Đang tải... (xem toàn văn)
Sè phøc lµ sè cã d¹ng z = a + ib, trong ®ã a, b 2 R, cßn i lµ mét kÝ hiÖu gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. TËp tÊt c¶ c¸c sè phøc ®îc kÝ hiÖu lµ C. §Ó biÓu diÔn mét sè phøc z = a + ib, ngêi ta ®ång nhÊt nã víi cÆp ®iÓm (a, b) trong mÆt ph¼ng §Òc¸c vu«ng gãc xOy. Vµ mÆt ph¼ng dïng ®Ó biÓu diÔn sè phøc ®îc gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. Cho sè phøc z = a + ib, khi ®ã kÝ hiÖu Rez = x, Imz = y vµ lÇn lît gäi lµ phÇn thùc, phÇn ¶o cña sè phøc z. Trªn mÆt ph¼ng phøc, Imz = 0 , z 2 Ox, do ®ã trôc hoµnh ®îc gäi lµ trôc thùc; Rez = 0 , z 2 Oy, do ®ã trôc tung gäi lµ trôc ¶o.
1 Ch-ơng 1 Hàm biến phức 1.1 Tr-ờng số phức. 1.1.1 Tập số phức Số phức là số có dạng z = a + ib, trong đó a, b R, còn i là một kí hiệu gọi là đơn vị ảo. Tập tất cả các số phức đ-ợc kí hiệu là C. Để biểu diễn một số phức z = a + ib, ng-ời ta đồng nhất nó với cặp điểm (a, b) trong mặt phẳng Đềcác vuông góc xOy. Và mặt phẳng dùng để biểu diễn số phức đ-ợc gọi là mặt phẳng phức. Cho số phức z = a + ib, khi đó kí hiệu Rez = x, Imz = y và lần l-ợt gọi là phần thực, phần ảo của số phức z. Trên mặt phẳng phức, Imz =0 z Ox, do đó trục hoành đ-ợc gọi là trục thực;Rez =0 z Oy, do đó trục tung gọi là trục ảo. Hai số phức z 1 ,z 2 đ-ợc gọi là bằng nhau, kí hiệu là z 1 = z 2 , nếu Rez 1 = Rez 2 và Imz 1 = Imz 2 . Chú ý rằng, chúng ta không so sánh thứ tự của hai số phức. 1.1.2 Phép toán của các số phức Phép toán các số phức đ-ợc thực hiện nh- phép toán trên các biểu thức số thực, với chú ý rằng i 2 = 1. Giả sử z 1 = a 1 + ib 1 ,z 2 = a 2 + ib 2 và z = a + ib. Khi đó 1. z 1 + z 2 =(a 1 + a 2 )+i(b 1 + b 2 ), số phức z =(a)+i(b), gọi là số đối của z 2. z 1 .z 2 =(a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 3. Số phức z 1 = a a 2 + b 2 + i b a 2 + b 2 , gọi là nghịch đảo của z 2 Dễ thấy phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp, phép nhân phân phối với phép cộng, mọi số phức đều có số đối và mọi số phức khác 0 đều có số nghịch đảo. Ta định nghĩa z 1 z 2 = z +(z 2 ) và z 1 z 2 = z 1 .z 1 2 1.1.3 Liên hợp và môđun của số phức Cho số phức z = a + ib. Khi đó, ta gọi số phức z = a ib là liên hợp của số phức z. Dễ dàng kiểm tra số phức liên hợp có những tính chất sau Định lý 1.1.1. Với mọi z,z 1 ,z 2 C,tacó 1. z = z, z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , z 1 .z 2 = z 1 .z 2 2. z + z =2Rez, z z =2iImz, z.z =(Rez) 2 +(Imz ) 2 3. z = z z R Với mọi z = a +ib C, ta gọi |z| = z.z = a 2 + b 2 là môđun của số phức z. Dễ dàng kiểm tra các kết quả sau Định lý 1.1.2. Với mọi z,z 1 ,z 2 C,tacó 1. |z|0, |z| =0 z =0 2. |z 1 .z 2 | = |z 1 |.|z 2 | 3. |z 1 + z 2 ||z 1 | + |z 2 | 4. |z 1 z 2 | |z 1 z 2 | Với mọi số phức z 1 = a 1 + ib 1 ,z 2 = a 2 + ib 2 , ta gọi khoảng cách giữa z 1 và z 2 là số d(z 1 ,z 2 )=|z 1 z 2 | = (a 1 a 2 ) 2 +(b 1 b 2 ) 2 1.1.4 Dạng l-ợng giác và dạng mũ của số phức Trong mặt phẳng phức, xét số phức z = a + ib =0. Kí hiệu r = |z| là môđun của z và góc có cạnh đầu Ox, cạnh cuối Oz, gọi là argument của z. Argument của z thoả mãn 0 <2, gọi là argument chính của z, kí hiệu là argz. Nh- vậy, có vô số argument của z và tập tất cả các argument của z đ-ợc kí hiệu là Argz = + k2,k Z . 3 Ví dụ 1.1.3. z =1i 3 thì Argz = 5 3 +2k và argz = 5 3 . Giả sử là một argument của z. Khi đó, z có thể viết d-ới dạng sau dây, gọi là dạng l-ợng giác hay dạng cực của số phức z : z = r(cos + i sin ) . Với mọi số thực , theo công thức Ơle, ta đặt e i = cos + i sin . Nh- vậy, z có thể biểu d-ới dạng mũ nh- sau: z = re i . Ví dụ 1.1.4. Dạng l-ợng giác của số phức z = 2+i 2 là z =2 cos 3 4 + i sin 3 4 . Định lý 1.1.5. Cho z = re i = r(cos + i sin ),z 1 = r 1 e i 1 = r 1 (cos 1 + i sin 1 ), z 2 = r 2 e i 2 = r 2 (cos 2 + i sin 2 ) . Khi đó 1. z 1 .z 2 = r 1 .r 2 e i( 1 + 2 ) = r 1 .r 2 cos( 1 + 2 )+i cos( 1 + 2 ) 2. z 1 z 2 = r 1 r 2 e i( 1 2 ) = r 1 r 2 cos( 1 2 )+i cos( 1 2 ) 3. z n = r n e in = r n (cos n + i sin n),n Z . Đặc biệt, ta có công thức Moivre: (cos + i sin ) n = cos n + i sin n . Ngoài ra, ta cũng có z 1 = z 2 r 1 = r 2 1 = 2 +2k, k Z 1.1.5 Căn của số phức Cho số phức z = r(cos + i sin) =0. Số phức w = s(cos + isin ) đ-ợc gọi là căn bậc n của z nếu w n = s n (cos n + i sin n)=z. Từ định nghĩa ta có s n = r n = +2k s = n r = n + k 2 n ,k Z Nh- vậy, có đúng n giá trị căn bậc n của số phức z khác 0 n z = n r cos +2k n + i sin +2k n ; k =0, 1, ,n 1 . Ví dụ 1.1.6. Ta thấy 3 8 có tất cả ba giá trị 2, 1+i 3, 1 i 3. 4 1.1.6 Dãy và chuỗi số phức Cho dãy số phức (z n ),z n = a n + ib n ,n N. Số phức = a + ib C đ-ợc gọi là giới hạn của dãy (z n ) nếu >0, n 0 > 0 sao cho |z n | <với mọi n>n 0 . Dãy có giới hạn đ-ợc gọi là dãy hội tụ và viết là lim n z n = hay đơn giản hơn là z n . Định lý 1.1.7. Để tồn tại lim n z n = cần và đủ là lim n a n = a và lim n b n = b. Với các dãy hội tụ, các tính chất về giới hạn của một dãy t-ơng tự nh- dãy số thực hội tụ. Đối với các dãy không hội tụ, ta để ý đến các dãy mà |z n |+ . Để mở rộng khái niệm giới hạn cho các dãy loại này ta cần bổ sung vào mặt phẳng phức C điểm , khi đó ta đ-ợc mặt phẳng phức mở rộng C = C {}. Trong mặt phẳng phức mở rộng, ta nói dãy {z n } có giới hạn nếu lim n |z n | = .Rõ ràng, lim n z n = nếu có ít nhất một trong hai dãy (a n ), ( b n ) có giới hạn là . Giả sử (z n ) là một dãy trong C. Khi đó tổng hình thức z 1 + z 2 + ããã+ z n + ããã= n=1 z n () gọi là chuỗi số phức. Tổng S n = z 1 + z 2 + ããã+ z n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (). Nếu tồn tại giới hạn lim n S n = s C thì ta nói chuỗi () hội tụ và s đ-ợc gọi là tổng của chuỗi, kí hiệu là n=1 z n = s. Chuỗi không hội tụ đ-ợc gọi là chuỗi phân kỳ. Định lý 1.1.8. Giả sử z n = a n + ib n . Khi đó, để chuỗi () hội tụ cần và đủ là các chuỗi số thực n=1 a n , n=1 b n hội tụ. Chuỗi n=1 z n đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số d-ơng n=1 |z n | hội tụ. Ta thấy rằng, chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Chuỗi hội tụ nh-ng không hội tụ tuyệt đối thì đ-ợc gọi là bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện. 1.2 Tập con của mặt phẳng phức. 1.2.1 Tập mở, tập đóng, tập compắc Cho r>0 và z 0 C, ta gọi hình tròn mở tâm z 0 , bán kính r là tập B(z 0 ,r)= z C : |z z 0 | <r . 5 Cho tập A C và z C. Điểm z đ-ợc gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r>0 sao cho B(z,r) A. Điểm z đ-ợc gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại r>0 sao cho B(z,r) C\A. Điểm z đ-ợc gọi là điểm biên của A nếu tồn tại r>0 sao cho B(z,r) C \ A = . Tập tất cả các điểm biên của A đ-ợc kí hiệu là A. Tập con A của C đ-ợc gọi là mở nếu A A = , đ-ợc gọi là đóng nếu A A. Cho A C. Phần trong của tập A, là tập A 0 = A \ A, bao đóng của tập A là tập A = A A. Tập A đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại z C và r>0 sao cho A B(z, r), không bị chặn nếu tồn tại một dãy (z n ) A sao cho z n . Tập A đ-ợc gọi là compắc nếu A đóng và bị chặn. 1.2.2 Đ-ờng cong trong mặt phẳng phức Cho [a, b] R. Một đ-ờng (hay đ-ờng cong) trong mặt phẳng phức là ánh xạ :[a, b] C . Khi đó, với mỗi t [a, b], ta có (t)=x(t)+iy(t) C. Nh- vậy, việc cho đ-ờng cong t-ơng đ-ơng với việc cho hai hàm thực biến t trên đoạn [a, b] là x(t) và y(t). Đ-ờng cong là liên tục, khả vi, khả tích nếu các hàm x(t),y(t) có các tính chất t-ơng ứng. Ta cũng định nghĩa đạo hàm và tích phân của trên [a, b], nếu tồn tại, là (t)=x (t)+iy (t) và b a (t)dt = b a x(t)dt + i b a y(t)dt . Đ-ờng cong :[a, b] C đ-ợc gọi là đ-ờng cong đóng (hay khép kín) nếu (a)=(b), điểm (a) gọi là điểm đầu, điểm (b) gọi là điểm cuối của đ-ờng cong. Đ-ờng cong :[a, b] C đ-ợc gọi là đơn nếu (t 1 ) = (t 2 ) khi t 1 = t 2 và {t 1 ,t 2 }= {a, b}. Đ-ờng cong đơn, đóng đ-ợc gọi là đ-ờng cong Jordan hay chu tuyến. Đ-ờng cong :[a, b] C đ-ợc gọi là trơn nếu (t) liên tục trên [a, b], gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia đoạn [a, b] thành một số hữu hạn các đoạn mà trên mỗi đoạn đó, hàm (t) là đ-ờng cong trơn. Tập A C đ-ợc gọi là liên thông nếu mọi z 1 ,z 2 A đều tồn tại đ-ờng cong :[a, b] C sao cho (a)=z 1 ,(a)=z 2 và [a, b] A. Với mọi z 1 ,z 2 C, đoạn thẳng nối z 1 với z 2 là tập [z 1 ,z 2 ]= z = z 1 +(1)z 2 | [0, 1] . 6 1.2.3 Miền Tập con D của C đ-ợc gọi là một miền nếu D là mở và liên thông. Nếu D là một miền thì D = D D đ-ợc gọi là miền đóng. Ví dụ nh- các hình tròn mở là những miền mở, các hình tròn đóng (khác một điểm) là các miền đóng. Nếu là một chu tuyến thì chia mặt phẳng C thành hai miền, một trong hai miền đó là miền trong (miền bị chặn), miền còn lại gọi là miền ngoài. Miền bị chặn kí hiệu là D . Ta quy -ớc, chiều d-ơng của biên của một miền D là chiều sao cho khi đi dọc theo biên thì phần trong gần ta nhất của miền D luôn nằm về bên trái. Biên với h-ớng d-ơng kí hiệu là D + , biên với h-ớng ng-ợc lại kí hiệu là D . Khi bổ sung vào biên các đoạn thẳng, thì trong biên có h-ớng, mỗi đoạn thẳng đ-ợc tính hai lần theo h-ớng ng-ợc nhau. Cho A C. Tập con B của A gọi là thành phần liên thông của A nếu B liên thông và nếu có một tập liên thông khác của A chứa B thì đó chính là B. Nếu A là tập không bị chặn thì ta coi là một điểm biên của A trong C. Miền D C đ-ợc gọi là miền n - liên nếu biên của D trong C có n thành phần liên thông. Miền 1 - liên còn gọi là miền đơn liên, miền 2 - liên còn gọi là miền nhị liên. Ví dụ 1.2.1. Với mọi chu tuyến , D là miền đơn liên, C \ D là miền nhị liên. Nửa mặt phẳng {z : Imz > 0} là miền đơn liên. Hình tròn thủng B(z 0 ,r) \{z 0 } là miền nhị liên. 1.3 Hàm biến phức 1.3.1 Định nghĩa Cho tập A C. Hàm biến phức f xác định trên A là quy tắc đặt t-ơng ứng mỗi z A với duy nhất w = f(z) C, kí hiệu là w = f(z),z A. Nếu f(z) = với mọi z A thì f gọi là hàm hữu hạn. Nếu tồn tại M R + sao cho |f(z)|M với mọi z A thì f gọi là hàm bị chặn. Nếu z = x +iy thì f(z) đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng f(z)=u(x, y)+iv(x, y), trong đó u(x, y),v(x, y) là các hàm hai biến thực xác định trên A. Ta kí hiệu u = Ref,v = Imf và gọi t-ơng ứng là phần thực, phần ảo của f. Ví dụ 1.3.1. Giả sử w = f( z)=z 2 . Ta thấy f(z)=z 2 =(x + iy) 2 = x 2 y 2 + i(2xy).Do đó, hàm f hoàn toàn đ-ợc xác định bởi hai hàm thực u(x, y)=x 2 y 2 và v(x, y)=2xy. 7 1.3.2 Cách biểu diễn hàm biến phức Ta thấy rằng, xuất hiện 4 biến thực x, y, u, v khi xác định một hàm phức f(z). Do đó, ta không thể vẽ đ-ợc trực quan đồ thị của một hàm biến phức. Để có một hình ảnh trực quan nào đó về hàm f, ng-ời ta th-ờng sử dụng hai mặt phẳng và thông qua ảnh của một họ các đ-ờng cong để hình dung đ-ợc sự biến thiên của hàm f. Họ các đ-ờng cong th-ờng chọn là họ các đ-ờng song song với các trục tọa độ, họ các tia xuất phát từ O, họ các đ-ờng tròn đồng tâm, Ví dụ 1.3.2. Xét hàm w = f(x)=z 2 .Tacóu(x, y)=x 2 y 2 và v(x, y)=2xy. Đ-ờng thẳng x =0biến thành tia u 0,v =0. Đ-ờng thẳng x = a =0biến thành parabol u = a 2 v 2 4a 2 . Đ-ờng thẳng y =0biến thành tia u 0,v =0. Đ-ờng thẳng y = b =0biến thành parabol u = v 2 4b 2 b 2 . Nh- vậy, l-ới các đ-ờng thẳng song song với các trục tọa độ biến thành l-ới các parabol có trục là Ou. 1.3.3 Giới hạn và tính liên tục của hàm Cho hàm w = f(z),z A và điểm z 0 A. Hàm f gọi là có giới hạn L khi z z 0 nếu mọi dãy (z n ) A \{z 0 },z n z 0 ta đều có f(z) L. Kí hiệu là lim zz 0 f(z)=L hoặc f(z) L khi z z 0 . Hàm f đ-ợc gọi là liên tục tại z 0 nếu lim zz 0 f(z)=f(z 0 ). Hàm f gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc A. Định lý 1.3.3. Nếu f(z)=u(x, y)+iv(x, y),z 0 = x 0 + iy 0 ,L= a + ib thì ta có 1. lim zz 0 f(z)=L lim (x,y)(x 0 ,y 0 ) u(x, y)=a và lim (x,y)(x 0 ,y 0 ) v(x, y)=b. 2. f liên tục tại z 0 u(x, y),v(x, y) liên tục tại (x 0 ,y 0 ). 1.4 Hàm giải tích 1.4.1 Các định nghĩa Cho hàm w = f(z) xác định trên miền D và điểm z 0 D. Với mỗi số gia z của biến z sao cho z 0 +z D, ta có số gia t-ơng ứng của hàm f(z) là w = f(z +z) f(z 0 ). 8 Nếu giới hạn lim z0 w z tồn tại và hữu hạn thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm f tại z 0 và kí hiệu là f (z 0 ) f (z 0 ) = lim z0 f(z +z) f(z 0 ) z . Đôi khi ng-ời ta con kí hiệu đạo hàm của hàm w = f(z) tại z 0 là dw(z 0 ) dz . Các quy tắc tính đạo hàm cũng giống nh- hàm biến thực. Hàm f đ-ợc gọi là khả vi tại điểm z 0 nếu tồ tại một số phức A sao cho f(z 0 )=A.z + O(z) trong đó, O ( z) là VCB bậc cao hơn z khi z 0. Định lý 1.4.1. Hàm f khả vi tại z = z 0 khi và chỉ khi f có đạo hàm tại z 0 và A = f (z 0 ). Khi f khả vi tại z 0 thì biểu thức dw = f (z 0 )dz gọi là vi phân của hàm w = f(z) tại z 0 . Hàm w = f(z) đ-ợc gọi là giải tích tại z 0 nếu tồn tại r>0 sao cho hàm f có đạo hàm tại mọi điểm z B(z, 0 ,r). Hàm f gọi là giải tích trên miền D nếu nó giải tích tại mọi z D . Hàm giải tích còn gọi là hàm chỉnh hình hay hàm chính quy. 1.4.2 Điều kiện Cauchy-Riemanm Cho hàm w = f( z)=u(x, y)+iv(x, y),z= x + iy D. Hàm f đ-ợc gọi là R 2 -khả vi tại z 0 = x 0 + iy 0 nếu các hàm hai biến thực u, v khả vi tại (x 0 ,y 0 ). Hàm f gọi là thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemanm tại z 0 nếu tại điểm (x 0 ,y 0 ) ta có u x = v y u y = v x Định lý 1.4.2. Hàm f khả vi tại z 0 = x 0 + iy 0 khi và chỉ khi nó R 2 -khả vi và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemanm tại điểm (x 0 ,y 0 ). Chú ý 1.4.3. Từ định lý trên, ta thấy rằng nếu f khả vi tại z 0 thì ta sử dụng công thức sau đây để tính đạo hàm f (z)= u x + i v x = v y i u y . 9 Ví dụ 1.4.4. Tính đạo hàm của hàm f(z)=e z . Giả sử z = x + iy, khi đó hàm e z = e x+iy = e x .e y = e x (cos y + i sin y)=e x cos y + ie x sin y. Đặt u(x, y)=e x cos y,v(x, y)=e x sin y, ta thấy u, v có các đạo hàm riêng liên tục nên nó khả vi và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemanm trên toàn mặt phẳng phức. Do đó, e z khả vi trên toàn mặt phẳng. Theo công thức tính đạo hàm, ta có (e z ) = (e x cos y) x + i (e x sin y) x = e x cos y + ie x sin y = e z . 1.4.3 ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho f là một hàm giải tích trong miền D và z 0 D. Giả sử là một đ-ờng cong trơn bất kỳ trong D đi qua z 0 , =f() là đ-ờng cong trơn đi qua w 0 = f(z 0 ). Cho z 0 +z và đặt f(z 0 )=f(z 0 +z) f(z 0 ). Gọi là góc giữa trục thực và tiếp tuyến với tại z 0 , là góc giữa trục thực và tiếp tuyến với tại w 0 . Khi đó lim zz 0 z arg(z z 0 ) = lim z0 z 0 +z argz = lim zz 0 z arg f(z) f(z 0 ) = lim z0 w 0 +f (z 0 ) argf(z 0 )= Do là góc giữa tiếp tuyến với và tiếp tuyến với tại w 0 , nên có thể nói là góc mà f đã làm quay đ-ờng cong tại z 0 . Mặt khác ta có = lim z0 z 0 +z argf(z 0 ) argz = lim z0 arg f(z 0 ) z = argf (z 0 ) . Từ đó ta có kết luận : Nếu f (z 0 ) =0thì argf (z 0 ) là góc hàm f làm quay đ-ờng cong tại z 0 . Bây giờ giả sử 1 , 2 là hai đ-ờng cong trơn đi qua z 0 . Kí hiệu 1 , 2 là ảnh của 1 , 2 qua f và 1 , 1 , 2 , 2 là các góc t-ơng ứng với 1 , 2 nh- , đối với ở trên. Khi đó, góc giữa 1 và 2 là 2 1 , góc giữa 1 và 2 là 2 1 .Vì 1 1 = 2 2 = argf (z 0 ) nên 2 1 = 2 1 . Vậy : Góc giữa hai đ-ờng cong bất kỳ đi qua z 0 đ-ợc f bảo toàn cả về h-ớng và độ lớn. Hàm đ-ợc gọi là bảo toàn góc tại z 0 nếu nó bảo toàn góc giữa hai cung đuờng cong bất kỳ đi qua z 0 . Nếu f giải tích tại z 0 và f (z 0 ) =0thì f bảo toàn góc tại z 0 . Bây giờ, chuyển sang xét môđun của f (z 0 ), ta có lim z0 z 0 +z |f(z 0 )| |z| = |f (z 0 )|. Nếu f (z 0 ) =0thì |f (z 0 ) chính là hệ số co dãn của f dọc theo đ-ờng cong tại z 0 , ngoài ra hệ 10 số này không đổi theo mọi đi qua z 0 . Hàm gọi là có hệ số co dãn đều tại z 0 nếu nó có hệ số co dãn không đổi theo mọi đ-ờng cong đi qua z 0 . Nếu f giải tích tại z 0 và f (z 0 ) =0thì f có hệ số co dãn đều tại z 0 với hệ số co dãn là |f (z 0 )|. Hàm f đ-ợc gọi là bảo giác tại z 0 nếu f bảo toàn góc và có hệ số co dãn đều tại z 0 . Hàm f đ-ợc gọi là bảo giác trên miền D nếu f bảo giác tại mọi z D. Định lý 1.4.5. Hàm f bảo giác trên miền D khi và chỉ khi f giải tích trên miền D và f (z 0 ) =0với mọi z D 1.4.4 Các hàm sơ cấp cơ bản Chúng ta có một số hàm sơ cấp cơ bản th-ờng gặp sau 1. Hàm hữu tỉ w = f(z)= a 0 + a 1 z + ããã+ a n z n b 0 + b 1 z + ããã+ b m z m ,a 0 , , a n ,b 0 , , b m C,a n ,b m =0. Các tr-ờng hợp riêng của hàm hữu tỉ là Hàm tuyến tính : w = az + b Hàm luỹ thừa : w = z n (n Z) Hàm đa thức w = a 0 + a 1 z + ããã+ a n z n Hàm phân tuyến tính w = az + b cz + d 2. Hàm mũ w = e z . 3. Một số hàm khác đ-ợc định nghĩa thông qua hàm mũ là Hàm sin: sin z = e iz e iz 2i Hàm cos: cos z = e iz + e iz 2 Hàm sin hyperbolic: shz = e z e z 2 = i siniz Hàm cos hyperbolic: chz = e z + e z 2 = cos iz [...]...11 Bài tập Bài 1.1 Thực hiện các phép tính 1 (3 + 4i) (1 2i) 2 (3 + 4i)(1 2i) 3 1i 1+i 4 (1 + i 3)3 Bài 1.2 Tìm môđun của các số phức sau 1 (1 + i)( 3 + i) 2 (3 + 4i)(1 2i) 1+i 3 3+i 4 (1 + i 3)3 Bài 1.3 Viết các số phức sau d-ới dạng l-ợng giác, dạng mũ 1 1 + i 3 (1 + i 3)3 2 1 i 3 (i + i 3)4(1 i) Bài 1.4 Viết các số phức sau d-ới dạng l-ợng giác, dạng mũ 1 2 3 3 6 3 1 1 2 + 2i Bài. .. hội tụ đều trên D đến hàm f (z) nếu với mọi > 0, tồn tại N sao cho với mọi n > N , mọi z D đều có |rn (z)| = |f (z) Sn (z)| < Chuỗi () đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối trên D nếu chuỗi |fn (z)| hội tụ n=1 Định lý 4.1.1 Nếu |fn (z)| an , n, z D và nếu chuỗi số an hội tụ thì chuỗi hàm n=1 fn (z) hội tụ đều trong miền D n=1 Ta đ-a ra một số tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều Nếu mọi hàm fn (z) đều... 1, , i t-ơng ứng thành , i, 1 Bài 2.6 Tìm phép biến hình phân tuyến tính biến hình tròn đơn vị |z| < 1 thành hình tròn đơn vị |w| < 1 Bài 2.7 Tìm phép biến hình phân tuyến tính biến hình tròn đơn vị |z| < 1 thành hình tròn 1 |w 1| < 1 sao cho w(0) = , w(1) = 0 2 Bài 2.8 Tìm ảnh đối xứng qua đ-ờng tròn đơn vị của các đ-ờng sau 1 b) |z1| = 1 c) Imz = 2 a) |z| = 2 zi Bài 2.9 Tìm ảnh của miền x > 0,... I = F (i) F (2) = = 3 3 Chú ý 3.1.6 Khi dùng công thức Newton-Tuấn để tính tích phân hàm biến phức ta phải xem xét thật cẩn thận hàm đó có nguyên hàm trên miền nào Đây là một vấn đề khó mà phạm vi bài giảng này không đề cập nhiều Các bạn có thể xem thêm ở [?] 19 Định lý Cauchy 3.2 3.2.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên Nhắc lại, biên có h-ớng của một miền là khi ta đi dọc theo biên ấy, miền trong... ảo của một hàm giải tích f (z) nào đó thì (x,y) v v dx dy + iv(x, y) , (x0, y0) D y x f (z) = (x0 ,y0 ) 23 Bài tập Bài 3.1 Tính tích phân I = xdz a) Theo bán kính vectơ z = 2 + i b) Theo nửa đ-ờng tròn |z| = 1, 0 argz (gốc tại z = 1) c) Theo đ-ờng tròn |z 1| = 1 Bài 3.2 Tính tích phân Bài 3.3 Tính tích phân z dz dọc theo biên của miền 1 < |z| < 2, Imz > 0 |z| |z|zdz dọc theo biên của miền |z|... thực đều có ảnh thuộc đ-ờng tròn |w| = 1, nghĩa là ảnh của điểm xa z = x có dạng w = ei, nên ei = A Suy ra |A| = 1 hay A = ei Nh- vậy, phép biến xa za hình cần tìm có dạng w = ei Chọn a = 0 + 1.i, ta có phép biến hình cần tìm là za Nh- vậy, phép biến hình cần tìm có dạng w = A w= iz + 1 z+i 16 Bài tập Bài 2.1 Tìm phép biến hình tuyến tính biến đ-ờng tròn |z 1| = 1 thành đ-ờng tròn |z 1| = 2 Bài. .. (z) đều liên tục trên D và chuỗi () hội tụ đều trên D thì f (z) = fn (z) n=1 liên tục trên D Nếu mọi hàm fn (z) liên tục trên D và chuỗi () hội tụ đều trên D thì có thể lấy tích phân chuỗi theo đ-ờng cong bất kỳ trong D, tức là f (z)dz = fn (z)dz n=1 Nếu mọi hàm fn (z) giải tích trên D và chuỗi () hội tụ đều trên D thì f (z) = (k) fn (z) cũng hội tụ đều trên D và có giải tích trên D Hơn nữa,... giải tích đ-ợc chia thành hai phần Phần n= n an (z z0 ) đ-ợc gọi là phần đều Theo tính chất của chuỗi đ-ợc gọi là phần chính và n=0 lũy thừa, ta thấy phần chính bên ngoài vòng tròn nhỏ, tức là trong miền |z z0| > r và hội tụ đều trong miền |z z0| r , (r > r) Phần đều hội tụ bên trong hình tròn lớn |z z0| < R và hội tụ đều trong hình tròn kín |z z0| R , (R < R) 4.3.2 Một số ph-ơng pháp khai... = 33 Bài tập Bài 4.1 Tìm khai triển Maclaurent của các hàm sau và xác định miền hội tụ a) ez b) (1 z)e2z 2 d) sin2 z c) z z2 + 4 3 1 + z 2z 2 f) 3z + 1 (z 2)2 e) g) z 2 2z + 19 (z 3)2 (2z + 5)2 Bài 4.2 Tìm khai triển Taylor của các hàm sau theo lũy thừa của z z0 và xác định miền hội tụ 1 , z0 = 1 z2 a) b) z2 1 , z0 = 3 6z + 5 d) sin(z 2 + 4z), z0 = 2 e) c) 1 , z0 = 3i 1z 1 , z0 = 2 z2 Bài 4.3... = 2 Bài 2.2 Tìm phép biến hình tuyến tính w biến 1 + i thành i và 1 i là điểm bất động Bài 2.3 Tìm phép biến hình tuyến tính biến a) Dải 0 < x < 1 thành chính nó b) Dải 2 < y < 1 thành chính nó Bài 2.4 Tìm phép biến hình tuyến tính biến hình chữ nhật 7 Rez 1, 2 Imz 4 thành hình chữ nhật 4 Rew 0, 8 Imw 0 Bài 2.5 Tìm phép biến hình phân tuyến tính a) Biến z1 = 1, z2 = i, z3 = 0 t-ơng ứng thành . mũ 1. 3 1 2. 6 1 3. 3 2+ 2i Bài 1.5 Với mọi z 1 ,z 2 C. Chứng minh rằng a) |z 1 + z 2 | 2 + |z 1 z 2 | 2 =2 |z 1 | 2 + |z 2 | 2 b) |z 1 z 2 | 2 = |z 1 | 2 + |z 2 | 2 2Re(z 1 .z 2 ) 12 Ch-ơng 2 phép. sin 2 ) . Khi đó 1. z 1 .z 2 = r 1 .r 2 e i( 1 + 2 ) = r 1 .r 2 cos( 1 + 2 )+i cos( 1 + 2 ) 2. z 1 z 2 = r 1 r 2 e i( 1 2 ) = r 1 r 2 cos( 1 2 )+i cos( 1 2 ) 3. z n = r n e in = r n (cos. z,z 1 ,z 2 C,tacó 1. z = z, z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , z 1 .z 2 = z 1 .z 2 2. z + z =2Rez, z z =2iImz, z.z =(Rez) 2 +(Imz ) 2 3. z = z z R Với mọi z = a +ib C, ta gọi |z| = z.z = a 2 + b 2 là