slike bài giảng toán chuyên đề - nguyễn linh giang chương 2 hàm của hai biến ngẫu nhiên

M ts v n ch n l c toán cho k s Nguy n Linh Giang Vi n CNTT&TT Ph n II Xác su t th ng kê ¸ Mơ t khóa h c ̈ Dành cho sinh viên ih c ̈ Xây d ng mơ hình xác su t c s th ng kê ̈ Phân tích s b t nh ̈ Suy di n th ng kê ̈ Phân tích s li u th c nghi m 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ¸ Hai bi n ng u nhiên ̈ X Y hai bi n ng u nhiên < , F, P>, ta có: P x1 P y1 X( ) Y( ) x2 y2 FX ( x2 ) FY ( y ) x2 F X ( x1 ) FY ( y ) x1 y2 y1 f X ( x ) dx , f Y ( y ) dy ̈ Xác su t c a c p (X, Y) m t mi n b t k D b ng ? P ( x1 X( ) x2 ) ( y1 Y ( ) y2 ) ? 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Hàm phân b xác su t liên h p c a X Y, v i x y hai s th c b t k : FXY ( x, y ) P (X ( ) P( X x) x, Y (Y ( ) y) y) 0, ¸ Tính ch t: FXY ( P x1 X( ) P X( ) x , y1 , y) x2 ,Y ( ) Y( ) FXY ( x, ) 0, FXY ( , ) y F XY ( x , y ) F XY ( x , y ) y2 F XY ( x , y ) F XY ( x , y ) 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ¸ Tính ch t P x1 X( ) x2 , y1 Y ( ) y2 FXY ( x2 , y2 ) FXY ( x2 , y1 ) FXY ( x1 , y2 ) FXY ( x1 , y1 ) ̈ Hàm m t phân b xác su t liên h p FXY ( x , y ) x y f XY ( x , y ) F XY ( x , y ) x y f XY ( u , v ) dudv f XY ( x , y ) dxdy 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Xác su t D ó: Px X( ) x x, y Y ( ) FXY ( x, y Y x D y x x x y y y ) FXY ( x y y c p (X, Y) m t mi n y FXY ( x x, y x, y ) FXY ( x, y ) f XY (u, v )dudv f XY ( x, y ) x y P ( X ,Y ) D ( x, y ) D f XY ( x, y )dxdy X ¸ Các th ng kê biên FX ( x ) f X ( x) y) FXY ( x , ), FY ( y ) FXY ( , y ) f XY ( x , y ) dy , f Y ( y ) f XY ( x , y ) dx 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ¸ o hàm c a hàm d H ( x) dH ( x ) dx db( x ) h ( x , b) dx b( x ) a(x) i d u tích phân h ( x , y ) dy da ( x ) h( x, a ) dx b( x ) a( x) h( x, y ) dy x 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Tr ng h p r i r c ¸ X, Y: bi n ng u nhiên r i r c ¸ pij = P(X = xi, Y = yj) hàm phân b liên h p ¸ Các hàm phân b biên là: P( X xi ) P( X xi , Y yj) pij j P(Y yj) p ij j P( X i ¸ Hàm m t xi , Y yj) i pij p11 p21 i phân b biên: p ij p12 p22 p1 j p2 j p1n p2 n pi1 pi pij pin p m1 pm pmj pmn j 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên Y ̈ Ví d ¸ Cho bi n ng u nhiên X, Y v i c, f XY ( x , y ) 0, x y ̈ T f X ( x) fY ( y ) 1, X biên fX(x) fY(y) f XY ( x, y ) dxdy ̈ Ta có: y y otherwise ¸ Xác nh hàm m t ¸ Gi i: f XY ( x, y )dxdy y c dx dy x y ó: f XY ( x , y ) dy f XY ( x , y ) dx y x dy y x dx cy cydy 2 (1 y, x ), c x y 1, c 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Ví d : X Y hai bi n ng u nhiên Gauss có hàm m t phân b liên h p: N ( X , Y , X , Y2 , ) f XY ( x, y ) X Y (x ¸ Các hàm m t e 2 (1 ) X X x )2 (x )( y X , X Y Y y ) (y ,| Y Y )2 , | 1.b biên s là: fX ( x) f XY ( x , y ) dy fY ( y ) f XY ( x , y ) dx X 2 Y e (x e (y X Y )2 / )2 / 2 X Y N( X N( Y , , X Y ), ), 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ¸ Ví d : Cho fXY(x, y), xác hay không xy 2e y , f XY ( x, y ) 0, nh xem X, Y có y , cl p x 1, otherwise ̈ Gi i: tính fX(x), fY(y) ki m tra h th c: fXY(x, y)= fX(x)fY(y) f X ( x) x fY ( y ) f XY ( x , y ) dy ye y x 0 y e y dy ye y dy x, y2 y f XY ( x , y ) dx e , 0 f XY ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ), y x 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ¸ Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Cho X, Y hai bi n ng u nhiên g(x, y) ̈ Bi n Z = g(X, Y), xác nh fZ(z) theo fXY(x, y) ̈ Ta có: FZ ( z ) P Z ( ) z P g ( X , Y ) z P ( X , Y ) x , y Dz Y Dz f XY ( x, y )dxdy , ¸ DZ mi n khơng gian x, y cho g(x, y) z Dz Dz X 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Ví d : Z = X+Y, xác inh fZ(z) ¸ L y o hàm Fb(z), ta s có fZ(z)b FZ ( z ) P X Y H (z) dH ( z ) dz f Z ( z) db ( z ) h b( z ), z dz z y z f XY ( z z b( z) a(z) y x f XY ( x, y )dxdy , h ( x , z ) dx da ( z ) h a ( z ), z dz f XY ( x, y )dx dy y, y )dy z y f XY ( z b( z ) a(z) h( x, z ) dx z y, y ) z y f XY ( x, y ) dy z 2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Ví d : X, Y hai bi nng u nhiên hàm m c l p v i tham s Xác nh hàm m t fZ(z) c a Z = X+Y e xU ( x ), f X ( x) fZ (z) z e x e (z x) dx e yU ( y ), fY ( y ) e z z dx z e z U ( z ) Moment liên h p hàm c tính liên h p -Mơ t tham s bi u di n thông tin hàm phân b liên h p c a hai i l ng ng u nhiên -Cho hai bi n ng u nhiên X Y hàm hai bi n g ( x, y ), Xác nh bi n ng u nhiên Z: Z g ( X ,Y ) Ta có k v ng c a Z: Z E (Z ) z f Z ( z ) dz Theo nh ngh a hàm c a bi n ng u nhiên, ta s xác nh hàm c a Z Z g( X ,Y ) tính theo c tr ng c a XY f XY ( x, y) mà không ph i tính f Z (z) P z Z z z fZ ( z) z P z g ( X ,Y ) z z f XY ( x , y ) x y ( x,y) D z Trong ó D z vùng không gian m t ph ng xy th a mãn b t ng th c Ta có: z fZ (z) z g ( x, y ) f XY ( x , y ) x y ( x,y) D z L y tích phân, ta có E(Z ) z f Z ( z )dz g ( x, y ) f XY ( x, y )dxdy Hay: E[ g ( X , Y )] g ( x, y ) f XY ( x, y )dxdy N u X Y r i r c, E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) P( X i xi , Y j Vì k v ng tốn t n tính, ta có E ak gk ( X , Y ) k ak E[ gk ( X , Y )] k y j ) N u X Y bi n ng u nhiên E[ g ( X )h(Y )] c l p,Z g( X ) W g ( x)h( y ) f X ( x) fY ( y )dxdy g ( x) f X ( x)dx h( y ) fY ( y )dy E[ g ( X )]E[h(Y )] h (Y ) Hi p bi n: Cho hai bi n ng u nhiên b t k X Y Cov ( X , Y ) Ta có: Cov ( X , Y ) E (X X E ( XY ) X Ta th y N u U Var (U ) ) E ( XY ) Y E ( X ) E (Y ) XY Cov ( X , Y ) aX Y XY ) (Y Var ( X )Var (Y ) Y , E a( X a 2Var ( X ) X ) (Y Y ) 2 a Cov ( X , Y ) Var ( Y ) XY Cov ( X , Y ) Var ( X )Var (Y ) Cov ( X , Y ) XY Cov ( X , Y ) X X , Y Y Các bi n ng u nhiên không t ng quan: n u X Y g i không t ng quan Khi ó E ( XY ) 1, XY E ( XY ) XY 0, E ( X ) E (Y ) Tr c giao: X Y g i tr c giao n u g( X ) X , h (Y ) Y , N u X ho c Y có k v ng b ng 0, t tính tr c giao s suy tính khơng t ng quan E ( XY ) E ( X ) E (Y ), N u X Y c l p, ta có 2.8 Phân b Gauss ¸ Bi n ng u nhiên Gauss ̈ Bi n ng u nhiên Gauss m t chi u p ( x) E ( x) E (( x exp x 2 xp( x)dx )2 ) (x ) p( x)dx 2.8 Phân b Gauss ̈ Phân b Gauss nhi u chi u ( d chi u ) p ( x) (2 ) d /2 1/ E ( x) )(x )T (x ) xp (x)dx E ((x (x exp )T ) (x )(x ) T p ( x ) dx ¸ Trong ó, x, vector d-chi u ¸ ma tr n hi p bi n – i x ng, xác d ng ¸ Khi xác nh d ng E (( xi ij i )( x j j )) i E ( xi ) nh n a 2.8 Phân b Gauss ¸ Ma tr n hi p bi n 00 11 ij ,i j 22 33 2.8 Phân b Gauss 2.8 Phân b Gauss ¸ Phân b Gaussian nhi u chi u c xác nh hoàn toàn b ng d+d(d+1)/2 tham s c a vector ma tr n hi p bi n ¸ Kho ng cách Mahalanobis: r (x ) T (x ) ... th c nghi m 2. 6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ¸ Hai bi n ng u nhiên ̈ X Y hai bi n ng u nhiên < , F, P>, ta có: P x1 P y1 X( ) Y( ) x2 y2 FX ( x2 ) FY ( y ) x2 F X ( x1 ) FY ( y ) x1 y2 y1 f X (... j P( X i ¸ Hàm m t xi , Y yj) i pij p11 p21 i phân b biên: p ij p 12 p 22 p1 j p2 j p1n p2 n pi1 pi pij pin p m1 pm pmj pmn j 2. 6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên Y ̈ Ví d ¸ Cho bi n ng u nhiên X, Y... x , y ) dx X 2 Y e (x e (y X Y )2 / )2 / 2 X Y N( X N( Y , , X Y ), ), 2. 6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên ̈ Các bi n ng u nhiên cl p ¸ Hai bi n ng u nhiên X Y c coi cl p th ng kê n u hai s ki n {X(