Các quan hệ vuông góc trong không gian

Tài liệu bày sẽ chia sẻ cho các em về các quan hệ vuông góc trong không gian như quan hệ vuông góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, quan hệ giữa mặt phẳng với mặt phẳng, và giữa các đường thẳng với nhau. Hơn nữa tài liệu này còn đưa ra các phương pháp hay và các ví dụ kèm lời giải chi tiết học sinh có thể vận dụng tốt khi gặp loại bài tập này.

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài : QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa : Một đường thẳng gọi vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ⏊ ( ) a ⏊ b ; b ( ) Định lí : ( tiêu chuẩn vuông góc ) Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt b c nằm mp( ) đường thẳng a vuông góc với mp( ) ⏊ ⏊ * + } => a ⏊ ( ) ( ) ( ) Định lí : ( Định lí ba đường vuông góc ) a Phần thuận : ( ) ( ) } => b ⏊ ⏊ b Phần đảo : ( ) ( ) } => b ⏊ ⏊ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa : - Nếu đường thẳng a không vuông góc với mp( ) góc a hình chiếu a’ mp( ) gọi góc a mp( ) ( )) (̂) (̂ II MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng : - Cho mp( ) mp( ) cắt theo giao tuyến - Gọi A điểm tùy ý thuộc giao tuyến - Tia Ax nằm mặt phẳng ( ) vuông góc với giao tuyến - Tia Ay nằm mặt phẳng ( ) vuông góc với giao tuyến ) ( )) ̂ Khi (( ̂ A A >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 Định lí ( Tiêu chuẩn vuông góc ) Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí : Nếu hai mp( ) mp( ) vuông góc với đường thẳng a nằm mp( ) , vuông góc với giao tuyến mp( ) mp( ) vuông góc với mp( ) ( )⏊( ) ( ) ( ) } => a ⏊( ) ( ) ⏊ Định lí : Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ( )⏊( ) } => a ⏊( ) ( )⏊( ) ( )⏊( ) Định lí : Gọi S diện tích đa giác H mp(P) S diện tích hình chiếu H H mp(P ) S = Scos , góc hai mặt phẳng (P) ( ) B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng : Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng  Phương pháp : Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) , ta chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mp(P) ⏊ ⏊ } => d ⏊ ( ) ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  Phương pháp : Sử dụng tính chất : d // Δ , mà Δ ⏊ (P) d ⏊ (P)  Phương pháp : Sử dụng định lý : Nếu hai mặt phẳng (P) , (Q) vuông góc với cắt theo giao tuyến x , đường thẳng nằm mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến x vuông góc với mặt phẳng (Q) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  Phương pháp : Sử dụng tính chất : Nếu hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba ( )⏊( ) ( )⏊( ) } => a ⏊ (R) ( ) ( )  Phương pháp : Sử dụng tính chất : Nếu hai mặt phẳng song song với , đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) ( ) } => a ⏊ (P) ⏊ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  Phương pháp : Sử dụng tính chất : Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b , mà đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thị đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) ⁄ } => b⏊( ) ⏊( ) THÍ DỤ MINH H ỌA Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! P trung điểm cạnh SB , BC , CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải : Chứng minh AM vuông góc với BP Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH ⏊ AD Do (SAD) ⏊ (ABCD) nên SH ⏊ (ABCD) => SH ⏊ BP (1) Xét hình vuông ABCD ta có ΔCDH = ΔBCP , CH ⏊ BP(2) Từ (1) (2) => BP ⏊ (SHC) Tính thể tích khối tứ diện CMNP Vì MN // SC AN // CH => (AMN) // (SHC) Do : BP ⏊ (AMN) => BP ⏊ AM Vì MN //SC AN // CH => (AMN) // (SHC) Do : BP ⏊ (AMN) => BP ⏊ AM Kẻ MK ⏊ (ABCD) Ta có : MK = √ ; √ (đvtt) Cách khác tính thể tích ( dựa vào tỉ số thể tích ) Ta có : Nhân theo vế ta : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ √ (đvtt) Thí dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD Gọi H tâm ABCD => SH ⏊ (ABCD) Từ BH ⏊ AC BH ⏊ SH suy BH ⏊ (SAC) gọi I , K trung điểm SA AB IH // BE MK // BE nên IH // MK MK // IH (1) KN // AC (2) Từ (1) (2) => (MKN) // (SAC) (MKN) ⏊ BD => MN ⏊ BD Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ̂ = ̂ , AB = BC = a , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a√ Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SDC vuông Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Cách : Chứng minh tam giác SCD vuông Kẻ CE vuông góc AD , tứ giác ABCE hình vuông nên CE = AE = ED = a Sử dụng định lý Pitago ta có :  ΔSCD vuông C Cách : Chứng minh tam giác SCD vuông Gọi E trung điểm AD Ta có : EA = ED = a Do EA = EB = a , EA // BC => Tứ giác EABC hình vuông ( kết hợp với AB = a , ̂ ̂ ) Từ ta có EC = a Vì EA = ED = EC = a => ΔACD vuông C CA ⏊ CD Do SC ⏊ CD ( định lý đường vuông góc )  ΔSCD vuông ại C >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Thí dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a , SA = a√ Gọi M , N P trung điểm cạnh SA , SB , CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Chứng minh đường thẳng MN ⏊ SP Theo giả thiết M , N P trung điểm cạnh SA , SB CD Ta có MN // AB ( tính chất đường trung bình ) (1) AB // CD ( tứ giác ABCD hình vuông ) (2) Mặt khác SC = CD ( tam giác SCD cân S ) PC = PD ( P trung điểm CD ) => SC ⏊ CD (3) Từ (1) , (2) (3) => MN ⏊ SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Gọi I trung điểm AB Ta có ΔSIP cân S ,  SI = SP = √  Gọi O tâm hình vuông ABCD >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 ( ) Ta có  SO = √ H hình chiếu vuông góc P xuống mặt phẳng SAB Ta có ( SO.IP = ) √  PH = Vậy V = √ √ ( ) √ ( √ ) √ √ = √ (đvtt) Dạng : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc *Phương pháp : Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc mặt phẳng ⏊ } => (P) ⏊ (Q) ( )  Phương pháp : Sử dụng tính chất : ( ) ( ) } => (R) ⏊ (Q) ( )⏊( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12  Phương pháp : Sử dụng tính chất (P) ⏊ d , (Q) // d chứa d (P) ⏊ (Q) Dạng : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Phương pháp : Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với ta chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng ⏊( ) } => d ⏊ a ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13  Phương pháp : Sử dụng định lý : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) , mà đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) , d vuông góc với đường thẳng a THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = a√ , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) tính thể tích khối tứ diện ANIB Chứng minh : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Cách : Dễ thấy I trọng tâm ΔABD :  BI = BM = √ √ AI = AC = √ Trong tam giác ABI có : + + ⏊  = ⏊( ⏊ ) ( )⏊( ) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Khối tứ diện SABC chia làm tứ diện : SABN ; CNBI ; ANIB Gọi V = Ta có : { √  √ Cách : Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Xét ΔABM ΔBCA vuông đồng dạng ? ̂ ̂ ̂ ̂ => ̂ => MB ⏊ AC (1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 ⏊( ( ) ) => SA ⏊ MB (2) ( ) => MB ⏊ (SAC) => (SMB) ⏊ (SAC) thể tích khối tứ diện ANB Gọi H trung điểm AC => NH đường trung bình ΔSAC  NH = NH // SA nên NH ⏊(ABI) , √ Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M , N trung điểm AD SC , I giao điểm BM AC Cho SA = a , AD = a√ , AB = a Chứng minh mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) tính thể tích tứ diện ABN Giải Chứng minh mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) Xét ΔABM ΔBCA vuông có  ̂ ̂ => ̂ => ΔABM đồng dạng ΔBCA √ ̂ ̂ ̂ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16  ̂  MB ⏊ AC (1) SA ⏊ (ABCD) => SA ⏊ MB (2) Từ (1) (2)  MB ⏊ (SAC) => ( ) ⏊( ) Tính thể tích Gọi H trung điểm AC  NH đường trung bình Δ { Nên NH đường cao khối tứ diện ANIB Do : Ta có : √ √ √  √ √ (đvtt) Thí dụ : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật , AB = a√ , CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy SA = 3√ (a > ) Gọi K trung điểm cạnh DC Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) tính thể tích khối chóp SBCK theo a Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 Gọi H giao AC BK : BH = √ √ CH = ⏊  Từ BK ⏊ BK ⏊ SA => BK ⏊ (SAC) => (SBK) ⏊ (SAC) Tính thể tích khối chóp SBCK theo a √ √ (đvtt) Thí dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc AB = AA’ = a Gọi M , N , P trung điểm BB’ , CC’ , BC Q điểm nằm cạnh AB cho BQ = Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minh (MAC) ⏊ (NPQ) Giải Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 Gọi I trung điểm A’B’ : ⏊ ⏊ } => ) ⏊( Suy góc BC mp( ) góc ̂ Suy ̂ ̂ √ √ Chứng minh (MAC) ⏊ (NPQ) } => (NPQ) // (C BI) (1) ΔABM = ΔBB I (c-g-c) suy ̂ Suy ̂ ̂= ̂ => AM ⏊ BI >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19 Mặt khác theo chứng minh C I ⏊ AM nên AM ⏊ (C BI) Suy (AMC) ⏊ (C BI) (2) Từ (1) (2) suy (MAC) ⏊ (NPQ) Thí dụ : Cho hình lập phương có cạnh a M điểm thuộc cạnh CD với CM = x ( < x < a ) , N trung điểm cạnh Tính theo a thể tích khối tứ diện Xác định x để hai đường thẳng vuông góc với Giải Thể tích tứ diện B’MC’N : ( ( ( )) ) Tìm x để B’M ⏊ C’N Gọi H hình chiếu vuông góc M (A’B’C’) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20  B’H hình chiếu vuông góc B’M (A’B’C’) Vậy B’M ⏊ C’N ̂  ΔB C H = ΔC D N  ̂ CH=DNx= >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21 [...]... SP = √  Gọi O là tâm của hình vuông ABCD >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 ( ) Ta có  SO = √ H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB Ta có ( SO.IP = ) √  PH = Vậy V = √ √ ( ) √ ( √ ) √ √ = √ (đvtt) Dạng 2 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc *Phương pháp 1 : Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt... SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) và tính thể tích của khối tứ diện ANIB Chứng minh rằng : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Cách 1 : Dễ thấy... chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SC , I là giao điểm của BM và AC Cho SA = a , AD = a√ , AB = a Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích của tứ diện ABN Giải Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) Xét ΔABM và ΔBCA vuông có  ̂ ̂ => ̂ => ΔABM đồng dạng ΔBCA... thẳng vuông góc mặt phẳng kia ⏊ } => (P) ⏊ (Q) ( )  Phương pháp 2 : Sử dụng tính chất : ( ) ( ) } => (R) ⏊ (Q) ( )⏊( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12  Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất (P) ⏊ d , (Q) // d hoặc chứa d thì (P) ⏊ (Q) Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Phương pháp 1 : Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc. .. vuông góc với nhau ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia ⏊( ) } => d ⏊ a ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13  Phương pháp 2 : Sử dụng định lý : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) , mà đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) , thì d vuông góc với đường thẳng a THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1... Tính theo a thể tích của khối tứ diện Xác định x để hai đường thẳng và vuông góc với nhau Giải Thể tích tứ diện B’MC’N : ( ( ( )) ) Tìm x để B’M ⏊ C’N Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (A’B’C’) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20  B’H là hình chiếu vuông góc của B’M trên (A’B’C’) Vậy B’M ⏊ C’N ̂  ΔB C H = ΔC D N  ̂ CH=DNx=... AB = a , SA = a√ Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , và CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Chứng minh rằng đường thẳng MN ⏊ SP Theo giả thiết M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB và CD Ta có MN // AB ( tính chất đường trung bình ) (1) AB // CD ( vì tứ giác ABCD là hình vuông ) (2) Mặt khác SC = CD ( vì tam giác SCD cân tại S )... Cách 1 : Dễ thấy I là trọng tâm ΔABD :  BI = BM = √ √ và AI = AC = √ Trong tam giác ABI có : + + ⏊  = ⏊( ⏊ ) ( )⏊( ) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB Khối tứ diện SABC có thể chia làm 3 tứ diện : SABN ; CNBI ; ANIB Gọi V = Ta có : { √  √ Cách 2 : Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Xét ΔABM và ΔBCA vuông đồng dạng ? ̂ ̂ ̂ ̂ => ̂ => MB ⏊ AC (1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/... đường cao của khối tứ diện ANIB Do đó : Ta có : √ √ √  √ √ (đvtt) Thí dụ 3 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a√ , CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 3√ (a > ) Gọi K là trung điểm của cạnh DC Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –... (ABB’A’) góc và AB = AA’ = a Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BB’ , CC’ , BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho BQ = Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC) ⏊ (NPQ) Giải Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 Gọi I là trung điểm A’B’ thì : ⏊ ⏊ } => ) ⏊( Suy ra góc