ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS TS TÔ VĂN BAN (Chủ biên), ThS Nguyễn Thị Thu Hương, ThS Phan Thu Hà ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH (Dùng cho hệ cao đẳng) Hà nội, 9-2014 BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG Chủ nhiệm Bộ môn (Dùng cho hệ Cao đẳng, 75 tiết giảng) Học phần: GIẢI TÍCH (Cho Cao Đẳng) Tô Văn Ban Nhóm môn học: Toán Cao cấp Bộ môn: Toán Khoa: Công nghệ thông tin Thông tin giáo viên TT Họ tên giáo viên Tô Văn Ban Nguyễn Thị Thu Hương Phan Thu Hà Học hàm Phó giáo sư Giảng viên Giảng viên Thay mặt nhóm môn học Tô Văn Ban Học vị TS ThS ThS Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1301, Nhà S4, 236 Hoàng Quốc Việt Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com Bài giảng1: Giới hạn – Liên tục – Đạo hàm Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân hàm biến Mục: §1.1 Giới hạn dãy số (1t) §1.2 Giới hạn hàm số (1t) §1.3 Sự liên tục hàm số (1t) §1.4 Đạo hàm vi phân (1t) Bài tập Giới hạn hàm số (1t) Tiết thứ: 1-5, Tuần thứ: - Mục đích, yêu cầu:  Nắm sơ lược Học phần, sách riêng giáo viên, địa Giáo viên, bầu lớp trưởng Học phần  Nắm khái niệm giới hạn dãy số, vài tính chất;  Tìm giới hạn số dãy thông thường, dãy đơn điệu;  Tìm giới hạn số hàm dùng phép thay tương đương;  Nắm tính chất hàm liên tục, liên tục đoạn kín, giới nội  Nắm khái niệm đạo hàm, tính đạo hàm số hàm số - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường P2 phân công - Nội dung chính: Giới thiệu môn học GIẢI TÍCH (Cho CĐ - 15 phút) Giải tích toán học môn toán học liên quan đến vấn đề biến đổi chuyển động Phương tiện chủ yếu nghiên cứu đại lượng vô bé Nó đề cập đến chuyện đại lượng tiến đến đại lượng Hai nhánh giải tích phép tính vi phân phép tính tích phân liên hệ với định lý giải tích  Ngày nay, giải tích dùng để tính toán quỹ đạo vệ tinh, dự báo kích cỡ quần thể, số kinh tế, dự báo thời tiết, đo thông số tim mạch, tính toán phí bảo hiểm  Một số chứng minh định lý lược giản Chúng trọng đến khía cạnh áp dụng vấn đề Những ví dụ, tập có tính ứng dụng cao trả lời cho người học câu hỏi học phần này, để làm gì, tác dụng với môn học tiếp, với lực người kỹ sư tương lai  Chúng ta thấy nhiều ví dụ, tập liên quan đến thực tiễn  Các khái niệm, định lý, tính chất thường phát biểu lời kết hợp với công thức Chính sách riêng  Mỗi lần lên bảng chữa tập ghi nhận, cộng vào điểm trình 0.5 điểm Chữa tập sai không bị trừ điểm  Không học buổi trở lên không thi BÀI TẬP VỀ NHÀ Chữa lớp sau Chương 1: Giới hạn, liên tục … (tài liệu 1) 1(a,c), 2(a,c) 3(a,b), 5(a,c), 6(a,b), 7(b), 8, 10(b), 11(a,b), 12(a,b), 14(a,b,c,d), 15(c,d,e), 16(b,c), 18(a,b), 19(b,c), 20(a,b), 22(b), 23(b,c) Chương 2: Tích phân (tài liệu 1) 1(b,c), 2(b), 3(a,b), 5(b,c), 6(b,c,d), 7, 10(b,c,d,e), 11(a,b,c), 12(a,b,c), 14(a), 15(b), Chương 3: Hàm nhiều biến (tài liệu 2) 4(b,d), 9(a), 13, 17(a,b), 21, 4(a,b), 8, 9(a), 13(a,b), 1(a,b,c), 2(a,b), 3(c,d), 4(b,c), 5(b,c,d,e), 6(a), 7(a,b), 9, 10(a,b), 11(a,b), Chương 4: Tích phân bội – đường – mặt (tài liệu 2) 1(a,b,c,f,g), 2(a,b,c,d), 3(a,b,c), 4(a,b,c) Chương 5: Chuỗi (tài liệu 1) 1(a,b,c), 2(a,b), 3(a,b,c), 4(a,b,c), 5(a,b), 6(a,b,c,e), 7(b,c,d,e), 8(a,b,c,d) Chương 6: PTVP (tài liệu 2) 1(a,b,c,d), 2(a,b,c,d,h), 3(a,b,c,e), 4(a,b), 5(a,b,c), 6(a,b,c,d,e,g) (Khoảng 150 ý – Xem cuối tài liệu) Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Năm xb Giáo trình Giải tích I Tô Văn Ban Giáo dục 2012 Giáo trình Giải tích II Tô Văn Ban Giáo dục 2012 Toán học cao cấp Nguyễn Đình Trí Giáo dục 2007 (T2,3) … Giải tích Trần Bình KH KT 2007 Bài tập giải tích Nguyễn Xuân Viên HVKTQS 2006 Bài tập Giải sẵn giải Trần Bình KH KT 2007 tích I Cho CĐ CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm tối đa Câu Chương 1: Giới hạn, liên tục, đạo 1.5 đ hàm Câu Chương 2: Tích phân 1.5 đ Câu Chương 3: Hàm nhiều biến 2.0 đ Câu Chương 4: Tích phân bội, tích 2.0 đ phân đường, tích phân mặt Câu Chương 4: Chuỗi 1.5 đ Chương 6: Phương trình vi phân 1.5 đ Điểm thi 10đ Điểm trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% 10đ + điểm trình x 20% + điểm thi x 70% Hình thức thi: Thi viết Bầu lớp trưởng lớp học phần Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít cột kiểm tra sĩ số) Cách đọc chữ Hy lạp Chương GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN § 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ (1 tiết) 1.1.1 Sự hội tụ - Phân kỳ a Những khái niệm kết mở đầu a.1 Dãy số Một ánh xạ xác định tập số nguyên dương nhận giá trị thực u :   , n    u(n)   gọi dãy số u1  u(1) : số hạng thứ nhất, …, u n  u(n) : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Ký hiệu dãy số {u n , n  1,2, } hay {u n , n  1} hay đơn giản {u n } Dãy số viết dạng khai triển: u1 ,u , ,u n , Cũng hay xét dãy {u n , n  n , n  1, } , chẳng hạn       , n  1 ,  , n  3 ,  , n  1  n  n  n        Chúng 1 , , , , 1 , , , , 1, 1 , , a.2 Sự hội tụ, phân kỳ dãy số Định nghĩa Dãy {u n } gọi hội tụ đến giới hạn  (hay có giới hạn  ) với số   , tồn N   cho | u n   |  , n  N Khi ta viết lim u n   hay u n   (n  ) n  Hình ảnh trực quan điều là: Từ số N đủ lớn trở đi, u n "rơi" vào lân cận (  ,   ) Chú ý Rất dễ dàng nhận kết quả: lim u n    lim | u n   | n  n  a.3 Dãy bị chặn Ta nói dãy { u n } bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) tập hợp {u n , n  1, 2, } bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) b Tính chất thứ tự giới hạn Định lý 1.1 Giả sử {u n }, {v n } hai dãy thỏa mãn điều kiện u n  v n với n  N tồn giới hạn lim u n  u; lim v n  v Khi u  v n  n  Định lý 1.2 (Định lý kẹp) Cho {u n }, {v n }, {w n } ba dãy Nếu từ số N trở xảy bất đẳng thức u n  w n  v n {u n } {v n } hội tụ đến giới hạn  {w n } hội tụ đến  n  N, u n  w n  v n ;  lim u  lim u    lim w n   n   n  n n  n c Các phép toán giới hạn Định lý 1.3 Cho {u n }, {v n } hai dãy, , ,  ba số thực (a ) u n   (n  )  | u n ||  | (n  ) (b) u n  (n  )  | u n || | (n  )  u   (n   ) (c)  n  u n  v n     (n  )  v n   (n   ) (d) u n   (n  )  u n    (n   )  u n  (n  ) (e)   u n v n  (n  ) n {v n } bÞchÆ  u n   (n  ) (f )   u n v n   (n  )  v n    (n  ) (g) u n    (n  ) 1  (n   ) un  un   n  v n  (h) u n  , v n    (n  ) lim d Giới hạn vô hạn Ta nói dãy {u n } tiến đến + (hay {u n } có giới hạn + ) nếu: L  0, N   : n  N, u n  L Khi ta viết lim u n   u n   (n  ) n  Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa ký hiệu u n   (n  ) Ta nói dãy {u n } tiến đến  (hay {u n } có giới hạn  , {u n } nhận  làm giới hạn) nếu: L  0, N   : n  N, | u n |  L Định lý 1.4 Cho hai dãy {u n }, {v n } N  , n  N, u n  v n    lim v n   lim u n    n  n  Định lý 1.5 Cho hai dãy {u n }, {v n } (a) * u n   (n   )    u n  v n   (n  ) v n bÞchÆ n d­ í i  * u n   (n   )    u n  v n   (n  ) v n   (n  )  * u n   (n   )    u n  v n   (n  ) v n   (n   )  u n   (n   )    u n v n   (n   ) C  0, N  , n  N, v n  C  (b) (c) u n   (n  )  (d)  (n   ) un u n  (n  )    (n  )  N, n  N, u n   u n Như vậy, gặp giới hạn dạng Định lý trên, ta coi giới hạn thông thường, dạng vô định, không cần phải "khử dạng vô định" Ví dụ 1.1 Xét hội tụ dãy n a  , (a  0) lim n a  (a  0) Kết quả: (1.1) n  Ngoài lim n (Mạnh hơn!) n 1 n  1.1.2 Dãy đơn điệu a Định nghĩa Dãy {u n } gọi tăng (giảm) với n u n  u n 1 (u n  u n 1) Dãy tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu Định lý 1.6 Dãy tăng (giảm), bị chặn (dưới) hội tụ Hệ Dãy tăng, không bị chặn hội tụ tới +  , Dãy giảm, không bị chặn hội tụ tới -  Ví dụ 1.2 Chứng minh dãy sau tăng bị chặn 3: n un  1 1  k!   1!  2!   n! , n = 1, 2, k 0 Vậy dãy có giới hạn, gọi e Ta biết e  2.718 281 828 n  1 (Một định nghĩa khác số e là: e  lim 1   ) n   n # § 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (1 tiết) 1.2.1 Sơ lược hàm số Các phương pháp biểu diễn hàm số Hàm số biểu diến theo cách:  Bằng biểu thức  Bằng đồ thị  Bằng bảng số liệu  Bằng lời 1.2.2 Hàm số ngược a Hàm số ngược Cho hàm số y  f (x) với tập xác định X, tập giá trị Y Giả sử ánh xạ f: X  Y x  X  y  f (x)  Y song ánh (đơn ánh toàn ánh) Khi ánh xạ ngược x  f 1(y) gọi hàm ngược hàm y = f(x) cho Theo thói quen, ta dùng chữ x để đối số, chữ y để hàm số Như ta ký hiệu hàm ngược hàm y  f (x) y  f 1 (x), x  Y Tính chất * Nếu hàm f(x) đồng biến (hay nghịch biến) hàm ngược đồng biến (hay nghịch biến) * Hàm f(x) lẻ hàm ngược lẻ; hàm chẵn hàm ngược * Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm xuất phát qua phân giác góc phần tư thứ Ví dụ 1.3.1 y  x , x   x  y, y  Hàm ngược y  x Lưu ý hàm y  x , x   hàm ngược #    x  Hàm số đồng biến 2 Vậy tồn hàm ngược, ký hiệu arcsinx hay đầy đủ y  arcsin x,   x  Đồ thị Hình 2.1a # Ví dụ 1.4 Xét hàm số y  sin x,     Ví dụ 1.5 Hàm số y  tan x, x    ;  đồng biến, có hàm ngược, ký hiệu  2 arc tan x - hay đầy đủ - y  arc tan x, x  (; ) Đây hàm lẻ, đồng biến, đồ thị cho Hình 2.1b Lưu ý   arc tan()  lim arc tan x   ; arc tan( )  lim arc tan x  # x  x  2 (a) (b) Hình 1 Hàm sinx hàm arcsinx (a), hàm arctan x (b) b Một số hàm sơ cấp Hàm lũy thừa: y  x  , x  (   ) Hàm số mũ: y  ax Hàm số logarit: y  log a x, x  (0  a  1) (a  0) Hàm lượng giác: y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x Hàm lượng giác ngược: y  arcsin x, x [  1;1] hàm ngược hàm y  sinx,    x 2 y  arc cos x, x  [  1; 1] hàm ngược hàm y  cosx,  x  y  arctan x, x  (; ) hàm ngược hàm y  tan x,    x 2 y  arc cot x, x  (; ) hàm ngược hàm y  cot x,  x   Hàm lượng giác hyperbolic: cosh x  e x  e x : cos hyperbol; e x  e x : sin hyperbol; sinh x th x  : tan hyperlol; cosh x sinh x  cth x  cosh x sinh x : cotang hyperrbol Hàm sơ cấp: Gồm hàm sơ cấp bản, hàm tạo số hữu hạn lần phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa hợp hàm sơ cấp Lưu ý: Một số tài liệu dùng hàm: csc x  1 , sec x  sin x cos x 1.2.4 Một số hàm số thông dụng khác a Hàm bước nhảy đơn vị y(x) d Hàm dấu Hàm dấu sgn x (đọc signum x) (có thể viết sign x) cho y ln x  x ln y Hình 1.2 Đồ thị hàm bước nhảy đơn vị (trái) hàm dấu (phải) 1.2.4 Giới hạn hàm số * Nếu giá trị hàm số f(x) làm cho gần số L cách tùy ý lấy x đủ gần a (nhưng khác a) ta nói giới hạn hàm f(x) x dần đến a L, ta viết lim f (x)  L x a (Chính xác   0,    0,  x :  x  a   f (x)  L  ) * Nếu định nghĩa ta xét giá trị x bé a, ta nhận giới hạn trái hàm f(x) x dần đến a, ta viết lim f (x)  L x a  Ta nói, giới hạn f(x) x dần đến a từ bên trái L * Chúng ta định nghĩa tương tự cho giới hạn phải lim f (x)  L x a  Mô tả giới hạn, giới hạn phía cho Hình 2.2 Hình 1.3 Giới hạn hàm số (a) phía, (b) trái, (c) phải 0 x  x * lim Ví dụ 1.6 * lim (2x  3)  x 1 c) z = x + 2xy - 4x + 8y miền D giới hạn đường thẳng x = 0, x = 1, y = 0, y = Đáp số: a) Zmax (± 2,0) = 4; zmin (0, ± 2) = - b) Zmax (2,1) = 4, Zmin (4,2) = - 64 c) Zmax (1,2) = 17; Zmin (1,0) = - V Ôn tập chương III Xét xem hàm sau nghiệm phương trình 2y x  2y y 0 a)  = 2x2 + y2, b)  = x2 - y2, ĐS: b) Chứng minh hàm số   ln x y 2y x  2y y 2 thỏa mãn phương trình 0 10 Tìm cực trị hàm số sau: a) x2 - xy + y2 - 2x + y = z b) x + y3 - 3xy = z Đáp số: a) Zmin (-1, -4) = 11 b) Điểm dừng M0 (0, 0) M1 (1,1) M0 (0,0) hàm số đạt cực tiểu Zmin (1,1) = -1 11 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số: a) Z = x2 + y2 - x - 2y miền D: x ≥ 0,y ≥ x + y ≤ b) z = x2 + y2 - 12x + 16y D: {x + y2 ≤ 25} Đáp số: a) ZLN (2,0) = 2, b) ZLN (-3,4) = 125, 1  ZNN  ,1   2  ZNN (3, -4) = -75 169 Chương IV TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT I Tích phân bội Tính tích phân sau: a) I   x ydxdy , v   0,1 x  0,2 V   b) I   x  xy dxdy D D miền giới hạn đường cong y = x2 y = c) x dxdy  (x  y)3 , D miền xác định x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ D d)  x (y  x)dxdy , D miền giới hạn đường y = x2 x = y2 D e)  (x  y) dxdy , D miền giới hạn đg y = - x , y = 2x - D f) Chuyển qua toạ độ cực tính tích phân: I   e  (x  y2 ) dxdy D hình tròn tâm O bán kính R D g)  x  y 2dxdy , D giới hạn đường tròn x + y2 = a2, x2 + y2 D = 4a2 Đáp số: a) e) 20 ; b) ; 36 f)   e R     g) c) 64 15 II Tích phân đường Tính tích phân đường sau 170 ; 36 d) - ; 504   a) x  y 1  x3  xy4  x  ycos xy dx    xy  x  xcosxy  dy       x2  b)   xy  3x  2y  dx   y  2x  dy với C đường x2 + y2 =     c R2, chiều dương c)   xy  x  y  dx   xy  x  y  dy , C đường x2 + y2 = ax, chiều c dương, a > d)   x  y  dx   x  y  dy , L chiều dương đường x2 + y2 = a2 x  y2 L e)   x  y  dx  xydy C chiều dương chu vi miền giới C hạn đường x = y2 y = x  Đáp số: a)  , b) - 4R2, c) a , d) - 2 III Ôn tập chương IV Tích phân bội a)   x   xy dxdy , D D miền giới hạn đường y = x, y = 2x, x = b)   x  y  dxdy , D D miền giới hạn đường x + = y, y = 0, y = (x-2)2 c)  xydxdy , D nửa mặt tròn (x-2)2 + y2  D d)   x  y  dxdy , D miền giới hạn đường x2 + y2 = 2(x+y) D 171 Đáp số: a) 10; b) 28 ; c) 32 ; d) 4 Tích phân đường a) Tính I =  y dx  x 2 dy L  x  y2  R   y  L chiều dương chu vi nửa hình tròn b) Tính I =  x  acos3t L  a 0  y  asin t  xdy  ydx L c) Tính I =    x  y dx  xy 2dy , C C đường d)  x2 a2  y2 b2  1, chiều dương (a > 0, b > 0)  ydx  xdy L x  y2 Tính tích phân L đường tròn tâm x2 + y2 = lấy theo chiều dương Đáp số: a)  R , b) a , 2 172 c) ab a  b , d)   Chương V CHUỖI I Chuỗi số dương Khảo sát hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau đây: a) U n  2n  3n  n  2n  b) U n  n2  c) U n  arctg n  n 1  d) Un  sin n 2n b) Hội tụ Đáp số: a) Phân kỳ 2n  n 3n  3n  d) Hội tụ c) Phân kỳ Khảo sát hội tụ hay phân kì chuỗi có số hạng tổng quát sau: a) U n  n2 , n! b) U n  Đáp số: d) Hội tụ, 2n  c) U n  n (n  1) e) Hội tụ, n2 2n  n g) Hội tụ Khảo sát hội tụ hay phân kỳ chuỗi có số hạng tổng quát sau: a) U n  2.4.6 (2n) nn , Đáp số: a) Hội tụ, b)  n!2 c) U n  (2n)! b) Hội tụ n (n!) (2n)! c) II Chuỗi có dấu Khảo sát hội tụ hay phân kỳ chuỗi có số hạng tổng quát sau: a) U n  ( 1) n n ln n ( 1) n sin c) U n  n2  b) Un  n, Đáp số: a) Hội tụ, (1) n n 1 n2 d) U n  n  n 1 ( 1) n tg b) Hội tụ, c) Hội tụ d) Hội tụ Khảo sát hội tụ hay phân kỳ chuỗi có số hạng tổng quát sau: 173 ( 1) 2n 1 a) U n  n 1 b) Un  1  (1) n sin   n  n  c) U n  x 2 ( 1) 2n 1 d) U n  n n Đáp số: a) Hội tụ, b) Hội tụ cos n n  2n  c) Hội tụ, d) Hội tụ III Chuỗi hàm số Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau:   2n  a)  2n n  (n  1) x  n n 1    (4n  3)2 n 1 x n 1 d)  (1) n(n  1) n 1 xn  e) b) 2n 1 x 2n 1   2n n (x  2)2n 2n.n n 1 , Đáp số: a) |x|  1, b) |x|  d) |x|  1, e) -3 x < -1 c) |x| < 1, IV Chuỗi lũy thừa Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  a)  n 1 n2 n2 (x  3)  n n  n 1  n c) a)    (x  1) , n 1  2n    b)   2n  2n   n d)    (x  2) n 1  3n   (x  1) n e)  n n 1  Đáp số: a)  x <  n n 1 xn b) |x| < 3, 174 c) c) -1 0) Khi thị trường cân mức giá P0 Ce0 xác định là: Q0  Q d  Qs P0  ac bd Nếu thời điểm bắt đầu nghiên cứu t = giá P(0) = P0 thị trường đạt cân Nhưng P(0)  P0 nghĩa thị trường chưa đặt độ cân đạt cân cần điều chỉnh, lúc P, Qd, Qs thay đổi nên chúng hàm số theo thời gian Câu hỏi liệu điều chỉnh giá có đạt cân theo thời gian không? Tức P(t)  P0 t  +? (Qd - Qs) chênh lệch cung cầu thị trường thời điểm Giả sử biến thiên giá tỉ lệ thuận với lượng chênh lệch cung cầu thời điểm dP    Qd  Qs  (*) dt  > Cần nhớ dP   Qd  Qs Từ (*) ta có: dt dP dP   (a  c)   (b  d)P   (b  d)P   (a  c) dt dt Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp giải phương trình ta NTQ là: P(t)   P(0)  P0  e  (b d)t  P0 , P0 giá cân thị trường Do (b + d) >   P(0)  P0  e  (b d)t  t  Vậy P(t)  P0 t  nghĩa trạng thái cân thị trường đạt 181 Bài Sản phẩm A có hàm cung hàm cầu cho sau: Qd = - 2P, Qs = -6 + 4P Giả sử điều chỉnh giá theo thời gian là: dP 1   Q d  Qs  hệ số điều chỉnh   dt 2 Xác định hàm P biết P = 15, lúc t = Đáp số: P(t) = 40 3t e  3 IV Các ứng dụng đạo hàm vi phân d) Đạo hàm giá trị biến tế kinh tế Cho mô hình hàm số y = f(x), x, y biến kinh tế, x biến độc lập hay biến đầu vào; y biến phụ thuộc hay đầu ra: Trong QTKD người ta quan tâm đến thay đổi y x thay đổi từ ĐN đạo hàm: f '(x)  lim y x  x x đủ nhỏ ta viết y f (x  x)  f (x )   f '(x ) x x  y  f (x  x)  f (x )  f '  x o  x Khi x =  y = f'(x0) Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi biến y biến x tăng thêm đơn vị Cho phương trình chuyển động vật phụ thuộc thời gian y  t   sin (t tính  theo giây, s tính theo mét) Xác định tốc độ chuyển động cuối giây thứ Đáp số: V(2)  16,18 (m/s) Một chuyển động theo parabon y = x(8-x) cho hoành độ thay đổi phụ thuộc vào thời gian theo quy luật x = t t (t tính theo giây, x tính theo m) M(1, 7) tốc độ biến đổi tung độ bao nhiêu? Đáp số: Tốc độ biến đổi y m/s VD Giả sử hàm sản xuất cho doanh nghiệp là; Q = f(L) = L , L số công nhân Ở mức L = 100 đơn vị lao động  Q = 100  50 (đơn vị sản phẩm) Sản phẩm liên tế lao động L = 100 là: f "  cos(x  e y )e2y  sin(ax  e y )e y L = 100 y Điều có nghĩa tăng lao động từ 100  101 sản phẩm tăng thêm 0,25 đơn vị sản phẩm 182 Hàm chi phí sản phẩm cho TC = 0,0001Q3 - 0,02Q2 + 5Q + 100 Tìm chi phí biên đại lượng đo thay đổi chi phí sản lượng Q tăng thêm đơn vị Q = 50 đơn vị sản lượng Đáp số: MC = 3,75 + Hàm doanh thu TR = P.Q P giá bán, Q sản lượng + MR (Doanh thu biên) đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Một sản phẩm thị trường có hàm cầu Q = 1000 - 14P (Q sản lượng, P giá bán) Tìm MR P = 40 P = 30 Đáp số: P = 40 MR = - 120 P = 30 MR = 160 183