CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các hệ thức lượng giác t an a = sin a + cos a = 2 + t an a = cos2 a sin a cos a + cot a = cot a = sin a t an a cot a = Giá trị lượng giác cung góc có liên quan đặc biệt a 2.1 Cung đối nhau: cos(- a) = cos a -a cos a sin a a 2.2 Cung bù nhau: sin( p - a) = sin a p- a sin(- a) = - sin a cos( p - a) = - cos a t an(- a) = - t an a t an( p - a) = - t an a cot (- a) = - cot a cot ( p - a) = - cot a p a 2.3 Cung : sin( a + p) = - sin a a+ p cos(a + p) = - cos a tan(a + p) = t an a cot( a + p) = cot a Công thức lượng giác 3.1 Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a - b) = sin a cos b - sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b t an(a + b) = t an a + t an b - t an a t an b t an a - t an b t an(a - b) = + t an a t an b 3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a- b cos a + cos b = cos cos 2 a 2.4 Cung phụ nhau: ỉ p ữ sin ỗ = cos a ỗ - aữ ữ ữ ỗ ố2 ứ p - a ổ p ữ t an ỗ = cot a ỗ - aữ ữ ữ ỗ ố2 ứ ổ p ữ cos ỗ = sin a ỗ - aữ ữ ữ ç è2 ø ỉ p ÷ cot ç = t an a ỗ - aữ ữ ữ ỗ ố2 ø 3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba sin 2a = sin a cos a cos 2a = cos2 a - sin a = cos2 a - = - sin a t an 2a = t an a - t an a sin 3a = sin a - sin a cos 3a = cos a - cos a 3.4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng ù cos a cos b = é êcos(a + b) + cos(a - b)ú û 2ë cos a - cos b = - sin a+b a- b sin 2 sin a + sin b = sin a+b a- b cos 2 sin a - sin b = cos a+b a- b sin 2 3.5 Công thức hạ bậc + cos 2a cos2 a = t an a = sin a = sin a sin b = - sin a cos b = 1é ù ëcos(a + b) - cos(a - b) ú û 2ê 1é ù êsin(a + b) + sin(a - b)ú û 2ë - cos 2a - cos 2a + cos 2a BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG ỉ p ÷ ÷ sin a = 0, ỗ < a < p Tính cos a , t an a , cot a ç ÷ ç ÷ è2 ø Ví dụ Cho sin a + cos2 a = Giải: Áp dụng cơng thức: Þ cos2 a = - sin a = - 0, 82 = 0, 36 Þ cos a = ±0, Vì p < a< p nên cos a = - 0, cos a < Do B = Ví dụ Tính Giải: t an a = sin a 0, = =cos a - 0, cot a = cos a - 0, = =sin a 0, sin x + cos x sin x - cos x ìï sin x ï =- t an x = - ÛÛïí cos x ùù cos x ùợ B = biết t an x = - sin x = - cos x sin x + cos x - cos x + cos x cos x - = = = sin x - cos x - cos x - cos x - cos x A= cos2 x - sin x + cos x Ví dụ Đơn giản biểu thức: cos2 x - (sin x + cos2 x ) cos2 x - sin x (cos x - sin x )(cos x + sin x ) A= = = = cos x - sin x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x Giải: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 3150 Ví dụ Tính GTLG cung (góc): Giải: sin 3150 = sin(- 45 + 3600 ) = sin(- 450 ) = - sin 45 = - 2 cos 3150 = cos(- 450 + 3600 ) = cos(- 450 ) = cos 450 = t an 3150 = sin 315 - sin 45 = =- cos 3150 cos 450 cot 3150 = =- t an 3150 2 A = cos 00 + cos 200 + cos 400 + L + cos1600 + cos1800 Ví dụ Tính Giải: cos1800 = - cos 00 Ta có: cos1600 = - cos 200 cos1400 = - cos 400 A =0 Do đó: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN Điền giá trị thích hợp vào ô trống 00 150 300 450 Độ 600 750 900 1200 1500 1800 Radian Radian p 16 p - 3p 7p - 5p 11p - 4p 13p 24 - p 12 - 3p Độ BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC p 15p 2010p 30 - 45 750 Bài Biểu diễn cung sau đường tròn lượng giác gốc A: ; ; ; ; ; p p p p k 2p p k p p k 3p k k k + + + 3 2 4 kẻ Â k 2p k p Bài Xác định điểm cuối cung có số đo: ; ; ; ; ; ; ; ( ) Ð Ð p kp sd A M = sd A N = kẻ Â kẻ Ơ 798 Bi Cho hai điểm M N cho với Tìm cho: a) M N trùng b) M N đối xứng qua O GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài Xác định dấu giá trị lượng giác biểu thức: ỉ pư ỉ ỉ pư ỉ p÷ 3p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ p ữ ữ ữ ữ sin ỗ x + cos x t an x cot x + ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ 0< x < ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ÷ 4ø 2ø 2÷ è è2 ø è è ø a) ; ; ; với 0 - A = sin 400 cos(- 2900 ) B = sin(- 250 ) cos1700 b) c) C = cot æ 2p ữ 3p ữ sin ỗ ỗữ ỗ è 3÷ ø D = cos 4p p 4p 9p sin t an cot 3 d) e) Bài Tính giá trị lượng giác lại biết: 3p sin a = p< a < cos x = 1800 < x < 2700 13 a) với b) với 3p < b < 2p t an b = - 900 < x < 1800 cot x = - c) với d) với Bài Tính giá trị biếu thức lượng giác sau: cot x + t an x sin x + cos x A1 = A2 = cot x - t an x cos x - sin x t an x = - a) Cho Tính sin x - cos x sin x - cos x B1 = B2 = sin x + cos x sin x + cos x cot x = b) Cho Tính p cot x + t an x t an x - cos x sin x = 0< x < C1 = C2 = cot x - t an x cot x c) Cho với Tính sin x p cot x + t an x D2 = cot x + cos x = < x< p D1 = + cos x cot x - t an x d) với Tính sin x + cos x = Bài Cho Hãy tính giá trị biểu thức sau: C = sin x - cos x A = sin x cos x B = sin x - cos x a) b) c) t an x - cot x = Bài Cho Hãy tính giá trị biểu thức sau: 2 A = t an x + cot x B = t an x + cot x a) b) sin x , cos x , t an x , cot x Bài Tính Biết rằng: c) C = t an x - cot x t an x + cot x = sin x + cos x = sin x - cos x = a) b) c) Bài Dùng cung liên kết (khơng dùng máy tính), tính giá trị sau: a) sin 150 ỉ 16p ÷ ữ cos ỗ ỗữ ỗ ố ữ ứ b) cot 135 ổ 19p ữ ữ cot ỗ ç÷ ç è ÷ ø c) cos11p d) ỉ 159p ữ ữ t an ỗ ỗữ ữ ỗ ø è sin 13p cot e) 7p æ 115p ữ ữ sin ỗ ỗữ ữ ỗ ố ø f) g) h) i) Bài Rút gọn biểu thức sau: ỉ ỉ ỉ ỉ p p p p ÷ ÷ ÷ ÷ A = cos ỗ + sin ỗ - cos ỗ - sin ỗ ỗ - aữ ỗ - aữ ỗ + aữ ỗ + aữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ2 ỗ2 ố2 ứ ố2 ø è ø è ø a) ỉ ỉ ỉ 7p ỉ 7p ÷ 3p 3p ữ ữ ữ ữ ữ B = cos ỗ - sin ỗ + cos ỗ - sin ỗ ỗ - aữ ỗ - aữ ỗa ỗa ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ2 ỗ ỗ ứ ÷ è2 ø è ø è è ø b) æ ổ 7p 3p ữ ữ ỗ ữ ữ C = cos x + cos( p - x ) - sin ỗ x + t an x ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2 è ø è ø c) æ p D = sin ỗ + ỗ ỗ ố2 ổ 3p ỗ ÷ x÷ + sin(5 p x ) + sin + ç ÷ ç ÷ ø è2 ỉ p ç ữ xữ + cos + ỗ ữ ỗ ữ ứ è2 ÷ x÷ ÷ ÷ ø d) Bài Chứng minh đẳng thức sau: cos2 a - sin a = - sin a cos2 a - = - sin a a) b) 2 sin a cot a + cos a t an a = sin a + cos a - sin a = cos a - c) d) sin a + cos a = - sin a cos a cos4 a - sin a = cos2 a - sin a e) f) 3 sin a cos a + sin a cos a = sin a cos a sin a - cos a = - cos2 a = sin a - g) h) Bài 10 Chứng minh đẳng thức sau: - cos x sin x 1 = + =1 t an x + cot x = sin x + cos x + t an x + cot x sin x cos x a) b) c) ổ ửổ ữỗ ữ t an x + t an y + sin x ỗ ữ ữ 11+ + t an x = ỗ ỗ t an x t an y = = + t an x ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ cos x cos x è øè ø cot x + cot y - sin x d) e) f) cos x sin x + cos x - cot x = t an x + = + = + sin x cos x + cos x sin x sin x sin x sin x g) h) i) x Bài 11 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào : A = cos x - sin x + sin x B = sin x + sin x cos2 x + cos2 x a) b) D = cos x cos2 x - + sin x sin x - C = cos x + sin x cos2 x + sin x ( c) d) E = sin x + cos x - sin x - cos x + sin x e) 4 ) ( ) F = cos2 x cot x + cos2 x - cot x + sin x f) Bài 12 Chứng minh A, B,C ba góc tam giác thì: sin B = sin(A + C ) cos(A + B ) = - cos C a) b) A+B C sin = cos cos(B - C ) = - cos(A + 2C ) 2 c) d) cos(A + B - C ) = - cos 2C sin(A + 2B + C ) = - sin B e) f) - 3A + B + C cos = - sin 2A cot (A - B + C ) = - cot 2B g) h) Bài 13 Rút gọn tính giá trị biểu thức (khơng dùng máy tính) A = cos 00 + cos 200 + cos 400 + L + cos1600 + cos1800 a) B = cos100 + cos 400 + cos 700 + L + cos1400 + cos1700 b) C = t an 20 + t an 40 + t an 600 + L + t an 160 + t an 1800 c) D = cot 15 + cot 300 + cot 450 + L + cot 1500 + cot 1650 d) E = sin + sin 100 + sin 15 + L + sin 3550 + sin 360 e) F = cot 150 cot 350 cot 550 cot 750 f) g) G = tan 10 t an t an K t an 89 H = sin 100 + sin 200 + sin 300 + L + sin 800 + sin 900 h) I = cos 10 + cos2 200 + cos2 300 + L + cos2 1700 + cos2 1800 i) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: A = sin 12 cos 48 + cos120 sin 48 B = cos 380 cos 220 - sin 38 cos 220 a) b) 0 0 D = sin 2000 sin 3100 + cos 3400 cos 500 C = sin 10 cos 55 - cos10 sin 45 c) d) 0 0 E = cos11 cos 21 + cos 69 cos 79 - cos 10 F = cos 68 cos 78 + cos 22 cos12 - sin 100 e) f) Bài Tính giá trị biểu thức: + t an 15 t an 250 + t an 20 A= B = - t an 150 - t an 250 t an 20 a) b) 0 0 sin 730 cos 30 - sin 87 cos17 sin 10 cos 20 + sin 20 cos10 D = C = cos 1320 cos130 + cos 420 cos 28 cos17 cos130 - sin 17 sin 130 c) d) 2 E = sin 20 + sin 100 + sin 140 F = cos2 100 + cos2 1100 + cos2 1300 e) f) 0 0 G = t an 20 t an 80 + t an 80 t an 140 + t an 140 t an 20 g) H = t an 10 t an 700 + t an 70 t an 1300 + t an 130 t an 190 h) Bài Tính giá trị biểu thức sau: ỉ p÷ p A = cos ỗ sin a = ỗa + ữ ữ 0< a< ữ ỗ 3ứ ố a) biết ỉ p ÷ 12 3p ÷ B = sin ỗ a ỗ ữ cos a = p < a < ỗ ữ ố ứ 13 b) biết ỉ pư p ÷ C = t an ỗ a+ ữ ỗ ữ sin a = < a< p ỗ ữ 3ứ ố c) biết ỉ pư 3p ÷ D = cot ỗ ỗa - ữ ữ sin a = p< a < ữ ỗ 4ứ ố d) bit sin a = sin b = 00 < a < 90 17 Bài Biết , , ( A = cos( a + b) ) ( 90 ) Hãy tính giá trị biểu thức B = sin(a - b) < b < 1800 t an b = A = sin( a - b) 17 12 a b Bài Biết , , góc nhọn Hãy tính giá trị biểu thức , B = cos(a + b) C = t an(a + b) Bài Rút gọn biểu thức sau: A = sin(x + y ) cos(x - y ) + sin(x - y ) cos(x + y ) a) B = cos(400 - x ) cos(x + 20 ) - sin(400 - x ) sin( x + 20 ) b) C = sin(x + 100 ) cos(2x - 800 ) + sin(x + 1000 ) cos(2x + 100 ) c) ỉ p÷ ỉ ỉ ổ pử p p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ D = sin ỗ x cos x + sin x cos ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ4 ỗ4 ỗx - ứ ữ ÷ ÷ è ÷ 3÷ è ø è ø è ø sin a = d) ỉ p÷ ỉ pư ỉ pư ỉ 3p ÷ ÷ ÷ ÷ E = cos ỗ cos ỗ + cos ỗ cos ỗ çx - ÷ çx + ÷ çx + ÷ çx + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç 3ø è 4ø 6ø è 4ø è è e) ỉ p÷ ỉ ỉ ỉ 9p 5p 5p ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ F = sin ỗ x cos x sin x cos + ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ÷ ÷ è3 3÷ è ø è4 ø è4 ø ÷ x÷ ÷ ÷ ø f) Bài Chứng minh đẳng thức sau: ỉ pư ổ pử ữ ỗ ữ ữ cos x + sin x = cos ỗ x = sin x+ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 4ø è ø è a) ỉ p÷ ỉ p÷ ỗ ữ ữ cos x - sin x = cos ỗ x + = sin x ỗ ç ç ç ÷ ÷ 4÷ 4÷ è ø è ø b) sin(x + y ) sin(x - y ) = sin x - sin y = cos y - cos x c) cos(x + y ) cos(x - y ) = cos x - sin y = cos y - sin x d) Bài Chứng minh đẳng thức sau: ỉ ỉ ỉ p÷ ỉ p÷ p p ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ sin ỗ + x sin x = sin x sin x + sin x = sin x - ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ 3ø è 3ø è4 ø è4 ø è a) b) ỉ p÷ ỉ pư ỉ 2p ỉ 2p ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ t an x t an ỗ + t an ỗ t an ç + t an ç t an x = - ỗx + ữ ỗx + ữ ỗx + çx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 3ø 3ø 3ø 3ø è è è è c) ỉ pư ỉ pư ỉ pư ổ 3p ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ cos ỗ cos ỗ x + + cos x + cos x + = 1ỗx - ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ÷ ç ÷ ÷ è ÷ ç 3ø 4ø 6ø 4ø è è è ( d) Bài Chứng minh đẳng thức sau: cos(a - b) cot a cot b + = cos(a + b) cot a cot b - a) sin(a + b) sin(a - b) = t an a - t an b 2 cos a cos b c) Bài 10 Chứng minh biểu thức sau độc lập với bin ổ ổ p p ữ ữ ỗ ữ ữ A = sin x + cos ỗ x cos + x ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ç ÷ è3 ø è3 ø a) ỉ ỉ ö 2p 2p ÷ ÷ C = sin x + sin ỗ + sin ỗ ỗ - xữ ỗ + xữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ è3 ø è3 ø b) x d) ) sin(a - b) sin(b - c ) sin(c - a ) + + =0 cos a cos b cos b cos c cos c cos a cos(a + b) cos(a - b) = - t an a t an b 2 cos a cos b ỉ ổ p ỗp ữ ữ B = cos2 x + cos2 ỗ x + cos + ỗ ỗ ữ ç ç ÷ è3 ø è3 b) ỉ 2p ÷ ữ D = cos2 x + cos2 ỗ + çx + ÷ ç 3÷ è ø ÷ x÷ ÷ ÷ ø b) ỉ 2p ÷ ÷ cos2 ç x ç ÷ ç 3÷ è ø c) d) Bài 11 Tính giá trị biểu thức sau (khơng dùng máy tính bỏ túi) p 2p p p p B = cos cos C = sin cos cos 0 A = cos 36 cos 72 5 8 a) b) c) p p p p 2p 4p D = sin cos cos F = cos cos cos 0 E = sin 10 sin 50 sin 70 16 16 7 d) e) f) p 4p 5p G = cos cos cos 7 H = sin 60 cos120 cos 24 cos 480 g) h) Bài 12 Biến đổi thành tích biểu thức sau: + cos x + cos 2x + cos 3x a) sin x - sin 3x + sin 7x - sin 5x b) cos 10x - cos 8x - cos 6x + d) sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x c) cos 9x - cos 7x + cos 3x - cos x e) cos 7x + sin 3x + sin 2x - cos 3x f) ... 0 D = sin 2000 sin 3100 + cos 3400 cos 500 C = sin 10 cos 55 - cos10 sin 45 c) d) 0 0 E = cos11 cos 21 + cos 69 cos 79 - cos 10 F = cos 68 cos 78 + cos 22 cos12 - sin 100 e) f) Bài Tính giá... sin 87 cos17 sin 10 cos 20 + sin 20 cos10 D = C = cos 1320 cos130 + cos 420 cos 28 cos17 cos130 - sin 17 sin 130 c) d) 2 E = sin 20 + sin 100 + sin 140 F = cos2 100 + cos2 1100 + cos2 1300 e)... F = cot 150 cot 350 cot 550 cot 750 f) g) G = tan 10 t an t an K t an 89 H = sin 100 + sin 200 + sin 300 + L + sin 800 + sin 900 h) I = cos 10 + cos2 200 + cos2 300 + L + cos2 1700 + cos2 1800