BAI GIANG TOAN CHUYEN DE

17/07/2016 TOÁN CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (dạng đại số) Định nghĩa Số phức số có dạng z = x + iy, x, y ∈ R Số i thỏa i2 = -1 gọi đơn vị ảo x gọi phần thực số phức z (Rez) y gọi phần ảo số phức z (Imz) Đặc biệt: z = x + i0 số thực z = iy (y ≠ 0) số ảo Ví dụ: z = + i2 → x=3 ,y=2 17/07/2016 SỐ PHỨC Hai số phức Ví dụ: Số phức liên hợp Ví dụ: SỐ PHỨC Môđun số phức Môđun số phức xác định: = + Các phép toán số phức a Phép cộng trừ số phức Ví dụ: 17/07/2016 SỐ PHỨC b Phép nhân số phức Ví dụ: c Phép chia số phức SỐ PHỨC Ví dụ: d Lũy thừa bậc n số phức Ví dụ: e Căn bậc n số phức 17/07/2016 SỐ PHỨC Định lý SỐ PHỨC 17/07/2016 SỐ PHỨC SỐ PHỨC 17/07/2016 SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Mặt phẳng phức Về mặt hình học, số phức z = x + iy biểu diễn điểm M(x, y) mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc Oxy gọi mặt phẳng phức Môđun argument số phức Trong mặt phẳng phức, khoảng cách r từ gốc tọa độ O đến điểm M gọi Môđun z, xác định bởi: SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Góc định hướng có tia đầu Ox tia cuối OM gọi argument z (argz) Argument z thỏa mãn: Cách xác định Argument z = x + iy 17/07/2016 SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Ví dụ: Xác định môđun argument số phức sau: Dạng lượng giác số phức Vậy lượng giác số phức z là: Ví dụ: Viết số phức sau dạng lượng giác SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Nhận xét: Công thức Moivre Khi đó: Khi đó: 17/07/2016 SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Công thức Euler Ta có: Do đó: SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Công thức Euler Ví dụ: Viết số phức sau dạng mũ: 17/07/2016 SỐ PHỨC (dạng lượng giác) Chú ý: BIẾN ĐỔI LAPLACE Định nghĩa Biến đổi Laplace phía hàm f(t) xác định theo biểu thức: L Trong đó: F(s) gọi ảnh f(t), f(t) gọi hàm gốc Biến phức đóng vai trò tham số tích phân Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Ví dụ 1: Tìm biến đổi L hàm f(t) = 17/07/2016 BIẾN ĐỔI LAPLACE Ví dụ 2: Tìm biến đổi L hàm nấc đơn vị Tổng quát: BIẾN ĐỔI LAPLACE Ví dụ 3: Tìm biến đổi L hàm f(t) = e-at, a số Ví dụ 4: Tìm biến đổi L hàm cosωt sinωt Từ công thức Euler ta có: 10 17/07/2016 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Chúng ta khai triển thương số thành phân thức tối giản trường hợp sau: - Trường hợp X(Z) có cực đơn, X(Z) viết dạng: Zpk cực đơn X(Z) (Zpk nghiệm đơn X(Z)) Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản - Trường hợp X(Z) có cực bội Giả sử X(Z) có cực bội bậc s Zp1, cực lại cực đơn ta khai triển X(Z) dạng sau: Với Zpl cực bội bậc s, Zpk cực đơn 45 17/07/2016 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Ak cj tính sau: Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản - Trường hợp X(Z) có L cực bội Giả sử X(Z) có L cực bội s1, s2, …, sn, cực lại cực đơn ta khai triển X(Z) dạng sau: Với Zpk cực đơn, Zpli cực bội bậc si 46 17/07/2016 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Ak cjsi tính sau: Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Sau khai triển X(Z) xong ta tìm IZT phân thức tổng hợp kết ta có x(n) IZT phần tử tìm công thức sau: 47 17/07/2016 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Trường hợp tổng quát ta có:   Z n(n  1) (n  m  1) Z pk nm u (n  1) IZT     m 1 m!  Z  Z pk   Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Ví dụ: Cho Hãy tìm x(n) phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Giải: Ta có: 48 17/07/2016 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Vậy X(Z) có điểm cực là: Với: Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản 49 17/07/2016 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Vậy Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Ví dụ: Cho = −1 −5 +6 >3 Hãy tìm x(n) phương pháp khai triển thành phân thức tối giản 50 17/07/2016 VÍ DỤ: Cho: = với n Hãy tìm biến đổi Z x(n) Cho: = ( ) Hãy tìm biến đổi Z x(n) Cho: =2 ( ) Hãy tìm biến đổi Z x(n) VÍ DỤ: Hãy tìm biến đổi Z ngược phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa = 1− + Hãy tìm biến đổi Z ngược phương pháp khai triển thành phân thức tối giản +8 = −5 +1 = −1 −2 51 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z a Tính tuyến tính Ta có hai dãy x1(n), x2(n) biến đổi Z sau: ZT x1 ( n)  X ( Z )    x (n) Z n R x1  Z  Rx1 n R x2  Z  Rx2 n   ZT x2 ( n)  X ( Z )    x ( n) Z n   Giả sử ta có dãy x(n) tổ hợp tuyến tính dãy x1(n) x2(n) sau: x(n) = ax1(n) + bx2(n) với a, b số TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z Biến đổi Z x(n) là: ZT x(n)  X ( Z )    ax (n)  bx (n)Z n n      X ( Z )  a  x1 (n) Z  n  b  x2 (n) Z  n  aX ( Z )  bX ( Z ) n   Với: n   RC[X(Z)] = RC[X1(n)] ᴖ RC[X2(n)] 52 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z b Trễ Giả sử ta có dãy x(n) ZT x(n)  X ( Z )    x(n) Z n n   Nếu ta có y(n) dãy trễ x(n) sau: y(n) = x(n – n0)  ZT  y (n)  Y ( Z )    y ( n) Z  n  n   Đổi biến số: Ta có: Y (Z )  n n   l = n – n0 → n = l + n0    x(l )Z  ( l  n0 ) Z  n0 l   Vậy:  x(n  n ) Z  x(l )Z 1  Z  n0 X ( Z ) l   ZTx(n  n0 )  Z n0 X (Z ) TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z c Nhân với dãy hàm mũ Giả sử ta có dãy x(n) ZT x(n)  X ( Z )    x ( n) Z n n   Nhân dãy x(n) với dãy hàm mũ an ta có: y(n) = anx(n) ZT  y (n)  Y ( Z )    a n n   Vậy: x ( n) Z n Z   x( n)  a n   n Z  X  a Z ZT a n x(n)  X   a   53 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z d Đạo hàm biến đổi Z Theo định nghĩa biến đổi Z ta có: ZT x (n)  X ( Z )    x( n) Z n n   Thì ta có:  dX ( Z )    n x(n) Z  n 1 dZ n   Nhân hai vế với – Z ta có:   dX ( Z )  n 1 Z   Z   n x (n) Z   x ( n) Z  n n dZ n   n   Vậy: ZT nx(n)   Z dX Z  dZ TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z e Dãy liên hợp phức Giả sử có dãy: x(n) x*(n) (liên hợp phức) Lấy biến đổi Z hai dãy ta có: ZT x ( n)  X ( Z )      x ( n) Z n n     x  ( n) Z ZT x  ( n)  n n   Mà ta có:  X (Z )    x(n)Z n  n    54 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z   X (Z )     x  ( n) Z  n n    x (n)Z      X (Z )  n    n   Vậy:   ZT x (n)  X  ( Z  ) TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z f Tích chập dãy Nếu ta có dãy x(n) tích chập hai dãy x1(n) x2(n) sau: x(n) = x1(n) * x2(n)  X (Z )    x ( n) Z  n  n    x (n) * x (n)Z n n       X ( Z )     x1 ( k ) x2 (n  k )Z  n n    k        x (k )  x (n  k ) Z k   n n   55 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z Đổi biến số: m=n–k  n=m+k Ta có      m  k k X ( Z )   x1 (k )   x2 (m) Z  Z   x1 (k ) Z  x2 (m) Z  m k   k   m   m    Vậy: X(Z) = X1(Z).X2(Z) TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z g Tích hai dãy Giả sử ta có dãy x(n) tích dãy x1(n) x2(n) sau: x(n) = x1(n) x2(n) Thì miền Z ta có quan hệ sau: X (Z )   Z  1 X (  ) X  d 2 2j c    Quan hệ gọi tích chập phức 56 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z h Tương quan hai tín hiệu Ta có hàm tương quan tín hiệu định nghĩa sau:  rxy   x(m) y(m  n) m      ZT rxy (n)  Rxy ( Z )  r xy n   Đổi biến: Ta có: Rxy ( Z )   ( n) Z n        x ( m) y ( m  n)  Z  n n    m    l=m–n, n=m–l     x(m) y(l )Z  (m l )  m   l        x(m)Z  m  y(l ) Z 1 m   l   l 1  X ( Z )Y   Z  1 Rxy ( Z )  X ( Z )Y   Z  TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 57 17/07/2016 TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z BIẾN ĐỔI Z 58 17/07/2016 BIẾN ĐỔI Z BIẾN ĐỔI Z 59 [...]... Ta có: Vậy: Ví dụ 3: Tìm biến đổi L ngược của hàm BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC Ta có: Áp dụng cặp biến đổi L Vậy: 19 17/07/2016 BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 3 Khai triển thành phân thức tối giản (khai triển Heaviside) ( ) X(s) = ( ) Gọi m, n là bậc của P(s) và Q(s) + Nếu m > n ta thực hiện phép chia để bậc P(s) < Q(s) + Nếu m < n ta triển khai thành phân thức tối giản BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC Khai triển thành phân