Tham số trong bất phương trình vô tỉ

Bất phương trình vô tỉn dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong môn toán ở trƣờng trung hn dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong môn toán ở trƣờng trung học phổ thông nội dung phƣơng trình và bất phương trình vô tọc phổ thông nội dung phƣơng trình và bất phương trìnhn dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong môn toán n dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong môn toán ở trƣờng trung học phổ thông nội dung phƣơng trình và bất phương trình vô tở trƣờng trung học phổ thông nội dung phƣơng trình và bất phương trình vô t vô t

SKKN : THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ GV : VŨ HỮU VIÊN Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu C.NỘI DUNG : Lời giải cho toán sau cần vận dụng kiến thức chương trình đại số lớp 10, tư tưởng hàm số đồ thị tiếp cận khai thác cách thích hợp Vấn đề Giải biện luận phương trình, bất phương trình vô tỉ: Đây nhiệm vụ tối thiểu phải hoàn thành học sinh, vấn đề nên đưa tập mức độ thích hợp với đối tượng Bài toán 1: Giải biện luận theo tham số m phương trình sau: a) − x = m b) c) x2 + = m mx + = m + Phân tích: Nhóm tập nói không yêu cầu điều kiện ẩn biến đổi tương đương Mục đích kiểm tra kiến thức bản, lồng ghép nhiều dạng f ( x; m) = g (m) (1) TH1: g (m) < : phương trình (1) vô nghiệm; TH2: g (m) ≥ 0, pt (1) ⇔ f ( x; m) = [ g (m) ] Câu 1.a: Yêu cầu kiến thức đơn giản Câu 1.b: Kết hợp với kiến thức phương trình bậc thu gọn, không điều kiện Câu 1.c: Kết hợp với kiến thức phương trình ax = b, không điều kiện Bài toán 2: Giải biện luận theo tham số m phương trình sau: a) x2 − x + m = − x c) x − 2(m + 1) x + m = x − m b) x − mx = − x d)* x + = mx + Phân tích: Các tập có yêu cầu điều kiện ẩn mức độ khác Tuy nhiên, sau bước biến đổi tương đương  g ( x; m) ≥ f ( x; m) = g ( x; m) ⇔  ; đưa đến phương trình bậc nhất,  f ( x; m) = [ g ( x; m) ] bậc hai có nghiệm đặc biệt, không “làm khó” học sinh Vấn đề lại chọn cách trình bày thích hợp Giải: x ≤ 1 − m ≤ m ≥ ⇔ ⇔ * Xét câu 2.a: x − x + m = − x ⇔  x = 1− m x = 1− m x = 1− m Biện luận: 1) m ≥ : pt 2.a có tập nghiệm S = { − m} 2) m < : pt 2.a có tập nghiệm S = ∅ * Câu 2.b 2.c trình bày tương tự, với yêu cầu cao  ∀m ∈ ¡  mx ≤ x = x + = − mx ⇔  ⇔  mx ≤ ( m − 1) x − 4mx =  (1)  (m − 1) x = 4m * Xét câu 2.d: Biện luận (1) : a) m = ±1 : (1) vô nghiệm  4m  m m b) x−m < m c) − x > m d) − x + x ≤ m Giải: Với lập luận sau   g ( m) <    f ( x; m) ≥ f ( x; m) > g (m) ⇔   g (m) ≥    f ( x; m) > [ g (m) ]    g ( m) >     f ( x; m) ≥  f ( x; m) < g (m) ⇔  f ( x; m) < [ g (m) ]     g ( m) ≤   x ∈∅  Các câu 3.a 3.b yêu cầu mức độ vận dụng hai phép biến đổi Câu 3.c toán “ hai một”, kiểm tra kiến thức kép  m <   m <  0 ≤ x ≤   0 ≤ m <  x ≤ 1− x > m ⇔  ⇔  2 ≤ x < (1 − m ) m ≥         x < − m2  m ≥    x ∈ ∅  Xét câu 3.d)* − x2 + x < m Bài toán đơn giản − x + x ≥ m Tuy nhiên ta đưa toán dạng “dễ chịu”  m ≤   t ∈∅  − t < m  ⇔  m > với việc đặt ẩn phụ: t = ( x − 1) ; t ≥ Bài toán trở thành:   t ≥   1 − m < t ≤   t ≥ Tiếp theo cần so sánh – m2 để có tập nghiệm theo t Từ suy tập nghiệm theo x Vấn đề ẩn phụ bàn tiếp phần sau Bài toán 4: Giải biện luận theo tham số m bất phương trình sau: a) x −1 > x − m b) Giải: Câu 4.a làm sau: x−m < x+m x −1 > x − m  x − m <  x < m (I)   x −1 ≥ x ≥   x −1 > x − m ⇔  ⇔ x − m ≥ x ≥ m      x − > ( x − m)   x − (2m + 1) x + m + < ( II ) Thì việc biện luận (I) đơn giản, (II) phức tạp Có thể vận dụng kết hợp ẩn phụ tính chất hàm số bậc hai : x = 1+ t t − t + < m t = x − ⇔ Đặt ;Bất phương trình trở thành :   t ≥ t ≥ Xét hàm số f (t ) = t − t + khoảng [0; +∞) , với bảng biến thiên : t +∞ +∞ f (t ) Ta biện luận đơn giản sau : a) m ≤ : bpt vô nghiệm b) m > m 4m − : Hoành độ giao điểm (d) : y = m (P): y = f(t) t1;2 = ;(t1 < t2 ) + Với < m ≤ 1: ≤ t1 < t2 nên tập nghiệm theo t (t1 ; t2 ) , suy tập nghiệm theo x S = (1 + t12 ;1 + t 22 ) + Với < m : t1 < < t2 nên tập nghiệm theo t [0; t2 ) , suy tập nghiệm theo x S = [1;1 + t ) Việc sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số kết hợp với phép toán đại số cho ta phương pháp “ tích hợp” thú vị x − m < x + m hoàn toàn thực tương tự: Câu b) x = m + t2 −t + t < 2m Giải: Đặt t = x − m ⇔  ;Bất phương trình trở thành :  t ≥ t ≥ Cũng với ý tưởng tích hợp cho toán tiếp sau đây: Bài toán 5: Giải biện luận theo tham số m phương trình, bất phương trình sau: a) b) − x < x − x + m x2 −1 = x2 + x − m Phân tích: Việc chọn biểu thức câu 5.a để đặt điều kiện, việc chọn biểu thức hai vế cho thích hợp câu 5.b cần thiết để toán không phức tạp mức; cho học sinh có hứng thú giải toán cách trọn vẹn Vấn đề Một số toán chứa tham số khác: 2.1 Tìm tất giá trị tham số để hai phương trình, bất phương trình tương đương, hệ Phương pháp: giải trực tiếp biến đổi đại số gián tiếp vận dụng chiều biến thiên hàm số Bài toán 6: Tìm tất giá trị tham số m cho − x + mx − = x − (1) tương đương với x − = x + x − m (2) Giải: (1) có tập xác định tập rỗng nên (1) vô nghiệm Vậy toán trở thành tìm m để (2) vô nghiệm x −∞ −1 − +∞ +∞ (2): +∞ hàm số y  x ≤ −1 ∨ x ≥ x2 −1 = x2 + x − m ⇔  Lập bảng biến thiên m = x + x + y = x2 + x + khoảng (−∞; −1] ∪ [1; +∞) ĐS: ≤ m x + m − mx (1) hệ 3x − x + x − x + 13 ≤ ( x − 1)(5 − x) (2) Giải: (2) có nghiệm x = ( dùng đánh 7) Vậy toán tương đương: x = nghiệm (1) ⇔ m − > + m − 3m (3)… 2.2 Tìm tất giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có số nghiệm, khoảng nghiệm thoả tính chất theo yêu cầu: Bài toán 10: Tìm m cho phương trình * Phân tích: − x + x + m = x − (*) có nghiệm x ≥ − x2 + x + m = x −1 ⇔  Đây dạng toán ứng dụng đồ thị hàm số m = x − x + quen thuộc, cần ý chọn cho hoành độ điểm cực trị hàm số y = x − x + thuộc miền xét [1; +∞) để đa dạng hoá tình Lập bảng biến thiên ( vẽ đồ thị) cho kết Có thể mở rộng toán với yêu cầu: Biện luận theo m số nghiệm phương trình (*) Bài toán 11: Tìm m cho phương trình Phân tích: − x + x + m = 2( x − 1) (*) có hai nghiệm x ≤ x ( x − 2) + m = − x ⇔  2  m = −( x − x ) + ( x − x ) + Đặt t = x − x , từ chiều biến thiên hàm số t = x − x khoảng (−∞;1] ta có tập giá trị t tương ứng (t - x) tương ứng (1 – 1) ( song ánh) Như vậy, toán tương đương: Tìm m để phương trình m = −t + t + có hai nghiệm khoảng [−1; +∞) Tiếp tục dùng phương pháp hàm Lưu ý: toán phức tạp tương ứng (t - x) không đơn (1-1), yêu cầu nên dành cho đối tượng học sinh giỏi Trong chương trình đại số 10, học sinh biết chiều biến thiên hàm đa thức bậc 1, Khi thực yêu cầu toán theo hướng sử dụng hàm, số hàm phân thức hữu tỉ, xét chiều biến thiên chúng điều sức học sinh lớp 10 Có thể dùng kỹ thuật “ đa thức hoá”như sau: Bài toán 12: Cho bất phương trình ( ẩn x ): mx − x − ≥ − x + x Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm Giải: Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật “ đa thức hoá” 0 ≤ x ≤ 2 * mx + x − ≥ − x + x ⇔  (1) (m + 1) x ≥ −3x + 0 < x ≤  * x = không nghiệm (1) với m, (1) ⇔  m ≥ x − x − 1 1  ≤t * Đặt t = , t ∈ [ ; +∞) ; (1) trở thành:  x  m ≥ 2t − 3t −  17 * Xét hàm số f (t ) = 2t − 3t − [ ; +∞) ; có tập giá trị [− ; +∞) Kết luận: bất phương trình có nghiệm m ≥ − 17 ( ) Bài toán 13: Tìm m cho bất phương trình − ( x − 1)(5 − x) (m x + + − x) ≤ thoả với x thuộc tập xác định Giải: Tập xác định bất phương trình D = [1;5] Trên D, ta có − ( x − 1)(5 − x) ≥ , dấu = x = Với m, x = nghiệm Bài toán đưa việc tìm m để m ≤ 2x −1 x2 + thoả ∀x ∈ [1;5] \{2} Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật đa thức hoá : t = x − 1; t ∈ [ 1;9] \{3} P= 2x −1 + x2 = 2t t + 2t + , với t ∈ [ 1;9] \{3} P= + +1 t2 t =   1  5u + 2u + , với u = ∈  ;1 \   t 9  3   1  Hàm số f (u ) = 5u + 2u +  ;1 \   có giá trị lớn Vậy m ≤ giá trị cần tìm 9  3 Bài toán 14: Tìm m cho bất phương trình − x < mx + − x + m có nghiệm nguyên Giải: Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ: * − x xác định ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy nghiệm nguyên bất phương trình thuộc tập {-1;0;1} * Vậy toán tương đương với: Tìm m để số -1; 0; nghiệm bất phương trình (*) Với f ( x ) = − x − mx + + x + m , toán (*) tương đương với  f (−1) < 0; f (0) ≥ 0; f (1) ≥  f (0) < 0; f (−1) ≥ 0; f (1) ≥   f (1) < 0; f (0) ≥ 0; f (−1) ≥ D.KẾT LUẬN : Như vậy, với việc chọn lọc toán với mức độ thích hợp đa dạng cách giải quyết, học sinh củng cố sâu kiến thức, rèn luỵên kỹ phát triển tư toán học Giúp em giải vấn đề tham số phương trình đại số mà lãnh vực khác toán học sống Vũng tàu, 30 /1/ 2015 Người viết: Vũ Hữu Viên