Tiểu luận toán cao cấp nhóm nửa nhóm

KHOA THCS ôn: n n : – n: n 34 n n n n: n 3 .5 - 10 21 23 n , , , , , n n - , , – n n n , , n n – Ơ 1: n I n ô n n , hai n II n n  M t n a nhóm m t c p (X,*) X m t t p không rỗng * m t phép toán hai X có tính ch t k t h p y n u (X,*) m t n a nhóm (x*y)*z=x*(y*z) v i m i x,y,z∈X  M t n a nhóm có ph n t trung l p ta g i m t v nhóm  M t n a nhóm (v nhóm) mà phép toán có tính ch t giao hoán ta g i m t n a nhóm (v nhóm) giao hoán :  N ù , 0; N ,  (P(X),∪) , ∅.( (X),∩) , X  N∗ BCNN N∗ ù nhóm Tuy nhiên N∗ không Ơ 2: n n  : X≠∅* X, (X,*) , , ∈ X, i) *( * ) ∈ X cho x ∈ X, ii) ∈X iii)  ( * )* * * ∈X (X,*) * * X Abel n n n n ≠ ∅, * X ( * )* i) n m) : , , ∈X *( * ), X * ii) * , ∈ X, X iii) X iv) X X X n (X, ) i) ii) ỗ X ( ) ( ) ∈ X, , iii) ( x-1) -1 iv) ( , )-1 = y -1 x -1 ∈X , n II n n  X X ù  T  ⊆ , ≠ , n ≠ n n n X i) x,y ∈ ii) ∈ ∈H x-1 ∈ H e∈ iii) a) x,y ∈ b) x,y ∈ H, xy-1 ∈ H n III 31 ∈ -1 ∈H n n n X x-1ax ∈ ∈ ∈X n n 32 n ( i) X X ii) X , ) X ù ( , )↦ , X n X X/A = { xA| x ∈ X X ù , Ơ 3: - n 1: n n ≠∅X n n n n n ô n n I X , , ∈ X, : n n *( * ) ( * )* ôn i: ∀ a,b ∈ N* + ∈ N* + N* ∀ a,b ∈ N* (a+b)+c = a+ (b+c) + ∀ a,b ∈ N* + + + , (N*, +) II n n ôn : ∀ a,b ∈ N* + ∈ N* + ∀ a,b ∈ N* N* ( + )+ +( + ) + ∀ a,b ∈ N* + + + , (N*, +) ( *,*) (*) : ∀ a,b ∈ N* ( , ) ∈ N* (*) N* (( , ), ) N (a,(b,c)) + ( , ) ( , ) + ∈ N* ( , ) ( , ) Suy ( *,*) n n n n n n * a b c a b a a b c a b c a b c n n n n ôn :  (a*a)*a = b*a = c a*(a*a) = a*b = a (a*a)*a ≠ a*(a*a)  * ; * n III n ∈ X ; b ∈ X cho ab = ba X a) CMR: (ab)n = anbn b) X ; * ; ∈N ( )2 = a2b2 ù X g? XX↦X (x,y)↦ x X n 2: n n n n n n n n I , , ∈ X, i) ( ) ( ) e∈X ii) ∈X iii) ∈X , ∈X ( X, ) ( , ), ( , ) II (*) Q, * + + a) (Q, *) , a,b ∈ Q , ∈Q - b) * ∈ Q\{-1} (Q - ,*) c) a ( Q, * ) m Suy -1 ∈ ( Q,*) ( Q, *) (- ) * (- ) + + (- ) Nên ( Q,*) b n ô , ∈ * - ↔ b= = -1 - , + + - , ≠- ) ( tr * ≠- * ∈ Q\{-1} , ∈Q - , c (a*b)*c = ( a + b + ab) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc a*(b*c) = a* ( b+c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Suy ( a*b) * c = a* ( b*c) Nên ∈ - = a*b = a*( )=a+( = =0 * ) + a.( ( )= ) - (Q - ,*) Q+, a*b = , (*) , ∈ Q+ (Q+,*)  Q+ ≠ ∅, Q+  , , ∈ Q+,ta c (a*b)*c = *( * ) (*) *c = * = suy (a*b)*c = a*(b*c) suy Q+  00 ∈ Q+, a*2009 = 00 * = Q+ =a 00 ∈ Q+  , ( a*a' = ) = = 2009 = a'*a ∈ Q+ (Q+,*) V , ∈ Q+,  a*b = = = b*a Suy (Q+,*) ] Cho X ={[ ∈ } X :   [ ] ∈ X nên X ≠ ∅ [ ] ∈ X, x ∈ [ ] ∈ X, y ∈ Q =[ ][ ]=[ ] ∈X (do y+x ∈ Q), =[ -1 ] AA' = [ ][ ]=[ ] =[ I3 = A'A ∈X (X, ) n III X n , x*y = x + 2xy + y X (*) (x,y ∈ X) (X,*) X (*) (a,b)*(c,d) = (a + c.(-1)c.b + d) (X,*) ]= n3 n n n n n n I ⋃X Ø≠ i) x,y ∈ , ii) x,y ∈ , ii) x-1 ∈ H ⋃X Ø≠ i) xy ∈ xy-1 ∈ H II Cho A ỗ X A AA-1 = A X : A-1 = {a-1 | a∈A} A X A-1 ⊂ A A-1 ⊂ A nên AA-1 ⊂ A , ∈A -1 ∈ AA-1 nên A ⊂ AA-1 AA-1 = A AA-1 = A, , ∈ A, Suy A -1 ∈ AA-1 = A X Z nguyên : n n-1 Z[x] = { f(x) = {anx + an-1x Z ⊂ Z[x] ∈Z +…+ ∈ Z[x] 1x + a0 ∈ Z , i = ̅̅̅̅̅ , ∈Z + ∈ Z[x] ( ) ∈ Z[x] ∈ Z[x] f(x) + = + f(x) = f(x) Z[x] ∈Z –a a – a = Suy (Z,+) n III n Cho A n ∈X X ∈A X Z, Z Z ỗ X X n4 i) n ii) n n n n n n ≤X ∈ , ii) i) Z, m ∈ Z A I A ≤X x ∈ X, x ∈ X, xhx -1 ∈ x-1hx ∈ H A X II X = ZxZ = {(k1,k2) : k1,k2 ∈ Z (k1,k2)( l1,l2 ) = (k1 + l1,k2 + (-1)k1 l2 ) A (0, ) X :  A = {an : n ∈ (0, ) V i n = (0, 1)1 = (0, 1) (0, )n-1 (0, − ) ≥ (0, )n (0, − )(0, ) (0, )n (0, ) − (0 + 0, − + (− )0 1) = (0, n) 0 (0, 1)n= [(0, 1)-n]-1 (0, − )-1 (0, (− )n+1 (− )) (0, ) Cu i cùng: (0, 1)0= (0, 0) V y: A = {(0, 1)n: n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z}  Bây gi ta ki m tra A th u ki n chu n t c: ∀(k1,k2) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A: (k1,k2) (0, n) (k1,k2)-1 = (k1,k2) (0, )(− 1, (− )k1+1k2) = (0, m) ∈ A (v (− )k1 n; nhiên giá tr m có th không ph i tính c th ph n t thu cA ch c n thành ph A ub (0, ) i !) X III n n X = ZxZ = {(k1,k2) : k1,k2 ∈ Z (k1,k2)( l1,l2 ) = (k1 + l1,k2 + (-1)k1 l2 ) B = {(n,0) : n ∈ Z} ⊂ X Ch ng minh r ng B nhóm không chu n t c c a X n n 1) 2) M t n a nhóm m t c p (X,*) X m t t p không rỗng * m t phép toán hai X có tính ch t k t h p y n u (X,*) m t n a nhóm (x*y)*z=x*(y*z) v i m i x,y,z∈X 3) M t n a nhóm có ph n t trung l p ta g i m t v nhóm X≠∅* 4) X, (X,*) , , ∈ X, iv) *( * ) ( * )* ∈ X cho x ∈ X, v) ∈X vi) * ∈X * * * X 5) X ù X 6) x-1ax ∈ ∈ ∈X X 7) X/A = { xA| x ∈ X ù X , n Nửa nhóm (X,*); *-t/c kết hợp Vị nhóm e - P/tử đơn vị Nhóm x' - P/tử đối xứng – ù , , , , , , , – n – N ôn n n - n n n n n [...]... l1,k2 + (-1)k1 l2 ) B = {(n,0) : n ∈ Z} ⊂ X Ch ng minh r ng B là nhóm con không chu n t c c a X n n 1) 2) M t n a nhóm là m t c p (X,*) X là m t t p không rỗng và * là m t phép toán hai ngôi trên X có tính ch t k t h p y n u (X,*) là m t n a nhóm thì (x*y)*z=x*(y*z) v i m i x,y,z∈X 3) M t n a nhóm có ph n t trung l p thì ta g i là m t v nhóm X≠∅* 4) X, (X,*) , , ∈ X, iv) *( * ) ( * )* ∈ X sao cho x