Chuong 3 _TH va HT

Chương 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:  • Biến đổi Fourirer x(n): X ( )   jn x ( n ) e  n   Trong đó:  - tần số tín hiệu rời rạc,  =  Ts  - tần số tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu • Ký hiệu: x(n) F  X() F 1 X()   x(n) hay X() = F{x(n)} hay x(n) = F-1{X()} • X() biểu diễn dạng modun & argument: X ( )  X ( ) e j ( ) X ( ) - phổ biên độ x(n) Trong đó:  ( )  arg[ X ( )] - phổ pha x(n) • Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:  X (  2 )   x(n)e n  Áp dụng kết quả:  2 : k  jk  e dk   : k    j (  2 ) n    jn x ( n ) e  X ( )  n  Biểu thức biến đổi F ngược: x ( n)  2  jn X (  ) e d   Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F dãy: x1 (n)  a nu(n) : a  x2 (n)  a nu(n  1) : a  Giải:  X ( )  a n u( n)e  j n   a n u(  n  1)e  j n   n  1 1   a e m 1  1  a e n     n n   X ( )      ae   ae  j  j n  j m   1   a e  j m m 0 1  1  1 j 1 a e  ae  j 1  j  n 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER   x(n)e X ( )   j n   n    x ( n) e  j n    x ( n) n   n     x ( n)   Vậy, để X() hội tụ điều kiện cần là: n   • Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ tín hiệu lượng, thậy vậy:  Ex   n   x ( n)    x ( n)   n    Nếu:  x ( n)   n    Ex   x( n) n    Ví dụ 3.1.2: Xét tồn biến đổi F dãy: x1 ( n)  (0.5)n u( n) x2 (n)  2n u(n) x ( n)  u( n) x4 ( n)  rect N ( n) Giải:    2  x1 ( n)   (0.5) u( n)   (0.5)   0.5 n   n   n n   n  x2 ( n )   n   n      2n u( n)   2n   n 0   x3 ( n)   u(n)   u( n)   n   n     X2() không tồn X3() không tồn n 0 N 1  x4 ( n)   rect N ( n)   rect N (n)  N n   n   n0 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER a) Tuyến tính Nếu: F x1 (n) X1 ( ) Thì: F a1 x1 ( n)  a2 x2 ( n)  a1 X ( )  a2 X ( ) F x2 (n)  X ( ) b) Dịch theo thời gian F Nếu: x(n) X ( ) Thì: F x(n  n0 ) e-jn0 X ( ) Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F dãy:  ( n); ( n  2) Giải:  F x ( n)   ( n)  X ( )   j n  ( n ) e 1  n   Áp dụng tính chất dịch theo thời gian: F  ( n  2)  x ( n  2)  e  j 2 X ( )  1e  j 2 c) Liên hiệp phức Nếu: Thì: F x(n) X ( ) F x * (n) X * ( ) d) Đảo biến số Nếu: F x( n)  X ( ) Thì: F x( n)  X (  ) n Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F dãy: y( n)  u(  n) Giải: Theo ví dụ 6.1.1, có kết quả: n F 1 x ( n )    u( n)  X ( )   j  (1 / 2)e  2 suy ra: y ( n)  x (  n)  2  u(  n)  X (  )   (1 / 2)e j n F e) Vi phân miền tần số Nếu: F x( n)  X ( ) Thì: dX() n x ( n)  j d F Ví dụ 6.2.3: Tìm biến đổi F của: g ( n)  na n u( n); a  Giải: Theo ví dụ 6.1.1: x ( n)  a u( n)  X ( )  ;a 1  j  ae n F Suy ra:  j dX (  ) ae F g (n)  nx(n)  G( )  j  ;a 1 d  ae j   Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: h(n)=rect3(n) Giải: Biến đổi Fourier h(n): H ( )   n   n  j n  jn rect ( n ) e  e   e  j 3   e  j e  j 3 / ( e j 3 /  e  j 3 / ) sin( 3 / 2)  j  e   j / j /  j / sin( / 2) e (e e ) sin( 3 / 2) H ( )  sin( / 2) sin(3 / 2)    : A( )  ()   Với A( )  sin( / 2)      : A( )  argH() /H()/ /2 - - -2/3 2/3   -2/3 -/2 2/3   3.4.2 Đáp ứng số hệ thống ghép nối a Ghép nối tiếp h1(n) h2(n) x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) y(n)  x(n)  Miền n: Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) F y(n) H1()H2() H1() H2() Y() X() H()=H1()H2() Y()  X()  Miền  : b Ghép song song h1(n) x(n) + y(n) h2(n)   Miền n: x(n) h1(n)+h2(n) H1() y(n) + Y() H1()+H2() Y() X() H2()   Miền : X() 3.4.3 Đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn   h( m ) x ( n  m ) y ( n )  x ( n ) * h ( n )  h( n ) * x ( n )  m    y( n)  jn j ( n  m )  Ae h ( m ) Ae  m     jm h ( m ) e  x ( n )H (  )  m   Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết: x ( n)  2e    j n y( n)  x ( n) H ( )  2e    e  j    j n n 1 h( n)    u( n )  2   j n  e  2  j      e  3.4.4 Đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos: A j n x ( n )  A cos(  n )  e  e  j n   Biểu diễn đáp ứng tần số dạng môđun & pha: H()  H() e j (  ) A y(n)  x(n)H(0 )  H(0 )e j0n  H(  0 )e j0 n   A j0n  j0n j0n y(n)  H(0 )e  H * (0 )e  A Re H(0 )e     y(n)  A ReH(  )e   A H(  ) cos n  ( ) j0n 0 0 Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin: A j n x ( n )  A sin(  n )  e  e  j 0n 2j   Ta kết quả:   y(n)  A Im H( 0 )e j0n  A H( 0 ) sin0n  (0 ) ... dụ: 3. 4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: h(n)=rect3(n) Giải: Biến đổi Fourier h(n): H ( )   n   n  j n  jn rect ( n ) e  e   e  j 3? ??   e  j e  j 3? ?? / ( e j 3? ??... ()   Với A( )  sin( / 2)      : A( )  argH() /H()/ /2 - - -2 /3 2 /3   -2 /3 -/2 2 /3   3. 4.2 Đáp ứng số hệ thống ghép nối a Ghép nối tiếp h1(n) h2(n) x(n) h(n)=h1(n)*h2(n)...   e  j e  j 3? ?? / ( e j 3? ?? /  e  j 3? ?? / ) sin( 3? ?? / 2)  j  e   j / j /  j / sin( / 2) e (e e ) sin( 3? ?? / 2) H ( )  sin( / 2) sin (3? ?? / 2)    : A( )  ()   Với A( )