0, 977 687, 81 Ty’ sˆ o´ tu’ ong quan ’ ’ ´’ d¯ˆo ch˘ `’ ta d` ’ su.’ phu thuˆo.c tu’ong a.t che’ cua ung ’ quan phi tuyˆe´n, ngu’oi ¯Dˆe d¯a´nh gi´a muc ty’ sˆ o´ tu’ong ’ quan: ηY /X = sy sy d¯´o sy = n ni (yxi − y)2 ; sy = n mj (yj − y)2 Ty’ sˆo´ tu’ong ’ quan c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau: i) ≤ ηY /X ≤ ii) ηY /X = v`a chi’ Y v`a X khˆong c´o phu thuˆo.c tu’ong ’ quan iii) ηY /X = v`a chi’ Y v`a X phu thuˆo.c h`am sˆo´ iv) ηY /X ≥ |r| ’ Y v`a X c´o da.ng tuyˆe´n t´ınh Nˆe´u ηY /X = |r| th`ı su.’ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan cua 2.6 Hˆ e sˆ o´ x´ ac d ¯.inh mˆ a˜u `’ ta c`on x´et ’ mˆo h`ınh tuyˆe´n t´ınh ngu’ot Trong thˆo´ng kˆe, d¯ˆe’ d¯´anh gi´a chˆa´t lu’o.’ng cua ´’ r l`a hˆe sˆo´ tu’ong hˆe sˆ o´ x´ac d¯.inh mˆa˜u β = r voi ’ quan Ta c´o ≤ β ≤ Hˆ o`i qui 103 ˆ` QUI HOI 3.1 K` y vo.ng c´ od ¯iˆ e`u kiˆ e.n `’ ra.c i) ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´’ d¯iˆe`u kiˆe.n X = x l`a `’ ra.c Y voi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi * K` y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua m E(Y /x) = yj P (X = x, Y = yj ) j=1 ´’ d¯iˆe`u kiˆe.n `’ ra.c X voi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi * Tu’ong y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua ’ tu.’, k` Y = y l`a n E(X/y) = xi P (X = xi , Y = y) i=1 ii) ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c +∞ E(Y /x) = yf (y/x)dy −∞ +∞ E(X/y) = xf (x/y)dx −∞ d¯´o ´’ x khˆong d¯ˆo’i f (y/x) = f (x, y) voi ´’ y khˆong d¯ˆo’i f (x/y) = f (x, y) voi 3.2 H` am hˆ o`i qui ´’ X l`a f (x) = E(Y /x) ’ Y d¯ˆo´i voi * H`am hˆo`i qui cua ´’ Y l`a f (y) = E(X/y) ’ X d¯ˆo´i voi * H`am hˆo`i qui cua ´’ nhau, `’ g˘ Trong thu.’c tˆe´ ta thu’ong a.p hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X, Y c´o mˆo´i liˆen hˆe voi ’ s´at X th`ı dˆe˜ c`on khao ’ s´at Y th`ı kh´o hon ’ d¯o´ viˆe.c khao ’ thˆa.m ch´ı khˆong thˆe’ khao `’ ta muˆo´n t`ım mˆo´i liˆen hˆe ϕ(X) n`ao d¯´o giua ˜’ X v`a Y d¯ˆe’ biˆe´t X ta c´o thˆe’ s´at d¯u’o.’c Ngu’oi du.’ d¯o´an d¯u’o.’c Y ’ l`a E[Y − ϕ(X)]2 Gia’ su’’ biˆe´t X, nˆe´u du.’ d¯o´an Y ba˘`ng ϕ(X) th`ı sai sˆo´ pha.m phai Vˆa´n d¯ˆe`d¯u’o.’c d¯a˘ t l`a t`ım ϕ(X) nhu’ thˆe´ n`ao d¯ˆe’ E[Y − ϕ(X)]2 l`a nho’ nhˆa´t ´’ minh cho.n ϕ(X) = E(Y /X) (voi ´’ ϕ(x) = E(Y /x)) th`ı E[Y − ϕ(X)]2 Ta s˜ e chung s˜ e nho’ nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, ta c´o E[Y − ϕ(X)]2 = E{([Y − E(Y /X)] + [E(Y /X) − ϕ(X)])2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{[E(Y /X) − ϕ(X)]2 } +2E{[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)]} Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 104 Ta thˆa´y E(Y /X) chi’ phu thuˆo.c v`ao X nˆen c´o thˆe’ d¯a˘ t T (X) = E(Y /X) − ϕ(X) V`ı E[E(Y /X)T (X)] = E[Y T (X)] nˆen 2E[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)] = 2E{[Y − E(Y /X)]T (X)} = 2E[Y T (X)] − 2E[E(Y /X)T (X)] = Do d¯´o E{[Y − ϕ(X)]2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{E(Y /X) − ϕ(X)]2 nho’ nhˆa´t E{[(Y /X) − ϕ(X)]2 = Ta chi’ cˆa`n cho.n ϕ(X) = E(Y /X) (6.1) Phu’ong o`i qui ’ tr`ınh (6.1) d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong ’ tr`ınh tu’ong ’ quan hay phu’ong ’ tr`ınh hˆ 3.3 X´ ac d ¯.inh h` am hˆ o`i qui `’ a) Tru’ ong ho.’p ´ıt sˆ o´ liˆ e.u (tu’ong a ’ quan c˘ p) ´’ l`a ˜’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y c´o tu’ong Gia’ su’’ giua ’ quan tuyˆe´n t´ınh, tuc E(Y /X) = AX + B ’ (X, Y ) ta t`ım h`am Du.’a v`ao n c˘ a.p gi´a tri (x1 , x2 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) cua yx = y = ax + b (∗) ´’ lu’o.’ng h`am Y = AX + B d¯ˆe’ u’oc (*) d¯u’o.’c go.i l`a hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆ a˜u ’ (*) mˆo.t c´ach xˆa´p xi.’ ’ x v`a y nˆen thoa V`ı c´ac c˘ a.p gi´a tri trˆen l`a tri xˆa´p xi’ cua Do d¯´o yi = axi + b + εi hay εi = yi − axi − b Ta t`ım a, b cho c´ac sai sˆo´ εi (i = 1, n) c´o tri tuyˆe.t d¯ˆo´i nho’ nhˆa´t hay h`am n S(a, b) = i=1 (yi − axi − b)2 d¯a.t cu.’c tiˆe’u Phu’ong ap b`ınh phu’ong a´t ’ ph´ap t`ım n`ay d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong ’ ph´ ’ b´e nhˆ `’ thoa ’ m˜ Ta thˆa´y S s˜ e d¯a.t gi´a tri nho’ nhˆa´t ta.i d¯iˆe’m dung an 0= n ∂S = −2 xi (yi − axi − b) ∂a i=1 0= n ∂S = −2 (yi − axi − b) ∂b i=1 Hˆ o`i qui 105 hay n n n x2i a + i=1 xi b = i=1 n xi yi i=1 n yi xi a + nb = i=1 (6.2) i=1 ´’ Hˆe trˆen c´o d¯.inh thuc n i=1 xi n i=1 xi D= n n i=1 xi n n =n i=1 n x2i − xi i=1 ´’ Bunhiakovsky ta c´o ( V`ı c´ac xi kh´ac nˆen theo bˆa´t d¯a˘’ ng thuc n ¯´o D > Suy hˆe trˆen c´o nghiˆe.m nhˆa´t i=1 xi Do d a= b= ( Nˆe´u d¯a˘ t n x= xi , n i=1 n n i=1 n i=1 xi )2 < n i=1 xi yi − ( ni=1 xi ) ( ni=1 yi ) n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2 x2i ) ( n n n i=1 yi ) − ( i=1 xi ) ( n n i=1 xi − ( i=1 xi ) n y= yi , n i=1 n i=1 n xy = xi yi , n i=1 xi yi ) x2 n = x n i=1 i ´’ da.ng ’ hˆe c´o thˆe’ viˆe´t la.i du’oi th`ı nghiˆe.m cua a= xy − x.y xy − x.y ; = 2 s2x x − (x) b= x2 y − x.xy x2 y − x.xy = s2x x2 − (x)2 ´’ `’ c´ac cˆong thuc T´om la.i, ta c´o thˆe’ t`ım h`am yx = ax + b tu a= xy − x.y n( xy) − ( x)( y) = s2x n( x2 ) − ( x)2 b = y − a.x Ch´ uy ´ -bb-error = `’ gˆa´p kh´ uc nˆo´i c´ac d¯iˆe’m (x1 , y1 ), ¯Du’ong `’ hˆ (x2 , y2 ) , , (xn , yn ) d¯u’o.’c go.i l`a d¯u’ong o`i qui thu.’c nghiˆe.m ’’ `’ tha˘’ ng y = ax + b nhˆa.n d¯u’o.’c boi ¯Du’ong ´ ´ cˆong thuc ’ b´e nhˆat khˆong d¯i qua ’ b`ınh phu’ong `’ tha˘’ ng d¯u’o.’c tˆa´t ca’ c´ac d¯iˆe’m nhung ’ l`a d¯u’ong `’ ”gˆa`n” c´ac d¯iˆe’m d¯o´ nhˆa´t d¯u’o.’c go.i l`a d¯u’ong ’ `’ tha˘ng hˆ o`i qui v`a thu’ tu.c l`am th´ıch ho.’p d¯u’ong ’ ’ ´’ tha˘ng thˆong qua c´ac d¯iˆem du˜’ liˆe.u cho tru’oc d¯u’o.’c go.i l`a hˆ o`i qui tuyˆe´n t´ınh `’ tha˘’ ng hˆo`i qui Theo trˆen ta c´o b = y − a.x, d¯o´ d¯iˆe’m (x, y) luˆon na˘`m trˆen d¯u’ong Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 106 ´’ lu’o.’ng h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆ ’ Y theo X trˆen co’ so’’ bang ’ tu’ong • V´ı du U’oc a˜u xua ’ quan c˘ a.p sau X 15 38 Y 145 228 23 150 16 130 16 160 13 114 20 142 24 265 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang xi 15 38 23 16 16 13 20 24 x = 165 yi 145 228 150 130 160 114 142 265 y = 1334 x2i 225 1444 529 256 256 169 400 576 x = 3855 xi yi 3175 8664 3450 2080 2560 1482 2840 6360 xy = 29611 Ta c´o a= = n( xy) − ( x)( y) n( x2 ) − ( x)2 8(19611) − (165)(1334) 16778 = = 4, 64 8(3855)(165) 3615 b = y − ax = 1334 16778 − 3615 165 = 71 Vˆa.y h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u l`a yx = 4, 64x + 71 ´’ son ’’ d¯ˆe´n su.’ bay hoi ’ khˆong kh´ı anh ’ ’ nu’oc • V´ı du ¯Dˆo ˆa’m cua hu’ong ’ cua ’ ’ ´ ´ ´ ` ˜ ’ phun Ngu’oi oi liˆen hˆe giua o ˆ am cua khˆong kh´ı X v` a d¯ˆ o ’ ta tiˆen h`anh nghiˆen cuu ’ mˆ ’ d¯ˆ bay hoi ay s˜ e gi´ up ta tiˆe´t kiˆe.m d¯u’o.’c lu’o.’ng son ’ Y Su.’ hiˆe’u biˆe´t vˆe` mˆo´i quan hˆe n` ’ ba˘`ng ’ s´ c´ ach chinh ung phun son o´ ’ mˆo.t c´ach th´ıch ho.’p Tiˆe´n h`anh 25 quan s´at ta d¯u’o.’c c´ac sˆ liˆe.u sau: Hˆ o`i qui Quan s´ at ¯Dˆ o ˆ a’m ¯Dˆ o (%) 35,3 29,7 30,8 58,8 61,4 71,3 74,4 76,7 70,7 10 57,5 11 46,4 12 28,9 13 28,1 bay hoi ’ (%) 11,0 11,1 12,5 8,4 9,3 8,7 6,4 8,5 7,8 9,1 8,2 12,2 11,9 Quan s´ at ¯Dˆ o ˆ a’m ¯Dˆ o (%) 14 39,1 15 46,8 16 48,5 17 59,3 18 70,0 19 70,0 20 74,4 21 72,1 22 58,1 23 44,6 24 33,4 25 28,6 107 bay hoi ’ (%) 9,6 10,9 9,6 10,1 8,1 6,8 8,9 7,7 8,5 8,9 10,4 11,1 H˜ ay t`ım h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax + b ’ Giai Ta c´o n = 25 x = 1314, x2 = 76308, 53 y = 235, y = 2286, 07 xy = 11824, 44 Do d¯´o a= n( xy) − ( x)( y) 25 × 11824, 44 − (1314, × 235, 7) = = −0, 08 2 n( x ) − ( x) 25 × 76308, 53 − (1314, 9)2 b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) × 52, = 13, 64 Vˆa.y h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u l`a yx = −0, 08x + 13, 64 `’ ’ b) Tru’ ong ho.’p nhiˆ e`u sˆ o´ liˆ e.u (tu’ong ’ quan bang) Gia’ su’’ ´’ tˆa`n suˆa´t ni i = 1, k, X nhˆa.n c´ac gi´a tri xi voi ´’ tˆa`n suˆa´t mj j = 1, h, Y nhˆa.n c´ac gi´a tri yj voi ´’ tˆa`n suˆa´t nij i = 1, k, j = 1, h, XY nhˆa.n c´ac gi´a tri xi yj voi `’ ho.’p c´o nhiˆe`u sˆo´ liˆe.u Theo Ta t`ım hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax + b tru’ong (6.2) ta c´o Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 108 k k k ni x2i a + i=1 i=1 nij xi yj i=1 j=1 h k ni xi a + nb = i=1 k Thay k (6.3) mj yj j=1 h k ni xi = nx, i=1 h ni xi b = j=1 h ni x2i = nx2 , mj yj = ny, i=1 mj yj2 = ny , j=1 h nij xi yj = nxy v`ao (6.3) ta d¯u’o.’c i=1 j=1 x2 a + x.b = xy (i) x.a + nb = y (ii) `’ (ii) ta c´o b = y − a.x Tu Thay b v`ao yx = ax + b ta suy yx − y = a(x − x) ’’ Ta t`ım a boi a= k i=1 (6.4) nij xi yj − ( ki=1 ni xi )( hj=1 mj yj ) n2 xy − nx.ny = n ki=1 ni x2i − ( ki=1 ni xi )2 n.nx2 − (nx)2 h j=1 = xy − x.y xy − x.y = 2 s2x x − (x) ´’ a = T´om la.i, ta t`ım hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax + b voi xy − x.y , b = y − ax s2x Ch´ uy ´ i) Ta biˆe´t hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan rXY = xy − xy sy nˆen a = rXY sx sy sx Thay a v`ao (6.4) ta c´o yx − y = rXY sy (x − x) sx hay (x − x) yx − y = rXY sy sx `’ phu’ong Tu ’ tr`ınh n`ay ta c´o thˆe’ suy phu’ong ’ tr`ınh hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax+b mˆo.t c´ach thuˆa.n lo.’i hon ’ v`ı thˆong qua viˆe.c t`ım rXY ta d¯a˜ t´ınh sx , sy ´’ ta c´o thˆe’ d` ’ X, Y kh´a lon, ii) Khi c´ac gi´a tri cua ung ph´ep d¯ˆo’i biˆe´n ui = xi − x0 hx (∀i = 1, k); vj = yj − y0 hy (∀j = 1, h) Hˆ o`i qui 109 d¯´o ´’ voi ´’ tˆa`n sˆo´ ˜’ gi´a tri t` `’ cho.n x0 , y0 l`a gi´a tri cua ’ X, Y ung * x0 , y0 l`a nhung uy y ´ (thu’ong ´’ nhˆa´t bang ’ tu’ong nij lon ’ quan thu.’c nghiˆe.m), `’ cho.n hx , hy l`a khoang ’ c´ach c´ac gi´a tri kˆe´ tiˆe´p * hx , hy l`a c´ac gi´a tri t` uy y ´ (thu’ong ’ X, Y) cua ´’ c´ac biˆe´n moi ´’ U, V v`a t´ınh to´an c´ac gi´a tri cˆa`n thiˆe´t ta ’ tu’ong Lˆa.p bang ’ quan d¯ˆo´i voi t`ım d¯u’o.’c h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u vu = a0 u + b0 d¯´o a0 = uv − u.v , s2u b0 = v − a0 u ´’ a, b d¯u’o.’c t`ım boi ´’ ’’ cˆong thuc Khi d¯´o ta suy h`am yx = ax + b voi a = a0 hy , hx b = y0 + b0 hy − a0 hy x0 hx ’ • V´ı du X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong o`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆ a˜u yx = ax + b cua ’ quan v`a h`am hˆ ˜ ’ ’ c´ ac d¯a.i lu’ong ng a ˆ u nhiˆ e n X v` a Y cho b oi b ang t u ong quan th u c nghiˆ e m sau: ’ ’ ’’ ’ X Y 10 20 30 30 1 48 20 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang X Y 10 200 |20 20 30 ni ni xi ni x2i 1200 60 20 20 20 31 62 124 60 |30 |1 4320 49 147 441 |1 |48 mj mj yj mj yj2 20 200 2000 31 620 12400 49 1470 44100 n=100 x = 229 x2 = 585 y = 2290 y = 58500 xy = 5840 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 110 xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840 ’ ˆo ghi c´ac t´ıch nij xi yj Ta c´o Phˆa`n trˆen g´oc tr´ai cua x= x2 = 229 = 2, 29; 100 585 = 5, 58; 100 y2 = y= 2290 = 22, 9; 100 58500 = 585 100 xy = 5840 = 58, 4; 100 =⇒ sx ≈ 0, 78 s2x = x2 − (x)2 = 5, 85 − (2, 29)2 ≈ 0, 6059 y − (y)2 = sy = Do d¯´o a= 585 − (22, 9)2 ≈ 7, 78 xy − x.y 58, − 2, 29 × 22, = = 9, 835 sx 0, 6059 b = y − a.x = 22, − 9, 835 × 2, 29 = 0, 378 H`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u l`a yx = 9, 835x + 0, 378 Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan l`a rxy = xy − x.y 58, − 2, 29 × 22, = ≈ 0, 982 sx sy 0, 78 × 7, 78 ` TA ˆ P BAI ’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y o’’ bang ’ sau: Cho c´ac gi´a tri quan s´at cua X Y 20 10 20 10 30 10 30 15 30 15 40 15 50 20 50 20 60 20 60 Gia’ su’’ X v`a Y c´o su.’ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh T`ım h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u: y x = ax + b `’ ta d¯o chiˆe`u d`ai vˆa.t d¯u ’ qui d¯.inh nhusau: Ngu’oi ´c v`a khuˆon th`ı thˆa´y ch´ ung lˆe.ch khoi ’ X Y 0.90 -0,30 1,22 0,10 1,32 0,70 0,77 -0,28 1,30 0,25 1,20 0,02 1,32 0,37 0,95 -0,70 0,45 0,55 1,30 0,35 1,20 0,32 Trong d¯o´ X, Y l`a c´ac d¯ˆo lˆe.ch X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan ´’ quan hˆe giua ´’ ˜’ tˆo’ng san ’ phˆa’m nˆong nghiˆe.p Y voi Sˆo´ liˆe.u thˆo´ng kˆe nha˘`m nghiˆen cuu ’ cˆo´ d¯.inh X cua ’ 10 nˆong tra.i (t´ınh trˆen 100 ha) nhu’ sau: tˆo’ng gi´a tri t`ai san 111 B` tˆ a p X Y 11,3 13,2 12,9 15,6 13,6 17,2 16,8 18,8 18,8 20,2 20,0 23,9 22,2 22,4 23,7 23,0 26,6 24,4 27,5 24,6 `’ hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u y x = ax + b Sau d¯o´ t`ım phu’ong X´ac d¯.inh d¯u’ong ’ sai sai ´ ´ ` `’ hˆoi qui trˆen ’ tin cˆa.y 95% cho hˆe sˆo g´oc cua ’ d¯u’ong sˆo thu.’c nghiˆe.m v`a khoang ’ 100 ho.c sinh, ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ sau: ¯Do chiˆe`u cao X (cm) v`a tro.ng lu’o.’ng Y (kg) cua Y 35 40 45 50 55 − − − − − X 145 − 150 40 45 50 55 60 150 − 155 155 − 160 160 − 165 165 − 170 20 15 12 10 14 Gia’ thuyˆe´t X v`a Y c´o mˆo´ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh T`ım c´ac h`am hˆo`i qui a) y x = ax + b; b) xy = cy + d ’ 100 hecta l´ Theo d˜ oi lu’o.’ng phˆan b´on v`a n˘ ang suˆa´t l´ ua cua ua o’’ mˆo.t v` ung, ta thu ’ sˆo´ liˆe.u sau: d¯u’o.’c bang X Y 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 120 140 11 160 180 15 10 17 200 12 Trong d¯o´ X l`a phˆan b´on (kg/ha) v`a Y l`a n˘ ang suˆa´t l´ ua (tˆa´n/ha) ´’ lu’o.’ng hˆe sˆo´ tu’ong a) H˜ ay u’oc ’ quan tuyˆe´n t´ınh r b) T`ım phu’ong ’ tr`ınh tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh: y x = ax + b `’ k´ınh cua ’ mˆo.t loa.i cˆay, ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho bo’’ bang ’ sau: ¯Do chiˆe`u cao v`a d¯u’ong X Y 30 35 40 45 50 10 12 14 17 10 17 24 16 24 11 13 12 22 112 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ `’ k´ınh (cm) v`a Y l`a chiˆe`u cao (m) Trong d¯o´ X l`a d¯u’ong a) X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u r b) T`ım c´ac phu’ong ’ tr`ınh hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u c) C´ac phu’ong e thay d¯ˆo’i nhu’ thˆe´ n`ao nˆe´u X d¯u’o.’c t´ınh theo d¯on ’ tr`ınh trˆen s˜ ’ vi l`a m´et (m)? `’ BAI ` TA ˆ P • TRA’ LOI ✷ x = 14, y = 39, y x = 83 x + 53 r = −0, 3096 y x = 0, 67x + 7, 18, σ = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176) a) y x = 0, 7018x − 61, 5537, b) xy = 0, 91y + 112, 96 r = 0, 8165; y x = 0, 017x + 0, 5622 a) r = 0, 69, b) y x = 0, 218x + 2, 434, xy = 2, 18y + 15, 87 c) y x = 21, 8x + 2, 434, xy = 0, 0218y + 0, 1587